2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.2 二次根式的乘除同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·衡山期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·永康期中）化简的正确结果是（ ）
A．±2 B．2 C．-2 D．2
3．（2023九上·绥化期中）如果，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·衡阳月考）已知，在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为A（1，4），B（5，0）．点M、N分别为x轴、y轴上的两个动点．动点P从点A出发以1秒1个单位的速度沿A→N→M到点M，再以1秒个单位的速度从点M运动到点B后停止．则点P运动花费的时间最短为（ ）秒．
A．5 B．4 C．5 D．4
5．（2023八上·从江月考）小明的作业本上有以下四题：①=4a2；②·=5a；③a==；④÷=4.做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（2023八上·洪洞月考）已知a=-1，b=，则a与b的关系（ ）
A．a=b B．ab=1 C．a=-b D．ab=-1
7．（2023七下·江岸期末）若一正方体的表面积为，则此正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021七上·海曙期末）下列说法正确的是（ ）
A． 是分数 B．16的平方根是±4， 即
C．8.30万精确到百分位 D．若 ， 则
二、填空题
9．（2023八上·闵行期中）的有理化因式为 .
10．（2023八上·从江月考）若一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边长是这条直角边长的2倍，则这个直角三角形的面积为 .
11．（2023八上·金山期中）如果，则 ．
12．（2023八上·奉贤期中）不等式的解集是 ．
13．（2023八下·安达期末）已知，，则代数式的值是 ．
三、解答题
14．（2023八上·栾城期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ．
（2）求剩余木料的面积．
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条．
15．（2023九上·苍南模拟）
（1）已知方程①+=，②++=3请判断这两个方程是否有解 并说明理由；
（2）已知+=2023，求的值。
四、综合题
16．（2023八下·大冶期末）请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值.小敏的做法是：根据得，，得：.把作为整体代入：得.即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求代数式的值.
17．（2023八下·呈贡期末）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如：；．
解答下列问题：
（1）的有理化因式是 ，的有理化因式是 ．
（2）观察下面的变形规律，请你猜想： ．
，，…
（3）利用上面的方法，请化简：
．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. =，不是最简二次根式，故A选项不符合题意；
B. ，不是最简二次根式，故B选项不符合题意；
C. =，不是最简二次根式，故C选项不符合题意；
D. ，是最简二次根式，符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据最简二次根式的定义逐一分析判定。最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
2．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
3．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
即：
故答案为：B.
【分析】由二次根式的性质可得到：解此不等式即可求解.
4．【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：如图，作点关于y轴的对称点，
过点B作x轴的垂线，在此垂线上取一点C使，
∴，
连接，交y轴于D，
当点，N，M，C在同一条线上时，最小，最小值为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
中，，
∴，
∴点，
∴的解析式为，
当时，则，
∴，
，，
∴点P运动花费的时间最短为．
故答案为：A.
【分析】先确定出当，N，M，C在同一条直线上时，点P运动时路程最短，最短为，再求直线的解析式，进而求出点M的坐标，利用直角三角形的性质进行计算．
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ：①=4a2，正确，不符合题意；
②·，正确，不符合题意；
③由得a>0，因此，正确，不符合题意；
④，原计算错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质化简，根据二次根式的运算法则计算。
6．【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 解：∵，，
∴a=b.
故答案为：A.
【分析】先把b分母有理化，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a，
∵正方体的表面积为，
∴6a2=18，
解得(负值舍去)
故答案为：A.
【分析】根据正方体的表面积列出关于棱长的方程求解.
8．【答案】D
【知识点】平方根；二次根式的应用；近似数及有效数字；无理数的概念
【解析】【解答】解：A选项，是无理数，A选项不正确；
B选项， 16的平方根是±4， 即 ，B选项不正确；
C选项， 8.30万精确到百位，C选项不正确；
D选项，∵
∴a-2022=0，b+1=0
∴ a=2022，b=-1
∴
D选项正确；
故答案为：D.
【分析】A选项，利用分数的定义，分子分母为互质整数，得出结果；
B选项，利用平方根定义和符号表示，得出结果；
C选项，利用近似数的定义，得出结果；
D选项，利用代数式的非负性，得出结果。
9．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵
∴的一个有理化因式是（合理即可）.
故答案为： .
【分析】根据有理化因式的定义求解．两个二次根式的积是有理式，其中一个二次根式就是另一个二次根式的有理化因式。
10．【答案】10
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：10.
【分析】二次根式乘法法则：二次根式相乘，把它们的被开方数相乘，再化简。
11．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的分母有理化可得的值，从而可得，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可．
12．【答案】
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值；解一元一次不等式
【解析】【解答】
解：
故答案为：
【分析】
先移项，合并同类项化为ax>b的形式，再求出解集。特别要注意移项时符号的变化，不等号方向的变化，及根式的化简。
13．【答案】4
【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：因为，，所以xy=3-1=2，x+y=2，所以=
故答案为：4.
