2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.3 二次根式的加减同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·定西月考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·石家庄期中） 已知，则代数式的值是（ ）
A．0 B． C． D．
3．（2023八上·浦东期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·长清期中）如图所示，A（2，0），AB＝3，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（3，0） B．（，0） C．（-，0） D．（-3，0）
5．（2023九上·威远期中）若二次根式与可以合并，则的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
6．（2023八上·黄浦期中）下列二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
7．（2022七下·桐城期末）与-3最接近的整数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． 或 C． D．
二、填空题
9．（2023八上·成都期中）化简的结果是 ．
10．（2023八上·闵行期中）不等式的解集是 .
11．（2022八上·济南期中）若最简二次根式与是同类根式，则2a-b＝ ．
12．（2018七下·浦东期中）设m、x、y均为正整数，且 ，则（x+y+m） = .
13．（2019八上·浦东月考）已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2 的值也是整数，那么称（a,b）是2 的一个“理想数对”。如（1，1）使得2 =4，（4，4）使得2 所以（1,1）和（4，4）都是2 的“理想数对”，请你再写出一个2 的“理想数对”： .
三、解答题
14．（2023八上·石家庄期中）如图，面积为的正方形四个角是面积为的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子.
（1）则原来大正方形的边长为 cm；（保留根号）
四个角的小正方形的边长为 cm.（保留根号）
（2）求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少 并将结果精确到 0.01.
提示：
15．（2023八上·成都月考）若实数x，y满足．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求的值．
四、综合题
16．（2023八下·景县期中）观察、发现：====-1
（1）试化简： ；
（2）直接写出：= ；
（3）求值：+++…+ ．
17．（2023八下·任城期中）阅读下面的材料，解决问题：
像、、、……，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：；；
（1）计算： ； ；
（2）计算：；
（3）比较和的大小，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A：故A运算错误，不符合题意；
B：故B运算错误，不符合题意；
C：故C计算正确，符合题意；
D：故D运算错误，不符合题意；故答案为：C.
【分析】利用二次根式的加减运算法则和除法法则进行判断即可求解.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】 ，
=
=
=
=
故答案为：C.
【分析】把x的值代入式子，再根据二次根式的混合运算计算即可求解.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】，，，，
∴与是同类二次根式。
故答案为：C。
【分析】首先化简二次根式，然后再根据同类二次根式的定义进行识别即可。
4．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；点的坐标
【解析】【解答】根据题意可得：AB=AC=，
∵点A的坐标为（，0），
∴OA=，
∴CO=AC-OA=-=，
∴点C的坐标为（，0），
故答案为：C.
【分析】先利用线段的和差求出OC的长，再利用x轴负半轴上点坐标的特征求出点C的坐标即可.
5．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】
解：A：当a=6时，4a-2=22，不是同类根式，不能合并，A不符合；
B：当a=5时，4a-2=18，是同类根式，可以合并，B符合；
C：当a=4时，4a-2=14，不是同类根式，不能合并，C不符合；
D：当a=2时，4a-2=6，不是同类根式，不能合并，D不符合。
故答案为：B
【分析】能够合并，说明两个根式是同类根式，两根式化简后被开方数是相同的。把各选项中的数据代入进行计算判断即可。
6．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】 A：与 ，被开方数分别是3和6不同，不是同类二次根式，故A错误；
B：与 ，被开方数分别是2和3不同，不是同类二次根式，故B错误；
C：与 ，∵被开方数都是2相同，是同类二次根式，故C正确；
D：与 ，被开方数分别是a和2a不同，不是同类二次根式，故D错误；
故答案为：C.
【分析】考查同类二次根式，二次根式化成最简二次根式以后，若被开方数相同就是同类二次根式。
7．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】A、在和之间且更接近前者，即在4与5之间且更接近4，整数部分为4，4-3=1，A不符合题意；B、与A同理，B不符合题意；
C、与A同理，C不符合题意；
D、与A同理，更接近的整数为1，故D符合题意.
故答案为：D
【分析】根式的大小，可以通过夹逼法则确定范围。根式大小的比较，可以比较被开方数的大小。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】设此等腰三角形腰长为 或 ，由三角形的三边关系判断此两个等腰三角形都存在，故其周长为 + = 或 + = ，故选B．
【分析】能够根据题意判断等腰三角形的腰长取值，要求用到三角形三边的数量关系，求解周长要求正确进行根式的加法运算．
9．【答案】1
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：由题意可知x的取值范围为x2，
所以，原式=-（x-2）=x-1-x+2=1。
故答案为：1.
【分析】仔细观察题目可知x的取值范围，然后再去化简原式即可。注意根据x的取值范围来去除绝对值符号。
10．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
∴
故答案为.
