2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.3.1 平行线的性质 同步分层训练提升题
一、选择题
1．如图，已知AB∥CD，则图中与∠1相等的角有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．如图，已知∠1=70°，CD∥BE，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
3．（2024八上·交城期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB，若∠ACB=75°，∠ECD=50°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．55° C．70° D．75°
4．（2023八上·鹿城开学考）如图，下列结论不正确的是（ ）
A．若∠2＝∠C，则AE∥CD B．若AD∥BC，则∠1＝∠B
C．若AE∥CD，则∠1＋∠3＝180° D．若∠1＝∠2，则AD∥BC
5．（2023八上·义乌开学考）如图，下列推理中正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
6．（2023八上·大名月考）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（ ）
已知：如图，，，垂足为D，F，． 求证：． 证明：∵，， ∴ ◎ ， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴ @ （两直线平行，同旁内角互补）． 又∵， ∴ ▲ （同角的补角相等）， ∴（ ※ 相等，两直线平行）．
A．◎代表 B．@代表
C．▲代表 D．※代表同位角
7．（2023九上·开福月考）如图：一块直角三角板的角的顶点与直角顶点分别在两平行线、上，斜边平分，交直线于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·上虞期末）将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（ ）
①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，则有．
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题
9．（2023七下·南明月考）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是 ．
10．（2019七下·玄武期中）如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=22°，那么∠2的度数为 ．
11．一大门的栏杆如图，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD= ．
12．（2016七上·黑龙江期中）如图，将三角板与两边平行的直尺（EF∥HG）贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB=90°）在直尺的一边上，若∠2=55°，则∠1的度数等于 ．
13．（2023七下·江汉期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．
三、解答题
14．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，∠A=50°，求∠B的度数．
15．如图，已知∠EPM=∠FQM．∠AEP=∠CFQ．试说明AB∥CD的理由．
四、综合题
16．（2022七下·柯桥期中）如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点E，D，C在同一条直线上.
（1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
（2）若∠ABC＝120°，求∠BEC的度数.
17．（2022七下·密云期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．
（1）如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．
①依据题意，补全图1；
②直接写出∠BOE的度数．
（2）如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当时，过点F作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3（二直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，∠3=∠4（对顶角相等），
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴图中与∠1相等得角有3个.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同位角相等，可得∠1=∠3，再由对顶角相等得∠1=∠2，∠3=∠4，从而可得答案.
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=70°，∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠1=110°，
∵BE∥CD，
∴∠B=∠2=110°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：C.
【分析】由邻补角算出∠2的度数，进而根据二直线平行，同位角相等，可得∠B的度数.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵∠ACB=75°，
∴∠ACD=180°-75°=105°，
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=55°，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠ACE=55°.
∴A，C，D错误，B正确。
故答案为：B.
【分析】先求∠ACD，再求∠ACE，最后根据平行线性质求∠A。
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、若∠2＝∠C，则AE∥CD，故选项A正确，不符合题意；
B、若AD∥BC，则∠1＝∠2，故选项B错误，符合题意；
C、若AE∥CD，则∠1＋∠3＝180°，故选项C正确，不符合题意；
D、若∠1＝∠2，则AD∥BC，故选项D正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由同位角相等，两直线平行，可判断A选项；由内错角相等，两直线平行，可判断D选项；由两直线平行，内错角相等，可判断B选项；由两直线平行，同旁内角互补，可判断C选项.
