2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 17.1 勾股定理同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2021八上·南关期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC=12，BC=16，则AE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2023八上·清新期中）如图，阴影部分的四边形均为正方形，图中的数据表示其面积，则正方形M的面积为（ ）
A．1 B．7 C． D．5
3．（2023·岳阳）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合右图，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸．则的长是（ ）
A．寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸
4．（2020八上·历城期末）如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）
A．12 B．13 C．15 D．24
5．（2020八上·襄汾期末）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·成都期中）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（ ）
A．52 B．48 C．72 D．76
7．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（ ）
A． B．4 C． D．
8．（2023八上·东阳月考）如图，Rt△ABC的两条直角边BC=6，AC=8．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，则S2+S3-S1的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
二、填空题
9．（2023八上·乐平期中）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等。问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 .
10．（2023八上·乐平期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以每秒1cm的速度运动，设运动时间为t秒.当t为 时，△ACP是等腰三角形.
11．（2020九上·越城期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为 cm.
12．（2023八上·上海市期中） 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为 ．
13．（2023八上·西安期中）在中，，，，点，分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 。
三、解答题
14．（2022八下·香洲期末）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．
15．拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）．
四、综合题
16．（2022八上·兴平期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断（）；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．
试问：
（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，
由勾股定理知：，
∵AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用中点的性质可得。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：
由图知，，由勾股定理得 ，
∴正方形M的面积为 1.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理，即可得正方形M的面积为1.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：BD为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵在Rt△BCD中，BD=25寸，CD=7寸，
∴（寸），
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出∠BCD=90°，再利用勾股定理计算求解即可。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设旗杆的高度为 x m，则AC =x m，AB= m，BC=5m，
在 中，
解得：
故答案为：A．
【分析】根据△ABC是直角三角形克爹，再计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得出：AB= = =5，
∴EF=AB=5，
∴阴影部分面积是25，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理解答即可．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：“数学风车”的外围周长实际分为两部分，第一部分为四个直角三角形斜边长之和，第二部分为每个直角三角形长直角边的一半相加所得的和。由题意可知，新图形中，小直角三角形的短直角边长度为5，长直角延长边后变为12，则斜边长为13，所以周长=13×4+6×4=76。
故答案为：D.
【分析】本题考查勾股定理的应用，需要对图形进行认真观察，对要求的结果分部来求。
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；多边形内角与外角
【解析】【分析】如图，连接AE，
在正六边形中，∠F=×（6﹣2） 180°=120°
∵AF=EF，∴∠AEF=∠EAF=（180°﹣120°）=30°
∴∠AEP=120°﹣30°=90°
∴AE=2×2cos30°=2×2×
∵点P是ED的中点，
∴EP=×2=1
在Rt△AEP中，.
故选C.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：△ABC是直角三角形，，
又，，
，
，
Rt△ABC的两条直角边BC=6，AC=8，，AD=AB=10，
又AE=AC=8，，，
，
，即S2+S3-S1=0.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理得到，，进而将正方形面积拆分求解S2+S3-S1的值.
9．【答案】8尺
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，设竿长x尺，则门宽为（x-4）尺，门高为（x-2）尺，由勾股定理得：（x-4）2+（x-2）2=x2，解得x=10尺，则门高=10-2=8尺。
故答案为：8尺.
【分析】通过设未知数，先把门宽、门高、 门对角线表示出来，然后利用勾股定理求解即可。
10．【答案】6或13或12或10.8
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：在中，AC=6cm，BC=8cm，则AB=10cm，因为P为动点，Vt=1cm/s，且满足为等腰三角形，需分情况讨论：
①CA=CP，P在BC上运动时，∵CA=6cm，∴CP=6cm，又，则t=；
②PA=PC时，连接PC，则∠A=∠ACP，∵∠A+∠B=90°，∠ACP+∠CPB=90°，∴∠CPB=∠B，PA=PC=PB==5cm，则P点走过的线段长度=CB+BP=8+5=13cm，则；
③AC=AP时，∵AC=6cm，∴AP=6cm，∴PB=AB-AP=10-6=4cm，则P点走过的线段长度=CB+BP=8+4=12cm，则；
④CA=CP，P在AB上运动时，过C作CD⊥AB，交AB于D，则，∴CD=，在中，AC=6cm，CD=4.8cm，则AD=3.6cm，∴AP=2AD=7.2cm，∴BP=AB-AP=2.8cm，则P点走过的线段长度=CB+BP=8+2.8=10.8cm，则；
综上，当t=6或t=13或t=12或t=10.8时，为等腰三角形。
故答案为： 6或13或12或10.8 .
