2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.3 二次根式的加减同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八下·长丰期末） 下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·宾阳期末）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2018八下·邯郸开学考）下列根式中，与是同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
4．（2023八下·台山期末）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
5．（2023八下·铜仁期末）估计的结果应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
6．（2019八下·包河期中）下列根式中，与 为同类二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2023八下·苏州工业园期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
8．如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
二、填空题
9．（2021八下·江岸期中）计算： = .
10．（2023八下·景县期末）已知，，则 ， ．
11．（2023八下·安达期末）当x＝ 时，代数式有最小值，其最小值是 ．
12．（2023八下·武清期末）计算的结果等于 ．
13．已知 为有理数， 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，则 .
三、解答题
14．（2023八下·广州期中）已知：，，求代数式的值
15．（2023八下·良庆期末）阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
李聪同学是这样解答的：
∵
．
∴．
这种方法称为“构造对偶式”
已知．求的值．
四、综合题
16．（2023八下·大同期末）
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，．
17．（2023八下·余干期末）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化．
根据上述材料，
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）计算：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：，计算错误；
B：，计算错误；
C：，计算正确；
D：，计算错误；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： A、，选项A计算正确；
B、，选项B计算错误；
C、，选项C计算正确；
D、，选项D计算正确.
故答案为：B.
【分析】本题考查二次根式的运算，首先将每个根式化为最简，再进行运算，根据运算结果判断选项正确与否即可.
3．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【分析】根据二次根式的性质化简各选项的二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答．
【解答】∵=2，=2，=，=3，
∴与是同类二次根式的是．
故选B．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
4．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=
=
∵，5=，6=，且，
∴
∴的值在5和6之间.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的乘法法则及二次根式的性质将被减数化简，再合并同类二次根式得到最简形式，最后再进行无理数的估算即可解题.
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
=
=3+
∵
∴
故答案为C
【分析】本题考查根式的计算和估值。求出算式的值，找出与的两个整数，则可知算式的取值范围。
6．【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】∵
故答案为：A.
【分析】化简二次根式，可根据化简结果选出。
7．【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、和不是同类二次根式，不符合题意；
D、与是同类二次根式，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式）即可判断.
8．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
9．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式=3-1=2.
故答案为：2.
【分析】利用平方差公式进行计算，可求出结果.
10．【答案】12；
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴
即：
【分析】本题考查二次根式的化简和平方差、完全平方的应用，可先求两数和，两数差，对所求式子进行因式分解，代值求解。本题也可直接代入求解。
11．【答案】；0
【知识点】二次根式的定义；二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵
∴其最小值为0，
∴当时，代数式有最小值，其最小值是0，
即当时，代数式有最小值，其最小值是0，
故答案为：，0.
【分析】根据二次根式的取值范围，得：，且当被开方数等于0时，二次根式等于0，据此求解即可.
12．【答案】7
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】，
故答案为：7.
【分析】利用平方差公式及二次根式的性质求解即可.
13．【答案】2.5
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值；二次根式的应用
【解析】【解答】解：因为2＜ ＜3，所以2＜5－ ＜3，故m＝2，n＝5－ －2＝3－ ．
把m＝2，n＝3－ 代入amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b） ＝1，所以6a＋16b＝1且2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5．
所以2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5．
【分析】根据4＜7＜9，得到5-的整数部分m的值和小数部分n的值，把m、n的值代入等式化简，求出a、b的值，得到2a＋b的值.
14．【答案】解：，，
，
，
则原式
．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先求出x+y、xy的值，再将原式化为，然后整体代入计算即可.
15．【答案】由题意得：
；
∵，
∴；
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据构造对偶式的方法求出=21，再把=7代入，即可得出的值.
16．【答案】（1）解：
（2）解：
当，时，
原式
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据零指数幂、完全平方公式、二次根式的乘法进行计算即可求解；
（2）先利用分式加法法则和除法法则化简得到最简结果，再代入字母的值计算即可
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】应用类比模仿的数学思想学习二次根式化简之分母有理化的方法，一类分母只含一个二次根式，第二类是分母是二次根式的和或差。第一类利用分数的基本性质，分子和分母同乘以该二次根式即可，利用达到分母去根号的目的；第二类利用分数的基本性质分子和分母同乘以分母的有理化因式，利用达到分母去根号的目的。（分母不含二次根式）。
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.3 二次根式的加减同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八下·长丰期末） 下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：，计算错误；
B：，计算错误；
C：，计算正确；
D：，计算错误；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
2．（2023八下·宾阳期末）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： A、，选项A计算正确；
B、，选项B计算错误；
C、，选项C计算正确；
D、，选项D计算正确.
