2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.1 二次根式同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2021·栖霞模拟）化简 的结果是（ ）
A．-4 B．4 C．±4 D．2
2．（2023·金华）要使有意义，则的值可以是（ ）
A．0 B．-1 C．-2 D．2
3．（2020·绥化）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·正定期中）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·娄底） 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
A． B． C．10 D．4
6．式子 + 有意义，则点P（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2023九上·苍南模拟）已知实数a满足+=a，那么a-的值是（ ）
A．2023 B．-2023 C．2024 D．-2024
8．（2023八上·兴县月考）已知△ABC的三边长a，b，c满足等式，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
二、填空题
9．（2020八上·浦东期中）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
10．（2016·湘西）使代数式 有意义的x取值范围是 ．
11．（2023八上·昌平期中）如果，则的值为 .
12．（2017八下·临洮期中）若 ，则m﹣n的值为 ．
13．（2023八上·闵行期中）a、b、c是△ABC的三条边，化简
三、解答题
14．（2023八下·朝天期末）已知的三边长分别为，，．
（1）化简：；
（2）若，满足，且，判断此三角形的形状，并说明理由．
15．（2023八上·栾城期中）实数与满足.
（1）写出与的取值范围；
（2）已知是有理数，
①当是正整数时，求的值；
②当是整数时，若将符合条件的的值从大到小排列，求排在第3个位置和第11个位置的.
四、综合题
16．（2023八下·望城期末）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根；
（2）若，的算术平方根是5，求的平方根．
17．（2023七下·云南期末）在平面直角坐标系中，，且．
（1）求A、B的坐标；
（2）过点C作的平行线交x轴于点D，若，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =4，
故答案为：B.
【分析】利用二次根式的性质：，据此可求解.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-2≥0，
解得x≥2，
所以A、B、C三个选项都不符合题意，只有选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，求解得出x的取值范围，从而即可一一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A. ，本选项不成立；
B. ，本选项不成立；
C. = ，本选项不成立；
D. ，本选项成立.
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断．
4．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：x-2>0，
解得：x>2，
故答案为：D.
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式（组）求解即可。
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解： 是三角形的三边，
，
解得： ，
，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的三边关系，可得，然后根据二次根式的性质求解即可.
6．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；点的坐标
【解析】【解答】解：由题意得，﹣a≥0，﹣ab＞0，
解得，a＜0，b＞0，
则P（a，b）在第二象限，
故选：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a、b的符号，根据点的坐标的性质解答即可．
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵+ =a
∵a-2024≥0
∴a≥2024，2023-a＜0
∴a-2023+a-2024=a ∴ a-2024=2023
∴a-2024=20232
∴a=20232+2024，a-20242=2024+20232-20242
∴a-20242=2024+(2023+2024)(2023-2024）
∴a-20242=2024-(2023+2024)=-2023
故答案为：B.
【分析】二次根式具有双重非负性，被开方数大于等于0，故a-2024≥0，可推得2023-a＜0，负数绝对值是其相反数，故=a-2023，所以原式变为a-2023+a-2024=a，a-2024=2023
，两边平方为a-2024=20232，根据题目要求的结果可化为a-20242=2024+20232-20242，利用平方差公式可得a-20242=-2023.
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴a-b=0，2a-b-3=0，c-3=0，
∴a=3，b=3，c=3，
∴△ABC为等边三角形，
故答案为：D
【分析】根据非负性即可得到a、b和c的长，进而根据等边三角形的判定即可求解。
9．【答案】x≥5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式x 5在实数范围内有意义，必须x 5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，进行求解即可。
10．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数．
11．【答案】49
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵2-x≥0 x-2≥0 ∴x=2 则 y=7 ∴ yx =49 故答案为：49 。
【分析】根据二次根式的非负性，2-x≥0 x-2≥0 ，求出y=7，即可解答。
12．【答案】4
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： ．
则m﹣n=3=（﹣1）=4．
故答案是：4．
【分析】根据任何非负数的平方根以及偶次方都是非负数，两个非负数的和等于0，则这两个非负数一定都是0，即可得到关于m．n的方程，从而求得m，n的值，进而求解．
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由已知得，
，
，
，
、、是的三条边，
原式，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质，三角形三边关系的应用求解。根据已知条件，，已知、、是的三条边，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知．
14．【答案】（1）解： ∵是的三边长，
∴，
∴，
∴
（2）解： ∵，
∴．
∵，即，
∴是直角三角形．
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系得a-b-c﹤0，再二次根式和绝对值的性质即可化简.
