2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.1 二次根式同步分层训练培优题
一、选择题
1．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x>－1 C．x≥－1 D．x>1
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数作答．
【解答】根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，解得x≥-1．
故选：C．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．如果代数式 + 有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】先根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知a、b的取值范围，再根据直角坐标系内各象限点的特征确定所在象限．
【解答】∵代数式 +有意义，
∴a≥0且ab＞0，
解得a＞0且b＞0．
∴直角坐标系中点A（a，b)的位置在第一象限．
故选A．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．同时考查了直角坐标系内各象限点的特征
3．已知a=，b=，用含a、b的代数式表示，这个代数式是（ ）
A．a+b B．ab C．2a D．2b
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】通过观察发现正好是和的积，因此=×=ab．
【解答】∵a=，b=；
∴==×=ab．
故本题选B．
【点评】主要考查了二次根式的乘法运算．乘法法则=．
4． 是一个正整数，则n的最小正整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：由 是一个正整数，得
12﹣n=9，
n=3，
故选：C．
【分析】根据算术平方根是正整数，可得被开方数是能开方的正整数．
5．（2023八下·东丽期末）已知，化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
，
∵，
∴，
∴=a--a-=，
故答案为：B.
【分析】先将代数式变形为，再结合判断出，再去掉绝对值，最后合并同类项即可.
6．（2023八下·香河期末）下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】
A：代数式有意义，则需要x-1>0，∴x>1，A不符合；
B：代数式有意义，则需要，∴x≥1，B符合；
C：代数式有意义，则需要x-2≠0，且x-1≥0，∴x≥1且x≠2 ，C不符合；
D：代数式有意义，则需要，且x-1≠0，∴x>1，D不符合。
故答案为：B
【分析】
要使式子有意义，需要满足两个条件：
1.被开方数不应为负数；
2.分式的分母不能为0。
7．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】原式= + = = ，即得C．
【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本．
8．（2021八下·龙口期中）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
二、填空题
9．（2015八下·蓟县期中）已知实数x、y满足 +|y+3|=0，则x+y的值为 ．
【答案】﹣2
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣1=0，y+3=0，
解得x=1，y=﹣3，
所以，x+y=1+（﹣3）=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
10．（2020八下·潮南月考）已知a，b，c为三角形三边，则 = ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】由三角形的三边关系定理得：
则
故答案为： ．
【分析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．
11．（2023八下·沂水期末）观察下列式子：；；；；…；请用字母表示其中的规律 ．
【答案】（a为正整数）
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
规律为： (a为正整数)
证明：
(a为正整数)
【分析】
观察各式中数据的规律，被开方数是一个减法算式，被减数是正整数，减数是一个分数，且分数的分母是这个正整数的平方加1，分子等于这个正整数，根式等于这个分数的算术平方根与这个正整数的乘积。
12．等式 中的括号应填入
【答案】－4xy
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】 = = =
【分析】将等式的左边，根据二次根式的性质变形 | x y | = ，即可得出答案。
13．（2021八下·宜州期中）已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
【答案】2027
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次函数的性质，则
，
当 时， ；
当 时， ；
∴对应的y值的总和是：
=
= ；
故答案为：2027.
【分析】首先对解析式化简可得y=|x-3|+4-x，然后分x≤3，x>3去掉绝对值，据此计算即可.
三、解答题
14．已知 + =0，求 的值.
【答案】解：由原式可得x-3=0，x-y+3=0，故解得x=3，y=6，故xy=18．
【知识点】二次根式有意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】结合二次根式取值的非负性，判断非负与非负的和如果为0，则每一项均为0，从而求得x、y的值，进一步算出xy的取值．
15．（2019八下·中山期中）阅读下面材料，回答问题：
（1）在化简 的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： = = =
小李的化简如下： = = =
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简：① ；② ．
【答案】（1）小李化简正确，小张的化简结果错误．
因为 =| |= ；
（2）①
②原式= = = ﹣1．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据原题的中的被开方数可知，最终的结果应该为正，即可判断正误。
（2）分别将被开方数根据完全平方公式的形式进行展开化简，计算结果即可。
四、综合题
16．（2023八下·夏津期中）著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数：
①： ，②： ，③ ．
（2）根据上述思路，求出的值．
【答案】（1）5；；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：5；；
【分析】（1）直接模仿题目中的例子进行列式即可求解；
（2）将28换为，将7换为，再利用完全平方公式即可求解。
17．（2023八下·大化期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴
∴原式
（1） 【启发应用】
按照上面的解法，试化简；
（2） 【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．
【答案】（1）解：隐含条件解得：，
，
原式
；
（2）解：观察数轴得隐含条件：，，，
，，
原式
；
（3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
，，，
原式
．
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，从而得出x-3＜0，根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知，，，从而得出，，根据二次根式的性质及绝对值进行化简即可；
（3）由三角形的三边关系可得，，，根据二次根式的性质化简即可.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.1 二次根式同步分层训练培优题
一、选择题
1．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x>－1 C．x≥－1 D．x>1
2．如果代数式 + 有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知a=，b=，用含a、b的代数式表示，这个代数式是（ ）
A．a+b B．ab C．2a D．2b
4． 是一个正整数，则n的最小正整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023八下·东丽期末）已知，化简得（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·香河期末）下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（ ）
A． B． C． D．
7．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
8．（2021八下·龙口期中）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
二、填空题
9．（2015八下·蓟县期中）已知实数x、y满足 +|y+3|=0，则x+y的值为 ．
10．（2020八下·潮南月考）已知a，b，c为三角形三边，则 = ．
11．（2023八下·沂水期末）观察下列式子：；；；；…；请用字母表示其中的规律 ．
12．等式 中的括号应填入
13．（2021八下·宜州期中）已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
三、解答题
14．已知 + =0，求 的值.
