【精品解析】2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.3.1 平行线的性质 同步分层训练培优题

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名称 【精品解析】2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.3.1 平行线的性质 同步分层训练培优题
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2024-01-26 17:37:27

文档简介

2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.3.1 平行线的性质 同步分层训练培优题
一、选择题
1.生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关。如图,从光源P点照射到抛物线上的光线PA,PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出,若∠CAP=α,∠DBP=β,则∠APB的度数为(  )
A.2α B.2β C.α+β D.(α+β)
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵AC∥EF, ∠CAP=α,
∴∠CAP=∠APE=α(二直线平行,内错角相等),
∵BD∥EF, ∠DBP=β,
∴∠BPE=∠DBP=β(二直线平行,内错角相等),
∴∠APB=∠APE+∠BPE=α+β.
故答案为:α+β.
【分析】由二直线平行,内错角相等,得∠CAP=∠APE=α,∠BPE=∠DBP=β,进而根据角的和差,由∠APB=∠APE+∠BPE可算出答案.
2.(2023八上·怀宁期中) 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放,若∠1=46°,则∠2=( )
A.46° B.44° C.42° D.40°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:如图,过点G作GH∥AB,则GH∥AB∥CD
∴∠1=∠EGH,∠2=∠FGH,
∵∠1=46°,
∴∠EGH=46°,
由直角三角板得,∠EGF=90°,
∴∠2=∠FGH=∠EGF-∠EGH=90°-46°=44°.
故答案为:B.
【分析】过点G作GH∥AB,根据平行公理得GH∥AB∥CD,利用平行线的性质得∠1=∠EGH,∠2=∠FGH,由∠1的度数求得∠EGH,由直角三角板得,∠EGF=90°,进行计算即可解答.
3.(2023八上·成武开学考)如图,将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG,若,,根据所标数据,则的度数为(  )
A.54° B.64° C.66° D.72°
【答案】B
【知识点】角的运算;平行线的性质
【解析】【解答】解:如图所示:
根据题意可得:∠DEF=126°,∠FGC=118°,
∴∠AED=180°-126°=54°,∠BGF=180°-118°=62°,
∵DE//CG,FG//CD,
∴∠B=∠AED=54°,∠C=∠BGF=62°,
∴∠A=180°-∠B-∠C=64°,
故答案为:B.
【分析】利用平行线的性质可得∠B=∠AED=54°,∠C=∠BGF=62°,再利用角的运算求出∠A=180°-∠B-∠C=64°即可.
4.(2017七下·曲阜期中)如图,直线a、b被直线c所截,下列说法正确的是(  )
A.当∠1=∠2时,一定有a∥b
B.当a∥b时,一定有∠1=∠2
C.当a∥b时,一定有∠1+∠2=90°
D.当∠1+∠2=180°时,一定有a∥b
【答案】D
【知识点】平行线的判定;平行线的性质
【解析】【解答】解:A、若∠1=∠2不符合a∥b的条件,故本选项错误;
B、若a∥b,则∠1+∠2=180°,∠1不一定等于∠2,故本选项错误;
C、若a∥b,则∠1+∠2=180°,故本选项错误;
D、如图,由于∠1=∠3,当∠3+∠2=180°时,a∥b,所以当∠1+∠2=180°时,一定有a∥b,故本选项正确.
故选D.
【分析】根据平行线的判定定理与性质对各选项进行逐一判断即可.
5.(2023八上·兰山开学考)如图,直线AB∥CD,直线EF分别与AB, ,CD交于点E, F,EG平分∠BEF,交CD于点G, 若∠1=55°, 则∠2的度数为(  )
A.117.5° B.110° C.118.5° D.125°
【答案】A
【知识点】平行线的性质;角平分线的定义
【解析】【解答】解: ∵∠1=55°,
∴∠BEF=180°-∠1=125°,
∵ EG平分∠BEF
∴∠BEG=∠BEF=67.5°,
∵AB∥CD,
∴∠2=180°-∠BEG=117.5°,
故答案为:A.
【分析】由邻补角的定义求出∠BEF的度数,利用角平分线的定义求出∠BEG的度数,再根据平行线的性质求出∠2的度数即可.
6.(2023八上·长沙开学考)如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具,木条,,在同一平面内,经测量,要使木条,,要使木条与平行,则的度数应为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:如图所示:
∵∠3与∠2是对顶角,,
∴∠3=∠2=110°,
∵,
∴∠1=180°-∠3=180°-110°=70°,
