2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.3.2 命题、定理、证明 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八上·宁远期中）下面是假命题的是（ ）
A．底边和一腰对应相等的两个等腰三角形全等
B．勾股定理和勾股定理的逆定理是一对互逆定理
C．经过旋转，对应线段平行且相等
D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等
2．（2021九上·哈尔滨月考）下列说法中一定正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧
C．平分弦的直径垂直于弦
D．圆周角等于圆心角的一半
3．（2023八上·怀远期中） 下列命题中，①如果|x|=|y|，那么x=y；②如果两个角相等，那么这两个角为内错角；③如果m>n，那么④如果∠A与∠B互补，那么∠A+∠B=180°，真命题有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下面说法中正确的是（ ）
A．“同位角相等”的题设是“两个角相等”
B．“相等的角是对顶角”是假命题
C．如果ab=0，那么a+b=0是真命题
D．“任何偶数都是4的倍数”是真命题
5．（2021八上·鹿城期中）下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝2，b＝3
C．a＝3，b＝﹣2 D．a＝2，b＝﹣3
6．（2023八上·栾城期中） 能说明命题“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七上·修水期中）下列说法中正确的有（ ）
①若，互为相反数，则；
②在数轴上到原点的距离为4个单位长度的点有两个，它们表示的数分别为4和-4；
③若，则.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2023七下·六安期末）如图：，平分，平分，，则下列结论：
①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
9．（2023七下·浙江期末）如图，已知∠1=∠2，∠3=40°，则∠4= °
10．（2023八上·榆树期中）命题“内错角相等”是 命题（填“真”或“假”）
11．阅读下列句子并填空：①同角的补角相等；②有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形；③如果∠1＋∠2=90°，∠3＋∠4=90°，那么∠1=∠3，∠2=∠4；④0是偶数.其中定义是 ，命题是 .(填序号)
12．（2023·西城模拟） 用一组、的值说明命题“若，则”是假命题，这组值可以是 ， ．
13．（2023七下·东湖期末）如图，的角平分线、相交于F，，，且于G．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 ．
三、解答题
14．如图，已知DE∥BC，EF平分∠DEC，且∠ADE=50°，∠C=80°
（1）求∠DEF的度数．
（2）请判断EF与AB的位置关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．底边和一腰对应相等的两个等腰三角形全等，正确，是真命题，不符合题意；
B．勾股定理和勾股定理的逆定理是一对互逆定理，正确，是真命题，不符合题意；
C．经过旋转，对应线段相等但不一定平行，故原命题错误，是假命题，符合题意；
D．一条直角边相等且另一条直角边上中线相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】题设成立，但结论不成立的命题是假命题。根据全等三角形的判定方法，勾股定理和逆定理，旋转的性质，逐一进行判断即可．
2．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故说法不符合题意；
B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，此说法符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故此说法不符合题意；
D、在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故此说法不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用弧，弦，圆周角和圆心角等的定义对每个选项一一判断即可。
3．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；内错角；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、如果，那么，故该选项是错误的；
B、如果两个角相等，这两个角可能为内错角，也可能是对顶角，故该选项是错误；
C、如果，那么，故该选项是错误的；
D、如果与互补，那么，故该选项是正确的；
所以真命题有1个
故答案为：A.
【分析】根据命题真假的判定方法，结合内错角、互补性质，绝对值的性质求解。
4．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角；真命题与假命题
【解析】【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】A、“同位角相等”的题设是“两个角是同位角”，所以错误；
B、根据对顶角的定义知，“相等的角是对顶角”是假命题，正确；
C、如果a=0，b=2，ab=0，那么a+b=2≠0是假命题，所以错误；
D、2是偶数，但不是4的倍数，所以“任何偶数都是4的倍数”是假命题，故错误．
故选B．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、a＝﹣2，b＝1，不满足a＞b，所以本选项不符合题意；
B、a＝2，b＝3，不满足a＞b，所以本选项不符合题意；
C、a＝3，b＝﹣2，满足a＞b，但，不满足a2≤b2，所以本选项不符合题意；
D、a＝2，b＝﹣3时， ，满足a＞b，a2≤b2，所以本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】 命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题应满足a>b，但a2≤b2，据此判断.