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，然后分析P运动轨迹，结合等腰三角形的特点，当P在不同线段上运动时，逐一进行讨论即可。注意当P在CB和AB上运动时，都会有CA=CP的情况。
11．【答案】2.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
设OF=x，则OM=4 x，MF=2，
在 中，
即：
解得：x=2.5
故答案为2.5.
【分析】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4 x，MF=2，在Rt△OMF中，应用勾股定理求解即可.
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：延长B1D交BC于E，如图：
∵B1D⊥BC，
∴∠BED＝∠B1EC＝90°，
∵∠B＝30°，
∴DE＝BD，
∴BE＝＝BD，
设BD＝x，
∵将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，
∴B1D＝x，
∵BC＝3，
∴CE＝3﹣x，B1C＝BC＝3，
在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，
∴（x+x）2+（3﹣x）2＝32
∴
∴x＝0（舍去）或x＝
∴BD＝
故答案为：．
【分析】根据勾股定理、一元二次方程、轴对称、含角直角三角形的性质求解。延长B1D交BC于E，由B1D⊥BC，根据含角直角三角形和勾股定理的性质，推导得DE＝BD，BE＝BD，设BD＝x，在Rt△B1CE中根据轴对称、勾股定理的性质,建立方程求解．
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】过点B作使得BM=AC=3,连接MQ,AM,则因为所以则全等（SAS),所以CP=MQ,所以即A,Q,M三点共线时，AQ+CP的值最小，最小值为AM的长。由题知AB=5，在中，所以AQ+CP的最小值为.
【分析】过点B作使得BM=AC=3,连接MQ,AM，构造出全等，转化为，则当A,Q,M三点共线时，AQ+CP的值最小，利用勾股定理即可求解。
14．【答案】解：设OA=OB=x尺，
∵EC=BD=5尺，AC=1尺，
∴EA=EC-AC=5-1=4（尺），OE=OA-AE=（x-4）尺，
在Rt△OEB中，OE=（x-4）尺，OB=x尺，EB=10尺，
根据勾股定理得：x2=（x-4）2+102，
整理得：8x=116，即2x=29，
解得：x=14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先求出 EA=EC-AC=5-1=4（尺），OE=OA-AE=（x-4）尺， 再利用勾股定理计算求解即可。
15．【答案】解：如图所示，过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，
则∠AFC＝90°，
设A'F＝x，则AF＝55+x，
由题可得，AC＝65+35＝100，A'C＝65，
∵Rt△A'CF中，CF2＝652﹣x2，
Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2，
∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，
解得x＝25，
∴A'F＝25，
∴CF＝＝60（cm），
又∵EF＝AD＝3（cm），
∴CE＝60+3＝63（cm），
∴拉杆把手C离地面的距离为63cm．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理的应用，把题目转化成几何图形，利用双勾股求出线段长是关键。过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，设A'F＝x，则AF＝55+x，根据勾股定理的CF2＝652﹣x2和CF2＝1002﹣（55+x）2，得A'F＝25，计算CF＝＝60（cm），可得CE.
16．【答案】（1）解：由题意，知．
∵，
设长为，则长，
则，
解得．
故旗杆距地面3米处折断
（2）解：如图．
∵点D距地面，
∴，
∴，
∴距离旗杆底部周围米的范围内有被砸伤的风险．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，可知AC+BC等于旗杆的高度，同时根据题意可得到AB的长，然后设AC=x，可表示出BC的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
（2）利用已知条件可得到AD的长及B′D的长，然后利用勾股定理求出AB′的长.
17．【答案】（1）解：该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD=30°，AB=240，
∴AD= AB=120，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）=200．
∵120＜200，
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）解：如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F．
则AE=AF=200．
∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DE=2 =320．
∴台风影响该市的持续时间t=320÷20=16（小时）．
（3）解：∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）=7.2（级）．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段．直角三角形ABD中，有∠ABD的度数，有AB的长，AD就不难求出了．（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC上的线段的长即EF得长，可通过在直角三角形AED和AFD中，根据勾股定理求得．有了路程，有了速度，时间就可以求出了．（3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风．
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 17.1 勾股定理同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2021八上·南关期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC=12，BC=16，则AE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，
由勾股定理知：，
∵AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用中点的性质可得。
2．（2023八上·清新期中）如图，阴影部分的四边形均为正方形，图中的数据表示其面积，则正方形M的面积为（ ）
A．1 B．7 C． D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：
由图知，，由勾股定理得 ，
∴正方形M的面积为 1.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理，即可得正方形M的面积为1.
