2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2022八上·温州期中）下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C．：：：： D．，
2．（2023八上·吉安期中）下列各组数分別为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．7，24，25 D．8，15，18
3．（2023八上·瑞昌期中）有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25.现将它们摆成两个直角三角形，下面摆放正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八上·瑞昌期中）已知一组勾股数中的两个数分别是3和4，那么第三个数是gt（ ）
A．5 B．5或 C． D．7
5．（2023八上·砀山月考）如果一个三角形的三边满足关系式，那么这个三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．针角三角形 C．直角三角形 D．以上都不对
6．（2023八上·期中）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b-c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
7．（2023八上·织金期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四条线段，其中能组成直角三角形三边的一组线段是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八上·运城月考）如图，在△ABC中，，，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（ ）
A．6 B．36 C．16 D．49
二、填空题
9．如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E．若BD2+CE2=DE2，则∠A= ．
10．（2022八上·城阳期中）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，)，目标B 的位置为(4，)，现有一个目标C的位置为(3，)，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为 ．
11．（2023八下·番禺期中）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面米的点处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为 米．
12．（2023八上·砀山月考）在中，若，则 ．
13．（2024八上·榆树期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是 尺．
三、解答题
14．（2023八上·织金期中）在中，的对边分别用来表示，且满足，试判断的形状．
15．（2023八上·宝鸡月考）如图，一块草坪的形状为四边形，其中，，，，求这块草坪的面积．
四、综合题
16．（2016八上·萧山期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
（2）若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．
17．（2023八上·期中）
（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： A、 由 无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
B、 ，
，无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
C、 ： ： ： ： ， ，
最大角 ，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
D、 ， ， ， ，
，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而只要找出三角形最大内角的度数，即可判断该三角形是不是直角三角形，据此判断A、B、C；根据勾股定理的逆定理，只需要判断一个三角形的较小两边的平方和是否等于最大边长的平方即可，据此可判断D.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：、，不能构成直角三角形，不符合题意；
、，不能构成直角三角形，不符合题意；
、，能构成直角三角形，符合题意；
、，不能构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理逆定理“如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”，据此求解．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵152+202≠242，72+202≠252，∴A中的两个三角形都不是直角三角形，A不符合题意；
B、∵152+202≠242，72+242=252，∴B中的一个三角形是直角三角形，一个不是直角三角形，B不符合题意；
C、∵152+202=252，72+242=252，∴C中的两个三角形是直角三角形，C符合题意；
D、∵152+242≠252， 72+202≠252，∴D中的两个三角形不是直角三角形，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用题中给出的数据，计算并判断较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可求解.
4．【答案】A
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵，∴3、4、5是一组勾股数，A符合题意；
B、因为勾股数是整数，不是整数，B不符合题意；
C、因为勾股数是整数，不是整数，C不符合题意；
D、∵，∴3、4、7不是勾股数，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，进行判断即可.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴
解得：
∴
∴这个三角形是直角三角形，
故答案为：C．
【分析】利用非负数之和为0，每个非负数都等于0，得出方程组，进而根据勾股定理的逆定理进行判定．
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，，是直角三角形，故A不符合题意；
B、，是直角三角形，故B不符合题意；，变形可得，是直角三角形，故C不符合题意；
C、，，，，，不是直角三角形，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一分析判断．
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由图可得：A：即故A能组成直角三角形，符合题意；
B：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
C：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
D：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据图形利用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理逆定理直接求证即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：这两个正方形的面积和=
故答案为：B.
【分析】根据两个正方形的面积和=再由勾股定理即可求解.
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AD和AE，如下图：
∵边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E
∴BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC
∵BD2+CE2=DE2
∴ AD2+AE2=DE2 ∴三角形ADE是直角三角形，∠DAE= 90°
∴∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+90° = 180°
∴2（∠B+∠C）=90° ∴∠B+∠C=
∴∠A=180° -=
故答案为：.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC；根据勾股定理的逆定理，可得三角形ADE是直角三角形；根据三角形内角和定理，可得∠B+∠C的值，进而求出∠A的值.
