2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 6.3 实数同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2017七下·路北期末）在﹣2， ， ，3.14， ， ，这6个数中，无理数共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】根据无理数的定义可得，是无理数.
故答案为：C.
【分析】要确定题目中的无理数，在明确无理数的定义的前提下，知道无理数分为3大类：π类，开方开不尽的数，无限不循环的小数，根据这3类就可以确定无理数的个数．从而得到答案．
2．（2019七下·陆川期末）能与数轴上的点一一对应的是（ ）
A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【分析】实数与数轴上的点一一对应，故选D.
【点评】本题属于对数轴的基本知识的理解以及运用
3．比较2， ， 的大小，正确的是（ ）
A．2< < B．2< < C． <2< D． < <2
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵1＜＜2，2＜＜3
∴＜2＜
故答案为：C
【分析】根据题意判断和分别在哪两个整数之间，即可判断它们的大小。
4．（2021七下·潼南期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵当x=64时， ， ，2是有理数，
∴当x=2时，算术平方根为 是无理数，
∴y= ，
故答案为：A.
【分析】当x=64时，求算术平方根，再判断其算术平方根是否为无理数，然后不断求算术平方根，直到其算术平方根是无理数为止.
5．（2020七下·武隆月考）一个正方体的水晶砖，体积为100cm3 ， 它的棱长大约在（ ）
A．4cm~5cm之间 B．5cm~6cm之间 C．6cm~7cm之间 D．7cm~8cm之间
【答案】A
【知识点】立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【解答】∵正方体的体积为棱长的立方
∴棱长=
∵<
<
∴4<
<5
选A
【点评】本题只要考查立方根的知识，主要找立方最接近于100的两个正整数出来即出来答案。
6．（2023七下·良庆期末）如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，且，则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，且，
∴OA=1，AC=AB=-1，
∴OC=OA-AC=1-（-1）=2-，
∴点C所表示的数为2-，
故答案为：B.
【分析】根据题意得出OA=1，AC=AB=-1，从而得出OC=2-，即可得出点C所表示的数为2-.
7．（2023七下·长沙期末）黄金分割数是一个很奇妙的数，它大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面．请你估算黄金分割数的分子－1的值所在的范围是（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据，求出，再求出即可.
8．（2021七下·厦门期末）若m＝5n（m、n是正整数），且 ，则与实数 的最大值最接近的数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ，
，
，
即 ，
又 、 是正整数，
的最大值为28，
比36更接近28，
的值比较接近 ，即比较接近5.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件，可得到m的取值范围，利用m=5n，可求出n的取值范围，然后利用估算无理数的大小，可得答案.
二、填空题
9．（2023七下·乌鲁木齐期中）比较大小： 6．（填“”“”或“”）
【答案】<
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：＜
【分析】根据估算无理数的大小结合题意即可求解。
10．（2017七下·自贡期末）已知 为两个连续的整数，且 ，则 = .
【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ < < ，
∴3< <4；
故a=3，b=4；
所以a+b=7.
故答案为7.
11．（2023七下·昆明期末）如图，半径为个单位长度的圆沿数轴从实数对应的点向右滚动一周，圆上的点恰好与点重合，则点对应的实数是 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵圆滚动一周经过的距离等于圆的周长，
∴圆的周长=，
∴点B对应的实数是，
故答案为：.
【分析】先求出圆的周长，可得AB的长，再求出点B表示的数即可.
12．（2023七下·鞍山期末）如图，半径为的圆放在数轴上，点表示的数是，将圆沿数轴向左侧转动一周，点转动后表示的数是 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由题意得，圆的半径为1，
则圆的周长为2×π×1=2π，
∵点A表示2，
∴点A向左转动一周后表示的数为2-2π；
故答案为：2-2π.
【分析】先计算出圆的周长2πr，再求点A向左转动一周后表示的数即可.
13．（2021七下·河西期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案39，邻座的乘客忙问计算的奥妙
（1）下面是探究 的过程，请补充完整：
①由103=1000，1003=1000000，可以确定 是两位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定 的个位上的数是9：
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，44=64，可以确定 的十位上的数是 ；由此求得 =39
（2）已知103823也是一个整数的立方，请你用类似的方法求 =
【答案】（1）3
（2）47
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：（1）如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，44=64，可以确定 的十位上的数是3；由此求得 =39.
（2）∵103=1000，1003=1000000，可以确定是两位数；
∵103823的个位上的数是3，可以确定的个位上的数是7：
如果划去103823后面的三位823得到数103，而43=64，53=125，可以确定的十位上的数是4；由此求得=47.
故答案为：（1）3；（2）47.
【分析】（1）根据33=27<59<64=43就可确定的十位数字；
（2）根据（1）的步骤进行解答即可.