故答案为:B.
【分析】利用平行线的性质可得∠1=180°-∠3=180°-110°=70°.
7.(2023七下·海港期末)如图,,将一副直角三角板作如下摆放,,.下列结论:①;②;③;④.其中正确的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解: ①由题意得:∠G=∠MPN=90°,∴GE//MP,故①正确;
②由题意得∠EFG=30°,∴∠EFN=180°-∠EFG=150°,故②正确;
③过点F作FH//AB, 如图,
∵AB//CD
∴∠BEF+∠EFD=180°,FH//CD
∴∠HFN=∠MNP=45°
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°,故 ③ 正确;
④∵∠GEF=60°,∠BEF=75°,
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°,
∵∠MNP=45°
∴∠AEG+∠MNP=90°,
∵∠GPN=180°-∠MPN=180°-90°=90°,
∴∠AEG+∠MNP=∠GPN,故 ④正确;
综上所述,正确的有4个.
故答案为:D.
【分析】
①由题意可得∠G=∠MPN=90°,利用内错角相等,两直线平行即可判定GE//MP;
②由题意可得∠EFG=30°,利用邻补角即可求∠EFN=150°;
③过点F作FH//AB, 可得FH//CD, 从而得∠HFN=∠MNP=45°,可求得∠EFH=105°, 再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°;
④利用角的计算可求得∠AEG=∠PMN=45°,∠GPM=90°,即可得出答案.
8.(2023七下·黄岩期末)如图,将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放.其中含角的三角尺固定不动,将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动(转动角度小于).当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时,的度数是(  )
A.或或 B.或或
C.或或 D.或或
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵△ABC是含有30°角的三角板,
∴∠A=30°,∠ABC=60°,∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板,
∴∠BED=∠D=45°,∠EBD=90°.
①当DE∥AC时,BC⊥DE.
∵BE=BD,∠EBD=90°,
∴BC平分∠DBE,
∴∠EBC=45°,
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°;
②当DE∥AB时,∠ABE=∠E=45°.
③当DE∥BC时,∠CBE=∠E=45°,
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°,
综上∠ABE的度数为:15°或45°或105°.
故答案为:C.
【分析】画出示意图,然后根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算.
二、填空题
9.如图,在三角形ABC中,D,E,F分别是三条边上的点,EF∥AC,DF∥AB,∠B=45°,∠C=60°,则∠EFD的度数为   .
【答案】75°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵EF∥AC, ∠C=60°,
∴∠EFB=∠C=60°(两直线平行,同位角相等),
∵ DF∥AB,∠B=45°,
∴∠DFC=∠B=45°(两直线平行,同位角相等),
∴∠EFD=180°-∠EFB-∠DFC=75°.
故答案为:75°.
【分析】由两直线平行,同位角相等,得∠EFB=∠C=60°,∠DFC=∠B=45°,进而根据平角定义可求出∠EFD得度数.
10.(2017七下·巨野期中)把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G,D、C分别在M、N的位置上,若∠EFG=49°,则∠2﹣∠1=   .
【答案】16°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵AD∥BC,
∴∠2=∠DEG,∠EFG=∠DEG=49°,
∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G,
∴∠DEF=∠GEF=49°,
∴∠2=2×49°=98°,
∴∠1=180°﹣98°=82°,
∴∠2﹣∠1=98°﹣82°=16°.
故答案为16°.
【分析】先利用平行线的性质得∠2=∠DEG,∠EFG=∠DEG=49°,再根据折叠的性质得∠DEF=∠GEF=49°,所以∠2=98°,接着利用互补计算出∠1,然后计算∠2﹣∠1.
11.(2023九上·长春期中)如图,直线PQ∥MN,将一个有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放,若∠CBA=43°,则∠PAC的大小为    度.
【答案】107
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵PQ//MN,∠CBA=43°,
