2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.3 二次根式的加减同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2019八下·璧山期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．最简二次根式 与 是能够合并的二次根式，则x的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0
3．（2023九上·禄劝开学考）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·石家庄期中）陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（ ）
A．+或× B．×或÷ C．+或- D．-或÷
5．（2023·大连）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·临沂）设，则实数m所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020八下·长葛期中）下列二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，能与 合并的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
8．（2023八上·埇桥期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023八上·金山期中）如果和是同类二次根式，那么 （只需写一个）．
10．（2023八上·上海市期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
11．（2023八上·松江期中）若最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
12．（2017·安阳模拟）计算： = ．
13．（2022八上·郓城月考）与最简二次根式3是同类二次根式，则a＝ ．
三、解答题
14．（2023八上·期中）计算
（1）；
（2）
（3）
（4）.
15．（2023八上·济阳期中）观断；
==
==
（1）化简：①= ；
②= ；
（2）比较大小： ；
（3）计算：+++...+.
四、综合题
16．（2023八下·澄海期末）已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
17．（2023八下·中阳期末）
（1）计算：．
（2）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
解：原式第一步
第二步
第三步
任务一：以上步骤中，从第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ ．
任务二：请写出正确的计算过程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】A. 与 不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B. = ，故不符合题意；
C. = = ，故符合题意；
D. ，故不符合题意。
故答案为：C.
【分析】（1）根据二次根式的加减法则，同类二次根式才能合并，而不是同类二次根式，不能合并；
（2）根据二次根式的性质，先将带分数化成假分数，然后再根据化简即可；
（3）由题意先将化简，再合并同类二次根式即可求解；
（4）根据二次根式的双重非负性可求解，即原式=-2.
2．【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】
解：∵最简二次根式 与 是能够合并的二次根式
∴ 2+x=5-2x
整理得：3x=3
解得：x=1
故答案为：A.
【分析】本题考查同类二次根式，把二次根式化成最简后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此可得2+x=5-2x，求解即可。
3．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、不能进行运算，故不符合题意。
B、，因此错误，故不符合题意。
C、，因此错误，故不符合题意。
D、 ，正确，故符合题意。
故答案为D：
【分析】根据二次根式的运算法则求解即可。
4．【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：观察两个括号，可以发现：和相乘，能够利用平方差公式，结果是有理数，排除C和D，由于与互为相反数，相加，和为0，是有理数，排除B和D。
故答案为：A。
【分析】根据二次根式运算法则，结合平方差公式和相反数的性质求解。
5．【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、()0=1，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据0指数幂的运算性质可判断A；根据二次根式的加法法则可判断B；根据二次根式的性质可判断C；根据二次根式的混合运算法则可判断D.
6．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再求出，最后求解即可。
7．【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：①② 不能化简，③④
与 是同类二次根式，能合并，
故答案为：C.
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，可得到与合并的二次根式，由此可得答案.
8．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵不是同类项二次根式，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的乘除法及二次根式的减法及二次根式的混合运算的计算方法逐项分析求解即可.
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵，和是同类二次根式，
∴，
解得：，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据同类二次根式的定义列式计算，熟练掌握其定义是解题的关键，本题答案不唯一，符合题意即可．
10．【答案】1
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：1。
【分析】利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论．
11．【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴2x+3=9-x，
∴3x=6，
∴x=2.
故答案为：2.
【分析】根据同类二次根式的定义，列式进行计算即可。
12．【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式= = =2．
故答案为：2．
【分析】先将各个二次根式化简，再进行运算就可求出结果。
13．【答案】4
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】
∵与最简二次根式3是同类二次根式
∴ a-2=2
解得a=4
故答案为4
【分析】本题考查同类二次根式。 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。根据与最简二次根式3是同类二次根式可知 a-2=2，可得a=4.
14．【答案】（1）解：原式＝（1×1÷3×）
（2）解：原式＝＝6-7＝-1
（3）解：原式＝
（4）解：原式＝
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法计算；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算，先算乘法和除法，再算加减法；
（3）利用多项式除以单项式的法则，结合二次根式的除法法则和加减法法则计算；
（4）根据二次根式的混合运算法则计算。先算乘除法，再算加减法。
15．【答案】（1）；
（2）<
（3）解：+++...+.
=－1+++...+
=－1
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）①；
②，
故答案为：；；
（2）∵（-）-（-）=--+<0，
∴-<-，
故答案为：<.
【分析】（1）利用二次根式分母有理化的计算方法分析求解即可；
（2）利用作差法分析求解即可；
（3）先利用二次根式分母有理化的计算方法化简，再计算即可.
16．【答案】（1）解：∵，，
∴，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴
．
【知识点】平方差公式及应用；分式的通分；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减法法则可得x+y、x-y的值，然后根据x2-y2=(x+y)(x-y)进行计算；
（2）利用平方差公式求出xy的值，对待求式通分可得== ，然后代入进行计算.
17．【答案】（1）解：
（2）解：任务一：一；乘除混合运算时，未按照从左到右顺序依次计算；
任务二：
．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）任务一：根据混合运算的顺序可判断得出第一步开始出现错误；任务二：先把乘除运算统一成乘法运算，然后按照先算乘法，再算加减的顺序，进行计算即可。
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一、选择题
1．（2019八下·璧山期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】A. 与 不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B. = ，故不符合题意；
C. = = ，故符合题意；
D. ，故不符合题意。
故答案为：C.