15．（2019八下·中山期中）阅读下面材料，回答问题：
（1）在化简 的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： = = =
小李的化简如下： = = =
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简：① ；② ．
四、综合题
16．（2023八下·夏津期中）著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数：
①： ，②： ，③ ．
（2）根据上述思路，求出的值．
17．（2023八下·大化期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴
∴原式
（1） 【启发应用】
按照上面的解法，试化简；
（2） 【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数作答．
【解答】根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，解得x≥-1．
故选：C．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】先根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知a、b的取值范围，再根据直角坐标系内各象限点的特征确定所在象限．
【解答】∵代数式 +有意义，
∴a≥0且ab＞0，
解得a＞0且b＞0．
∴直角坐标系中点A（a，b)的位置在第一象限．
故选A．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．同时考查了直角坐标系内各象限点的特征
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】通过观察发现正好是和的积，因此=×=ab．
【解答】∵a=，b=；
∴==×=ab．
故本题选B．
【点评】主要考查了二次根式的乘法运算．乘法法则=．
4．【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：由 是一个正整数，得
12﹣n=9，
n=3，
故选：C．
【分析】根据算术平方根是正整数，可得被开方数是能开方的正整数．
5．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
，
∵，
∴，
∴=a--a-=，
故答案为：B.
【分析】先将代数式变形为，再结合判断出，再去掉绝对值，最后合并同类项即可.
6．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】
A：代数式有意义，则需要x-1>0，∴x>1，A不符合；
B：代数式有意义，则需要，∴x≥1，B符合；
C：代数式有意义，则需要x-2≠0，且x-1≥0，∴x≥1且x≠2 ，C不符合；
D：代数式有意义，则需要，且x-1≠0，∴x>1，D不符合。
故答案为：B
【分析】
要使式子有意义，需要满足两个条件：
1.被开方数不应为负数；
2.分式的分母不能为0。
7．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】原式= + = = ，即得C．
【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本．
8．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
9．【答案】﹣2
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣1=0，y+3=0，
解得x=1，y=﹣3，
所以，x+y=1+（﹣3）=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
10．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】由三角形的三边关系定理得：
则
故答案为： ．
【分析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．
11．【答案】（a为正整数）
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
规律为： (a为正整数)
证明：
(a为正整数)
【分析】
观察各式中数据的规律，被开方数是一个减法算式，被减数是正整数，减数是一个分数，且分数的分母是这个正整数的平方加1，分子等于这个正整数，根式等于这个分数的算术平方根与这个正整数的乘积。
12．【答案】－4xy
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】 = = =
【分析】将等式的左边，根据二次根式的性质变形 | x y | = ，即可得出答案。
13．【答案】2027
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次函数的性质，则
，
当 时， ；
当 时， ；
∴对应的y值的总和是：
=
= ；
故答案为：2027.
【分析】首先对解析式化简可得y=|x-3|+4-x，然后分x≤3，x>3去掉绝对值，据此计算即可.
14．【答案】解：由原式可得x-3=0，x-y+3=0，故解得x=3，y=6，故xy=18．
【知识点】二次根式有意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】结合二次根式取值的非负性，判断非负与非负的和如果为0，则每一项均为0，从而求得x、y的值，进一步算出xy的取值．
15．【答案】（1）小李化简正确，小张的化简结果错误．
因为 =| |= ；
（2）①
②原式= = = ﹣1．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据原题的中的被开方数可知，最终的结果应该为正，即可判断正误。
（2）分别将被开方数根据完全平方公式的形式进行展开化简，计算结果即可。
16．【答案】（1）5；；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：5；；
【分析】（1）直接模仿题目中的例子进行列式即可求解；
（2）将28换为，将7换为，再利用完全平方公式即可求解。
17．【答案】（1）解：隐含条件解得：，
，
原式
；
（2）解：观察数轴得隐含条件：，，，
，，
原式
；
（3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
，，，
原式
．
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，从而得出x-3＜0，根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知，，，从而得出，，根据二次根式的性质及绝对值进行化简即可；
（3）由三角形的三边关系可得，，，根据二次根式的性质化简即可.
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