∴∠BAQ=∠CBA=43°,
∴∠PAB=180°-∠BAQ=180°-43°=137°,
∵∠CAB=30°,
∴∠PAC=∠PAB-∠CAB=137°-30°=107°,
故答案为:107.
【分析】利用平行线的性质可得∠BAQ=∠CBA=43°,再结合∠CAB=30°,利用角的运算求出∠PAC的度数即可.
12.(2023七下·九江期末)如图,已知直线被直线所截,,点是平面内位于直线右侧的一动点(点不在直线上),设,在点运动过程中,的度数可能是   .(结果用含的式子表示)
【答案】或或
【知识点】角的运算;平行线的性质
【解析】【解答】解:第一种情况:
当点P在AB,CD之间时,过点P作PM//AB,
∵AB//PM,
∴∠BGP=∠GPM=,
∵AB//CD,AB//PM,
∴PM//CD,
∴∠DHP=∠MPH=,
∵∠GPH=∠GPM+∠MPH,
∴∠GPH=;
第二种情况:
当点P在AB上方时,过点P作PM//AB,
∵PM//AB,
∴∠BGP=∠MPG,
∵∠BGP=,
∴∠MPG=,
∵AB//CD,
∴CD//PM,
∴∠DHP=∠MPH,
∵∠DHP=,
∴∠MPH=,
∵∠MPH=∠MPG+∠GPH,
∴=+∠GPH,
∴∠GPH=;
第三种情况:
当点P在CD下方时,过点P作PM//AB,
∵PM//AB,
∴∠BGP=∠MPG,
∵∠BGP=,
∴∠MPG=,
∵AB//CD,
∴CD//PM,
∴∠DHP=∠MPH,
∵∠DHP=,
∴∠MPH=,
∵∠MPG=∠MPH+∠GPH,
∴=+∠GPH,
∴∠GPH=;
综上,∠GPH的值为 或或 ,
故答案为: 或或 .
【分析】分类讨论:①当点P在AB,CD之间时,过点P作PM//AB,②当点P在AB上方时,过点P作PM//AB,③当点P在CD下方时,过点P作PM//AB,再分别利用平行线的性质及角的运算求解即可.
13.(2023七下·长沙期末)如图
(1)如图一,,,,则   .
(2)如图二,,,,,分别平分和,则,满足的数量关系为   .
【答案】(1)
(2)
【知识点】角的运算;平行线的性质;角平分线的定义
【解析】【解答】解:(1)过点E作EF//AB,如图所示:
∵AB//CD,
∴EF//AB//CD,
∴∠B=∠FEB=70°,∠D=∠DEF=30°,
∴∠DEB=∠DEF+∠FEB=70°+30°=100°,
故答案为:100°;
(2)过点F作FT//CD,过点Q作QK//AB,如图所示:
∵AB//CD,
∴CD//FT//QK//AB,
∴∠DFT=∠CDF,∠TFB=∠ABF,∠DQK=∠GDQ,∠KQB=∠QBH,
∴∠DFB=∠DFT+∠TFB=∠CDF+∠ABF=∠GDQ+∠QBH,
∵,,
∴∠DFB=∠CDF+∠ABF=,
∴,
∵,分别平分和,
∴∠DQB=∠GDQ+∠QBH=,
∵∠GDE+∠CDE=180°,∠HBE+∠ABE=180°,
∴∠DQB=,
∴∠DQB=180°-,
∴∠DQB=180°-,
∴∠DQB+,
∴,
故答案为:.
【分析】(1)利用平行线的性质可得∠B=∠FEB=70°,∠D=∠DEF=30°,再利用角的运算求出∠DEB的度数即可;
(2)先利用角的运算和等量代换可得,再利用角平分线的定义可得∠DQB=∠GDQ+∠QBH=,再结合∠GDE+∠CDE=180°,∠HBE+∠ABE=180°,利用角的运算和等量代换可得∠DQB+,再求出即可.
三、解答题
14.如图,AB∥CD,BO与CD相交于点O,OE⊥BO,OF平分∠BOD.若∠ABO=50°,求∠EOF的度数.
【答案】解:∵AB∥CD, ∠ABO=50°,
∴∠BOD=∠ABO=50°,
∵OF平分∠BOD,
∴∠BOF=∠BOD=25°,
∵EO⊥BO,
∴∠BOE=90°,
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=115°.
【知识点】垂线;平行线的性质;角平分线的定义
【解析】【分析】由二直线平行,内错角相等得∠BOD=∠ABO=50°,由角平分线的定义得∠BOF=∠BOD=25°,由垂直定义得∠BOE=90°,进而根据角的和差,由∠EOF=∠BOE+∠BOF可算出答案.
15.如图,若AB∥CD,且∠1=∠2,试判断AM与CN的位置关系,并说明理由.
【答案】解:AM∥CN,理由如下:
∵AB∥CD,
∴∠EAB=∠ECD(两直线平行,同位角相等),
∵∠1=∠2,
∴∠EAB-∠1=∠ECD-∠2,
即∠EAM=∠ECN,
∴AM∥CN(同位角相等,两直线平行).
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】AM∥CN,理由如下:由两直线平行,同位角相等,可得∠EAB=∠ECD,在由等式的性质可推出∠EAM=∠ECN,最后利用同位角相等,两直线平行,可得AM∥CN.
四、综合题
16.(2023七下·江北期末)如图,已知,直线交于点,交于点点是线段上一点,,分别在射线,上,连接,,平分,平分.
(1)如图,若,,则   ,   ;
(2)如图,求与之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图,当时,若,,过点作交的延长线于点将直线绕点顺时针旋转,速度为每秒,直线旋转后的对应直线为,同时绕点逆时针旋转,速度为每秒,旋转后的对应三角形为,当直线首次落到上时,整个运动停止在此运动过程中,经过秒后,直线恰好平行于的一条边,请直接写出所有满足条件的的值.
【答案】(1)27;135
(2)解:如图,延长交于,设,交于点,
设,则,