【分析】（1）根据二次根式的加减法则，同类二次根式才能合并，而不是同类二次根式，不能合并；
（2）根据二次根式的性质，先将带分数化成假分数，然后再根据化简即可；
（3）由题意先将化简，再合并同类二次根式即可求解；
（4）根据二次根式的双重非负性可求解，即原式=-2.
2．最简二次根式 与 是能够合并的二次根式，则x的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】
解：∵最简二次根式 与 是能够合并的二次根式
∴ 2+x=5-2x
整理得：3x=3
解得：x=1
故答案为：A.
【分析】本题考查同类二次根式，把二次根式化成最简后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此可得2+x=5-2x，求解即可。
3．（2023九上·禄劝开学考）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、不能进行运算，故不符合题意。
B、，因此错误，故不符合题意。
C、，因此错误，故不符合题意。
D、 ，正确，故符合题意。
故答案为D：
【分析】根据二次根式的运算法则求解即可。
4．（2023八上·石家庄期中）陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（ ）
A．+或× B．×或÷ C．+或- D．-或÷
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：观察两个括号，可以发现：和相乘，能够利用平方差公式，结果是有理数，排除C和D，由于与互为相反数，相加，和为0，是有理数，排除B和D。
故答案为：A。
【分析】根据二次根式运算法则，结合平方差公式和相反数的性质求解。
5．（2023·大连）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、()0=1，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据0指数幂的运算性质可判断A；根据二次根式的加法法则可判断B；根据二次根式的性质可判断C；根据二次根式的混合运算法则可判断D.
6．（2023·临沂）设，则实数m所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的大小比较；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再求出，最后求解即可。
7．（2020八下·长葛期中）下列二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，能与 合并的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：①② 不能化简，③④
与 是同类二次根式，能合并，
故答案为：C.
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，可得到与合并的二次根式，由此可得答案.
8．（2023八上·埇桥期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵不是同类项二次根式，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的乘除法及二次根式的减法及二次根式的混合运算的计算方法逐项分析求解即可.
二、填空题
9．（2023八上·金山期中）如果和是同类二次根式，那么 （只需写一个）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵，和是同类二次根式，
∴，
解得：，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据同类二次根式的定义列式计算，熟练掌握其定义是解题的关键，本题答案不唯一，符合题意即可．
10．（2023八上·上海市期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】1
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：1。
【分析】利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论．
11．（2023八上·松江期中）若最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴2x+3=9-x，
∴3x=6，
∴x=2.
故答案为：2.
【分析】根据同类二次根式的定义，列式进行计算即可。
12．（2017·安阳模拟）计算： = ．
【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式= = =2．
故答案为：2．
【分析】先将各个二次根式化简，再进行运算就可求出结果。
13．（2022八上·郓城月考）与最简二次根式3是同类二次根式，则a＝ ．
【答案】4
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】
∵与最简二次根式3是同类二次根式
∴ a-2=2
解得a=4
故答案为4
【分析】本题考查同类二次根式。 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。根据与最简二次根式3是同类二次根式可知 a-2=2，可得a=4.
三、解答题
14．（2023八上·期中）计算
（1）；
（2）
（3）
（4）.
【答案】（1）解：原式＝（1×1÷3×）
（2）解：原式＝＝6-7＝-1
（3）解：原式＝
（4）解：原式＝
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法计算；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算，先算乘法和除法，再算加减法；
（3）利用多项式除以单项式的法则，结合二次根式的除法法则和加减法法则计算；
（4）根据二次根式的混合运算法则计算。先算乘除法，再算加减法。
15．（2023八上·济阳期中）观断；
==
==
（1）化简：①= ；
②= ；
（2）比较大小： ；
（3）计算：+++...+.
【答案】（1）；
（2）<
（3）解：+++...+.
=－1+++...+
=－1
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）①；
②，
故答案为：；；
（2）∵（-）-（-）=--+<0，
∴-<-，
故答案为：<.
【分析】（1）利用二次根式分母有理化的计算方法分析求解即可；
（2）利用作差法分析求解即可；
（3）先利用二次根式分母有理化的计算方法化简，再计算即可.
四、综合题
16．（2023八下·澄海期末）已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴
．
【知识点】平方差公式及应用；分式的通分；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减法法则可得x+y、x-y的值，然后根据x2-y2=(x+y)(x-y)进行计算；
（2）利用平方差公式求出xy的值，对待求式通分可得== ，然后代入进行计算.
17．（2023八下·中阳期末）
（1）计算：．
（2）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
解：原式第一步
第二步
第三步
任务一：以上步骤中，从第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ ．
任务二：请写出正确的计算过程．
【答案】（1）解：
（2）解：任务一：一；乘除混合运算时，未按照从左到右顺序依次计算；
任务二：
．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）任务一：根据混合运算的顺序可判断得出第一步开始出现错误；任务二：先把乘除运算统一成乘法运算，然后按照先算乘法，再算加减的顺序，进行计算即可。
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