3．（2023·岳阳）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合右图，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸．则的长是（ ）
A．寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：BD为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵在Rt△BCD中，BD=25寸，CD=7寸，
∴（寸），
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出∠BCD=90°，再利用勾股定理计算求解即可。
4．（2020八上·历城期末）如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）
A．12 B．13 C．15 D．24
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设旗杆的高度为 x m，则AC =x m，AB= m，BC=5m，
在 中，
解得：
故答案为：A．
【分析】根据△ABC是直角三角形克爹，再计算求解即可。
5．（2020八上·襄汾期末）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得出：AB= = =5，
∴EF=AB=5，
∴阴影部分面积是25，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理解答即可．
6．（2023八上·成都期中）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（ ）
A．52 B．48 C．72 D．76
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：“数学风车”的外围周长实际分为两部分，第一部分为四个直角三角形斜边长之和，第二部分为每个直角三角形长直角边的一半相加所得的和。由题意可知，新图形中，小直角三角形的短直角边长度为5，长直角延长边后变为12，则斜边长为13，所以周长=13×4+6×4=76。
故答案为：D.
【分析】本题考查勾股定理的应用，需要对图形进行认真观察，对要求的结果分部来求。
7．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；多边形内角与外角
【解析】【分析】如图，连接AE，
在正六边形中，∠F=×（6﹣2） 180°=120°
∵AF=EF，∴∠AEF=∠EAF=（180°﹣120°）=30°
∴∠AEP=120°﹣30°=90°
∴AE=2×2cos30°=2×2×
∵点P是ED的中点，
∴EP=×2=1
在Rt△AEP中，.
故选C.
8．（2023八上·东阳月考）如图，Rt△ABC的两条直角边BC=6，AC=8．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，则S2+S3-S1的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：△ABC是直角三角形，，
又，，
，
，
Rt△ABC的两条直角边BC=6，AC=8，，AD=AB=10，
又AE=AC=8，，，
，
，即S2+S3-S1=0.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理得到，，进而将正方形面积拆分求解S2+S3-S1的值.
二、填空题
9．（2023八上·乐平期中）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等。问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 .
【答案】8尺
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，设竿长x尺，则门宽为（x-4）尺，门高为（x-2）尺，由勾股定理得：（x-4）2+（x-2）2=x2，解得x=10尺，则门高=10-2=8尺。
故答案为：8尺.
【分析】通过设未知数，先把门宽、门高、 门对角线表示出来，然后利用勾股定理求解即可。
10．（2023八上·乐平期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以每秒1cm的速度运动，设运动时间为t秒.当t为 时，△ACP是等腰三角形.
【答案】6或13或12或10.8
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：在中，AC=6cm，BC=8cm，则AB=10cm，因为P为动点，Vt=1cm/s，且满足为等腰三角形，需分情况讨论：
①CA=CP，P在BC上运动时，∵CA=6cm，∴CP=6cm，又，则t=；
②PA=PC时，连接PC，则∠A=∠ACP，∵∠A+∠B=90°，∠ACP+∠CPB=90°，∴∠CPB=∠B，PA=PC=PB==5cm，则P点走过的线段长度=CB+BP=8+5=13cm，则；
③AC=AP时，∵AC=6cm，∴AP=6cm，∴PB=AB-AP=10-6=4cm，则P点走过的线段长度=CB+BP=8+4=12cm，则；
④CA=CP，P在AB上运动时，过C作CD⊥AB，交AB于D，则，∴CD=，在中，AC=6cm，CD=4.8cm，则AD=3.6cm，∴AP=2AD=7.2cm，∴BP=AB-AP=2.8cm，则P点走过的线段长度=CB+BP=8+2.8=10.8cm，则；
综上，当t=6或t=13或t=12或t=10.8时，为等腰三角形。
故答案为： 6或13或12或10.8 .