在和中,
,,,

即:

(3)解:或或或或
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:(1)延长PE交CD于点G,设PE,FQ相交于点H.
∵PE 垂直于QE,
∴∠QEG = ∠PEQ = 90°
∵∠EQN = 63°,AB //CD
∴∠EQC=180°-∠EQN=117°,
∠BPE=∠EGQ=180°-∠EQN - ∠QEG = 27°
故(1)第一空答案为:26°
∵PF平分∠MPE,QF平分∠CQE,
∴∠FPH=∠BPE=13',∠EQH=-∠EQC=58°
∴∠FHP=∠EHQ=180°-∠QEH-∠EQH=32°
∴∠PFQ=180°-∠FHP-∠FPH=135°
故第二空答案为:135°
(3)解:根据题意,需要分三种情况:
如图,当时,


如图,当时,


如图,当时,


如图,当时,


如图,当时,

舍,
如图,当时,


综上所述:或或或或.
【分析】(1)延长PE交CD于G,设PE,FQ交于点 H,设∠MPE = 2a,则∠FPE=∠BPE = α,根据AB∥CD可表示出∠PGQ,进而根据三角形内角和定理表示出∠EQC,进而得出∠EQH,然后结合△EQH和△PFH内角和得出关系式,最后得出答案.
(2)延长PE交CD于G,设PE,FQ交于点H.然后设得出,根据平行线的性质得出∠PGQ=∠BPE=2α,根据∠GEQ=180°-∠PEQ,得出∠EQC=∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2α,由此得出:∠HQE=,最后根据三角形内角和定理即可得出:2∠PFQ-∠PEQ=180°
(3)本题分三种情况进行解答求值:①当时,②当时,③当时.
17.(2023七下·江岸期末)如图1,,直线与、相交于点、,平分,平分.
(1)求证:;
(2)如图2,为、之间一点(),若,求的度数;
(3)若为直线下方一点,,为直线右侧一点,满足,则、、之间满足的数量关系是   .
【答案】(1)证明:∵,
∴,
∵平分,平分,
∴,,
∴,
∴;
(2)解:∵,
∴,
∵平分,平分,
∴,,
∴,
∵,
∴在四边形中,,
∵在中,,
∴,
∵,
∴;
(3);
【知识点】平行线的判定与性质;角平分线的定义
【解析】【解答】(3)解: 如图3,
∵AB∥CD,
∴∠AEF=∠EFD,
∵,
∴,
∴,
∵∠MKE=∠FKH,GH⊥MB,
∴,
∴∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°.
故答案为:∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°.
【分析】(1)由AB∥CD,得出∠AEF=∠EFD,结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ,从而有EF∥FQ;
(2)由AB∥CD,得出∠AEF=∠EFD,结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ,再依据四边形的内角和定理求得∠M的度数;
(3)由AB∥CD,得到∠AEF=∠EFD,结合∠MKE=∠FKH,GH⊥MB,得到关于∠AEF,∠FGH,∠EMH的关系,将其化简即可.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.3.1 平行线的性质 同步分层训练培优题
一、选择题
1.生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关。如图,从光源P点照射到抛物线上的光线PA,PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出,若∠CAP=α,∠DBP=β,则∠APB的度数为(  )
A.2α B.2β C.α+β D.(α+β)
2.(2023八上·怀宁期中) 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放,若∠1=46°,则∠2=( )
A.46° B.44° C.42° D.40°
3.(2023八上·成武开学考)如图,将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG,若,,根据所标数据,则的度数为(  )
A.54° B.64° C.66° D.72°
4.(2017七下·曲阜期中)如图,直线a、b被直线c所截,下列说法正确的是(  )
A.当∠1=∠2时,一定有a∥b
B.当a∥b时,一定有∠1=∠2
C.当a∥b时,一定有∠1+∠2=90°
D.当∠1+∠2=180°时,一定有a∥b
5.(2023八上·兰山开学考)如图,直线AB∥CD,直线EF分别与AB, ,CD交于点E, F,EG平分∠BEF,交CD于点G, 若∠1=55°, 则∠2的度数为(  )
