2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.2 二次根式的乘除同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·朝阳月考）下列整数中与的结果最接近的是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．18
2．（2023九上·重庆市开学考） 若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
3．（2023八下·海阳期末） 下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·楚雄期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023八下·南陵期末）按如图所示运算程序，输入，，则输出结果为（ ）
A． B．6 C． D．
6．（2022八上·龙口开学考）甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
7．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
8．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八上·浦东期中）不等式的解集是 ．
10．（2023九上·禄劝开学考）当时，二次根式的值为 ．
11．（2023八上·从江月考）计算（+1）2 021（-1）2 022= .
12．（2020八上·覃塘期末）我们在二次根式的化简过程中得知： ，…，则
13．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
三、解答题
14．（2021八上·彭州开学考）已知 + + +…+ ＝ ，求n的值.
15．（2023八上·竞秀月考）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使，，这样，，那么便有例如：化简
解：首先把化为，这里，；
由于，，即，，
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）.
四、综合题
16．（2023八下·东阳期末）已知二次根式．
（1）求使得该二次根式有意义的的取值范围；
（2）已知是最简二次根式，且与可以合并．
①求的值；
②求与的乘积．
17．（2023八下·江北期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：3＋2＝（1＋）2，善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn．
a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝ ，b＝ ；
（2）若a＋6＝（m＋n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）直接写出式子化简的结果．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据二次根式的乘法法则即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】
=
=
∵，
∴
故答案为B
【分析】本题考查根式的计算和估计无理数的大小。先化简算式，再估计无理数的大小，要注意，要先化成，再确定范围，不可用的范围×2，这样会造成范围的错误。
3．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的最简二次根式的定义逐项判断即可.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；二次根式的乘除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确，符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、平方差公式、同底数幂的乘法及二次根式的乘法计算方法逐项判断即可.
5．【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，即x>y，
∴，
故答案为：A.
【分析】先判断出，再将x、y的值代入计算即可.
6．【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：甲：，故甲正确；
乙：，故乙正确；
故A正确，B、C、D错误；
故答案为：A.
【分析】二次根式的化简，分母有理化。方法一，分子分母同乘分母的有理化因式，然后约分化简；方法二，分子在实数范围内分解因式，然后约分化简。
7．【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
9．【答案】
【知识点】分母有理化；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
∴
∴
∴x＜，
即： 。
故答案为：。
【分析】解不等式求出不等式的解集即可。
10．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：把x=-6代入中，
则
故答案为：4.
【分析】把x值代入二次根式求解即可。
11．【答案】-1
【知识点】二次根式的乘除法；积的乘方
【解析】【解答】解： （+1）2 021（-1）2 022
故答案为：.
【分析】根据积的乘方的逆运算，把它们的指数变成2011，再把它们的底数要乘。
12．【答案】2019
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【解答】
=( …+ )( )
=( )( )
=
=2019.
故答案为：2019
【分析】先利用分母有理化求出第一个括号内的值，再利用平方差公式即可得答案.
13．【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
14．【答案】解：∵
＝
＝
＝ ﹣
∴ + + +…+ ＝ ﹣ + ﹣ +……+ ﹣ ＝1﹣
∴1﹣ ＝ ，
∴n＝2499
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】通过变形可得 - ，则原式可变形为1-＝，据此求解.
15．【答案】（1）解：；
（2）解：
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算，化简式子即可；
（2）同理，利用规律化简即可；
（3）根据化简的规律化简即可。
16．【答案】（1）解：二次根式有意义，
，
解得；
（2）解：，
与能合并，并且是最简二次根式，
，
解得；
由可得．
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；最简二次根式；二次根式的乘除法
【解析】【分析】(1)根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
(2)先化简 ，再根据最简二次根式的定义可知x+2=10，进而解得x的值；
先将x值代入算式，再进行二次根式的乘法运算.
17．【答案】（1）|
（2）解：∵，
，
，
∵a、m、n均为正整数，
∴或，
∴a=16或a=64；
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用
【解析】【解答】（1）
∴ a=，b=2mn
（3）根据（2）方法，则有，则 ，可得m=5，n=2，则
【分析】本题考查材料题新定义。
（1）根据题干可知解题方法，把完全平方展开，等号两边对应项相等可得答案。
（2） a＋6＝（m＋n）2， 将等号右边展开之后，得，a、m、n均为正整数， 可知道，m=3或1，n=1或3，则a=16或64.
