2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 17.1 勾股定理同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2017八下·广东期中）如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得： =5（cm），
∴阴影部分的面积=5×1=5（cm2）；
故选：C．
【分析】由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果．
2．（2017八下·钦北期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于 AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在RtABC中，由勾股定理得：BC= =4，
连接AE，
从作法可知：DE是AB的垂直评分线，
根据性质AE=BE，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC +CE =AE ，
即3 +（4-AE） =AE ，
解得：AE= ，
在Rt△ADE中，AD= AB= ，由勾股定理得：DE +( ) =( ) ，
解得：DE= .
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求出BC的长，从作法可知DE是AB的垂直评分线，根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到AE=BE，再由勾股定理求出AE、DE的长.
3．（2017八下·磴口期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，
故选：C．
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
4．（2023八下·台山期末）如图，在Rt△ABC中．∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD＝2，则AC的长是（ ）
A．4 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分斜边AC
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°
又∵∠B=90°，∠A=30°
∴∠DCB=∠ACD=30°
∴CD=2BD=4
∴BC=
∴AC=2CB=
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到AD=CD，由等边对等角得∠A=∠ACD=30°，再根据含30°直角三角形的性质，得到CD=2BD；再根据勾股定理得到BC的值；最后再根据含30°直角三角形的性质，得到AC=2CE 即可解题.
5．（2023八下·南宁期末）如图，图形是由两个直角三角形和三个正方形组成，若正方形A、B的面积分别为8、20，大直角三角形一边长为6，则斜边长m为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：因为小直角三角形的两直角边为边的正方形面积分别为8，20，所以以它的斜边为边的正方形的面积为8+20=28，因为这个正方形的边为直角边的大直角三角形的斜边为m，另一直角边为6，所以有28+62=m2(m>0)，解得m=8.
故答案为：A.
【分析】先求出以小直角三角形的斜边为边的正方形的面积，再利用勾股定理求出m.
6．（2023八下·东丽期末）如图，正方形的边长为3，以为一边作等边三角形，点在正方形内部，则点到的距离是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】过点E作CD的垂线，垂足为F，如图：
∵正方形ABCD的边长为3，△DCE是等边三角形，
∴DE=CD=3，DF=CF=CD=，
在Rt△DEF中，由勾股定理可得：
EF=，
故答案为：.
【分析】先利用等边三角形的性质求出DE=CD=3，DF=CF=CD=，再利用勾股定理求出EF的长即可.
7．（2023八下·迪庆期末）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，，按此规律作下去，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：OA2=；
OA3=；
OA4=；
OA5=；
所以可知OA1=1，OA2=，OA3=2，OA4=，OA5=4……
OAn=
故答案为：B.
【分析】通过勾股定理可以依次求到斜边的长度，观察之后发现是有规律的一组数字，从而求得；
也可以通过选项中的答案来确定正确选项.
8．（2023八下·香河期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
解：PA+PB=
取B点关于X轴的对称点B’(2，-1)，连接AB’交X轴于P，则PB’=PB，
∴PA+PB=PA+PB’=AB’，此时PA+PB的值最小，即的值最小。
∵AB’=
∴的最小值是5 。
【分析】
给出的代数式可以看作是两条线段的长度和，即PA+PB，求出PA+PB的最小值也就求出了代数式的最小值。
求PA+PB最小值时，可先取B关于X轴的对称点B‘ ，连接AB’，求出AB’的值即可。
二、填空题
9．（2015八下·罗平期中）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ．
【答案】5或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为： = ；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为： =5；
综上，第三边的长为：5或 ．
故答案为：5或 ．
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
10．（2019八下·贵池期中）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC边上的高AD＝4，则△ABC的周长为 .
【答案】 或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：分两种情况考虑：
如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD= ，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD= ，
∴BC= ，
∴△ABC的周长为： ；
如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD= ，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD= ，
∴BC= ，
∴△ABC的周长为： ；
综合上述，△ABC的周长为： 或 ；
故答案为： 或 .
【分析】分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与DC的长，由BD+DC求出BC的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，同理由BD CD求出BC的长，即可求出周长．
11．（2019八下·上饶期末）如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形，要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形一腰上的高为 .