A.117.5° B.110° C.118.5° D.125°
6.(2023八上·长沙开学考)如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具,木条,,在同一平面内,经测量,要使木条,,要使木条与平行,则的度数应为(  )
A. B. C. D.
7.(2023七下·海港期末)如图,,将一副直角三角板作如下摆放,,.下列结论:①;②;③;④.其中正确的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(2023七下·黄岩期末)如图,将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放.其中含角的三角尺固定不动,将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动(转动角度小于).当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时,的度数是(  )
A.或或 B.或或
C.或或 D.或或
二、填空题
9.如图,在三角形ABC中,D,E,F分别是三条边上的点,EF∥AC,DF∥AB,∠B=45°,∠C=60°,则∠EFD的度数为   .
10.(2017七下·巨野期中)把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G,D、C分别在M、N的位置上,若∠EFG=49°,则∠2﹣∠1=   .
11.(2023九上·长春期中)如图,直线PQ∥MN,将一个有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放,若∠CBA=43°,则∠PAC的大小为    度.
12.(2023七下·九江期末)如图,已知直线被直线所截,,点是平面内位于直线右侧的一动点(点不在直线上),设,在点运动过程中,的度数可能是   .(结果用含的式子表示)
13.(2023七下·长沙期末)如图
(1)如图一,,,,则   .
(2)如图二,,,,,分别平分和,则,满足的数量关系为   .
三、解答题
14.如图,AB∥CD,BO与CD相交于点O,OE⊥BO,OF平分∠BOD.若∠ABO=50°,求∠EOF的度数.
15.如图,若AB∥CD,且∠1=∠2,试判断AM与CN的位置关系,并说明理由.
四、综合题
16.(2023七下·江北期末)如图,已知,直线交于点,交于点点是线段上一点,,分别在射线,上,连接,,平分,平分.
(1)如图,若,,则   ,   ;
(2)如图,求与之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图,当时,若,,过点作交的延长线于点将直线绕点顺时针旋转,速度为每秒,直线旋转后的对应直线为,同时绕点逆时针旋转,速度为每秒,旋转后的对应三角形为,当直线首次落到上时,整个运动停止在此运动过程中,经过秒后,直线恰好平行于的一条边,请直接写出所有满足条件的的值.
17.(2023七下·江岸期末)如图1,,直线与、相交于点、,平分,平分.
(1)求证:;
(2)如图2,为、之间一点(),若,求的度数;
(3)若为直线下方一点,,为直线右侧一点,满足,则、、之间满足的数量关系是   .
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵AC∥EF, ∠CAP=α,
∴∠CAP=∠APE=α(二直线平行,内错角相等),
∵BD∥EF, ∠DBP=β,
∴∠BPE=∠DBP=β(二直线平行,内错角相等),
∴∠APB=∠APE+∠BPE=α+β.
故答案为:α+β.
【分析】由二直线平行,内错角相等,得∠CAP=∠APE=α,∠BPE=∠DBP=β,进而根据角的和差,由∠APB=∠APE+∠BPE可算出答案.
2.【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:如图,过点G作GH∥AB,则GH∥AB∥CD
∴∠1=∠EGH,∠2=∠FGH,
∵∠1=46°,
∴∠EGH=46°,
由直角三角板得,∠EGF=90°,
∴∠2=∠FGH=∠EGF-∠EGH=90°-46°=44°.
故答案为:B.
【分析】过点G作GH∥AB,根据平行公理得GH∥AB∥CD,利用平行线的性质得∠1=∠EGH,∠2=∠FGH,由∠1的度数求得∠EGH,由直角三角板得,∠EGF=90°,进行计算即可解答.
3.【答案】B
【知识点】角的运算;平行线的性质
【解析】【解答】解:如图所示:
根据题意可得:∠DEF=126°,∠FGC=118°,
∴∠AED=180°-126°=54°,∠BGF=180°-118°=62°,
∵DE//CG,FG//CD,
∴∠B=∠AED=54°,∠C=∠BGF=62°,
∴∠A=180°-∠B-∠C=64°,
故答案为:B.
【分析】利用平行线的性质可得∠B=∠AED=54°,∠C=∠BGF=62°,再利用角的运算求出∠A=180°-∠B-∠C=64°即可.
