2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.1 二次根式同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2021八下·上虞期末）当x=0时，二次根式 的值等于（ ）
A．4 B．2 C．2 D．0
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当x=0时，.
故答案为：B.
【分析】把x=0代入已知二次根式，再利用二次根式性质：，进行化简即可.
2．（2019八下·合肥期中）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
3．（2022·衡阳）如果二次根式 有意义，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
a-1≥0
解之：a≥1.
故答案为：B.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
4．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： 有意义，
，
又
故答案为：D.
【分析】先根据二次根式的意义求出a的取值范围，再根据进而求解.
5．（2012八下·建平竞赛）若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵0＜ ＜1
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据已知条件0＜ x ＜1可得x-10，则=1 x，于是代数式化简的值为2.
6．（2020八下·扬州期中）式子 成立的条件是（ ）
A． ≥3 B． ≤1 C．1≤ ≤3 D．1＜ ≤3
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由二次根式的意义可知x-1＞0，且3-x≥0，
解得1＜x≤3.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的意义和分母不为零的条件，列不等式组求解.
7．（2023九上·德惠月考）如图x在数轴上的位置，则+|x-3|的值为（ ）
A．2-1 B．2+1 C．1 D．5
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据数轴可得：-2∴x+2>0，x-3<0，
∴+|x-3|=|x+2|+|x-3|=x+2+3-x=5，
故答案为：D.
【分析】先利用数轴求出x+2>0，x-3<0，再利用二次根式的性质及绝对值的性质化简求解即可.
8．（2021八上·隆昌期中）已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴ ，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为，两边平方即可求出结论.
二、填空题
9．（2023·黄冈）请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
【答案】8
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵是整数，
∴正整数m的值可能为8.
故答案为：8.
【分析】根据二次根式的性质进行解答.
10．若|a－b＋1|与 互为相反数，则a＝ ，b＝ ．
【答案】－2；－1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵|a-b+1|≥0，≥0，
且|a-b+1|与互为相反数，
∴，
解得：.
故答案为：-2；-1.
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性，|a-b+1|与互为相反数，只能是|a-b+1|与都为0，据此列出方程组，即可求解.
11．（2022八上·郓城月考）计算：＝ ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；积的乘方
【解析】【解答】
=
=
=
=
【分析】本题考查二次根式的简便运算、性质与化简，积的乘方等知识点，注意am·bm=（ab）m的应用.
12．（2021八下·庆云期中）已知，x、y是有理数，且y＝+ ﹣4，则2x+3y的立方根为 ．
【答案】-2
【知识点】立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
∴．
故答案是：﹣2．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可求出x值，再求出y值，从而得解.
13．（2023七下·亳州期末）已知，，则 ．
【答案】1
【知识点】平方根；立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】9和-9的平方是81，a=9或-9；-2的三次方是-8，b=-8，当a=9时，-8-9小于0，二次根式无意义，当a=-9时，-8-（-9）=-8+9=1，1的算术平方根是1。
【分析】81的平方根是互为相反数的2个值，二次根式有意义，根号下要大于等于0.
三、解答题
14．（2023八上·吉林期中）若x，y都是实数，且y= +-8，求5x+13y+25的立方根．
【答案】解：∵x-3≥0，3-x≥0，
∴x-3=0，
∴x=3，
∴y=-8，
∴ 5x+13y+25 =5×3+13×（-8）+25=-64，
∴ 5x+13y+25的立方根是：-4.