6．【答案】B
【知识点】定义、命题及定理的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】 命题“对于任何实数，”是假命题 ，a要满足如a=-2，
故答案为：B.
【分析】根据题意写出一个a的值不满足 即可.
7．【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；真命题与假命题
【解析】【解答】①∵若，互为相反数，则，∴①正确，符合题意；
②∵在数轴上到原点的距离为4个单位长度的点有两个，它们表示的数分别为4和-4，∴②正确，符合题意；
③∵若，则，∴③不正确，不符合题意；
综上，正确的结论是①②，共2个，
故答案为：C.
【分析】利用相反数的定义、绝对值的性质及数轴上两点之间的关系逐项分析判断即可.
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】 ①由已知角平分线的条件可得∠FCA＝∠ACG，∠ACB＝∠ACD， ∴∠FCB= (∠ACG+∠ACD)= 180°=90°∴①正确；② 由AE=AC知∠AEC＝∠ACE(等边对等角)，又∠BAE＝ 180°-∠AEC(两直线平行同旁内角互补)同理 ∠FAC＝ 180°-∠ACE ∴∠BAE= ∠FAC(等角的补角相等) ②正确；③由题意知∠AEC＝∠ACE=2∠ACF=2∠FCE ∴∠AQC=∠AEC+∠FCE(三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和) ∴∠FQE=∠AQC=∠AEC+∠FCE=2∠ACF+∠ACF=3∠ACF (等量代换) ③正确；④由题意知∠AEC＝∠ACE 且∠ACE=2∠FCE又∠F=∠FCE ∴∠AEC=2∠FCE=2∠F 故④正确
【分析】熟练掌握平行线和三角形中的角的数量关系，等量代换。
9．【答案】140.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：解：如图，
∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠5=∠3=40°，
∴∠4=180°-∠5=140°；
故答案为：140.
【分析】由同位角相等，两直线平行推得a∥b，根据两直线平行，同位角相等可得∠5=∠3，即可求解.
10．【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵两直线平行，内错角相等，
∴“内错角相等”是假命题，
故答案为：假.
【分析】利用平行线的性质及假命题的定义分析求解即可.
11．【答案】②；①②③④
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解： ①同角的补角相等，是命题；
②有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形，是定义也是命题；
③如果∠1＋∠2=90°，∠3＋∠4=90°，那么∠1=∠3，∠2=∠4，是命题；
④0是偶数，是命题，
综上，定义有②，命题是①②③④.
故答案为：②，①②③④.
【分析】一般的在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，命题有明显的判断词是或不是；定义是对一个概念或事物的准确描述，它通过列举事物的基本属性和特征来规范这个词或概念的意义；定义的特点是：准确、简洁、明确；在数学中，定义通常用来描述一个概念的内涵和外延，以便于理解和研究，据此逐个判断得出答案.
12．【答案】答案不唯一；答案不唯一
【知识点】偶次方的非负性；真命题与假命题
【解析】【解答】
取一组非0的相反数，如a=-3，b=3，此时，但3≠-3 。
故答案为：-3，3 (答案不唯一)
【分析】当a和b不等于0且互为相反数时，，但a≠b.，所以本题a，b 的值取一组非0的相反数即可。答案不唯一。
13．【答案】①③④
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】 解：①∵ ，
，
又 是 的角平分线，
，故①正确；
②无法证明 平分 ，故②错误；
③ ，
，
平分 ，
，
．
∵ ，且 ，
，即 ，
，故③正确；
④ ， ，
，
，
，故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】利用角平分线的定义，平行线的性质及角的运算和等量代换逐项判断即可.
14．【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴∠DEC+∠C=180°，
∴∠DEC=180°-∠C=100°，
又EF平分∠DEC，
∴.