【分析】根据一元一次不等式的解法，结合二次根式的混合运算求解。按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可.
11．【答案】9
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴2a-4＝2，3a+b＝a-b，
解得：a＝3，b＝-3．
∴2a-b＝2×3-（-3）＝9．
故答案为：9．
【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义可得2a-4＝2，3a+b＝a-b，再求出a、b的值，最后将a、b的值代入2a-b计算即可。
12．【答案】256
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】两边同时平方得： ，又因为m、x、y均为正整数，所以： ， ；所以 ，又因为 ，即 ；所以 ；所以 =8；所以
所以答案为：256
【分析】等式两边分别完全平方，然后观察两边代数式，无理数部分相等，有理数部分相等，据此列方程组求解即可
13．【答案】（1，4）（此题答案不唯一，见详解）
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】当a=1，b=4时，
2
故成立，
所以答案可以是：（1，4）.
此题答案也可以为（4，1）.
【分析】因为2 的值也是整数，所以要使 、 开的尽，所以a、b必须是一个整数的平方，因为2 的值也是整数， 的化简结果应无分母或者分母为2.
14．【答案】（1）；
（2）解：2.83cm，11.31cm3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积为 ，
大正方形的边长为
小正方形的面积为 ，
小正方形的边长为
（2）长方体盒子的底面边长=
体积=
【分析】（1）根据正方形的面积与边长的关系，利用算术平方根的定义即可求出大正方形和小正方形的边长；
（2）利用长方体的体积公式即可求解.
15．【答案】（1）解：．
∴．
∴①
同理得：②
①＋②得：，∴．
（2）解：把代入①，得，∴．
则
．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先求出，再利用二次根式有理化的计算方法可得，再求出，最后相加并化简可得；
（2）将代入，求出，再将其代入计算即可.
16．【答案】（1）解：原式=
=
=；
（2）
（3）解：由（2）可知：
原式=-1++-+…+-
=-1+
=9．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（2） ；
故答案为：；
【分析】（1）把分子分母同乘，然后计算即可；
（2）把分子分母同乘，然后计算即可；
（3）根据（2）结论将原式化为-1++-+…+- ，再计算加减即可.
17．【答案】（1）；
（2）解：
（3）解： ， ，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）； ；
故答案为：；；
【分析】（1）根据分母有理化进行求解即可；
（2）将各分母进行有理化运算，再合并即可；
（3）先求出各式的倒数，再进行比较即可.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.3 二次根式的加减同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·定西月考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A：故A运算错误，不符合题意；
B：故B运算错误，不符合题意；
C：故C计算正确，符合题意；
D：故D运算错误，不符合题意；故答案为：C.
【分析】利用二次根式的加减运算法则和除法法则进行判断即可求解.
2．（2023八上·石家庄期中） 已知，则代数式的值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】 ，
=
=
=
=
故答案为：C.
【分析】把x的值代入式子，再根据二次根式的混合运算计算即可求解.
3．（2023八上·浦东期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】，，，，
∴与是同类二次根式。
故答案为：C。
【分析】首先化简二次根式，然后再根据同类二次根式的定义进行识别即可。
4．（2023八上·长清期中）如图所示，A（2，0），AB＝3，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（3，0） B．（，0） C．（-，0） D．（-3，0）
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；点的坐标
【解析】【解答】根据题意可得：AB=AC=，
∵点A的坐标为（，0），
∴OA=，
∴CO=AC-OA=-=，
∴点C的坐标为（，0），
故答案为：C.
【分析】先利用线段的和差求出OC的长，再利用x轴负半轴上点坐标的特征求出点C的坐标即可.
5．（2023九上·威远期中）若二次根式与可以合并，则的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】
解：A：当a=6时，4a-2=22，不是同类根式，不能合并，A不符合；
B：当a=5时，4a-2=18，是同类根式，可以合并，B符合；
C：当a=4时，4a-2=14，不是同类根式，不能合并，C不符合；
D：当a=2时，4a-2=6，不是同类根式，不能合并，D不符合。
故答案为：B
【分析】能够合并，说明两个根式是同类根式，两根式化简后被开方数是相同的。把各选项中的数据代入进行计算判断即可。
6．（2023八上·黄浦期中）下列二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】 A：与 ，被开方数分别是3和6不同，不是同类二次根式，故A错误；
B：与 ，被开方数分别是2和3不同，不是同类二次根式，故B错误；
C：与 ，∵被开方数都是2相同，是同类二次根式，故C正确；
D：与 ，被开方数分别是a和2a不同，不是同类二次根式，故D错误；
故答案为：C.