10．【答案】(3，300°)或(3，120°)
【知识点】用坐标表示地理位置；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
如图：设中心点为点O，在中，
，
，
是直角三角形，且
∴C的位置为：(3，)或(3，)．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得到点C的坐标。
11．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵CA垂直于地面，且CA=1（米），AB=2（米），
∴（米），
∴树高为（米），
故答案为：.
【分析】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理算出CB的长度，将CB与CA的长度相加即可得出树高.
12．【答案】（填或都可以）
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，故满足勾股定理，
∴为的斜边，
∴，
故答案为：．
【分析】根据，可得到，根据勾股定理的逆定理可得到为三角形的斜边，所以．
13．【答案】12
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，
根据勾股定理得： ，
解得：
即水池的深度是12尺．
故答案为：12
【分析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理列出关于x的方程，解此方程即可解答.
14．【答案】解：因为，且，
所以，
即，
因为，
所以是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】先根据偶次方、绝对值的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理进行判断即可求解.
15．【答案】解：连接，
因为，所以直角中，由勾股定理得，
即
∴，
∵AC2+CD2=102+242=676，
AD2=262=676，
即，
所以是直角三角形，
故，
∴
答：该草坪的面积为．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AC的值，根据勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角，可证明△ACD是直角三角形，根据S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC，即可求解.
16．【答案】（1）解：AP=CQ．理由如下：
∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，
∴△BPQ为等边三角形，
∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，
∴∠CBQ=∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ
（2）解：∵等边△ABC和等边△BPQ中，
PB=PQ=4，PA=QC=3，
∵PQ2+CQ2=PC2，
∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．
17．【答案】（1）解：由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：
（cm）．
（2）解：分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm，
所以最短路程为cm；
（3）解：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12-3+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝13（cm）．
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可．
（2）根据平面展开——最短距离问题求解。将长方体展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答；
（3）根据平面展开——最短距离问题求解。将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2022八上·温州期中）下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C．：：：： D．，
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： A、 由 无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
B、 ，
，无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
C、 ： ： ： ： ， ，
最大角 ，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
D、 ， ， ， ，
，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而只要找出三角形最大内角的度数，即可判断该三角形是不是直角三角形，据此判断A、B、C；根据勾股定理的逆定理，只需要判断一个三角形的较小两边的平方和是否等于最大边长的平方即可，据此可判断D.
2．（2023八上·吉安期中）下列各组数分別为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．7，24，25 D．8，15，18
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：、，不能构成直角三角形，不符合题意；
、，不能构成直角三角形，不符合题意；
、，能构成直角三角形，符合题意；
、，不能构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理逆定理“如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”，据此求解．
3．（2023八上·瑞昌期中）有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25.现将它们摆成两个直角三角形，下面摆放正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵152+202≠242，72+202≠252，∴A中的两个三角形都不是直角三角形，A不符合题意；
B、∵152+202≠242，72+242=252，∴B中的一个三角形是直角三角形，一个不是直角三角形，B不符合题意；
C、∵152+202=252，72+242=252，∴C中的两个三角形是直角三角形，C符合题意；
D、∵152+242≠252， 72+202≠252，∴D中的两个三角形不是直角三角形，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用题中给出的数据，计算并判断较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可求解.
4．（2023八上·瑞昌期中）已知一组勾股数中的两个数分别是3和4，那么第三个数是gt（ ）
A．5 B．5或 C． D．7
【答案】A
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵，∴3、4、5是一组勾股数，A符合题意；
B、因为勾股数是整数，不是整数，B不符合题意；
C、因为勾股数是整数，不是整数，C不符合题意；
D、∵，∴3、4、7不是勾股数，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，进行判断即可.