【分析】将代数式通分后，分别求出和的值，再代入求值.
14．【答案】（1），
（2）解：根据题意得：矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积；
（3）解：根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为，
∵，，
∴能截出2×1＝2块这样的木条．
【知识点】平方根；二次根式的应用
【解析】【解答】（1）小正方形的边长为dm；大正方形的边长为dm，
故答案为：；.
【分析】（1）利用正方形的面积及平方根的计算方法求出正方形的边长即可；
（2）先求出矩形的长和宽，再利用矩形的面积公式求解即可；
（3）先求出剩余木料的长和宽，再求解即可.
15．【答案】（1）解：理由是：①由x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023∵x≥2023，∴+的最小值为>，方程①无解
②由 x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024当x≥2024时，
++的最小值为+1<3，：方程有解
（2）解：+=2023 (1)
设=y (2)
由(1)×(2)得到：(3x+2023)-（3x-2023）=2023y∴y=2
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的应用
【解析】【分析】(1)①x+2023与x-2023在有意义的前提下均为单调递增的表达式，因为被开方式为非负数，所以x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023，故x=2023时，x+2023+x-2023的最小值为>，方程①无解.
②x-2022+ x-2023+ x-2024同①理，有意义的前提下为单调递增的表达式，由x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024，故x=2024时，x-2022+ x-2023+ x-2024的最小值为2+1<3，方程②有解.
(2)由 3x+2023+3x-2023=2023，及所求代数式3x+2023-3x-2023的形式，很容易联想到平方差公式（a+b)(a-b)=a2-b2，于是3x+2023-3x-2023=y ，得(3x+2023)-（3x-2023）=2023y，y=2.
16．【答案】（1）解：，，，
，；
（2）解：，，
则，
.
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）将已知条件转化为（x+2）2=5，可得到x2+4x的值，然后整体代入求值即可.
（2）将等式的两边同时平方，可求出x2和x3的值，然后代入代数式进行计算，可求出结果.
17．【答案】（1）；或
（2）
（3）解：利用（2）中的规律，可得：
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】（2）
【分析】 (1)、 根据题中所给的两种互为有理化因式的例子，可写出有理化因式；
(2)、运用平方差公式，可以把复杂的有理化过程变得简单：
(3) 运用 (2) 的结论，用具体数值代替字母，正常代换即可。
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.2 二次根式的乘除同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·衡山期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. =，不是最简二次根式，故A选项不符合题意；
B. ，不是最简二次根式，故B选项不符合题意；
C. =，不是最简二次根式，故C选项不符合题意；
D. ，是最简二次根式，符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据最简二次根式的定义逐一分析判定。最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
2．（2023九上·永康期中）化简的正确结果是（ ）
A．±2 B．2 C．-2 D．2
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
3．（2023九上·绥化期中）如果，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
即：
故答案为：B.
【分析】由二次根式的性质可得到：解此不等式即可求解.
4．（2023九上·衡阳月考）已知，在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为A（1，4），B（5，0）．点M、N分别为x轴、y轴上的两个动点．动点P从点A出发以1秒1个单位的速度沿A→N→M到点M，再以1秒个单位的速度从点M运动到点B后停止．则点P运动花费的时间最短为（ ）秒．
A．5 B．4 C．5 D．4
【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：如图，作点关于y轴的对称点，
过点B作x轴的垂线，在此垂线上取一点C使，
∴，
连接，交y轴于D，
当点，N，M，C在同一条线上时，最小，最小值为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
中，，
∴，
∴点，
∴的解析式为，
当时，则，
∴，
，，
∴点P运动花费的时间最短为．
故答案为：A.
【分析】先确定出当，N，M，C在同一条直线上时，点P运动时路程最短，最短为，再求直线的解析式，进而求出点M的坐标，利用直角三角形的性质进行计算．
5．（2023八上·从江月考）小明的作业本上有以下四题：①=4a2；②·=5a；③a==；④÷=4.做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ：①=4a2，正确，不符合题意；
②·，正确，不符合题意；
③由得a>0，因此，正确，不符合题意；
④，原计算错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质化简，根据二次根式的运算法则计算。
6．（2023八上·洪洞月考）已知a=-1，b=，则a与b的关系（ ）
A．a=b B．ab=1 C．a=-b D．ab=-1
【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 解：∵，，
∴a=b.
故答案为：A.
【分析】先把b分母有理化，即可求解.
7．（2023七下·江岸期末）若一正方体的表面积为，则此正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a，
∵正方体的表面积为，
∴6a2=18，
解得(负值舍去)
故答案为：A.
【分析】根据正方体的表面积列出关于棱长的方程求解.