【知识点】立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】首先根据二次根式成立的条件，可得x-3=0，进而得出x=3，进而求得y=-8，然后把x，y的值代入代数式 5x+13y+25 求值，进一步求得它的立方根即可。
15．（2023八上·遵化期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点和点，
（1）点表示的数为 ；点B表示的数为 ，线段的长度为 ；
（2）一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，设点表示的数为，
①实数的值为 ▲ ；
②求的值；
（3）在数轴上，还有、两点分别表示，且有与互为相反数，求的平方根。
【答案】（1）；；
（2）解：①；
②
（3）解：因为与互为相反数
所以
因为，
所以
解得或者
当时：没有平方根
当时：
综上，的平方根为
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）
面积为2的正方形
点A表示的数为
故第一空填：
面积为3的正方形
点B表示的数为
故第二空填：
线段AB的长度为
故第三空填：
【分析】（1）理解开方的意义，会在数轴上表示数，会求两点间的距离；
（2）掌握用加减法表示数轴上的点的运动，向右为加，向左是减，会借助数轴提示的正负性给绝对值化简；
（3）根据题意，互为相反数的两个数代数和是0，再根据绝对值和算术平方根的非负性计算出m、n的值，代入求平方根即可。
四、综合题
16．（2023八下·东城期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，
∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当时，求的最小值．
（2）当时，求的最大值．
（3）当时，求的最小值．
【答案】（1）解：当时，，
当时，的最小值是2；
（2）解：当时，，
，
，
当时，的最大值是；
（3）解：，
，
的最小值是8，
的最小值是11，
当时，的最小值是11．
【知识点】二次根式的性质与化简；不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据题意运用二次根式的性质即可求解；
（2）根据题意运用二次根式的性质即可求解；
（3）先根据题意得到，进而运用二次根式的性质结合题意即可求解。
17．（2023八下·肥城期中）阅读理解：阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，，……这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，让式子的分母中不含根式：
例如：；（一）
；（二）
；（三）
以上这种化简的叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．（四）
请解答下列问题：
（1）化简：．
（2）化简：．
（3）猜想：的值．（可直接写出结果）
【答案】（1）解：
（2）解：；
；
（3）
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（3）
．
【分析】（1）根据题意结合平方差公式进行二次根式的有理化和化简即可求解；
（2）根据题意结合平方差公式进行二次根式的有理化和化简即可求解；
（3）根据题意结合平方差公式进行二次根式的有理化和化简即可求解。
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.1 二次根式同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2021八下·上虞期末）当x=0时，二次根式 的值等于（ ）
A．4 B．2 C．2 D．0
2．（2019八下·合肥期中）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
3．（2022·衡阳）如果二次根式 有意义，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2012八下·建平竞赛）若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020八下·扬州期中）式子 成立的条件是（ ）
A． ≥3 B． ≤1 C．1≤ ≤3 D．1＜ ≤3
7．（2023九上·德惠月考）如图x在数轴上的位置，则+|x-3|的值为（ ）
A．2-1 B．2+1 C．1 D．5
8．（2021八上·隆昌期中）已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
二、填空题
9．（2023·黄冈）请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
10．若|a－b＋1|与 互为相反数，则a＝ ，b＝ ．
11．（2022八上·郓城月考）计算：＝ ．
12．（2021八下·庆云期中）已知，x、y是有理数，且y＝+ ﹣4，则2x+3y的立方根为 ．
13．（2023七下·亳州期末）已知，，则 ．
三、解答题
14．（2023八上·吉林期中）若x，y都是实数，且y= +-8，求5x+13y+25的立方根．
15．（2023八上·遵化期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点和点，
（1）点表示的数为 ；点B表示的数为 ，线段的长度为 ；
（2）一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，设点表示的数为，
①实数的值为 ▲ ；
②求的值；
（3）在数轴上，还有、两点分别表示，且有与互为相反数，求的平方根。
四、综合题
16．（2023八下·东城期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，
∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当时，求的最小值．
（2）当时，求的最大值．
（3）当时，求的最小值．
17．（2023八下·肥城期中）阅读理解：阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，，……这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，让式子的分母中不含根式：
例如：；（一）
；（二）
；（三）
以上这种化简的叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．（四）
请解答下列问题：
（1）化简：．
（2）化简：．
（3）猜想：的值．（可直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当x=0时，.
故答案为：B.
【分析】把x=0代入已知二次根式，再利用二次根式性质：，进行化简即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
3．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
a-1≥0
解之：a≥1.
