2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理同步分层训练基提升题
一、选择题
1．（2023八上·萧县期中）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．7，24，25 C．，， D．，，
2．（2023八上·上海市期中） 已知a、b、c分别是△ABC的三边，根据下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=13，c=11 B．a=6，b=10，c=12
C．a=40，b=4l，c=9 D．a=24，b=9，c=25
3．（2023八上·渠县月考） 如果梯子的底端离建筑物1.5米，2.5米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）
A．2米 B．2.5米 C．3米 D．3. 5米
4．（2023八上·渠县月考） 四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的是( )
A．5，9，12 B．5，12，13 C．5，9，13 D．9，12，13
5．（2023八上·渠县月考）如图，图中小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
6．如图，在每个小正方形的边长 都为1的方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段AB，BC，CD现在取出这三条线段AB，BC，CD首尾相连拼三角形．下列判断中正确的是（ ）
A．能拼成一个直角三角形 B．能拼成一个锐角三角形
C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形
7．（2022八上·郓城月考）如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（ ）
A．6cm B．6cm C．2cm D．10cm
8．（2023八下·北京市期末）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（ ）
A．28 B．26 C．32 D．30
二、填空题
9．（2023八上·织金期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，如果一只蚂蚁从点开始经过四个侧面爬行一圈到达点，那么蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
10．（2023八上·杭州月考）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固定的钢架外，AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架.如图1所示，，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC，CE两边上，其中.当伸缩杆PQ打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架CD的长度为 .当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高(CD与AB之间的距离）为 cm.
11．（2023八上·兴县期中）如图一只蚂蚁从长为5cm，宽为3cm，高为4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短距离是 cm．
12．（2023八上·市北区期中）在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米．
13．（2020八上·深圳期中）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是
三、解答题
14．（2023八上·砀山月考）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，技术人员通过测量确定了．
（1）小区内部分居民每天必须从点经过点再到点位置，为了方便居民出人，技术人员打算在绿地中开辟一条从点直通点的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点到点将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
15．（2023八上·泗县月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若CD＝12，AD＝16，BC＝15．
（1）求AC，BD的长；
（2）判断△ABC的形状并说明理由．
四、综合题
16．（2019八下·防城期末）如图，C地到A，B两地分别有笔直的道路 ， 相连，A地与B地之间有一条河流通过，A，B，C三地的距离如图所示.
（1）如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？
（2）现计划把河水从河道 段的点D引到C地，求C，D两点间的最短距离.
17．（2023八下·达川期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：
观察得出：两个因式分别为与
解：原式
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ；
②（十字相乘法） ；
（2）已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，2，
∴，
∴能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴不能构成三角形，故C符合题意；
D、∵，，
∴，
∴能构成直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A. a=8，b=13，c=11，因为，所以不能判定△ABC为直角三角形；
B. a=6，b=10，c=12，因为，所以不能判定△ABC为直角三角形；
C. a=40，b=4l，c=9，因为，所以可以判定△ABC为直角三角形；
D. a=24，b=9，c=25，因为，所以不能判定△ABC为直角三角形；
故答案为：C。
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判定。只要满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，即为直角三角形.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得：直角三角形的斜边长为2.5m，一直角边为1.5m，
∴另一直角边为=2米，
∴ 梯子可以达到建筑物的高度是2米.
故答案为：A.
【分析】由题意知：梯子和建筑物之间可构成直角三角形，利用勾股定理计算即可.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、 ∵52+92=106≠122，
∴ 5，9，12不能组成直角三角形，故不符合题意；
B、 ∵52+122=132，
∴ 5，12，13能组成直角三角形，故符合题意；
C、 ∵52+92=106≠132，
∴ 5，9，13不能组成直角三角形，故不符合题意；
D、 ∵92+122≠132，
∴ 9，12，13不能组成直角三角形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AC2=42+22=20，BC2=12+22=5，AB2=42+32=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理先计算出AC2、BC2、AB2，再利用勾股定理的逆定理判断即可.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AB2=22+32=13，DC2=22+22=8，BC2=22+12=5，
∴DC2+BC2=AB2，
∴ 线段AB，BC，CD首尾相连拼成直角三角形 .
