2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.2 二次根式的乘除同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·恩阳期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七上·柯桥期中）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·长春月考）化简结果是（ ）
A． B． C． D．6
4．（2023九上·德惠月考）计算等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·资中期中）已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·河北期中）下列说法正确的个数是（ ）
①数轴上的点与有理数是——对应的；
②的倒数是；
③是最简二次根式；
④一个实数不是正实数就是负实数；
⑤绝对值小于的整数共有5个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023八上·浦东期中）的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·黄浦期中）下列式子中，是的有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八上·上海市期中）的倒数为 ．
10．（2023八上·崇明期中）的有理化因式是 ．
11．（2023八上·文山月考）写一个无理数，使它与的积是有理数，这个无理数是 ．
12．（2023八上·栾城期中） 已知x＝，y＝，= ．
13．（2023九上·资中期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是 ．
三、解答题
14．（2023九上·贵阳期中）已知矩形的长，宽.
（1）求矩形的周长；
（2）求与矩形等面积的正方形的周长，并比较与矩形周长的大小关系．
15．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在中，，，．
（1）求的面积；
（2）过点A作，垂足为D、求线段的长．
四、综合题
16．（2023八下·莆田期末）某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为，
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
17．（2023七下·惠城期末）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：秒）与细线长度l（单位：m）之间满足关系，
（1）当所花时间为秒时，求此时细线的长度．
（2）当细线的长度为2m时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位，，）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】根据最简二次根式的定义，
A：，含有能开得尽平方的因数，不符合题意
B：，是能开得尽平方的数，不符合题意
C：，根号下有分母，不符合题意
D：，是最简二次根式，符合题意
故选：D
【分析】根据最简二次根式的定义，根号下不含有分母，也不含有有能开得尽平方的因数，才是最简二次根式。
2．【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解： A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质化简，逐项判断即可.
3．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】根据二次根式的乘法性质即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】
∵
∴
故答案为：D
【分析】本题考查二次根式的乘法，熟悉法则及化简是关键，对 进行变形是关键 ，可得结论。
6．【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：数轴上的点与实数是一一对应的，故错误；
的倒数是，故正确；
不是最简二次根式 ，故错误；
一个实数可能是正实数，负实数，还可能是，故错误；
绝对值小于的整数有、、0、1、2，共个，故正确；
故答案为：．
【分析】根据无理数的定义、实数与数轴的定义分别判断。
7．【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：A：所得结果不一定是有理式，故A不符合题意；
B：所得结果不一定是有理式，故B不符合题意；
C：所得结果不一定是有理式，故C不符合题意；
D：所得结果一定是有理式，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据有理化因式的定义进行选择即可。
8．【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】∵∴ 与 ，是互为有理化因式，故A正确；
∵∴ 与 不是互为有理化因式，故B错误；
∵
∴ 与 不是互为有理化因式，故C错误；
∵
∴ 与 不是互为有理化因式，故D错误；
故答案为：A.
【分析】若两个含有二次根式的代数式相乘，乘积不含二次根式，则这两个含有二次根式的代数式叫做互为有理化因式。通过计算可知 的有理化因式。
9．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：的倒数为，
故答案为：．
【分析】先根据倒数的定义表示出其倒数，再进行分母有理化即可．
10．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵·=a-1，
∴的有理化因式是.
故答案为：.
【分析】根据分母有理化的方法求解即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法；有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵，4是有理数，
∴使它与的积是有理数，这个无理数是，
故答案为：.
【分析】根据二次根式的乘法法则计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】分式的加减法；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】x＝，y＝，
【分析】先根据x、y的值求出xy、x+y的值，再将 化简后代入即可求解.
13．【答案】72
【知识点】二次根式的应用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：从图形可知：大正方形的边长=
∴ S阴=S正-27-48=
故阴影部分的面积为72.
【分析】本题考查二次根式的应用与化简计算。先根据图形计算大正方形的边长，再计算其面积，后减去两个小正方形面积，即得阴影面积，注意根式的合并。
14．【答案】（1）解： 矩形的周长=
（2）解：该矩形面积为
与该矩形等面积的正方形的边长为2，
与该矩形等面积的正方形的周长为8，
矩形的周长，
正方形的周长<矩形的周长，
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的应用
【解析】【分析】(1)利用矩形的周长公式结合已知条件进行化简即可求解；
（2）根据已知条件求和求出与矩形等面积的正方形的周长，并与矩形的周长作比较，即可求解.
15．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴的面积；
（2）解：∵的面积，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据“海伦”公式，结合二次根式的性质求解。把，，代入海伦”公式进行计算；
（2）根据三角形的面积公式，结合二次根式的运算求解。由的面积，再建立方程求解．
16．【答案】（1）解：长方形的周长，
答：长方形的周长是；
（2）解：购买地砖需要花费
（元）
答：购买地砖需要花费6600元．
【知识点】二次根式的化简求值；二次根式的应用
【解析】【分析】）（1）已知长方形ABCD的长和宽，对二次根式进行化简，然后求出周长即可；
（2）首先计算出长方形花坛的面积，然后用长方形花坛的面积减去长方形绿地的面积再乘以 50元每平方米 即可求出答案.