【答案】4cm或 cm或 cm
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：分三种情况： （1）当AE=AF=4时，
如图1所示：
△AEF的腰AE上的高为AF=4；（2）当AE=EF=4时，
如图2所示：
则BE=5-4=1，
BF= ，（3）当AE=EF=4时，
如图3所示：
则DE=7-4=3，
DF= ，
故答案为4cm或 cm或 cm．
【分析】由于矩形的两边分别为7cm、5cm，所以满足条件的等腰三角形为等腰直角三角形，从而得到剪下的等腰三角形一腰上的高为4cm．
12．（2017八下·乌海期末）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足 则该直角三角形的斜边长为 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，
解得a=3，b=4，
∵直角三角形的两直角边长为a、b，
∴该直角三角形的斜边长= = =5．
故答案为：5．
【分析】根据多个非负数之和为0，那么这些非负数均为0。结合完全平方公式将题目的已知条件转化成a2﹣6a+9=0、b﹣4=0，然后解答出a、b的值，再利用勾股定理即可求解。
13．（2023八下·南宁期末）如图是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图，为地面，支架垂直地面，可分别绕点B，C转动，测量知cm，cm，cm．当转动到，且A，C，D三点共线时，则点A到地面的距离为 cm．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，过点B作BE⊥AD.
∵∠BCA+∠BCD=180°，∠BCD=120°，
∴∠BCA+120°=180°，解得∠BCA=60°，
在Rt△BCE中，∵BC=20cm，∠CBE=30°，
∴，（cm），
在Rt△ABE中，（cm），
∴点A到地面的距离为cm.
【分析】利用平角的意义求得∠BCA，再在Rt△BCE根据含30°角的直角三角形的性质求得BE，接着在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE，最后通过线段的和求得点A到地面的距离.
三、解答题
14．（2023八下·江源期末）如图，在中，，，是的高，且．
（1）求的长；
（2）若是边上的一点，作射线，分别过点、作于点，于点如图，若，求与的和．
【答案】（1）解：在中，由勾股定理得，
，
在中，由勾股定理得，
，
（2）解：，
，
所以，
，
答：与的和是．
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】本题考查勾股定理的应用和面积计算。（1）根据AD⊥BC，AB、BD的长，可得AD长，再根据AC长，求出DC长，则BC长可知；（2）根据BC、AD长可知三角形ABC的面积，而其面积还可表示为三角形ABE和三角形CBE的面积和，即 ，代入长度后，得：，．
15．（2023八下·武鸣期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理．
（2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值．
【答案】（1）解：如图1所示：
大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
；；；
，即；
（2）解：如图2所示：
在中，，，
∴由勾股定理可得，
是边上的高，
由等面积法可得，
，，
∴；
（3）解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示：
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，即的值为25．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）因为大正方形的面积等于四个全等直角三角形和中间小正方形的面积之和，根据上述的等量关系建立等式，化简等式即可得证.
（2）首先运用勾股定理计算出AB的长，再根据等面积法建立AC，AB，BD的等量关系，计算即可得到答案.
（3）根据勾股定理，以及题目给出的数量关系计算即可得到答案.
四、综合题
16．（2023八下·二道期末）如图，在中，，，，过点作射线．点从点出发，以的速度沿向终点运动：点从点出发，以的速度沿射线运动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止运动．连结、，设运动时间为．
（1）线段 （用含的代数式表示）．
（2）求的长．
（3）当与全等时，
①若点、的移动速度相同，求的值．
②若点、的移动速度不同，求的值．
【答案】（1）
（2）解：，，
（3）解：，
，
则与全等分成两种情况，即与
①当点、的移动速度相同时，若，
，，
，
，
若，
，，
，，两方程不同解，舍去，
点、的移动速度相同，；
②当点、的移动速度不同时，若，
，，
这时，，速度相同，（舍去）
若，
，，
，
，
，
，
点、的移动速度不同，．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）由题意得线段cm，
故答案为：
【分析】（1）结合题意即可求解；
（2）根据勾股定理即可求出AC；
（3）根据平行线的性质得到，进而得到与全等分成两种情况，即与，再分类讨论：①当点、的移动速度相同时，②当点、的移动速度不同时，进而运用三角形全等的性质即可求解。
17．（2023八下·庐阳期末）如图，在正方形中，，垂足为．
（1）求证：；
（2）如图，平移线段，使，连接．
①求证：；
②如图，连接，当、、三点共线时，则 ．
【答案】（1）证明：如图1，过点作于，则四边形是矩形，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①证明：如图2，延长与的延长线相交于点，
∵正方形，，
∴，，
即，
∵，，，
∴，
∴，
∴是斜边上的中线，
∴；
②
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（2）②如图3，连接，过作于，于，于，则四边形是矩形，四边形是矩形，
∵、、三点共线，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，即，
同理（1）可知，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由（2）①可知，，，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由勾股定理得，解得，
∴，
故答案为：．
【分析】 (1)过点F作FH1⊥CD于点H，证明△ABE≡ △FHG即可证明结论
(2)延长FG交AD于点P，证明点D是AP的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明
由勾股定理表示出AD与OG之间的关系，即可求出结论
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 17.1 勾股定理同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2017八下·广东期中）如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
2．（2017八下·钦北期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于 AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2017八下·磴口期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
4．（2023八下·台山期末）如图，在Rt△ABC中．∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD＝2，则AC的长是（ ）
A．4 B．8 C．4 D．2
5．（2023八下·南宁期末）如图，图形是由两个直角三角形和三个正方形组成，若正方形A、B的面积分别为8、20，大直角三角形一边长为6，则斜边长m为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．
6．（2023八下·东丽期末）如图，正方形的边长为3，以为一边作等边三角形，点在正方形内部，则点到的距离是（ ）
A．3 B． C． D．
7．（2023八下·迪庆期末）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，，按此规律作下去，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·香河期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
二、填空题
9．（2015八下·罗平期中）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ．
10．（2019八下·贵池期中）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC边上的高AD＝4，则△ABC的周长为 .