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理分别计算出DC2，BC2，AB2，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可.
7．【答案】A
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图所示，圆柱展开，侧面是矩形，长为圆柱底面周长，宽为圆柱高
∴ 矩形长CD=4 π ，
∵蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B ，
∴ CB=2π
∴ 蚂蚁爬行路线的最短路径=
故答案为A
【分析】本题考查平面展开--最短路径问题。将圆柱展开，根据两点之间线段最短，由勾股定理可得。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
过E作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N，
设AC=a，AB=b，BC=c，
∵∠CBM+∠EBM=90°，∠ABC+∠CBM=90°
∴∠EBM=∠ABC
在△BME与△BAC中
∴△BEM≌△BCA（AAS）
∴BM=AB=b，EM=AC=a
同理可证△CMD≌△CAB
∴CM=AC=a，DN=AB=b
在△EFM中，
MF2+ME2=EF2
即（2b）2+a2=34
在△HND中，
HN2+ND2=HD2
即（2a）2+b2=16
∴a=，b=2，c=
S六边形EDHIGF＝S正方形BEDC＋S正方形ABFG＋S正方形ACHI+S△AGI+S△ABC+S△BEF+S△CDH
=c2+b2+a2+2ab=28
故答案为：A.
【分析】由图可得六边形EDHIGF的面积＝正方形BEDC的面积＋正方形ABFG的面积＋正方形ACHI的面积+△AGI的面积+△ABC的面积+△BEF的面积+△CDH的面积，过E作作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N，可证得△BEM≌△BCA，△CMD≌△CAB，设AC=a，AB=b，BC=c，进而得到BM=AB=b，EM=AC=a，CM=AC=a，DN=AB=b，根据勾股定理表示出a、b、c的值即可求解。
9．【答案】13
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：展开图如图，
由题意可得在Rt△ADB中，AD=12cm，BD=5cm，
蚂蚁爬行的最短路径长为
故答案为：13.
【分析】现将长方体展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可求解.
10．【答案】8；12
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：第一空：当∠ADC=180°时，如左图2：
∵CQ=20cm，PQ=cm，CP=7cm，
∴CP2+CQ2=PQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠PCQ=90°，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
（13+CD）2+202=292，
解得：CD=8cm.
第二空：如图：过点C作CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，
∵AB=29cm，CD=8cm，
∴AF+BH=AB-FH=AB-CD=21cm，
设AF=xcm，则BH=（21-x)cm，
∵DF==CH=，
∴，
解得：x=5cm，
∴DF=（cm）.
故答案为：8，12.
【分析】第一空：当∠ADC=180°时，根据勾股定理的逆定理可判断△PCQ是直角三角形，于是在Rt△ABC中，用勾股定理可得关于CD的方程，解方程可求解；
第二空：过点C作CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，设AF=xcm，则BH=（21-x)cm，根据DF=CH可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后用勾股定理可求得DF的值.
11．【答案】
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：按照三种不同的方式展开：
（1）展开前面右面由勾股定理得：AB＝，
（2）展开前面上面由勾股定理得AB＝，
（3）展开左面上面由勾股定理得AB＝.
所以最短路径的长为AB＝（cm）．
故第1空答案为：．
【分析】先展开几何体的表面，再用勾股定理计算，再比较得出最短距离.
12．【答案】2.6
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长
∴长方形的长为2+0.4-2.4米
∵长方形的宽为1米
∴一只蚂蚁从点A处到C处的最短路径为AC的长
∴米
故答案为：2.6
【分析】将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，求出AB的长，再根据一只蚂蚁从点A处到C处的最短路径为AC的长，结合勾股定理即可求出答案.