（2）先根据二次根式有意义的条件可得a=5，代入原式可得b=13，再利用勾股定理逆定理即可得出结论.
15．【答案】（1）解：由题可知：，解得：，；
（2）解：①，且是正整数时，
可以取1，2，3，4，
又
的对应值分别为：，，，
又是有理数，
或0；
②是有理数，是整数，
是的整数倍，
可能取值为：4，3，2，1，0，，，，，
的对应值为：0，1，，，，，，，，
是的整数倍，
，，，
第3个数，第11个数，
又
即4-a或，解得：或-296，
综上，第3个位置上的，第11个位置上的.
【知识点】无理数的大小比较；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质及等式性质可列出不等式组，解不等式组即可求出答案；
（2）①根据正整数的定义可得a取1，2，3，4，则b的对应值分别为：，，，再根据有理数的定义即可求出答案.
②根据有理数，整数的性质可得b是的整数倍，则，，，，所以第3个数，第11个数，根据，即4-a或，解得：或-296，即可求出答案.
16．【答案】（1）解：由题意知，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的立方根为；
（2）解：由，解得，
∴．
∵的算术平方根是5，
∴，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义结合题意即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件结合算术平方根即可求解。
17．【答案】（1）解：由题意可得
∴，
∴．
（2）解：∵A、B两点的横坐标相同，
∴轴，，
∵，
∴，
解得：，
∴m的值为0或8．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】本题考查算式平方根的非负性和点坐标的应用。（1）由 可知a、b的值.（2）A、B横坐标相同，则AB∥y轴，AB=3，而CD∥AB，点D到AB的距离是，根据=×AB×=6.可得m的值.
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一、选择题
1．（2021·栖霞模拟）化简 的结果是（ ）
A．-4 B．4 C．±4 D．2
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =4，
故答案为：B.
【分析】利用二次根式的性质：，据此可求解.
2．（2023·金华）要使有意义，则的值可以是（ ）
A．0 B．-1 C．-2 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-2≥0，
解得x≥2，
所以A、B、C三个选项都不符合题意，只有选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，求解得出x的取值范围，从而即可一一判断得出答案.
3．（2020·绥化）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A. ，本选项不成立；
B. ，本选项不成立；
C. = ，本选项不成立；
D. ，本选项成立.
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断．
4．（2023八上·正定期中）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：x-2>0，
解得：x>2，
故答案为：D.
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式（组）求解即可。
5．（2021·娄底） 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解： 是三角形的三边，
，
解得： ，
，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的三边关系，可得，然后根据二次根式的性质求解即可.
6．式子 + 有意义，则点P（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；点的坐标
【解析】【解答】解：由题意得，﹣a≥0，﹣ab＞0，
解得，a＜0，b＞0，
则P（a，b）在第二象限，
故选：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a、b的符号，根据点的坐标的性质解答即可．
7．（2023九上·苍南模拟）已知实数a满足+=a，那么a-的值是（ ）
A．2023 B．-2023 C．2024 D．-2024
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵+ =a
∵a-2024≥0
∴a≥2024，2023-a＜0
∴a-2023+a-2024=a ∴ a-2024=2023
∴a-2024=20232
∴a=20232+2024，a-20242=2024+20232-20242
∴a-20242=2024+(2023+2024)(2023-2024）
∴a-20242=2024-(2023+2024)=-2023
故答案为：B.
【分析】二次根式具有双重非负性，被开方数大于等于0，故a-2024≥0，可推得2023-a＜0，负数绝对值是其相反数，故=a-2023，所以原式变为a-2023+a-2024=a，a-2024=2023
，两边平方为a-2024=20232，根据题目要求的结果可化为a-20242=2024+20232-20242，利用平方差公式可得a-20242=-2023.