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，然后分析P运动轨迹，结合等腰三角形的特点，当P在不同线段上运动时，逐一进行讨论即可。注意当P在CB和AB上运动时，都会有CA=CP的情况。
11．（2020九上·越城期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为 cm.
【答案】2.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
设OF=x，则OM=4 x，MF=2，
在 中，
即：
解得：x=2.5
故答案为2.5.
【分析】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4 x，MF=2，在Rt△OMF中，应用勾股定理求解即可.
12．（2023八上·上海市期中） 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：延长B1D交BC于E，如图：
∵B1D⊥BC，
∴∠BED＝∠B1EC＝90°，
∵∠B＝30°，
∴DE＝BD，
∴BE＝＝BD，
设BD＝x，
∵将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，
∴B1D＝x，
∵BC＝3，
∴CE＝3﹣x，B1C＝BC＝3，
在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，
∴（x+x）2+（3﹣x）2＝32
∴
∴x＝0（舍去）或x＝
∴BD＝
故答案为：．
【分析】根据勾股定理、一元二次方程、轴对称、含角直角三角形的性质求解。延长B1D交BC于E，由B1D⊥BC，根据含角直角三角形和勾股定理的性质，推导得DE＝BD，BE＝BD，设BD＝x，在Rt△B1CE中根据轴对称、勾股定理的性质,建立方程求解．
13．（2023八上·西安期中）在中，，，，点，分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 。
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】过点B作使得BM=AC=3,连接MQ,AM,则因为所以则全等（SAS),所以CP=MQ,所以即A,Q,M三点共线时，AQ+CP的值最小，最小值为AM的长。由题知AB=5，在中，所以AQ+CP的最小值为.
【分析】过点B作使得BM=AC=3,连接MQ,AM，构造出全等，转化为，则当A,Q,M三点共线时，AQ+CP的值最小，利用勾股定理即可求解。
三、解答题
14．（2022八下·香洲期末）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．
【答案】解：设OA=OB=x尺，
∵EC=BD=5尺，AC=1尺，
∴EA=EC-AC=5-1=4（尺），OE=OA-AE=（x-4）尺，
在Rt△OEB中，OE=（x-4）尺，OB=x尺，EB=10尺，
根据勾股定理得：x2=（x-4）2+102，
整理得：8x=116，即2x=29，
解得：x=14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先求出 EA=EC-AC=5-1=4（尺），OE=OA-AE=（x-4）尺， 再利用勾股定理计算求解即可。
15．拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）．
【答案】解：如图所示，过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，
则∠AFC＝90°，
设A'F＝x，则AF＝55+x，
由题可得，AC＝65+35＝100，A'C＝65，
∵Rt△A'CF中，CF2＝652﹣x2，
Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2，
∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，
解得x＝25，
∴A'F＝25，
∴CF＝＝60（cm），
又∵EF＝AD＝3（cm），
∴CE＝60+3＝63（cm），
∴拉杆把手C离地面的距离为63cm．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理的应用，把题目转化成几何图形，利用双勾股求出线段长是关键。过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，设A'F＝x，则AF＝55+x，根据勾股定理的CF2＝652﹣x2和CF2＝1002﹣（55+x）2，得A'F＝25，计算CF＝＝60（cm），可得CE.
四、综合题
16．（2022八上·兴平期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断（）；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
【答案】（1）解：由题意，知．
∵，
设长为，则长，
则，
解得．
故旗杆距地面3米处折断
（2）解：如图．
∵点D距地面，
∴，
∴，
∴距离旗杆底部周围米的范围内有被砸伤的风险．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，可知AC+BC等于旗杆的高度，同时根据题意可得到AB的长，然后设AC=x，可表示出BC的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
（2）利用已知条件可得到AD的长及B′D的长，然后利用勾股定理求出AB′的长.
17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．
试问：
（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
【答案】（1）解：该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD=30°，AB=240，
∴AD= AB=120，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）=200．
∵120＜200，
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）解：如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F．
则AE=AF=200．
∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DE=2 =320．
∴台风影响该市的持续时间t=320÷20=16（小时）．
（3）解：∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）=7.2（级）．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段．直角三角形ABD中，有∠ABD的度数，有AB的长，AD就不难求出了．（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC上的线段的长即EF得长，可通过在直角三角形AED和AFD中，根据勾股定理求得．有了路程，有了速度，时间就可以求出了．（3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风．
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