13．【答案】（ ，3）
【知识点】点的坐标；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB=∠B=30°，∴AB=OA=2，∠BAD=60°，∴AD=1，BD=，∴OD=OA+AD=3，∴B（3，），将 △AOB绕点O逆时针旋转90° ，点B的对应点B'，∴B'C=BD=，OC=AD=3，∴B'坐标为（）
【分析】过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，根据题意可知B（3，），进而可知点B的对应点B'的坐标。
14．【答案】（1）解：如图，连接，
，
答：居民从点到点将少走路程；
（2），
是直角三角形，，
，
，
答：这片绿地的面积是．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）构造直角三角形，用勾股定理求解。连接，利用勾股定理求出；
（2）先根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解．
15．【答案】（1）解：在Rt△ACD中，∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵CD=12，AD=16，
∴，
∴AC=20．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，CD=12，BC=15，
∴，
∴BD=9；
（2）解：△ABC是直角三角形．
理由：∵AD=16，BD=9，
∴，
∵AC=20，BC=15，
∴，
∴，
所以△ABC是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可得到AC=20，再根据勾股定理即可求解；
（2）先根据题意得到，再结合题意运用勾股定理的逆定理即可求解。
16．【答案】（1）解：∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形
∴B地在C地的正北方向
（2）解：作 ，垂足为D，
∴线段 的长就是C，D两点间的最短距离.
∵ 是直角三角形
∴
∴所求的最短距离为
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）首先根据三地距离关系，利用勾股定理的逆定理可判定其为直角三角形，然后即可判定方位；
（2）首先作 ，即可得出最短距离为CD，然后根据直角三角形的面积列出方程求解即可.
17．【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；因式分解﹣十字相乘法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：（1）①原式=a（b-1）-（b-1）= ；
②原式= ；
故答案为：，；
【分析】（1）①先分组，再利用提公因式法分解即可；
②利用十字相乘法分解即可；
（2）先移项再分组得 ， 即得 ， 根据偶次幂的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行解答即可.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理同步分层训练基提升题
一、选择题
1．（2023八上·萧县期中）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．7，24，25 C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，2，
∴，
∴能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴不能构成三角形，故C符合题意；
D、∵，，
∴，
∴能构成直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
2．（2023八上·上海市期中） 已知a、b、c分别是△ABC的三边，根据下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=13，c=11 B．a=6，b=10，c=12
C．a=40，b=4l，c=9 D．a=24，b=9，c=25
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A. a=8，b=13，c=11，因为，所以不能判定△ABC为直角三角形；
B. a=6，b=10，c=12，因为，所以不能判定△ABC为直角三角形；
C. a=40，b=4l，c=9，因为，所以可以判定△ABC为直角三角形；
D. a=24，b=9，c=25，因为，所以不能判定△ABC为直角三角形；
故答案为：C。
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判定。只要满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，即为直角三角形.
3．（2023八上·渠县月考） 如果梯子的底端离建筑物1.5米，2.5米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）
A．2米 B．2.5米 C．3米 D．3. 5米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得：直角三角形的斜边长为2.5m，一直角边为1.5m，
∴另一直角边为=2米，
∴ 梯子可以达到建筑物的高度是2米.
故答案为：A.
【分析】由题意知：梯子和建筑物之间可构成直角三角形，利用勾股定理计算即可.
4．（2023八上·渠县月考） 四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的是( )
A．5，9，12 B．5，12，13 C．5，9，13 D．9，12，13
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、 ∵52+92=106≠122，
∴ 5，9，12不能组成直角三角形，故不符合题意；
B、 ∵52+122=132，
∴ 5，12，13能组成直角三角形，故符合题意；
C、 ∵52+92=106≠132，
∴ 5，9，13不能组成直角三角形，故不符合题意；
D、 ∵92+122≠132，
∴ 9，12，13不能组成直角三角形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
5．（2023八上·渠县月考）如图，图中小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AC2=42+22=20，BC2=12+22=5，AB2=42+32=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理先计算出AC2、BC2、AB2，再利用勾股定理的逆定理判断即可.