故答案为：B.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： 有意义，
，
又
故答案为：D.
【分析】先根据二次根式的意义求出a的取值范围，再根据进而求解.
5．【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵0＜ ＜1
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据已知条件0＜ x ＜1可得x-10，则=1 x，于是代数式化简的值为2.
6．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由二次根式的意义可知x-1＞0，且3-x≥0，
解得1＜x≤3.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的意义和分母不为零的条件，列不等式组求解.
7．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据数轴可得：-2∴x+2>0，x-3<0，
∴+|x-3|=|x+2|+|x-3|=x+2+3-x=5，
故答案为：D.
【分析】先利用数轴求出x+2>0，x-3<0，再利用二次根式的性质及绝对值的性质化简求解即可.
8．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴ ，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为，两边平方即可求出结论.
9．【答案】8
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵是整数，
∴正整数m的值可能为8.
故答案为：8.
【分析】根据二次根式的性质进行解答.
10．【答案】－2；－1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵|a-b+1|≥0，≥0，
且|a-b+1|与互为相反数，
∴，
解得：.
故答案为：-2；-1.
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性，|a-b+1|与互为相反数，只能是|a-b+1|与都为0，据此列出方程组，即可求解.
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；积的乘方
【解析】【解答】
=
=
=
=
【分析】本题考查二次根式的简便运算、性质与化简，积的乘方等知识点，注意am·bm=（ab）m的应用.
12．【答案】-2
【知识点】立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
∴．
故答案是：﹣2．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可求出x值，再求出y值，从而得解.
13．【答案】1
【知识点】平方根；立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】9和-9的平方是81，a=9或-9；-2的三次方是-8，b=-8，当a=9时，-8-9小于0，二次根式无意义，当a=-9时，-8-（-9）=-8+9=1，1的算术平方根是1。
【分析】81的平方根是互为相反数的2个值，二次根式有意义，根号下要大于等于0.
14．【答案】解：∵x-3≥0，3-x≥0，
∴x-3=0，
∴x=3，
∴y=-8，
∴ 5x+13y+25 =5×3+13×（-8）+25=-64，
∴ 5x+13y+25的立方根是：-4.
【知识点】立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】首先根据二次根式成立的条件，可得x-3=0，进而得出x=3，进而求得y=-8，然后把x，y的值代入代数式 5x+13y+25 求值，进一步求得它的立方根即可。
15．【答案】（1）；；
（2）解：①；
②
（3）解：因为与互为相反数
所以
因为，
所以
解得或者
当时：没有平方根
当时：
综上，的平方根为
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）
面积为2的正方形
点A表示的数为
故第一空填：
面积为3的正方形
点B表示的数为
故第二空填：
线段AB的长度为
故第三空填：
【分析】（1）理解开方的意义，会在数轴上表示数，会求两点间的距离；
（2）掌握用加减法表示数轴上的点的运动，向右为加，向左是减，会借助数轴提示的正负性给绝对值化简；
（3）根据题意，互为相反数的两个数代数和是0，再根据绝对值和算术平方根的非负性计算出m、n的值，代入求平方根即可。
16．【答案】（1）解：当时，，
当时，的最小值是2；
（2）解：当时，，
，
，
当时，的最大值是；
（3）解：，
，
的最小值是8，
的最小值是11，
当时，的最小值是11．
【知识点】二次根式的性质与化简；不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据题意运用二次根式的性质即可求解；
（2）根据题意运用二次根式的性质即可求解；
（3）先根据题意得到，进而运用二次根式的性质结合题意即可求解。
17．【答案】（1）解：
（2）解：；
；
（3）
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（3）
．
【分析】（1）根据题意结合平方差公式进行二次根式的有理化和化简即可求解；
（2）根据题意结合平方差公式进行二次根式的有理化和化简即可求解；
（3）根据题意结合平方差公式进行二次根式的有理化和化简即可求解。
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