故答案为：B.
【分析】本题考查二次根式的运算，首先将每个根式化为最简，再进行运算，根据运算结果判断选项正确与否即可.
3．（2018八下·邯郸开学考）下列根式中，与是同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【分析】根据二次根式的性质化简各选项的二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答．
【解答】∵=2，=2，=，=3，
∴与是同类二次根式的是．
故选B．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
4．（2023八下·台山期末）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=
=
∵，5=，6=，且，
∴
∴的值在5和6之间.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的乘法法则及二次根式的性质将被减数化简，再合并同类二次根式得到最简形式，最后再进行无理数的估算即可解题.
5．（2023八下·铜仁期末）估计的结果应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
=
=3+
∵
∴
故答案为C
【分析】本题考查根式的计算和估值。求出算式的值，找出与的两个整数，则可知算式的取值范围。
6．（2019八下·包河期中）下列根式中，与 为同类二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】∵
故答案为：A.
【分析】化简二次根式，可根据化简结果选出。
7．（2023八下·苏州工业园期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、和不是同类二次根式，不符合题意；
D、与是同类二次根式，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式）即可判断.
8．如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
二、填空题
9．（2021八下·江岸期中）计算： = .
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式=3-1=2.
故答案为：2.
【分析】利用平方差公式进行计算，可求出结果.
10．（2023八下·景县期末）已知，，则 ， ．
【答案】12；
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴
即：
【分析】本题考查二次根式的化简和平方差、完全平方的应用，可先求两数和，两数差，对所求式子进行因式分解，代值求解。本题也可直接代入求解。
11．（2023八下·安达期末）当x＝ 时，代数式有最小值，其最小值是 ．
【答案】；0
【知识点】二次根式的定义；二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵
∴其最小值为0，
∴当时，代数式有最小值，其最小值是0，
即当时，代数式有最小值，其最小值是0，
故答案为：，0.
【分析】根据二次根式的取值范围，得：，且当被开方数等于0时，二次根式等于0，据此求解即可.
12．（2023八下·武清期末）计算的结果等于 ．
【答案】7
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】，
故答案为：7.
【分析】利用平方差公式及二次根式的性质求解即可.
13．已知 为有理数， 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，则 .
【答案】2.5
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值；二次根式的应用
【解析】【解答】解：因为2＜ ＜3，所以2＜5－ ＜3，故m＝2，n＝5－ －2＝3－ ．
把m＝2，n＝3－ 代入amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b） ＝1，所以6a＋16b＝1且2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5．
所以2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5．
【分析】根据4＜7＜9，得到5-的整数部分m的值和小数部分n的值，把m、n的值代入等式化简，求出a、b的值，得到2a＋b的值.
三、解答题
14．（2023八下·广州期中）已知：，，求代数式的值
【答案】解：，，
，
，
则原式
．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先求出x+y、xy的值，再将原式化为，然后整体代入计算即可.
15．（2023八下·良庆期末）阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
李聪同学是这样解答的：
∵
．
∴．
这种方法称为“构造对偶式”
已知．求的值．
【答案】由题意得：
；
∵，
∴；
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据构造对偶式的方法求出=21，再把=7代入，即可得出的值.
四、综合题
16．（2023八下·大同期末）
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）解：
（2）解：
当，时，
原式
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据零指数幂、完全平方公式、二次根式的乘法进行计算即可求解；
（2）先利用分式加法法则和除法法则化简得到最简结果，再代入字母的值计算即可
17．（2023八下·余干期末）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化．
根据上述材料，
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）计算：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】应用类比模仿的数学思想学习二次根式化简之分母有理化的方法，一类分母只含一个二次根式，第二类是分母是二次根式的和或差。第一类利用分数的基本性质，分子和分母同乘以该二次根式即可，利用达到分母去根号的目的；第二类利用分数的基本性质分子和分母同乘以分母的有理化因式，利用达到分母去根号的目的。（分母不含二次根式）。
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