（2）解：平行．理由如下：
由（1）可知∠DEF=50°，
∴∠ADE=∠DEF，
∴EF∥AB.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得∠DEC的度数，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可求得∠DEF；
（2）由（1）可得∠ADE=∠DEF，根据内错角相等，两直线平行即可证明EF∥AB.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.3.2 命题、定理、证明 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八上·宁远期中）下面是假命题的是（ ）
A．底边和一腰对应相等的两个等腰三角形全等
B．勾股定理和勾股定理的逆定理是一对互逆定理
C．经过旋转，对应线段平行且相等
D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．底边和一腰对应相等的两个等腰三角形全等，正确，是真命题，不符合题意；
B．勾股定理和勾股定理的逆定理是一对互逆定理，正确，是真命题，不符合题意；
C．经过旋转，对应线段相等但不一定平行，故原命题错误，是假命题，符合题意；
D．一条直角边相等且另一条直角边上中线相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】题设成立，但结论不成立的命题是假命题。根据全等三角形的判定方法，勾股定理和逆定理，旋转的性质，逐一进行判断即可．
2．（2021九上·哈尔滨月考）下列说法中一定正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧
C．平分弦的直径垂直于弦
D．圆周角等于圆心角的一半
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故说法不符合题意；
B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，此说法符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故此说法不符合题意；
D、在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故此说法不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用弧，弦，圆周角和圆心角等的定义对每个选项一一判断即可。
3．（2023八上·怀远期中） 下列命题中，①如果|x|=|y|，那么x=y；②如果两个角相等，那么这两个角为内错角；③如果m>n，那么④如果∠A与∠B互补，那么∠A+∠B=180°，真命题有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；内错角；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、如果，那么，故该选项是错误的；
B、如果两个角相等，这两个角可能为内错角，也可能是对顶角，故该选项是错误；
C、如果，那么，故该选项是错误的；
D、如果与互补，那么，故该选项是正确的；
所以真命题有1个
故答案为：A.
【分析】根据命题真假的判定方法，结合内错角、互补性质，绝对值的性质求解。
4．下面说法中正确的是（ ）
A．“同位角相等”的题设是“两个角相等”
B．“相等的角是对顶角”是假命题
C．如果ab=0，那么a+b=0是真命题
D．“任何偶数都是4的倍数”是真命题
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角；真命题与假命题
【解析】【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】A、“同位角相等”的题设是“两个角是同位角”，所以错误；
B、根据对顶角的定义知，“相等的角是对顶角”是假命题，正确；
C、如果a=0，b=2，ab=0，那么a+b=2≠0是假命题，所以错误；
D、2是偶数，但不是4的倍数，所以“任何偶数都是4的倍数”是假命题，故错误．
故选B．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．（2021八上·鹿城期中）下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝2，b＝3
C．a＝3，b＝﹣2 D．a＝2，b＝﹣3
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、a＝﹣2，b＝1，不满足a＞b，所以本选项不符合题意；
B、a＝2，b＝3，不满足a＞b，所以本选项不符合题意；
C、a＝3，b＝﹣2，满足a＞b，但，不满足a2≤b2，所以本选项不符合题意；
D、a＝2，b＝﹣3时， ，满足a＞b，a2≤b2，所以本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】 命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题应满足a>b，但a2≤b2，据此判断.
6．（2023八上·栾城期中） 能说明命题“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】定义、命题及定理的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】 命题“对于任何实数，”是假命题 ，a要满足如a=-2，
故答案为：B.
【分析】根据题意写出一个a的值不满足 即可.
7．（2023七上·修水期中）下列说法中正确的有（ ）
①若，互为相反数，则；
②在数轴上到原点的距离为4个单位长度的点有两个，它们表示的数分别为4和-4；
③若，则.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；真命题与假命题
【解析】【解答】①∵若，互为相反数，则，∴①正确，符合题意；
②∵在数轴上到原点的距离为4个单位长度的点有两个，它们表示的数分别为4和-4，∴②正确，符合题意；
③∵若，则，∴③不正确，不符合题意；
综上，正确的结论是①②，共2个，
故答案为：C.
【分析】利用相反数的定义、绝对值的性质及数轴上两点之间的关系逐项分析判断即可.