6．如图，在每个小正方形的边长 都为1的方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段AB，BC，CD现在取出这三条线段AB，BC，CD首尾相连拼三角形．下列判断中正确的是（ ）
A．能拼成一个直角三角形 B．能拼成一个锐角三角形
C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AB2=22+32=13，DC2=22+22=8，BC2=22+12=5，
∴DC2+BC2=AB2，
∴ 线段AB，BC，CD首尾相连拼成直角三角形 .
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理分别计算出DC2，BC2，AB2，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可.
7．（2022八上·郓城月考）如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（ ）
A．6cm B．6cm C．2cm D．10cm
【答案】A
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图所示，圆柱展开，侧面是矩形，长为圆柱底面周长，宽为圆柱高
∴ 矩形长CD=4 π ，
∵蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B ，
∴ CB=2π
∴ 蚂蚁爬行路线的最短路径=
故答案为A
【分析】本题考查平面展开--最短路径问题。将圆柱展开，根据两点之间线段最短，由勾股定理可得。
8．（2023八下·北京市期末）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（ ）
A．28 B．26 C．32 D．30
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
过E作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N，
设AC=a，AB=b，BC=c，
∵∠CBM+∠EBM=90°，∠ABC+∠CBM=90°
∴∠EBM=∠ABC
在△BME与△BAC中
∴△BEM≌△BCA（AAS）
∴BM=AB=b，EM=AC=a
同理可证△CMD≌△CAB
∴CM=AC=a，DN=AB=b
在△EFM中，
MF2+ME2=EF2
即（2b）2+a2=34
在△HND中，
HN2+ND2=HD2
即（2a）2+b2=16
∴a=，b=2，c=
S六边形EDHIGF＝S正方形BEDC＋S正方形ABFG＋S正方形ACHI+S△AGI+S△ABC+S△BEF+S△CDH
=c2+b2+a2+2ab=28
故答案为：A.
【分析】由图可得六边形EDHIGF的面积＝正方形BEDC的面积＋正方形ABFG的面积＋正方形ACHI的面积+△AGI的面积+△ABC的面积+△BEF的面积+△CDH的面积，过E作作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N，可证得△BEM≌△BCA，△CMD≌△CAB，设AC=a，AB=b，BC=c，进而得到BM=AB=b，EM=AC=a，CM=AC=a，DN=AB=b，根据勾股定理表示出a、b、c的值即可求解。
二、填空题
9．（2023八上·织金期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，如果一只蚂蚁从点开始经过四个侧面爬行一圈到达点，那么蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
【答案】13
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：展开图如图，
由题意可得在Rt△ADB中，AD=12cm，BD=5cm，
蚂蚁爬行的最短路径长为
故答案为：13.
【分析】现将长方体展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可求解.
10．（2023八上·杭州月考）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固定的钢架外，AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架.如图1所示，，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC，CE两边上，其中.当伸缩杆PQ打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架CD的长度为 .当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高(CD与AB之间的距离）为 cm.
【答案】8；12
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：第一空：当∠ADC=180°时，如左图2：
∵CQ=20cm，PQ=cm，CP=7cm，
∴CP2+CQ2=PQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠PCQ=90°，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
（13+CD）2+202=292，
解得：CD=8cm.
第二空：如图：过点C作CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，
∵AB=29cm，CD=8cm，
∴AF+BH=AB-FH=AB-CD=21cm，
设AF=xcm，则BH=（21-x)cm，
∵DF==CH=，
∴，
解得：x=5cm，
∴DF=（cm）.
故答案为：8，12.
【分析】第一空：当∠ADC=180°时，根据勾股定理的逆定理可判断△PCQ是直角三角形，于是在Rt△ABC中，用勾股定理可得关于CD的方程，解方程可求解；
第二空：过点C作CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，设AF=xcm，则BH=（21-x)cm，根据DF=CH可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后用勾股定理可求得DF的值.