（3）依照（2）中方法，可得化简结果。注意.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.2 二次根式的乘除同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·朝阳月考）下列整数中与的结果最接近的是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．18
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据二次根式的乘法法则即可求出答案.
2．（2023九上·重庆市开学考） 若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】
=
=
∵，
∴
故答案为B
【分析】本题考查根式的计算和估计无理数的大小。先化简算式，再估计无理数的大小，要注意，要先化成，再确定范围，不可用的范围×2，这样会造成范围的错误。
3．（2023八下·海阳期末） 下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的最简二次根式的定义逐项判断即可.
4．（2023八下·楚雄期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；二次根式的乘除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确，符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、平方差公式、同底数幂的乘法及二次根式的乘法计算方法逐项判断即可.
5．（2023八下·南陵期末）按如图所示运算程序，输入，，则输出结果为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，即x>y，
∴，
故答案为：A.
【分析】先判断出，再将x、y的值代入计算即可.
6．（2022八上·龙口开学考）甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：甲：，故甲正确；
乙：，故乙正确；
故A正确，B、C、D错误；
故答案为：A.
【分析】二次根式的化简，分母有理化。方法一，分子分母同乘分母的有理化因式，然后约分化简；方法二，分子在实数范围内分解因式，然后约分化简。
7．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
8．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
二、填空题
9．（2023八上·浦东期中）不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】分母有理化；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
∴
∴
∴x＜，
即： 。
故答案为：。
【分析】解不等式求出不等式的解集即可。
10．（2023九上·禄劝开学考）当时，二次根式的值为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：把x=-6代入中，
则
故答案为：4.
【分析】把x值代入二次根式求解即可。
11．（2023八上·从江月考）计算（+1）2 021（-1）2 022= .
【答案】-1
【知识点】二次根式的乘除法；积的乘方
【解析】【解答】解： （+1）2 021（-1）2 022
故答案为：.
【分析】根据积的乘方的逆运算，把它们的指数变成2011，再把它们的底数要乘。
12．（2020八上·覃塘期末）我们在二次根式的化简过程中得知： ，…，则
【答案】2019
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【解答】
=( …+ )( )
=( )( )
=
=2019.
故答案为：2019
【分析】先利用分母有理化求出第一个括号内的值，再利用平方差公式即可得答案.
13．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
三、解答题
14．（2021八上·彭州开学考）已知 + + +…+ ＝ ，求n的值.
【答案】解：∵
＝
＝
＝ ﹣
∴ + + +…+ ＝ ﹣ + ﹣ +……+ ﹣ ＝1﹣
∴1﹣ ＝ ，
∴n＝2499
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】通过变形可得 - ，则原式可变形为1-＝，据此求解.
15．（2023八上·竞秀月考）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使，，这样，，那么便有例如：化简
解：首先把化为，这里，；
由于，，即，，
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）解：；
（2）解：
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算，化简式子即可；
（2）同理，利用规律化简即可；
（3）根据化简的规律化简即可。
四、综合题
16．（2023八下·东阳期末）已知二次根式．
（1）求使得该二次根式有意义的的取值范围；
（2）已知是最简二次根式，且与可以合并．
①求的值；
②求与的乘积．
【答案】（1）解：二次根式有意义，
，
解得；
（2）解：，
与能合并，并且是最简二次根式，
，
解得；
由可得．
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；最简二次根式；二次根式的乘除法
【解析】【分析】(1)根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
(2)先化简 ，再根据最简二次根式的定义可知x+2=10，进而解得x的值；
先将x值代入算式，再进行二次根式的乘法运算.
17．（2023八下·江北期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：3＋2＝（1＋）2，善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn．
a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝ ，b＝ ；
（2）若a＋6＝（m＋n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）直接写出式子化简的结果．
【答案】（1）|
（2）解：∵，
，
，
∵a、m、n均为正整数，
∴或，
∴a=16或a=64；
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用
【解析】【解答】（1）
∴ a=，b=2mn
（3）根据（2）方法，则有，则 ，可得m=5，n=2，则
【分析】本题考查材料题新定义。
（1）根据题干可知解题方法，把完全平方展开，等号两边对应项相等可得答案。
（2） a＋6＝（m＋n）2， 将等号右边展开之后，得，a、m、n均为正整数， 可知道，m=3或1，n=1或3，则a=16或64.
（3）依照（2）中方法，可得化简结果。注意.
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