三、解答题
14．（2023七下·朝天期末）已知的平方根是，的立方根是，的算术平方根是．
（1）求的值；
（2）如果，其中是整数，且，求
【答案】（1）解：的平方根是，的立方根是，
，，
，，
，
；
（2）解：，
是整数，
是无理数，
，
的整数部分是，小数部分是，
，
，，
．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；实数的运算
【解析】【分析】本题考查平方根的意义、立方根的意义、算术平方根和代数式求值。平方根的平方是原数，立方根的立方是原数，平方根中正的平方根是算术平方根。（1） 根据的平方根是，的立方根是，可知：，，解得，，则，根据 的算术平方根是 可得；
（2）由a+b=5+， a是整数，且 可知，得，，则 ．
15．（2023七下·通榆期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
（1）求a和x的值；
（2）化简：
【答案】（1）解：由题意，得，
解得．
∴；
（2）解：原式
=1
【知识点】平方根；实数的运算
【解析】【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，即可列出关于a的方程，从而解出a的值，再根据平方根的定义可求出x的值.
（2）把（1）中的a和x的值代入式子，接着根据绝对值的性质进行化简，最后按实数的运算法则计算即可.
四、综合题
16．（2023七下·铁西期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根为2，是的整数部分，
（1）求a、b、c的值．
（2）求的立方根．
【答案】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴；
∵的算术平方根为2，
∴，
∴；
∵，
∴的整数部分，
∴．
（2）解：，
∴的立方根是．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【分析】（1）根据平方根、算术平方根、估算无理数的大小即可求解；
（2）根据立方根结合题意即可求解。
17．（2023七下·五华期末）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走，共轭即为按一定规律相配的一对，在数学中有共轭复数，共轭根式，共轭双曲线，共轭矩阵等．共轭实数的定义：把形如 和（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
在学习了第六章《实数》后，数学兴趣小组设计了如下问题：
（1）根据共轭实数的定义我们可以判定：与不是共轭实数，与是共轭实数，请分别说明理由
（2）请你设计并写出一对共轭实数 与 ；
（3）小明发现共轭实数与的运算结果（和、差、积、商等）都有一定的规律，请你求出（1）中那对共轭实数的和与差。
【答案】（1）解：根据共轭实数的定义：把形如 和（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数，所以构成一对共轭实数的条件是有理数部分相等，无理数部分互为相反数．
∵与的无理数部分与并不构成相反数，
∴与不是共轭实数．
∵与的无理数部分与构成相反数，
∴与是共轭实数．
（2）；
（3）解：该对共轭实数的和为：；
该对共轭实数的差为： ．
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】(1) 根据共轭实数的定义：把形如 和（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数，所以构成一对共轭实数的条件是有理数部分相等，无理数部分互为相反数，判断即可；
（2）根据共轭实数的定义举例即可；
（3）根据共轭实数的表达式分别计算它们的和与差即可.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 6.3 实数同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2017七下·路北期末）在﹣2， ， ，3.14， ， ，这6个数中，无理数共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2019七下·陆川期末）能与数轴上的点一一对应的是（ ）
A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数
3．比较2， ， 的大小，正确的是（ ）
A．2< < B．2< < C． <2< D． < <2
4．（2021七下·潼南期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2020七下·武隆月考）一个正方体的水晶砖，体积为100cm3 ， 它的棱长大约在（ ）
A．4cm~5cm之间 B．5cm~6cm之间 C．6cm~7cm之间 D．7cm~8cm之间
6．（2023七下·良庆期末）如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，且，则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·长沙期末）黄金分割数是一个很奇妙的数，它大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面．请你估算黄金分割数的分子－1的值所在的范围是（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
8．（2021七下·厦门期末）若m＝5n（m、n是正整数），且 ，则与实数 的最大值最接近的数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
9．（2023七下·乌鲁木齐期中）比较大小： 6．（填“”“”或“”）
10．（2017七下·自贡期末）已知 为两个连续的整数，且 ，则 = .
11．（2023七下·昆明期末）如图，半径为个单位长度的圆沿数轴从实数对应的点向右滚动一周，圆上的点恰好与点重合，则点对应的实数是 ．
12．（2023七下·鞍山期末）如图，半径为的圆放在数轴上，点表示的数是，将圆沿数轴向左侧转动一周，点转动后表示的数是 ．
13．（2021七下·河西期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案39，邻座的乘客忙问计算的奥妙
（1）下面是探究 的过程，请补充完整：
①由103=1000，1003=1000000，可以确定 是两位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定 的个位上的数是9：
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，44=64，可以确定 的十位上的数是 ；由此求得 =39
（2）已知103823也是一个整数的立方，请你用类似的方法求 =
三、解答题
14．（2023七下·朝天期末）已知的平方根是，的立方根是，的算术平方根是．
（1）求的值；
（2）如果，其中是整数，且，求
15．（2023七下·通榆期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
（1）求a和x的值；
（2）化简：
四、综合题
16．（2023七下·铁西期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根为2，是的整数部分，
（1）求a、b、c的值．
（2）求的立方根．
17．（2023七下·五华期末）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走，共轭即为按一定规律相配的一对，在数学中有共轭复数，共轭根式，共轭双曲线，共轭矩阵等．共轭实数的定义：把形如 和（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
在学习了第六章《实数》后，数学兴趣小组设计了如下问题：
（1）根据共轭实数的定义我们可以判定：与不是共轭实数，与是共轭实数，请分别说明理由
（2）请你设计并写出一对共轭实数 与 ；
（3）小明发现共轭实数与的运算结果（和、差、积、商等）都有一定的规律，请你求出（1）中那对共轭实数的和与差。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】根据无理数的定义可得，是无理数.