【分析】考查同类二次根式，二次根式化成最简二次根式以后，若被开方数相同就是同类二次根式。
7．（2022七下·桐城期末）与-3最接近的整数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】A、在和之间且更接近前者，即在4与5之间且更接近4，整数部分为4，4-3=1，A不符合题意；B、与A同理，B不符合题意；
C、与A同理，C不符合题意；
D、与A同理，更接近的整数为1，故D符合题意.
故答案为：D
【分析】根式的大小，可以通过夹逼法则确定范围。根式大小的比较，可以比较被开方数的大小。
8．若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】设此等腰三角形腰长为 或 ，由三角形的三边关系判断此两个等腰三角形都存在，故其周长为 + = 或 + = ，故选B．
【分析】能够根据题意判断等腰三角形的腰长取值，要求用到三角形三边的数量关系，求解周长要求正确进行根式的加法运算．
二、填空题
9．（2023八上·成都期中）化简的结果是 ．
【答案】1
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：由题意可知x的取值范围为x2，
所以，原式=-（x-2）=x-1-x+2=1。
故答案为：1.
【分析】仔细观察题目可知x的取值范围，然后再去化简原式即可。注意根据x的取值范围来去除绝对值符号。
10．（2023八上·闵行期中）不等式的解集是 .
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
∴
故答案为.
【分析】根据一元一次不等式的解法，结合二次根式的混合运算求解。按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可.
11．（2022八上·济南期中）若最简二次根式与是同类根式，则2a-b＝ ．
【答案】9
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴2a-4＝2，3a+b＝a-b，
解得：a＝3，b＝-3．
∴2a-b＝2×3-（-3）＝9．
故答案为：9．
【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义可得2a-4＝2，3a+b＝a-b，再求出a、b的值，最后将a、b的值代入2a-b计算即可。
12．（2018七下·浦东期中）设m、x、y均为正整数，且 ，则（x+y+m） = .
【答案】256
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】两边同时平方得： ，又因为m、x、y均为正整数，所以： ， ；所以 ，又因为 ，即 ；所以 ；所以 =8；所以
所以答案为：256
【分析】等式两边分别完全平方，然后观察两边代数式，无理数部分相等，有理数部分相等，据此列方程组求解即可
13．（2019八上·浦东月考）已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2 的值也是整数，那么称（a,b）是2 的一个“理想数对”。如（1，1）使得2 =4，（4，4）使得2 所以（1,1）和（4，4）都是2 的“理想数对”，请你再写出一个2 的“理想数对”： .
【答案】（1，4）（此题答案不唯一，见详解）
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】当a=1，b=4时，
2
故成立，
所以答案可以是：（1，4）.
此题答案也可以为（4，1）.
【分析】因为2 的值也是整数，所以要使 、 开的尽，所以a、b必须是一个整数的平方，因为2 的值也是整数， 的化简结果应无分母或者分母为2.
三、解答题
14．（2023八上·石家庄期中）如图，面积为的正方形四个角是面积为的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子.
（1）则原来大正方形的边长为 cm；（保留根号）
四个角的小正方形的边长为 cm.（保留根号）
（2）求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少 并将结果精确到 0.01.
提示：
【答案】（1）；
（2）解：2.83cm，11.31cm3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积为 ，
大正方形的边长为
小正方形的面积为 ，
小正方形的边长为
（2）长方体盒子的底面边长=
体积=
【分析】（1）根据正方形的面积与边长的关系，利用算术平方根的定义即可求出大正方形和小正方形的边长；
（2）利用长方体的体积公式即可求解.
15．（2023八上·成都月考）若实数x，y满足．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求的值．
【答案】（1）解：．
∴．
∴①
同理得：②
①＋②得：，∴．
（2）解：把代入①，得，∴．
则
．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先求出，再利用二次根式有理化的计算方法可得，再求出，最后相加并化简可得；
（2）将代入，求出，再将其代入计算即可.
四、综合题
16．（2023八下·景县期中）观察、发现：====-1
（1）试化简： ；
（2）直接写出：= ；
（3）求值：+++…+ ．
【答案】（1）解：原式=
=
=；
（2）
（3）解：由（2）可知：
原式=-1++-+…+-
=-1+
=9．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（2） ；
故答案为：；
【分析】（1）把分子分母同乘，然后计算即可；
（2）把分子分母同乘，然后计算即可；
（3）根据（2）结论将原式化为-1++-+…+- ，再计算加减即可.
17．（2023八下·任城期中）阅读下面的材料，解决问题：
像、、、……，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：；；
（1）计算： ； ；
（2）计算：；
（3）比较和的大小，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：
（3）解： ， ，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）； ；
故答案为：；；
【分析】（1）根据分母有理化进行求解即可；
（2）将各分母进行有理化运算，再合并即可；
（3）先求出各式的倒数，再进行比较即可.
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