8．（2021七上·海曙期末）下列说法正确的是（ ）
A． 是分数 B．16的平方根是±4， 即
C．8.30万精确到百分位 D．若 ， 则
【答案】D
【知识点】平方根；二次根式的应用；近似数及有效数字；无理数的概念
【解析】【解答】解：A选项，是无理数，A选项不正确；
B选项， 16的平方根是±4， 即 ，B选项不正确；
C选项， 8.30万精确到百位，C选项不正确；
D选项，∵
∴a-2022=0，b+1=0
∴ a=2022，b=-1
∴
D选项正确；
故答案为：D.
【分析】A选项，利用分数的定义，分子分母为互质整数，得出结果；
B选项，利用平方根定义和符号表示，得出结果；
C选项，利用近似数的定义，得出结果；
D选项，利用代数式的非负性，得出结果。
二、填空题
9．（2023八上·闵行期中）的有理化因式为 .
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵
∴的一个有理化因式是（合理即可）.
故答案为： .
【分析】根据有理化因式的定义求解．两个二次根式的积是有理式，其中一个二次根式就是另一个二次根式的有理化因式。
10．（2023八上·从江月考）若一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边长是这条直角边长的2倍，则这个直角三角形的面积为 .
【答案】10
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：10.
【分析】二次根式乘法法则：二次根式相乘，把它们的被开方数相乘，再化简。
11．（2023八上·金山期中）如果，则 ．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的分母有理化可得的值，从而可得，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可．
12．（2023八上·奉贤期中）不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值；解一元一次不等式
【解析】【解答】
解：
故答案为：
【分析】
先移项，合并同类项化为ax>b的形式，再求出解集。特别要注意移项时符号的变化，不等号方向的变化，及根式的化简。
13．（2023八下·安达期末）已知，，则代数式的值是 ．
【答案】4
【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：因为，，所以xy=3-1=2，x+y=2，所以=
故答案为：4.
【分析】将代数式通分后，分别求出和的值，再代入求值.
三、解答题
14．（2023八上·栾城期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ．
（2）求剩余木料的面积．
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条．
【答案】（1），
（2）解：根据题意得：矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积；
（3）解：根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为，
∵，，
∴能截出2×1＝2块这样的木条．
【知识点】平方根；二次根式的应用
【解析】【解答】（1）小正方形的边长为dm；大正方形的边长为dm，
故答案为：；.
【分析】（1）利用正方形的面积及平方根的计算方法求出正方形的边长即可；
（2）先求出矩形的长和宽，再利用矩形的面积公式求解即可；
（3）先求出剩余木料的长和宽，再求解即可.
15．（2023九上·苍南模拟）
（1）已知方程①+=，②++=3请判断这两个方程是否有解 并说明理由；
（2）已知+=2023，求的值。
【答案】（1）解：理由是：①由x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023∵x≥2023，∴+的最小值为>，方程①无解
②由 x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024当x≥2024时，
++的最小值为+1<3，：方程有解
（2）解：+=2023 (1)
设=y (2)
由(1)×(2)得到：(3x+2023)-（3x-2023）=2023y∴y=2
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的应用
【解析】【分析】(1)①x+2023与x-2023在有意义的前提下均为单调递增的表达式，因为被开方式为非负数，所以x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023，故x=2023时，x+2023+x-2023的最小值为>，方程①无解.
②x-2022+ x-2023+ x-2024同①理，有意义的前提下为单调递增的表达式，由x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024，故x=2024时，x-2022+ x-2023+ x-2024的最小值为2+1<3，方程②有解.
(2)由 3x+2023+3x-2023=2023，及所求代数式3x+2023-3x-2023的形式，很容易联想到平方差公式（a+b)(a-b)=a2-b2，于是3x+2023-3x-2023=y ，得(3x+2023)-（3x-2023）=2023y，y=2.
四、综合题
16．（2023八下·大冶期末）请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值.小敏的做法是：根据得，，得：.把作为整体代入：得.即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求代数式的值.
【答案】（1）解：，，，
，；
（2）解：，，
则，
.
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）将已知条件转化为（x+2）2=5，可得到x2+4x的值，然后整体代入求值即可.
（2）将等式的两边同时平方，可求出x2和x3的值，然后代入代数式进行计算，可求出结果.
17．（2023八下·呈贡期末）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如：；．
解答下列问题：
（1）的有理化因式是 ，的有理化因式是 ．
（2）观察下面的变形规律，请你猜想： ．
，，…
（3）利用上面的方法，请化简：
．
【答案】（1）；或
（2）
（3）解：利用（2）中的规律，可得：
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】（2）
【分析】 (1)、 根据题中所给的两种互为有理化因式的例子，可写出有理化因式；
(2)、运用平方差公式，可以把复杂的有理化过程变得简单：
(3) 运用 (2) 的结论，用具体数值代替字母，正常代换即可。
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