11．（2023八上·兴县期中）如图一只蚂蚁从长为5cm，宽为3cm，高为4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短距离是 cm．
【答案】
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：按照三种不同的方式展开：
（1）展开前面右面由勾股定理得：AB＝，
（2）展开前面上面由勾股定理得AB＝，
（3）展开左面上面由勾股定理得AB＝.
所以最短路径的长为AB＝（cm）．
故第1空答案为：．
【分析】先展开几何体的表面，再用勾股定理计算，再比较得出最短距离.
12．（2023八上·市北区期中）在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米．
【答案】2.6
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长
∴长方形的长为2+0.4-2.4米
∵长方形的宽为1米
∴一只蚂蚁从点A处到C处的最短路径为AC的长
∴米
故答案为：2.6
【分析】将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，求出AB的长，再根据一只蚂蚁从点A处到C处的最短路径为AC的长，结合勾股定理即可求出答案.
13．（2020八上·深圳期中）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是
【答案】（ ，3）
【知识点】点的坐标；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB=∠B=30°，∴AB=OA=2，∠BAD=60°，∴AD=1，BD=，∴OD=OA+AD=3，∴B（3，），将 △AOB绕点O逆时针旋转90° ，点B的对应点B'，∴B'C=BD=，OC=AD=3，∴B'坐标为（）
【分析】过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，根据题意可知B（3，），进而可知点B的对应点B'的坐标。
三、解答题
14．（2023八上·砀山月考）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，技术人员通过测量确定了．
（1）小区内部分居民每天必须从点经过点再到点位置，为了方便居民出人，技术人员打算在绿地中开辟一条从点直通点的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点到点将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
【答案】（1）解：如图，连接，
，
答：居民从点到点将少走路程；
（2），
是直角三角形，，
，
，
答：这片绿地的面积是．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）构造直角三角形，用勾股定理求解。连接，利用勾股定理求出；
（2）先根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解．
15．（2023八上·泗县月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若CD＝12，AD＝16，BC＝15．
（1）求AC，BD的长；
（2）判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】（1）解：在Rt△ACD中，∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵CD=12，AD=16，
∴，
∴AC=20．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，CD=12，BC=15，
∴，
∴BD=9；
（2）解：△ABC是直角三角形．
理由：∵AD=16，BD=9，
∴，
∵AC=20，BC=15，
∴，
∴，
所以△ABC是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可得到AC=20，再根据勾股定理即可求解；
（2）先根据题意得到，再结合题意运用勾股定理的逆定理即可求解。
四、综合题
16．（2019八下·防城期末）如图，C地到A，B两地分别有笔直的道路 ， 相连，A地与B地之间有一条河流通过，A，B，C三地的距离如图所示.
（1）如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？
（2）现计划把河水从河道 段的点D引到C地，求C，D两点间的最短距离.
【答案】（1）解：∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形
∴B地在C地的正北方向
（2）解：作 ，垂足为D，
∴线段 的长就是C，D两点间的最短距离.
∵ 是直角三角形
∴
∴所求的最短距离为
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）首先根据三地距离关系，利用勾股定理的逆定理可判定其为直角三角形，然后即可判定方位；
（2）首先作 ，即可得出最短距离为CD，然后根据直角三角形的面积列出方程求解即可.
17．（2023八下·达川期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：
观察得出：两个因式分别为与
解：原式
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ；
②（十字相乘法） ；
（2）已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状．
【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；因式分解﹣十字相乘法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：（1）①原式=a（b-1）-（b-1）= ；
②原式= ；
故答案为：，；
【分析】（1）①先分组，再利用提公因式法分解即可；
②利用十字相乘法分解即可；
（2）先移项再分组得 ， 即得 ， 根据偶次幂的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行解答即可.
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