8．（2023八上·兴县月考）已知△ABC的三边长a，b，c满足等式，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴a-b=0，2a-b-3=0，c-3=0，
∴a=3，b=3，c=3，
∴△ABC为等边三角形，
故答案为：D
【分析】根据非负性即可得到a、b和c的长，进而根据等边三角形的判定即可求解。
二、填空题
9．（2020八上·浦东期中）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】x≥5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式x 5在实数范围内有意义，必须x 5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，进行求解即可。
10．（2016·湘西）使代数式 有意义的x取值范围是 ．
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数．
11．（2023八上·昌平期中）如果，则的值为 .
【答案】49
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵2-x≥0 x-2≥0 ∴x=2 则 y=7 ∴ yx =49 故答案为：49 。
【分析】根据二次根式的非负性，2-x≥0 x-2≥0 ，求出y=7，即可解答。
12．（2017八下·临洮期中）若 ，则m﹣n的值为 ．
【答案】4
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： ．
则m﹣n=3=（﹣1）=4．
故答案是：4．
【分析】根据任何非负数的平方根以及偶次方都是非负数，两个非负数的和等于0，则这两个非负数一定都是0，即可得到关于m．n的方程，从而求得m，n的值，进而求解．
13．（2023八上·闵行期中）a、b、c是△ABC的三条边，化简
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由已知得，
，
，
，
、、是的三条边，
原式，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质，三角形三边关系的应用求解。根据已知条件，，已知、、是的三条边，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知．
三、解答题
14．（2023八下·朝天期末）已知的三边长分别为，，．
（1）化简：；
（2）若，满足，且，判断此三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解： ∵是的三边长，
∴，
∴，
∴
（2）解： ∵，
∴．
∵，即，
∴是直角三角形．
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系得a-b-c﹤0，再二次根式和绝对值的性质即可化简.
（2）先根据二次根式有意义的条件可得a=5，代入原式可得b=13，再利用勾股定理逆定理即可得出结论.
15．（2023八上·栾城期中）实数与满足.
（1）写出与的取值范围；
（2）已知是有理数，
①当是正整数时，求的值；
②当是整数时，若将符合条件的的值从大到小排列，求排在第3个位置和第11个位置的.
【答案】（1）解：由题可知：，解得：，；
（2）解：①，且是正整数时，
可以取1，2，3，4，
又
的对应值分别为：，，，
又是有理数，
或0；
②是有理数，是整数，
是的整数倍，
可能取值为：4，3，2，1，0，，，，，
的对应值为：0，1，，，，，，，，
是的整数倍，
，，，
第3个数，第11个数，
又
即4-a或，解得：或-296，
综上，第3个位置上的，第11个位置上的.
【知识点】无理数的大小比较；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质及等式性质可列出不等式组，解不等式组即可求出答案；
（2）①根据正整数的定义可得a取1，2，3，4，则b的对应值分别为：，，，再根据有理数的定义即可求出答案.
②根据有理数，整数的性质可得b是的整数倍，则，，，，所以第3个数，第11个数，根据，即4-a或，解得：或-296，即可求出答案.
四、综合题
16．（2023八下·望城期末）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根；
（2）若，的算术平方根是5，求的平方根．
【答案】（1）解：由题意知，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的立方根为；
（2）解：由，解得，
∴．
∵的算术平方根是5，
∴，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义结合题意即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件结合算术平方根即可求解。
17．（2023七下·云南期末）在平面直角坐标系中，，且．
（1）求A、B的坐标；
（2）过点C作的平行线交x轴于点D，若，求m的值．
【答案】（1）解：由题意可得
∴，
∴．
（2）解：∵A、B两点的横坐标相同，
∴轴，，
∵，
∴，
解得：，
∴m的值为0或8．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】本题考查算式平方根的非负性和点坐标的应用。（1）由 可知a、b的值.（2）A、B横坐标相同，则AB∥y轴，AB=3，而CD∥AB，点D到AB的距离是，根据=×AB×=6.可得m的值.
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