2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 6.1 平方根同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023七上·莱芜期中）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是±4 B．-表示6的算术平方根的相反数
C．任何数都有平方根 D．-a2一定没有平方根
【答案】B
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】A、∵的平方根是±2，∴A不正确，不符合题意；
B、∵表示6的算式平方根的相反数，∴B正确，符合题意；
C、∵非负数都有平方根，∴C不正确，不符合题意；
D、∵当a=0时，-a2有平方根，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平方根的定义及计算方法逐项分析判断即可.
2．（2016七下·萧山开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．（﹣2）3=8 C．﹣|﹣3|=3 D．﹣22=﹣4
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；算术平方根；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、 =3，故此选项错误；
B、（﹣2）3=﹣8，故此选项错误；
C、﹣|﹣3|=﹣3，故此选项错误；
D、﹣22=﹣4正确．
故选：D．
【分析】直接利用算术平方根的性质以及有理数的乘方、绝对值的性质分别化简求出答案．
3．（2023七上·瑞安期中）已知一个正方形的面积等于两个边长分别为6cm和8cm的正方形的面积之和，则这个正方形的边长为（ ）
A．7cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：由题意得： 这个正方形的面积=62+82=100，
∴ 这个正方形的边长为=10，
故答案为：B.
【分析】先求出这个正方形的面积，继而求出边长.
4．（2018·重庆）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数；算术平方根；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；
B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，是假命题；
C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
故答案为：A．
【分析】相反数等于本身的数是0，倒数等于本身的数是±1；一个数的平方等于这个数本身的数是0，1；一个数的算术平方根等于这个数本身的数是0，1。
5．（2023七上·瑞安期中）若x2=4，|y|=5，且xy<0，则x-y的值等于（ ）
A．-3或7 B．3或-7 C．-3或3 D．-7或7
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根；有理数的减法法则
【解析】【解答】解： ∵x2=4，|y|=5，
∴x=，y=，
∵ xy<0 ，
∴x=2，y=-5或x=-2，y=5，
∴ x-y =7或-7，
故答案为：D.
【分析】由平方根及绝对值可求出x、y的值，再根据xy<0确定x、y的值，然后分别代入计算即可.
6．（2023八上·叙州月考）在下列结论中，正确的是（ ）
A． B．的算术平方根是
C．一定没有平方根 D．的算术平方根是
【答案】B
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： A：，结论错误，不符合题意；
B：∵，
∴的算术平方根是，结论正确，符合题意；
C：∵当x=0时，，0 的平方根是0，
∴当x=0时，有平方根，结论错误，不符合题意；
D：∵，3的算术平方根是，
∴该选项结论错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据算术平方根和平方根对每个选项逐一判断求解即可。
7．（2023八上·市北区月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】根据题意可得：
S小正方形=129-ab×4=129-×24×4=81，
∴小正方形的边长为，
故答案为：A.
【分析】先求出小正方形的面积，再利用正方形的面积公式求出边长即可.
8．已知实数a的一个平方根是4，则它的另一个平方根是（ ）
A．2 B．-2 C．-4 D．±2
【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：数a的一个平方根是4，
∴a=16，
∴a的另一个平方根是-4．
故答案为：C
【分析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数.
二、填空题
9．填空：
（1） 数的平方根有两个，它们互为 .
（2） 数没有平方根．
（3）0.25的算术平方根是 .
【答案】（1）正；相反数
（2）负
（3）0.5
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：(1)正数的平方根有两个，它们互为相反数；
(2)负数没有平方根；
(3)0.25的算术平方根是0.5.
故答案为：(1) 正，相反数；(2)负； (3) 0.5.
【分析】(1) (2)根据平方根的性质即可求得； (3) 根据算术平方根的定义计算即可.
10．一个自然数的算术平方根是a，则相邻的下一个自然数的算术平方根是 ．
【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵一个自然数的算术平方根是a，
∴这个自然数是a2，
∴相邻的下一个自然数为：a2+1，
∴相邻的下一个自然数的算术平方根是： ，
故答案为： ．
【分析】首先利用算术平方根求出这个自然数，然后即可求出相邻的下一个自然数的算术平方根．
11．（2023八上·龙岗期中）一个正数的两个平方根分别是和，则这个数为 ．
【答案】4
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是a-1和a+3，
∴a-1+a+3=0，
∴a=-1，
∴这个正数的两个平方根分别是-2和2，
∴这个正数为4，
故答案为：4.
【分析】根据平方根的性质得出a-1和a+3互为相反数，得出a=-1，从而得出这个正数的两个平方根分别是-2和2，即可得出这个正数为4.