17．【答案】（1）解：当时，而，
∴，
解得：；
（2）解：由题可知，
则小重物来回摆动一次所用的时间为；
．
答：小重物来回摆动一次所用的时向约为．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）将t=2π代入t=2π中进行计算即可；
（2）由题意可得l=2m，然后将l=2代入t=2π中进行计算即可.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.2 二次根式的乘除同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·恩阳期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】根据最简二次根式的定义，
A：，含有能开得尽平方的因数，不符合题意
B：，是能开得尽平方的数，不符合题意
C：，根号下有分母，不符合题意
D：，是最简二次根式，符合题意
故选：D
【分析】根据最简二次根式的定义，根号下不含有分母，也不含有有能开得尽平方的因数，才是最简二次根式。
2．（2024七上·柯桥期中）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解： A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质化简，逐项判断即可.
3．（2023九上·长春月考）化简结果是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解.
4．（2023九上·德惠月考）计算等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】根据二次根式的乘法性质即可求出答案.
5．（2023九上·资中期中）已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】
∵
∴
故答案为：D
【分析】本题考查二次根式的乘法，熟悉法则及化简是关键，对 进行变形是关键 ，可得结论。
6．（2023八上·河北期中）下列说法正确的个数是（ ）
①数轴上的点与有理数是——对应的；
②的倒数是；
③是最简二次根式；
④一个实数不是正实数就是负实数；
⑤绝对值小于的整数共有5个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：数轴上的点与实数是一一对应的，故错误；
的倒数是，故正确；
不是最简二次根式 ，故错误；
一个实数可能是正实数，负实数，还可能是，故错误；
绝对值小于的整数有、、0、1、2，共个，故正确；
故答案为：．
【分析】根据无理数的定义、实数与数轴的定义分别判断。
7．（2023八上·浦东期中）的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：A：所得结果不一定是有理式，故A不符合题意；
B：所得结果不一定是有理式，故B不符合题意；
C：所得结果不一定是有理式，故C不符合题意；
D：所得结果一定是有理式，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据有理化因式的定义进行选择即可。
8．（2023八上·黄浦期中）下列式子中，是的有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】∵∴ 与 ，是互为有理化因式，故A正确；
∵∴ 与 不是互为有理化因式，故B错误；
∵
∴ 与 不是互为有理化因式，故C错误；
∵
∴ 与 不是互为有理化因式，故D错误；
故答案为：A.
【分析】若两个含有二次根式的代数式相乘，乘积不含二次根式，则这两个含有二次根式的代数式叫做互为有理化因式。通过计算可知 的有理化因式。
二、填空题
9．（2023八上·上海市期中）的倒数为 ．
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：的倒数为，
故答案为：．
【分析】先根据倒数的定义表示出其倒数，再进行分母有理化即可．
10．（2023八上·崇明期中）的有理化因式是 ．
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵·=a-1，
∴的有理化因式是.
故答案为：.
【分析】根据分母有理化的方法求解即可.
11．（2023八上·文山月考）写一个无理数，使它与的积是有理数，这个无理数是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法；有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵，4是有理数，
∴使它与的积是有理数，这个无理数是，
故答案为：.
【分析】根据二次根式的乘法法则计算求解即可。
12．（2023八上·栾城期中） 已知x＝，y＝，= ．
【答案】
【知识点】分式的加减法；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】x＝，y＝，
【分析】先根据x、y的值求出xy、x+y的值，再将 化简后代入即可求解.
13．（2023九上·资中期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是 ．
【答案】72
【知识点】二次根式的应用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：从图形可知：大正方形的边长=
∴ S阴=S正-27-48=
故阴影部分的面积为72.
【分析】本题考查二次根式的应用与化简计算。先根据图形计算大正方形的边长，再计算其面积，后减去两个小正方形面积，即得阴影面积，注意根式的合并。
三、解答题
14．（2023九上·贵阳期中）已知矩形的长，宽.
（1）求矩形的周长；
（2）求与矩形等面积的正方形的周长，并比较与矩形周长的大小关系．
【答案】（1）解： 矩形的周长=
（2）解：该矩形面积为
与该矩形等面积的正方形的边长为2，
与该矩形等面积的正方形的周长为8，
矩形的周长，
正方形的周长<矩形的周长，
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的应用
【解析】【分析】(1)利用矩形的周长公式结合已知条件进行化简即可求解；
（2）根据已知条件求和求出与矩形等面积的正方形的周长，并与矩形的周长作比较，即可求解.
15．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在中，，，．
（1）求的面积；
（2）过点A作，垂足为D、求线段的长．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴的面积；
（2）解：∵的面积，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据“海伦”公式，结合二次根式的性质求解。把，，代入海伦”公式进行计算；
（2）根据三角形的面积公式，结合二次根式的运算求解。由的面积，再建立方程求解．
四、综合题
16．（2023八下·莆田期末）某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为，
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】（1）解：长方形的周长，
答：长方形的周长是；
（2）解：购买地砖需要花费
（元）
答：购买地砖需要花费6600元．
【知识点】二次根式的化简求值；二次根式的应用
【解析】【分析】）（1）已知长方形ABCD的长和宽，对二次根式进行化简，然后求出周长即可；
（2）首先计算出长方形花坛的面积，然后用长方形花坛的面积减去长方形绿地的面积再乘以 50元每平方米 即可求出答案.
17．（2023七下·惠城期末）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：秒）与细线长度l（单位：m）之间满足关系，
（1）当所花时间为秒时，求此时细线的长度．
（2）当细线的长度为2m时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位，，）
【答案】（1）解：当时，而，
∴，
解得：；
（2）解：由题可知，
则小重物来回摆动一次所用的时间为；
．
答：小重物来回摆动一次所用的时向约为．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）将t=2π代入t=2π中进行计算即可；
（2）由题意可得l=2m，然后将l=2代入t=2π中进行计算即可.
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