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵∠1＝∠4，
∴AB∥CD，故A选项错误，不符合题意；
B、∵∠BCD+∠ADC＝180°，
∴BC∥AD，故B选项正确，符合题意；
C、∵∠2＝∠3，
∴BC∥AD，故C选项错误，不符合题意；
D、∵∠CBA+∠C＝180°，
∴AB∥CD，故D选项错误，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】结合图形，根据平行线的判定方法逐一判断即可．
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A： ∵，，∴∠BDC=∠EFC=90°（虽然∠BDC=∠EFD=90°也正确，但是∠BDC与∠EFD不是同位角），所以A不正确；
B：@代表的是∠DBC，∠CEF与∠2不是同旁内角，所以B不正确；
C：因为∠2+∠DBC=180°， ，所以∠1=∠DBC，所以C正确；
D：因为∠1和∠DBC是一对内错角，所以 ※ 代表的是内错角，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】首先根据 （同位角相等，两直线平行）， 判定A不正确；根据 @ （两直线平行，同旁内角互补），判定B不正确；再根据∠2+∠DBC=180°， ，根据不叫的性质得出∠1=∠DBC，所以C正确；由示意图知道∠1与∠DBC是一对内错角，故而得出D不正确，从而得到正确答案。
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】
(两直线平行，同旁内角互补)
故选：C
【分析】掌握角平分线和平行线的性质，进行角度的推导计算。
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠CAB＋∠DAE=180°，
∴∠1+∠2+∠2+∠3=180°，即∠1+2∠2+∠3=180°，故①正确；
∵BC∥DA，
∴∠3=∠B=45°，
∴∠2=90°-∠3=45°，故②正确；
∵∠3=60°，
∴∠2=90°-60°=30°，∠1=90°-∠2=60°，
∴∠E=∠1，
∴AC∥DE，故③正确；
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3=45°，
∴∠3=∠B，
∴AD∥BC，
∴∠4=∠D=30°，故④错误.
故答案为：D.
【分析】根据三角板中的角度进行计算即可得∠CAB＋∠DAE=180°即可判断①；根据平行线得性质可得∠3=∠B，可得∠2=90°-∠3=45°，即可判断② ；根据∠3=60°，可得∠1=60°，进而根据内错角相等即可判断③ ；根据题意可得∠3=45°，进而可得AD∥BC，则∠4=30°，即可判断④ .
9．【答案】55°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=35°，
∴∠3=90°-∠1=55°，
∵直尺的两边平行，
∴∠2=∠3=55°.
故答案为：55°.
【分析】利用互为余角求出∠3的度数，再利用平行线的性质即可求解.
10．【答案】23°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥CD，∠1=22°，
∴∠1=∠3=22°，
∴∠2=45°-22°=23°．
故答案为23°．
【分析】根据平行线的性质求出∠3，即可求出答案．
11．【答案】270°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM∥CD，
∵BM∥CD，
∴∠BCD+∠CBM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵BM∥CD，CD∥AE，
∴BM∥AE（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠BAE+∠ABM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ABM=180°-∠BAE=90°，
∴ ∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD=90°+180°=270°.
故答案为：270°.
【分析】过点B作BM∥CD，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BCD+∠CBM=180°，由垂直的定义得∠BAE=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得BM∥AE，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BAE+∠ABM=180°，从而可求出∠ABM=90°，进而根据∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD可求出答案.
12．【答案】35°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵EF∥HG，∠2=55°，
∴∠3=∠2=55°．
∵∠ACB=90°，
∴∠1=90°﹣∠2=90°﹣55°=35°．
故答案为：35°．
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由∠1与∠3互余即可得出结论．
13．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图：过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥PG，
∴∠EAB+∠AEF=180°，∠CEF+∠ECD=180°，
∠CPG+∠PCD=180°，∠PAB+∠APG=180°，
而∠AEF=∠AEC+∠CEF，∠APG=∠APC+∠CPG，
∴∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，
又∵ ∠EAB和∠ECD的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合） ，
∴∠PAB=∠EAB，∠PCD=∠ECD，
∴∠APC=∠PCD-∠PAB=∠ECD-∠EAB=∠AEC=40°.
故答案为：40°.
【分析】过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，由平行线的传递性可得AB∥CD∥EF∥PG，根据平行线的性质和角的构成即可得∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，然后由角平分线的定义即可求解.
14．【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD=180°，
又∵∠A=50°，
∴∠ACD=130°，
∵CB平分∠ACD，
∴∠BCD=∠ACD=65°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD=65°.