11．（2019八下·上饶期末）如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形，要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形一腰上的高为 .
12．（2017八下·乌海期末）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足 则该直角三角形的斜边长为 ．
13．（2023八下·南宁期末）如图是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图，为地面，支架垂直地面，可分别绕点B，C转动，测量知cm，cm，cm．当转动到，且A，C，D三点共线时，则点A到地面的距离为 cm．
三、解答题
14．（2023八下·江源期末）如图，在中，，，是的高，且．
（1）求的长；
（2）若是边上的一点，作射线，分别过点、作于点，于点如图，若，求与的和．
15．（2023八下·武鸣期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理．
（2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值．
四、综合题
16．（2023八下·二道期末）如图，在中，，，，过点作射线．点从点出发，以的速度沿向终点运动：点从点出发，以的速度沿射线运动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止运动．连结、，设运动时间为．
（1）线段 （用含的代数式表示）．
（2）求的长．
（3）当与全等时，
①若点、的移动速度相同，求的值．
②若点、的移动速度不同，求的值．
17．（2023八下·庐阳期末）如图，在正方形中，，垂足为．
（1）求证：；
（2）如图，平移线段，使，连接．
①求证：；
②如图，连接，当、、三点共线时，则 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得： =5（cm），
∴阴影部分的面积=5×1=5（cm2）；
故选：C．
【分析】由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果．
2．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在RtABC中，由勾股定理得：BC= =4，
连接AE，
从作法可知：DE是AB的垂直评分线，
根据性质AE=BE，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC +CE =AE ，
即3 +（4-AE） =AE ，
解得：AE= ，
在Rt△ADE中，AD= AB= ，由勾股定理得：DE +( ) =( ) ，
解得：DE= .
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求出BC的长，从作法可知DE是AB的垂直评分线，根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到AE=BE，再由勾股定理求出AE、DE的长.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，
故选：C．
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分斜边AC
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°
又∵∠B=90°，∠A=30°
∴∠DCB=∠ACD=30°
∴CD=2BD=4
∴BC=
∴AC=2CB=
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到AD=CD，由等边对等角得∠A=∠ACD=30°，再根据含30°直角三角形的性质，得到CD=2BD；再根据勾股定理得到BC的值；最后再根据含30°直角三角形的性质，得到AC=2CE 即可解题.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：因为小直角三角形的两直角边为边的正方形面积分别为8，20，所以以它的斜边为边的正方形的面积为8+20=28，因为这个正方形的边为直角边的大直角三角形的斜边为m，另一直角边为6，所以有28+62=m2(m>0)，解得m=8.
故答案为：A.
【分析】先求出以小直角三角形的斜边为边的正方形的面积，再利用勾股定理求出m.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】过点E作CD的垂线，垂足为F，如图：
∵正方形ABCD的边长为3，△DCE是等边三角形，
∴DE=CD=3，DF=CF=CD=，
在Rt△DEF中，由勾股定理可得：
EF=，
故答案为：.
【分析】先利用等边三角形的性质求出DE=CD=3，DF=CF=CD=，再利用勾股定理求出EF的长即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：OA2=；
OA3=；
OA4=；
OA5=；
所以可知OA1=1，OA2=，OA3=2，OA4=，OA5=4……
OAn=
故答案为：B.
【分析】通过勾股定理可以依次求到斜边的长度，观察之后发现是有规律的一组数字，从而求得；
也可以通过选项中的答案来确定正确选项.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
解：PA+PB=
取B点关于X轴的对称点B’(2，-1)，连接AB’交X轴于P，则PB’=PB，
∴PA+PB=PA+PB’=AB’，此时PA+PB的值最小，即的值最小。
∵AB’=
∴的最小值是5 。
【分析】
给出的代数式可以看作是两条线段的长度和，即PA+PB，求出PA+PB的最小值也就求出了代数式的最小值。
求PA+PB最小值时，可先取B关于X轴的对称点B‘ ，连接AB’，求出AB’的值即可。
9．【答案】5或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为： = ；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为： =5；
综上，第三边的长为：5或 ．
故答案为：5或 ．
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
10．【答案】 或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：分两种情况考虑：
如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD= ，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD= ，
∴BC= ，
∴△ABC的周长为： ；
如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD= ，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD= ，
∴BC= ，
∴△ABC的周长为： ；
综合上述，△ABC的周长为： 或 ；
故答案为： 或 .