12．一个正偶数的算术平方根为m，则下一个正偶数的算术平方根为
【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵一个正偶数的算术平方根为m，
∴这个偶数为，
∴下一个正偶数为，
∴下一个正偶数的算术平方根为.
故答案为：.
【分析】根据求解即可.
13．（2020八上·常州期末）观察被开方数a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律:
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 x 1 y 100
（1）填空:x= ， y= .
（2）根据你发现的规律填空:
①已知 ≈1.414，则 = ， = ；
② = 0.274，记 的整数部分为x,则 = .
【答案】（1）0.1；10
（2）14.14；0.1414；
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】(1)解：根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；
∴ ， ；
故答案为：0.1，10
( 2 )解：①由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ， ；
故答案为： ，
②由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【分析】（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案；（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；（3）利用（1）中的规律，求出 的值，然后得到整数x，即可得到答案.
三、解答题
14．已有数4，9，试再写出一个数，使得这三个数中，一个数是另外两个数的乘积的一个平方根．你能写出几个这样的数？请把所有可能的数写下来．
【答案】解：设所写的数为x，
当4是另外两个数的乘积的一个平方根时，
可得42=9x，
解得x=；
当9是另外两个数的乘积的一个平方根时，
可得92=4x，
解得x=；
当x是另外两个数的乘积的一个平方根时，
可得x2=9×4，
解得x=±6，
∴所有满足已知条件的数为6，-6，，.
【知识点】平方根
【解析】【分析】设所写的数为x，根据平方根的定义分三种情况：①当4是另外两个数的乘积的一个平方根时，②当9是另外两个数的乘积的一个平方根时，③当x是另外两个数的乘积的一个平方根时，分别列出方程，求解可得答案.
15．已知2m-4与3m-1是一个正数的平方根，且a2x-3b8 与3a7b5+y是同类项，求m+x+y的算术平方根．
【答案】解：∵2m-4与3m-1是一个正数的平方根，
∴2m-4+3m-1=0，或2m-4=3m-1
解得m=1或m=-3
∵ a2x-3b8与3a7b5+y是同类项，
∴2x- 3=7，5+y=8，解得 x=5，y=3．
∴m+x+y=1+5+3=9或-3+5+3=5
所以m+x+y的算术平方根为3或 ．
【知识点】平方根；算术平方根；同类项的概念
【解析】【分析】利用一个正数有两个平方根，它们互为相反数，可得到关于m的方程，解方程求出m的值；再利用同类项中相同字母的指数相等，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；然后将m，x，y的值分别代入代数式进行计算，可m+x+y的算术平方根.
四、综合题
16．（2023七下·仁化期中）观察下列各式，并解决以下问题．
，，，……
（1）由上可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向右移动 位的变化规律．
（2）已知，，则 ；
（3）若，，则 ．
【答案】（1）两；一
（2）
（3）
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】（1）∵，，
∴被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位，
故答案为：两，一；
（2）
∵
∴
故答案为：12.25；
(3)∵
∴
故答案为：
【分析】（1）观察题目即可得到答案；
（2）（3）根据（1）的规律进行求解即可．
17．（2019七下·潮阳月考）
（1）填写下表，观察被开方数a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律：
a 0.0016 0.16 16 1600
（2）根据你发现的规律填空：
①已知： =2.683 ， 则 = ， =
②已知： =6.164，若 =61.64， 则x= ，
（3）直接写出 与a的大小.
【答案】（1）0.04；0.4；4；40
（2）84.85；0.02683；3800
（3）解：当0＜a＜1时， ＞a；
当a=1或0时， ＝a；
当a＞1时， ＜a．
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】(1)填表如下：
a 0.0016 0.16 16 1600
0.04 0.4 4 40
规律：当被开方数的小数点每向左(或向右)移动2位，算术平方根的小数点向左(或向右)移动1位；(2)①由 ，观察72和7200，小数点向右移动了4位，则8.485的小数点向右移动1位得到84.85， 即 =84.85；
由 =2.683，观察7.2和0.00072，小数点向左移动了4位，则2.683的小数点向左移动2位得到 0.02683，即 =0.02683，
故答案为：84.85，0.02683；②观察6.164和61.64，小数点向右移动了1位，则38的小数点向右移动2位，得到3800，即x=3800，故答案为：3800；
【分析】(1)利用开平方运算的法则先计算出表格中的值，再从值上总结出小数点变化的规律；(2)利用上边总结的小数点变化的规律，求①②小题即可；(3)先求出两数再比较即可解决问题．
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 6.1 平方根同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023七上·莱芜期中）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是±4 B．-表示6的算术平方根的相反数
C．任何数都有平方根 D．-a2一定没有平方根
2．（2016七下·萧山开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．（﹣2）3=8 C．﹣|﹣3|=3 D．﹣22=﹣4
3．（2023七上·瑞安期中）已知一个正方形的面积等于两个边长分别为6cm和8cm的正方形的面积之和，则这个正方形的边长为（ ）
A．7cm B．10cm C．12cm D．14cm
4．（2018·重庆）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
5．（2023七上·瑞安期中）若x2=4，|y|=5，且xy<0，则x-y的值等于（ ）
A．-3或7 B．3或-7 C．-3或3 D．-7或7
6．（2023八上·叙州月考）在下列结论中，正确的是（ ）
A． B．的算术平方根是
C．一定没有平方根 D．的算术平方根是
7．（2023八上·市北区月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．已知实数a的一个平方根是4，则它的另一个平方根是（ ）
A．2 B．-2 C．-4 D．±2
二、填空题
9．填空：
（1） 数的平方根有两个，它们互为 .