8．（2023七下·六安期末）如图：，平分，平分，，则下列结论：
①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】 ①由已知角平分线的条件可得∠FCA＝∠ACG，∠ACB＝∠ACD， ∴∠FCB= (∠ACG+∠ACD)= 180°=90°∴①正确；② 由AE=AC知∠AEC＝∠ACE(等边对等角)，又∠BAE＝ 180°-∠AEC(两直线平行同旁内角互补)同理 ∠FAC＝ 180°-∠ACE ∴∠BAE= ∠FAC(等角的补角相等) ②正确；③由题意知∠AEC＝∠ACE=2∠ACF=2∠FCE ∴∠AQC=∠AEC+∠FCE(三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和) ∴∠FQE=∠AQC=∠AEC+∠FCE=2∠ACF+∠ACF=3∠ACF (等量代换) ③正确；④由题意知∠AEC＝∠ACE 且∠ACE=2∠FCE又∠F=∠FCE ∴∠AEC=2∠FCE=2∠F 故④正确
【分析】熟练掌握平行线和三角形中的角的数量关系，等量代换。
二、填空题
9．（2023七下·浙江期末）如图，已知∠1=∠2，∠3=40°，则∠4= °
【答案】140.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：解：如图，
∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠5=∠3=40°，
∴∠4=180°-∠5=140°；
故答案为：140.
【分析】由同位角相等，两直线平行推得a∥b，根据两直线平行，同位角相等可得∠5=∠3，即可求解.
10．（2023八上·榆树期中）命题“内错角相等”是 命题（填“真”或“假”）
【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵两直线平行，内错角相等，
∴“内错角相等”是假命题，
故答案为：假.
【分析】利用平行线的性质及假命题的定义分析求解即可.
11．阅读下列句子并填空：①同角的补角相等；②有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形；③如果∠1＋∠2=90°，∠3＋∠4=90°，那么∠1=∠3，∠2=∠4；④0是偶数.其中定义是 ，命题是 .(填序号)
【答案】②；①②③④
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解： ①同角的补角相等，是命题；
②有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形，是定义也是命题；
③如果∠1＋∠2=90°，∠3＋∠4=90°，那么∠1=∠3，∠2=∠4，是命题；
④0是偶数，是命题，
综上，定义有②，命题是①②③④.
故答案为：②，①②③④.
【分析】一般的在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，命题有明显的判断词是或不是；定义是对一个概念或事物的准确描述，它通过列举事物的基本属性和特征来规范这个词或概念的意义；定义的特点是：准确、简洁、明确；在数学中，定义通常用来描述一个概念的内涵和外延，以便于理解和研究，据此逐个判断得出答案.
12．（2023·西城模拟） 用一组、的值说明命题“若，则”是假命题，这组值可以是 ， ．
【答案】答案不唯一；答案不唯一
【知识点】偶次方的非负性；真命题与假命题
【解析】【解答】
取一组非0的相反数，如a=-3，b=3，此时，但3≠-3 。
故答案为：-3，3 (答案不唯一)
【分析】当a和b不等于0且互为相反数时，，但a≠b.，所以本题a，b 的值取一组非0的相反数即可。答案不唯一。
13．（2023七下·东湖期末）如图，的角平分线、相交于F，，，且于G．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 ．
【答案】①③④
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】 解：①∵ ，
，
又 是 的角平分线，
，故①正确；
②无法证明 平分 ，故②错误；
③ ，
，
平分 ，
，
．
∵ ，且 ，
，即 ，
，故③正确；
④ ， ，
，
，
，故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】利用角平分线的定义，平行线的性质及角的运算和等量代换逐项判断即可.
三、解答题
14．如图，已知DE∥BC，EF平分∠DEC，且∠ADE=50°，∠C=80°
（1）求∠DEF的度数．
（2）请判断EF与AB的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴∠DEC+∠C=180°，
∴∠DEC=180°-∠C=100°，
又EF平分∠DEC，
∴.
（2）解：平行．理由如下：
由（1）可知∠DEF=50°，
∴∠ADE=∠DEF，
∴EF∥AB.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得∠DEC的度数，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可求得∠DEF；
（2）由（1）可得∠ADE=∠DEF，根据内错角相等，两直线平行即可证明EF∥AB.
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