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由二直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠ACD=180°，代入∠A的度数可以算出∠ACD的度数，进而根据角平分线的定义可算出∠BCD的度数，最后再根据二直线平行，内错角相等，可得∠B的度数.
15．【答案】解：∵ ∠EPM=∠FQM ，
∴PE∥FQ，
∴ ∠PEM=∠QFM ，
又∵ ∠AEP=∠CFQ ，
∴ ∠PEM-∠AEP=∠QFM-∠CFQ ，
即∠AEM=∠CFM，
∴AB∥CD.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由同位角相等，两直线平行，得PE∥FQ，由两直线平行，同位角相等，得∠PEM=∠QFM ，结合∠AEP=∠CFQ ，根据等式的性质可以推出∠AEM=∠CFM，最后再根据同位角相等，两直线平行，得出结论.
16．【答案】（1）解：.
理由：∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）AB∥CD，理由如下：由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AD∥BC，由二直线平行，同位角相等，得∠C=∠ADE，结合∠A=∠C得∠A=∠ADE，再由内错角相等，两直线平行，得AB∥CD；
（2）由二直线平行，同旁内角互补，求出∠C的度数，进而根据直角三角形两锐角互余即可得出∠BEC的度数.
17．【答案】（1）解：①依据题意，补全图1如下：
②30°
（2）解：∠OCD+∠BFH＝360°﹣α，
证明：过点O作OM∥CD∥FH，
∴∠OCD+∠COM＝180°，∠MOF＝∠OFH，
又∵∠BFH+∠OFH＝180°，
∴180°﹣∠OCD+180°﹣∠BFH＝α，
∴∠OCD+∠BFH＝360°﹣α．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：(1)②∵CD∥OE，
∴∠OCD+∠COE＝180°，
∵∠OCD＝120°，
∴∠COE＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°；
【分析】（1）①根据题意补图即可；②根据平行线的性质求出即可；
（2）过点O作OM∥CD∥FH，根据平行线的性质得出量角的数量关系即可。
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.3.1 平行线的性质 同步分层训练提升题
一、选择题
1．如图，已知AB∥CD，则图中与∠1相等的角有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3（二直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，∠3=∠4（对顶角相等），
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴图中与∠1相等得角有3个.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同位角相等，可得∠1=∠3，再由对顶角相等得∠1=∠2，∠3=∠4，从而可得答案.
2．如图，已知∠1=70°，CD∥BE，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=70°，∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠1=110°，
∵BE∥CD，
∴∠B=∠2=110°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：C.
【分析】由邻补角算出∠2的度数，进而根据二直线平行，同位角相等，可得∠B的度数.
3．（2024八上·交城期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB，若∠ACB=75°，∠ECD=50°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．55° C．70° D．75°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵∠ACB=75°，
∴∠ACD=180°-75°=105°，
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=55°，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠ACE=55°.
∴A，C，D错误，B正确。
故答案为：B.
【分析】先求∠ACD，再求∠ACE，最后根据平行线性质求∠A。
4．（2023八上·鹿城开学考）如图，下列结论不正确的是（ ）
A．若∠2＝∠C，则AE∥CD B．若AD∥BC，则∠1＝∠B
C．若AE∥CD，则∠1＋∠3＝180° D．若∠1＝∠2，则AD∥BC
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、若∠2＝∠C，则AE∥CD，故选项A正确，不符合题意；
B、若AD∥BC，则∠1＝∠2，故选项B错误，符合题意；
C、若AE∥CD，则∠1＋∠3＝180°，故选项C正确，不符合题意；
D、若∠1＝∠2，则AD∥BC，故选项D正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由同位角相等，两直线平行，可判断A选项；由内错角相等，两直线平行，可判断D选项；由两直线平行，内错角相等，可判断B选项；由两直线平行，同旁内角互补，可判断C选项.