（2） 数没有平方根．
（3）0.25的算术平方根是 .
10．一个自然数的算术平方根是a，则相邻的下一个自然数的算术平方根是 ．
11．（2023八上·龙岗期中）一个正数的两个平方根分别是和，则这个数为 ．
12．一个正偶数的算术平方根为m，则下一个正偶数的算术平方根为
13．（2020八上·常州期末）观察被开方数a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律:
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 x 1 y 100
（1）填空:x= ， y= .
（2）根据你发现的规律填空:
①已知 ≈1.414，则 = ， = ；
② = 0.274，记 的整数部分为x,则 = .
三、解答题
14．已有数4，9，试再写出一个数，使得这三个数中，一个数是另外两个数的乘积的一个平方根．你能写出几个这样的数？请把所有可能的数写下来．
15．已知2m-4与3m-1是一个正数的平方根，且a2x-3b8 与3a7b5+y是同类项，求m+x+y的算术平方根．
四、综合题
16．（2023七下·仁化期中）观察下列各式，并解决以下问题．
，，，……
（1）由上可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向右移动 位的变化规律．
（2）已知，，则 ；
（3）若，，则 ．
17．（2019七下·潮阳月考）
（1）填写下表，观察被开方数a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律：
a 0.0016 0.16 16 1600
（2）根据你发现的规律填空：
①已知： =2.683 ， 则 = ， =
②已知： =6.164，若 =61.64， 则x= ，
（3）直接写出 与a的大小.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】A、∵的平方根是±2，∴A不正确，不符合题意；
B、∵表示6的算式平方根的相反数，∴B正确，符合题意；
C、∵非负数都有平方根，∴C不正确，不符合题意；
D、∵当a=0时，-a2有平方根，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平方根的定义及计算方法逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；算术平方根；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、 =3，故此选项错误；
B、（﹣2）3=﹣8，故此选项错误；
C、﹣|﹣3|=﹣3，故此选项错误；
D、﹣22=﹣4正确．
故选：D．
【分析】直接利用算术平方根的性质以及有理数的乘方、绝对值的性质分别化简求出答案．
3．【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：由题意得： 这个正方形的面积=62+82=100，
∴ 这个正方形的边长为=10，
故答案为：B.
【分析】先求出这个正方形的面积，继而求出边长.
4．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数；算术平方根；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；
B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，是假命题；
C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
故答案为：A．
【分析】相反数等于本身的数是0，倒数等于本身的数是±1；一个数的平方等于这个数本身的数是0，1；一个数的算术平方根等于这个数本身的数是0，1。
5．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根；有理数的减法法则
【解析】【解答】解： ∵x2=4，|y|=5，
∴x=，y=，
∵ xy<0 ，
∴x=2，y=-5或x=-2，y=5，
∴ x-y =7或-7，
故答案为：D.
【分析】由平方根及绝对值可求出x、y的值，再根据xy<0确定x、y的值，然后分别代入计算即可.
6．【答案】B
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： A：，结论错误，不符合题意；
B：∵，
∴的算术平方根是，结论正确，符合题意；
C：∵当x=0时，，0 的平方根是0，
∴当x=0时，有平方根，结论错误，不符合题意；
D：∵，3的算术平方根是，
∴该选项结论错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据算术平方根和平方根对每个选项逐一判断求解即可。
7．【答案】A
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】根据题意可得：
S小正方形=129-ab×4=129-×24×4=81，
∴小正方形的边长为，
故答案为：A.
【分析】先求出小正方形的面积，再利用正方形的面积公式求出边长即可.