4.【答案】D
【知识点】平行线的判定;平行线的性质
【解析】【解答】解:A、若∠1=∠2不符合a∥b的条件,故本选项错误;
B、若a∥b,则∠1+∠2=180°,∠1不一定等于∠2,故本选项错误;
C、若a∥b,则∠1+∠2=180°,故本选项错误;
D、如图,由于∠1=∠3,当∠3+∠2=180°时,a∥b,所以当∠1+∠2=180°时,一定有a∥b,故本选项正确.
故选D.
【分析】根据平行线的判定定理与性质对各选项进行逐一判断即可.
5.【答案】A
【知识点】平行线的性质;角平分线的定义
【解析】【解答】解: ∵∠1=55°,
∴∠BEF=180°-∠1=125°,
∵ EG平分∠BEF
∴∠BEG=∠BEF=67.5°,
∵AB∥CD,
∴∠2=180°-∠BEG=117.5°,
故答案为:A.
【分析】由邻补角的定义求出∠BEF的度数,利用角平分线的定义求出∠BEG的度数,再根据平行线的性质求出∠2的度数即可.
6.【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:如图所示:
∵∠3与∠2是对顶角,,
∴∠3=∠2=110°,
∵,
∴∠1=180°-∠3=180°-110°=70°,
故答案为:B.
【分析】利用平行线的性质可得∠1=180°-∠3=180°-110°=70°.
7.【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解: ①由题意得:∠G=∠MPN=90°,∴GE//MP,故①正确;
②由题意得∠EFG=30°,∴∠EFN=180°-∠EFG=150°,故②正确;
③过点F作FH//AB, 如图,
∵AB//CD
∴∠BEF+∠EFD=180°,FH//CD
∴∠HFN=∠MNP=45°
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°,故 ③ 正确;
④∵∠GEF=60°,∠BEF=75°,
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°,
∵∠MNP=45°
∴∠AEG+∠MNP=90°,
∵∠GPN=180°-∠MPN=180°-90°=90°,
∴∠AEG+∠MNP=∠GPN,故 ④正确;
综上所述,正确的有4个.
故答案为:D.
【分析】
①由题意可得∠G=∠MPN=90°,利用内错角相等,两直线平行即可判定GE//MP;
②由题意可得∠EFG=30°,利用邻补角即可求∠EFN=150°;
③过点F作FH//AB, 可得FH//CD, 从而得∠HFN=∠MNP=45°,可求得∠EFH=105°, 再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°;
④利用角的计算可求得∠AEG=∠PMN=45°,∠GPM=90°,即可得出答案.
8.【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵△ABC是含有30°角的三角板,
∴∠A=30°,∠ABC=60°,∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板,
∴∠BED=∠D=45°,∠EBD=90°.
①当DE∥AC时,BC⊥DE.
∵BE=BD,∠EBD=90°,
∴BC平分∠DBE,
∴∠EBC=45°,
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°;
②当DE∥AB时,∠ABE=∠E=45°.
③当DE∥BC时,∠CBE=∠E=45°,
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°,
综上∠ABE的度数为:15°或45°或105°.
故答案为:C.
【分析】画出示意图,然后根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算.
9.【答案】75°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵EF∥AC, ∠C=60°,
∴∠EFB=∠C=60°(两直线平行,同位角相等),
∵ DF∥AB,∠B=45°,
∴∠DFC=∠B=45°(两直线平行,同位角相等),
∴∠EFD=180°-∠EFB-∠DFC=75°.
故答案为:75°.
【分析】由两直线平行,同位角相等,得∠EFB=∠C=60°,∠DFC=∠B=45°,进而根据平角定义可求出∠EFD得度数.
10.【答案】16°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵AD∥BC,
∴∠2=∠DEG,∠EFG=∠DEG=49°,
∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G,