5．（2023八上·义乌开学考）如图，下列推理中正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵∠1＝∠4，
∴AB∥CD，故A选项错误，不符合题意；
B、∵∠BCD+∠ADC＝180°，
∴BC∥AD，故B选项正确，符合题意；
C、∵∠2＝∠3，
∴BC∥AD，故C选项错误，不符合题意；
D、∵∠CBA+∠C＝180°，
∴AB∥CD，故D选项错误，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】结合图形，根据平行线的判定方法逐一判断即可．
6．（2023八上·大名月考）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（ ）
已知：如图，，，垂足为D，F，． 求证：． 证明：∵，， ∴ ◎ ， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴ @ （两直线平行，同旁内角互补）． 又∵， ∴ ▲ （同角的补角相等）， ∴（ ※ 相等，两直线平行）．
A．◎代表 B．@代表
C．▲代表 D．※代表同位角
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A： ∵，，∴∠BDC=∠EFC=90°（虽然∠BDC=∠EFD=90°也正确，但是∠BDC与∠EFD不是同位角），所以A不正确；
B：@代表的是∠DBC，∠CEF与∠2不是同旁内角，所以B不正确；
C：因为∠2+∠DBC=180°， ，所以∠1=∠DBC，所以C正确；
D：因为∠1和∠DBC是一对内错角，所以 ※ 代表的是内错角，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】首先根据 （同位角相等，两直线平行）， 判定A不正确；根据 @ （两直线平行，同旁内角互补），判定B不正确；再根据∠2+∠DBC=180°， ，根据不叫的性质得出∠1=∠DBC，所以C正确；由示意图知道∠1与∠DBC是一对内错角，故而得出D不正确，从而得到正确答案。
7．（2023九上·开福月考）如图：一块直角三角板的角的顶点与直角顶点分别在两平行线、上，斜边平分，交直线于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】
(两直线平行，同旁内角互补)
故选：C
【分析】掌握角平分线和平行线的性质，进行角度的推导计算。
8．（2023七下·上虞期末）将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（ ）
①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，则有．
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠CAB＋∠DAE=180°，
∴∠1+∠2+∠2+∠3=180°，即∠1+2∠2+∠3=180°，故①正确；
∵BC∥DA，
∴∠3=∠B=45°，
∴∠2=90°-∠3=45°，故②正确；
∵∠3=60°，
∴∠2=90°-60°=30°，∠1=90°-∠2=60°，
∴∠E=∠1，
∴AC∥DE，故③正确；
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3=45°，
∴∠3=∠B，
∴AD∥BC，
∴∠4=∠D=30°，故④错误.
故答案为：D.
【分析】根据三角板中的角度进行计算即可得∠CAB＋∠DAE=180°即可判断①；根据平行线得性质可得∠3=∠B，可得∠2=90°-∠3=45°，即可判断② ；根据∠3=60°，可得∠1=60°，进而根据内错角相等即可判断③ ；根据题意可得∠3=45°，进而可得AD∥BC，则∠4=30°，即可判断④ .
二、填空题
9．（2023七下·南明月考）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是 ．
【答案】55°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=35°，
∴∠3=90°-∠1=55°，
∵直尺的两边平行，
∴∠2=∠3=55°.
故答案为：55°.
【分析】利用互为余角求出∠3的度数，再利用平行线的性质即可求解.
10．（2019七下·玄武期中）如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=22°，那么∠2的度数为 ．
【答案】23°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥CD，∠1=22°，
∴∠1=∠3=22°，
∴∠2=45°-22°=23°．
故答案为23°．
【分析】根据平行线的性质求出∠3，即可求出答案．
11．一大门的栏杆如图，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD= ．
【答案】270°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM∥CD，
∵BM∥CD，
∴∠BCD+∠CBM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵BM∥CD，CD∥AE，
∴BM∥AE（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠BAE+∠ABM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ABM=180°-∠BAE=90°，
∴ ∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD=90°+180°=270°.
故答案为：270°.