【分析】分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与DC的长，由BD+DC求出BC的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，同理由BD CD求出BC的长，即可求出周长．
11．【答案】4cm或 cm或 cm
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：分三种情况： （1）当AE=AF=4时，
如图1所示：
△AEF的腰AE上的高为AF=4；（2）当AE=EF=4时，
如图2所示：
则BE=5-4=1，
BF= ，（3）当AE=EF=4时，
如图3所示：
则DE=7-4=3，
DF= ，
故答案为4cm或 cm或 cm．
【分析】由于矩形的两边分别为7cm、5cm，所以满足条件的等腰三角形为等腰直角三角形，从而得到剪下的等腰三角形一腰上的高为4cm．
12．【答案】5
【知识点】勾股定理；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，
解得a=3，b=4，
∵直角三角形的两直角边长为a、b，
∴该直角三角形的斜边长= = =5．
故答案为：5．
【分析】根据多个非负数之和为0，那么这些非负数均为0。结合完全平方公式将题目的已知条件转化成a2﹣6a+9=0、b﹣4=0，然后解答出a、b的值，再利用勾股定理即可求解。
13．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，过点B作BE⊥AD.
∵∠BCA+∠BCD=180°，∠BCD=120°，
∴∠BCA+120°=180°，解得∠BCA=60°，
在Rt△BCE中，∵BC=20cm，∠CBE=30°，
∴，（cm），
在Rt△ABE中，（cm），
∴点A到地面的距离为cm.
【分析】利用平角的意义求得∠BCA，再在Rt△BCE根据含30°角的直角三角形的性质求得BE，接着在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE，最后通过线段的和求得点A到地面的距离.
14．【答案】（1）解：在中，由勾股定理得，
，
在中，由勾股定理得，
，
（2）解：，
，
所以，
，
答：与的和是．
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】本题考查勾股定理的应用和面积计算。（1）根据AD⊥BC，AB、BD的长，可得AD长，再根据AC长，求出DC长，则BC长可知；（2）根据BC、AD长可知三角形ABC的面积，而其面积还可表示为三角形ABE和三角形CBE的面积和，即 ，代入长度后，得：，．
15．【答案】（1）解：如图1所示：
大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
；；；
，即；
（2）解：如图2所示：
在中，，，
∴由勾股定理可得，
是边上的高，
由等面积法可得，
，，
∴；
（3）解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示：
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，即的值为25．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）因为大正方形的面积等于四个全等直角三角形和中间小正方形的面积之和，根据上述的等量关系建立等式，化简等式即可得证.
（2）首先运用勾股定理计算出AB的长，再根据等面积法建立AC，AB，BD的等量关系，计算即可得到答案.
（3）根据勾股定理，以及题目给出的数量关系计算即可得到答案.
16．【答案】（1）
（2）解：，，
（3）解：，
，
则与全等分成两种情况，即与
①当点、的移动速度相同时，若，
，，
，
，
若，
，，
，，两方程不同解，舍去，
点、的移动速度相同，；
②当点、的移动速度不同时，若，
，，
这时，，速度相同，（舍去）
若，
，，
，
，
，
，
点、的移动速度不同，．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）由题意得线段cm，
故答案为：
【分析】（1）结合题意即可求解；
（2）根据勾股定理即可求出AC；
（3）根据平行线的性质得到，进而得到与全等分成两种情况，即与，再分类讨论：①当点、的移动速度相同时，②当点、的移动速度不同时，进而运用三角形全等的性质即可求解。
17．【答案】（1）证明：如图1，过点作于，则四边形是矩形，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①证明：如图2，延长与的延长线相交于点，
∵正方形，，
∴，，
即，
∵，，，
∴，
∴，
∴是斜边上的中线，
∴；
②
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（2）②如图3，连接，过作于，于，于，则四边形是矩形，四边形是矩形，
∵、、三点共线，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，即，
同理（1）可知，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由（2）①可知，，，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由勾股定理得，解得，
∴，
故答案为：．
【分析】 (1)过点F作FH1⊥CD于点H，证明△ABE≡ △FHG即可证明结论
(2)延长FG交AD于点P，证明点D是AP的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明
由勾股定理表示出AD与OG之间的关系，即可求出结论
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