5．（2023八上·砀山月考）如果一个三角形的三边满足关系式，那么这个三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．针角三角形 C．直角三角形 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴
解得：
∴
∴这个三角形是直角三角形，
故答案为：C．
【分析】利用非负数之和为0，每个非负数都等于0，得出方程组，进而根据勾股定理的逆定理进行判定．
6．（2023八上·期中）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b-c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，，是直角三角形，故A不符合题意；
B、，是直角三角形，故B不符合题意；，变形可得，是直角三角形，故C不符合题意；
C、，，，，，不是直角三角形，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一分析判断．
7．（2023八上·织金期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四条线段，其中能组成直角三角形三边的一组线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由图可得：A：即故A能组成直角三角形，符合题意；
B：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
C：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
D：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据图形利用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理逆定理直接求证即可.
8．（2022八上·运城月考）如图，在△ABC中，，，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（ ）
A．6 B．36 C．16 D．49
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：这两个正方形的面积和=
故答案为：B.
【分析】根据两个正方形的面积和=再由勾股定理即可求解.
二、填空题
9．如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E．若BD2+CE2=DE2，则∠A= ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AD和AE，如下图：
∵边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E
∴BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC
∵BD2+CE2=DE2
∴ AD2+AE2=DE2 ∴三角形ADE是直角三角形，∠DAE= 90°
∴∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+90° = 180°
∴2（∠B+∠C）=90° ∴∠B+∠C=
∴∠A=180° -=
故答案为：.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC；根据勾股定理的逆定理，可得三角形ADE是直角三角形；根据三角形内角和定理，可得∠B+∠C的值，进而求出∠A的值.
10．（2022八上·城阳期中）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，)，目标B 的位置为(4，)，现有一个目标C的位置为(3，)，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为 ．
【答案】(3，300°)或(3，120°)
【知识点】用坐标表示地理位置；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
如图：设中心点为点O，在中，
，
，
是直角三角形，且
∴C的位置为：(3，)或(3，)．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得到点C的坐标。
11．（2023八下·番禺期中）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面米的点处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为 米．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵CA垂直于地面，且CA=1（米），AB=2（米），
∴（米），
∴树高为（米），
故答案为：.
【分析】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理算出CB的长度，将CB与CA的长度相加即可得出树高.
12．（2023八上·砀山月考）在中，若，则 ．
【答案】（填或都可以）
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，故满足勾股定理，
∴为的斜边，
∴，
故答案为：．
【分析】根据，可得到，根据勾股定理的逆定理可得到为三角形的斜边，所以．
13．（2024八上·榆树期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是 尺．
【答案】12
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，
根据勾股定理得： ，
解得：
即水池的深度是12尺．
故答案为：12
【分析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理列出关于x的方程，解此方程即可解答.
三、解答题
14．（2023八上·织金期中）在中，的对边分别用来表示，且满足，试判断的形状．
【答案】解：因为，且，
所以，
即，
因为，
所以是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】先根据偶次方、绝对值的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理进行判断即可求解.
15．（2023八上·宝鸡月考）如图，一块草坪的形状为四边形，其中，，，，求这块草坪的面积．
【答案】解：连接，
因为，所以直角中，由勾股定理得，
即
∴，
∵AC2+CD2=102+242=676，
AD2=262=676，
即，
所以是直角三角形，
故，
∴
答：该草坪的面积为．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AC的值，根据勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角，可证明△ACD是直角三角形，根据S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC，即可求解.
四、综合题
16．（2016八上·萧山期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
（2）若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．
【答案】（1）解：AP=CQ．理由如下：
∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，
∴△BPQ为等边三角形，
∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，
∴∠CBQ=∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ
（2）解：∵等边△ABC和等边△BPQ中，
PB=PQ=4，PA=QC=3，
∵PQ2+CQ2=PC2，
∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．
17．（2023八上·期中）
（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
【答案】（1）解：由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：
（cm）．
（2）解：分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm，
所以最短路程为cm；
（3）解：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12-3+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝13（cm）．
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可．
（2）根据平面展开——最短距离问题求解。将长方体展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答；
（3）根据平面展开——最短距离问题求解。将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
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