【分析】过点B作BM∥CD，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BCD+∠CBM=180°，由垂直的定义得∠BAE=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得BM∥AE，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BAE+∠ABM=180°，从而可求出∠ABM=90°，进而根据∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD可求出答案.
12．（2016七上·黑龙江期中）如图，将三角板与两边平行的直尺（EF∥HG）贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB=90°）在直尺的一边上，若∠2=55°，则∠1的度数等于 ．
【答案】35°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵EF∥HG，∠2=55°，
∴∠3=∠2=55°．
∵∠ACB=90°，
∴∠1=90°﹣∠2=90°﹣55°=35°．
故答案为：35°．
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由∠1与∠3互余即可得出结论．
13．（2023七下·江汉期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图：过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥PG，
∴∠EAB+∠AEF=180°，∠CEF+∠ECD=180°，
∠CPG+∠PCD=180°，∠PAB+∠APG=180°，
而∠AEF=∠AEC+∠CEF，∠APG=∠APC+∠CPG，
∴∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，
又∵ ∠EAB和∠ECD的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合） ，
∴∠PAB=∠EAB，∠PCD=∠ECD，
∴∠APC=∠PCD-∠PAB=∠ECD-∠EAB=∠AEC=40°.
故答案为：40°.
【分析】过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，由平行线的传递性可得AB∥CD∥EF∥PG，根据平行线的性质和角的构成即可得∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，然后由角平分线的定义即可求解.
三、解答题
14．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，∠A=50°，求∠B的度数．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD=180°，
又∵∠A=50°，
∴∠ACD=130°，
∵CB平分∠ACD，
∴∠BCD=∠ACD=65°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD=65°.
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由二直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠ACD=180°，代入∠A的度数可以算出∠ACD的度数，进而根据角平分线的定义可算出∠BCD的度数，最后再根据二直线平行，内错角相等，可得∠B的度数.
15．如图，已知∠EPM=∠FQM．∠AEP=∠CFQ．试说明AB∥CD的理由．
【答案】解：∵ ∠EPM=∠FQM ，
∴PE∥FQ，
∴ ∠PEM=∠QFM ，
又∵ ∠AEP=∠CFQ ，
∴ ∠PEM-∠AEP=∠QFM-∠CFQ ，
即∠AEM=∠CFM，
∴AB∥CD.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由同位角相等，两直线平行，得PE∥FQ，由两直线平行，同位角相等，得∠PEM=∠QFM ，结合∠AEP=∠CFQ ，根据等式的性质可以推出∠AEM=∠CFM，最后再根据同位角相等，两直线平行，得出结论.
四、综合题
16．（2022七下·柯桥期中）如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点E，D，C在同一条直线上.
（1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
（2）若∠ABC＝120°，求∠BEC的度数.
【答案】（1）解：.
理由：∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）AB∥CD，理由如下：由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AD∥BC，由二直线平行，同位角相等，得∠C=∠ADE，结合∠A=∠C得∠A=∠ADE，再由内错角相等，两直线平行，得AB∥CD；
（2）由二直线平行，同旁内角互补，求出∠C的度数，进而根据直角三角形两锐角互余即可得出∠BEC的度数.
17．（2022七下·密云期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．
（1）如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．
①依据题意，补全图1；
②直接写出∠BOE的度数．
（2）如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当时，过点F作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：①依据题意，补全图1如下：
②30°
（2）解：∠OCD+∠BFH＝360°﹣α，
证明：过点O作OM∥CD∥FH，
∴∠OCD+∠COM＝180°，∠MOF＝∠OFH，
又∵∠BFH+∠OFH＝180°，
∴180°﹣∠OCD+180°﹣∠BFH＝α，
∴∠OCD+∠BFH＝360°﹣α．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：(1)②∵CD∥OE，
∴∠OCD+∠COE＝180°，
∵∠OCD＝120°，
∴∠COE＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°；
【分析】（1）①根据题意补图即可；②根据平行线的性质求出即可；
（2）过点O作OM∥CD∥FH，根据平行线的性质得出量角的数量关系即可。
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