∴∠DEF=∠GEF=49°,
∴∠2=2×49°=98°,
∴∠1=180°﹣98°=82°,
∴∠2﹣∠1=98°﹣82°=16°.
故答案为16°.
【分析】先利用平行线的性质得∠2=∠DEG,∠EFG=∠DEG=49°,再根据折叠的性质得∠DEF=∠GEF=49°,所以∠2=98°,接着利用互补计算出∠1,然后计算∠2﹣∠1.
11.【答案】107
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵PQ//MN,∠CBA=43°,
∴∠BAQ=∠CBA=43°,
∴∠PAB=180°-∠BAQ=180°-43°=137°,
∵∠CAB=30°,
∴∠PAC=∠PAB-∠CAB=137°-30°=107°,
故答案为:107.
【分析】利用平行线的性质可得∠BAQ=∠CBA=43°,再结合∠CAB=30°,利用角的运算求出∠PAC的度数即可.
12.【答案】或或
【知识点】角的运算;平行线的性质
【解析】【解答】解:第一种情况:
当点P在AB,CD之间时,过点P作PM//AB,
∵AB//PM,
∴∠BGP=∠GPM=,
∵AB//CD,AB//PM,
∴PM//CD,
∴∠DHP=∠MPH=,
∵∠GPH=∠GPM+∠MPH,
∴∠GPH=;
第二种情况:
当点P在AB上方时,过点P作PM//AB,
∵PM//AB,
∴∠BGP=∠MPG,
∵∠BGP=,
∴∠MPG=,
∵AB//CD,
∴CD//PM,
∴∠DHP=∠MPH,
∵∠DHP=,
∴∠MPH=,
∵∠MPH=∠MPG+∠GPH,
∴=+∠GPH,
∴∠GPH=;
第三种情况:
当点P在CD下方时,过点P作PM//AB,
∵PM//AB,
∴∠BGP=∠MPG,
∵∠BGP=,
∴∠MPG=,
∵AB//CD,
∴CD//PM,
∴∠DHP=∠MPH,
∵∠DHP=,
∴∠MPH=,
∵∠MPG=∠MPH+∠GPH,
∴=+∠GPH,
∴∠GPH=;
综上,∠GPH的值为 或或 ,
故答案为: 或或 .
【分析】分类讨论:①当点P在AB,CD之间时,过点P作PM//AB,②当点P在AB上方时,过点P作PM//AB,③当点P在CD下方时,过点P作PM//AB,再分别利用平行线的性质及角的运算求解即可.
13.【答案】(1)
(2)
【知识点】角的运算;平行线的性质;角平分线的定义
【解析】【解答】解:(1)过点E作EF//AB,如图所示:
∵AB//CD,
∴EF//AB//CD,
∴∠B=∠FEB=70°,∠D=∠DEF=30°,
∴∠DEB=∠DEF+∠FEB=70°+30°=100°,
故答案为:100°;
(2)过点F作FT//CD,过点Q作QK//AB,如图所示:
∵AB//CD,
∴CD//FT//QK//AB,
∴∠DFT=∠CDF,∠TFB=∠ABF,∠DQK=∠GDQ,∠KQB=∠QBH,
∴∠DFB=∠DFT+∠TFB=∠CDF+∠ABF=∠GDQ+∠QBH,
∵,,
∴∠DFB=∠CDF+∠ABF=,
∴,
∵,分别平分和,
∴∠DQB=∠GDQ+∠QBH=,
∵∠GDE+∠CDE=180°,∠HBE+∠ABE=180°,
∴∠DQB=,
∴∠DQB=180°-,
∴∠DQB=180°-,
∴∠DQB+,
∴,
故答案为:.
【分析】(1)利用平行线的性质可得∠B=∠FEB=70°,∠D=∠DEF=30°,再利用角的运算求出∠DEB的度数即可;
(2)先利用角的运算和等量代换可得,再利用角平分线的定义可得∠DQB=∠GDQ+∠QBH=,再结合∠GDE+∠CDE=180°,∠HBE+∠ABE=180°,利用角的运算和等量代换可得∠DQB+,再求出即可.
14.【答案】解:∵AB∥CD, ∠ABO=50°,
∴∠BOD=∠ABO=50°,
∵OF平分∠BOD,
∴∠BOF=∠BOD=25°,
∵EO⊥BO,
∴∠BOE=90°,
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=115°.
【知识点】垂线;平行线的性质;角平分线的定义
【解析】【分析】由二直线平行,内错角相等得∠BOD=∠ABO=50°,由角平分线的定义得∠BOF=∠BOD=25°,由垂直定义得∠BOE=90°,进而根据角的和差,由∠EOF=∠BOE+∠BOF可算出答案.
15.【答案】解:AM∥CN,理由如下:
∵AB∥CD,
∴∠EAB=∠ECD(两直线平行,同位角相等),
∵∠1=∠2,
∴∠EAB-∠1=∠ECD-∠2,
即∠EAM=∠ECN,
∴AM∥CN(同位角相等,两直线平行).
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】AM∥CN,理由如下:由两直线平行,同位角相等,可得∠EAB=∠ECD,在由等式的性质可推出∠EAM=∠ECN,最后利用同位角相等,两直线平行,可得AM∥CN.
16.【答案】(1)27;135
(2)解:如图,延长交于,设,交于点,
设,则,





