4.3.2 利用完全平方公式分解因式 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
第4章 因式分解
4.3 公式法
第2课时 利用完全平方公式因式分解
1.通过利用完全平方公式分解因式，发展学生的逆向思维和推理能力
2.培养学生灵活运用知识的能力和积极思考的良好行为
1.掌握公式法中的完全平方公式进行分解因式.
2.灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性问题.
教学目标
重难点
复习导入
1．把下列各式因式分解：
(1)4a2－9b2； (2)ax4－ax2.
2．你能用前面学过的方法把多项式x2＋8x＋16因式分解吗,这个多项式有什么特点？
解：(1)原式＝(2a＋3b)(2a－3b)；
(2)原式＝ax2(x＋1)(x－1).
探究新知
3．填空：
(1)(x＋2)2＝_______________；
(2)(2x－y)2＝________________；
反过来：(1)_______________＝(x＋2)2；
(2)________________＝(2x－y)2.
x2＋4x＋4
4x2－4xy＋y2
x2＋4x＋4
4x2－4xy＋y2
以上运算，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？你能说明整式乘法与因式分解的关系吗？
归纳旧知
完全平方式的特点：
1. 必须是三项式 (或可以看成三项的)；
2. 有两个数或式的平方和；
3. 有两底数之积的 ±2 倍.
完全平方式：
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
归纳新知
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2.
整式乘法
因式分解
a2+2ab+b2 =(a+b)2
a2-2ab+b2 =(a-b)2
小牛试刀
下列多项式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4
（2）x2 + 4x + 4y2
（3）4a2 + 2ab + b2
1
4
（4）a2 - ab + b2
（5）x2 - 6x - 9
（6）a2 + a+ 0.25
是
不是
是
不是
不是
是
典型例题
【例1】把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49；
【分析】在(1)中49＝72，14x＝2·x·7，所以x2＋14x＋49是一个完全平方式，即：
x2＋14x＋49＝x2 ＋ 2 × x × 7 ＋ 72＝ (x ＋ 7)2
头2＋2·头·尾＋尾2＝(头＋尾)2
解：原式＝(x＋7)2；
典型例题
【例1】把下列完全平方式因式分解：
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
【分析】在(2)中多项式中的两个平方项分别是(m＋n)2和32，另一项6(m＋n)＝2·(m＋n)·3，符合完全平方式的形式，这里“m＋n”相当于完全平方式中的a，“3”相当于完全平方式中的b，如果将(m＋n)看作一个整体，即：
(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝(m＋n)2－2×(m＋n)×3＋32＝[(m＋n) － 3]2
头2 － 2 · 头 · 尾 ＋尾2 ＝ (头 － 尾)2
解：原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.
典型例题
例2 分解因式：
(1) 16x2 + 24x + 9； (2) -x2 + 4xy - 4y2.
分析：(1)中 16x2 = (4x)2，9 = 3 ；24x = 2×4x·3；所以16x2+24x+9 是一个完全平方式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + (3)2.
+2
a
b
+ b2
a2
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 - (x2 - 4xy
+ 4y2 )，然后再利用公式分解因式.
典型例题
解：(1) 16x2 + 24x + 9
= (4x + 3)2.
= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
(2) -x2 + 4xy - 4y2
= -(x2 - 4xy + 4y2)
= -(x - 2y)2.
典型例题
例3. 因式分解：
(1) -3a2x2＋24a2x - 48a2；
(2) (a2＋4)2 - 16a2.
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4 - 4a)
解：(1) 原式＝-3a2(x2 - 8x＋16)
＝-3a2(x - 4)2.
(2) 原式＝(a2＋4)2 - (4a)2
＝(a＋2)2(a - 2)2.
有公因式要先提公因式
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解
归纳总结
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；
（2）如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法因式分解；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.
随堂练习
1．若a＋b＝2，则a2＋2ab＋b2的值是(　 　)
A．8 B．16 C．2 D．4
2．如果x2＋6x＋k是一个完全平方式，那么k的值是______．
9
D
随堂练习
3. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
4. 把多项式 4x2y－4xy2－x3 分解因式的结果是 ( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
B
B
5. 若关于 x 的多项式 x2－8x＋m2 是完全平方式，则 m 的值为______．
±4
随堂练习
6.分解因式：
(1) x2 + 12x + 36; (2) - 2xy - x2 - y2;
(3) a2 + 2a + 1; (4) 4x2 - 4x + 1;
(5) ax2 + 2a2x + a3; (6) - 3x2 + 6xy - 3y2.
解：（1）(x + 6)2;（2）- (x + y)2；
（3）(a + 1)2；（4）(2x - 1)2；
（5）a(x + a)2；（6）- 3(x - y)2.
随堂练习
7. (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值；
(2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值.
原式＝2×52 ＝ 50.
解：(1) 原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当 a－b＝3 时，原式＝32＝9.
(2) 原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当 ab＝2，a＋b＝5 时，
课堂小结
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
课后作业
完成教材习题4.5
这节课你学到了什么？谈谈你的收获，
小结与反思