故答案为：C.
【分析】要确定题目中的无理数，在明确无理数的定义的前提下，知道无理数分为3大类：π类，开方开不尽的数，无限不循环的小数，根据这3类就可以确定无理数的个数．从而得到答案．
2．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【分析】实数与数轴上的点一一对应，故选D.
【点评】本题属于对数轴的基本知识的理解以及运用
3．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵1＜＜2，2＜＜3
∴＜2＜
故答案为：C
【分析】根据题意判断和分别在哪两个整数之间，即可判断它们的大小。
4．【答案】A
【知识点】算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵当x=64时， ， ，2是有理数，
∴当x=2时，算术平方根为 是无理数，
∴y= ，
故答案为：A.
【分析】当x=64时，求算术平方根，再判断其算术平方根是否为无理数，然后不断求算术平方根，直到其算术平方根是无理数为止.
5．【答案】A
【知识点】立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【解答】∵正方体的体积为棱长的立方
∴棱长=
∵<
<
∴4<
<5
选A
【点评】本题只要考查立方根的知识，主要找立方最接近于100的两个正整数出来即出来答案。
6．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，且，
∴OA=1，AC=AB=-1，
∴OC=OA-AC=1-（-1）=2-，
∴点C所表示的数为2-，
故答案为：B.
【分析】根据题意得出OA=1，AC=AB=-1，从而得出OC=2-，即可得出点C所表示的数为2-.
7．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据，求出，再求出即可.
8．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ，
，
，
即 ，
又 、 是正整数，
的最大值为28，
比36更接近28，
的值比较接近 ，即比较接近5.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件，可得到m的取值范围，利用m=5n，可求出n的取值范围，然后利用估算无理数的大小，可得答案.
9．【答案】<
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：＜
【分析】根据估算无理数的大小结合题意即可求解。
10．【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ < < ，
∴3< <4；
故a=3，b=4；
所以a+b=7.
故答案为7.
11．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵圆滚动一周经过的距离等于圆的周长，
∴圆的周长=，
∴点B对应的实数是，
故答案为：.
【分析】先求出圆的周长，可得AB的长，再求出点B表示的数即可.
12．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由题意得，圆的半径为1，
则圆的周长为2×π×1=2π，
∵点A表示2，
∴点A向左转动一周后表示的数为2-2π；
故答案为：2-2π.
【分析】先计算出圆的周长2πr，再求点A向左转动一周后表示的数即可.
13．【答案】（1）3
（2）47
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：（1）如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，44=64，可以确定 的十位上的数是3；由此求得 =39.
（2）∵103=1000，1003=1000000，可以确定是两位数；
∵103823的个位上的数是3，可以确定的个位上的数是7：
如果划去103823后面的三位823得到数103，而43=64，53=125，可以确定的十位上的数是4；由此求得=47.
故答案为：（1）3；（2）47.
【分析】（1）根据33=27<59<64=43就可确定的十位数字；
（2）根据（1）的步骤进行解答即可.
14．【答案】（1）解：的平方根是，的立方根是，
，，
，，
，
；
（2）解：，
是整数，
是无理数，
，
的整数部分是，小数部分是，
，
，，
．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；实数的运算
【解析】【分析】本题考查平方根的意义、立方根的意义、算术平方根和代数式求值。平方根的平方是原数，立方根的立方是原数，平方根中正的平方根是算术平方根。（1） 根据的平方根是，的立方根是，可知：，，解得，，则，根据 的算术平方根是 可得；
（2）由a+b=5+， a是整数，且 可知，得，，则 ．
15．【答案】（1）解：由题意，得，
解得．
∴；
（2）解：原式
=1
【知识点】平方根；实数的运算
【解析】【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，即可列出关于a的方程，从而解出a的值，再根据平方根的定义可求出x的值.
（2）把（1）中的a和x的值代入式子，接着根据绝对值的性质进行化简，最后按实数的运算法则计算即可.
16．【答案】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴；
∵的算术平方根为2，
∴，
∴；
∵，
∴的整数部分，
∴．
（2）解：，
∴的立方根是．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【分析】（1）根据平方根、算术平方根、估算无理数的大小即可求解；
（2）根据立方根结合题意即可求解。
17．【答案】（1）解：根据共轭实数的定义：把形如 和（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数，所以构成一对共轭实数的条件是有理数部分相等，无理数部分互为相反数．
∵与的无理数部分与并不构成相反数，
∴与不是共轭实数．
∵与的无理数部分与构成相反数，
∴与是共轭实数．
（2）；
（3）解：该对共轭实数的和为：；
该对共轭实数的差为： ．
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】(1) 根据共轭实数的定义：把形如 和（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数，所以构成一对共轭实数的条件是有理数部分相等，无理数部分互为相反数，判断即可；
（2）根据共轭实数的定义举例即可；
（3）根据共轭实数的表达式分别计算它们的和与差即可.
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