8．【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：数a的一个平方根是4，
∴a=16，
∴a的另一个平方根是-4．
故答案为：C
【分析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数.
9．【答案】（1）正；相反数
（2）负
（3）0.5
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：(1)正数的平方根有两个，它们互为相反数；
(2)负数没有平方根；
(3)0.25的算术平方根是0.5.
故答案为：(1) 正，相反数；(2)负； (3) 0.5.
【分析】(1) (2)根据平方根的性质即可求得； (3) 根据算术平方根的定义计算即可.
10．【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵一个自然数的算术平方根是a，
∴这个自然数是a2，
∴相邻的下一个自然数为：a2+1，
∴相邻的下一个自然数的算术平方根是： ，
故答案为： ．
【分析】首先利用算术平方根求出这个自然数，然后即可求出相邻的下一个自然数的算术平方根．
11．【答案】4
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是a-1和a+3，
∴a-1+a+3=0，
∴a=-1，
∴这个正数的两个平方根分别是-2和2，
∴这个正数为4，
故答案为：4.
【分析】根据平方根的性质得出a-1和a+3互为相反数，得出a=-1，从而得出这个正数的两个平方根分别是-2和2，即可得出这个正数为4.
12．【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵一个正偶数的算术平方根为m，
∴这个偶数为，
∴下一个正偶数为，
∴下一个正偶数的算术平方根为.
故答案为：.
【分析】根据求解即可.
13．【答案】（1）0.1；10
（2）14.14；0.1414；
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】(1)解：根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；
∴ ， ；
故答案为：0.1，10
( 2 )解：①由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ， ；
故答案为： ，
②由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【分析】（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案；（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；（3）利用（1）中的规律，求出 的值，然后得到整数x，即可得到答案.
14．【答案】解：设所写的数为x，
当4是另外两个数的乘积的一个平方根时，
可得42=9x，
解得x=；
当9是另外两个数的乘积的一个平方根时，
可得92=4x，
解得x=；
当x是另外两个数的乘积的一个平方根时，
可得x2=9×4，
解得x=±6，
∴所有满足已知条件的数为6，-6，，.
【知识点】平方根
【解析】【分析】设所写的数为x，根据平方根的定义分三种情况：①当4是另外两个数的乘积的一个平方根时，②当9是另外两个数的乘积的一个平方根时，③当x是另外两个数的乘积的一个平方根时，分别列出方程，求解可得答案.
15．【答案】解：∵2m-4与3m-1是一个正数的平方根，
∴2m-4+3m-1=0，或2m-4=3m-1
解得m=1或m=-3
∵ a2x-3b8与3a7b5+y是同类项，
∴2x- 3=7，5+y=8，解得 x=5，y=3．
∴m+x+y=1+5+3=9或-3+5+3=5
所以m+x+y的算术平方根为3或 ．
【知识点】平方根；算术平方根；同类项的概念
【解析】【分析】利用一个正数有两个平方根，它们互为相反数，可得到关于m的方程，解方程求出m的值；再利用同类项中相同字母的指数相等，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；然后将m，x，y的值分别代入代数式进行计算，可m+x+y的算术平方根.
16．【答案】（1）两；一
（2）
（3）
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】（1）∵，，
∴被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位，
故答案为：两，一；
（2）
∵
∴
故答案为：12.25；
(3)∵
∴
故答案为：
【分析】（1）观察题目即可得到答案；
（2）（3）根据（1）的规律进行求解即可．
17．【答案】（1）0.04；0.4；4；40
（2）84.85；0.02683；3800
（3）解：当0＜a＜1时， ＞a；
当a=1或0时， ＝a；
当a＞1时， ＜a．
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】(1)填表如下：
a 0.0016 0.16 16 1600
0.04 0.4 4 40
规律：当被开方数的小数点每向左(或向右)移动2位，算术平方根的小数点向左(或向右)移动1位；(2)①由 ，观察72和7200，小数点向右移动了4位，则8.485的小数点向右移动1位得到84.85， 即 =84.85；
由 =2.683，观察7.2和0.00072，小数点向左移动了4位，则2.683的小数点向左移动2位得到 0.02683，即 =0.02683，
故答案为：84.85，0.02683；②观察6.164和61.64，小数点向右移动了1位，则38的小数点向右移动2位，得到3800，即x=3800，故答案为：3800；
【分析】(1)利用开平方运算的法则先计算出表格中的值，再从值上总结出小数点变化的规律；(2)利用上边总结的小数点变化的规律，求①②小题即可；(3)先求出两数再比较即可解决问题．
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