在和中,
,,,

即:

(3)解:或或或或
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:(1)延长PE交CD于点G,设PE,FQ相交于点H.
∵PE 垂直于QE,
∴∠QEG = ∠PEQ = 90°
∵∠EQN = 63°,AB //CD
∴∠EQC=180°-∠EQN=117°,
∠BPE=∠EGQ=180°-∠EQN - ∠QEG = 27°
故(1)第一空答案为:26°
∵PF平分∠MPE,QF平分∠CQE,
∴∠FPH=∠BPE=13',∠EQH=-∠EQC=58°
∴∠FHP=∠EHQ=180°-∠QEH-∠EQH=32°
∴∠PFQ=180°-∠FHP-∠FPH=135°
故第二空答案为:135°
(3)解:根据题意,需要分三种情况:
如图,当时,


如图,当时,


如图,当时,


如图,当时,


如图,当时,

舍,
如图,当时,


综上所述:或或或或.
【分析】(1)延长PE交CD于G,设PE,FQ交于点 H,设∠MPE = 2a,则∠FPE=∠BPE = α,根据AB∥CD可表示出∠PGQ,进而根据三角形内角和定理表示出∠EQC,进而得出∠EQH,然后结合△EQH和△PFH内角和得出关系式,最后得出答案.
(2)延长PE交CD于G,设PE,FQ交于点H.然后设得出,根据平行线的性质得出∠PGQ=∠BPE=2α,根据∠GEQ=180°-∠PEQ,得出∠EQC=∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2α,由此得出:∠HQE=,最后根据三角形内角和定理即可得出:2∠PFQ-∠PEQ=180°
(3)本题分三种情况进行解答求值:①当时,②当时,③当时.
17.【答案】(1)证明:∵,
∴,
∵平分,平分,
∴,,
∴,
∴;
(2)解:∵,
∴,
∵平分,平分,
∴,,
∴,
∵,
∴在四边形中,,
∵在中,,
∴,
∵,
∴;
(3);
【知识点】平行线的判定与性质;角平分线的定义
【解析】【解答】(3)解: 如图3,
∵AB∥CD,
∴∠AEF=∠EFD,
∵,
∴,
∴,
∵∠MKE=∠FKH,GH⊥MB,
∴,
∴∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°.
故答案为:∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°.
【分析】(1)由AB∥CD,得出∠AEF=∠EFD,结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ,从而有EF∥FQ;
(2)由AB∥CD,得出∠AEF=∠EFD,结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ,再依据四边形的内角和定理求得∠M的度数;
(3)由AB∥CD,得到∠AEF=∠EFD,结合∠MKE=∠FKH,GH⊥MB,得到关于∠AEF,∠FGH,∠EMH的关系,将其化简即可.
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