2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 26.1.2 反比例函数的图像和性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2022九上·交城期末）若反比例函数的图象经过点（3，-5），则该反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
2．（2021·天津）若点 都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·泰州）已知点在下列某一函数图象上，且那么这个函数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020九上·河北期末）在同一直角坐标系中，函数y＝－kx＋k与y＝ (k≠0)的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2018·崇阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（ ，0） B．（2，0） C．（ ，0） D．（3，0）
6．（2023九上·邵阳月考）如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·长春开学考）已知点，，在反比例函数的图象上，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
8．（2023·新疆维吾尔自治区模拟） 如图，平面直角坐标系中，过原点的直线与双曲线交于、两点，在线段左侧作等腰三角形，底边轴，过点作轴交双曲线于点，连接，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·长沙月考）如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点的面积为3，则的值为 ．
10．（2021八下·丹徒期末）反比例函数 的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 .
11．（2023九上·石家庄月考）反比例函数的图像经过点，则反比例函数的表达式为 ．
12．（2023九上·株洲期中）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接DE，BE．若，的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则的值为 ．
13．（2022·苍南模拟）如图，位于平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A及的中点D在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，则k的值为 .
三、解答题
14．（2023九上·泸州期中）如图，一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数的函数交于A（-2，b），B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点C，使△ABC的周长最小，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
15．（2022九上·安徽开学考）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．反比例函数的图象为曲线．
（1）若过点，求反比例函数的解析式；
（2）若过点，则它必定还过另一点，求的坐标；
（3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数．
四、综合题
16．（2023八下·丽水期末）已知x，y满足下表.
x … 1 4 …
y … 4 1 …
（1）求y关于x的函数表达式：
（2）当时，求y的取值范围.
17．（2023八下·长春期末）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，函数的图象与BC边相交于点M（点M不与点B重合），与AB边相交于点N．
（1）如图①，若点B的坐标为（4，2），M为CB中点，求k的值和点N的坐标．
（2）如图②，连结OB，过点M作MQ⊥OB，垂足为Q．若k＝1，MB＝2CM时，设OB长为m，MQ长为n，求m与n的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵的图象过点（3，-5），
∴把（3，-5）代入得：
k=xy=3×（-5）=-15＜0，
∴函数的图象应在第二，四象限．
故答案为：B．
【分析】将点（3，-5）代入求出k的值，再利用函数图象与系数的关系求解即可。
2．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得：
、 、 ．
则 ．
故答案为：B．
【分析】将点ABC的横坐标分别代入反比例函数解析式中，求出 的 值，然后比较即可.
3．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：A、把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1B、把点代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件不符，故此选项错误，不符合题意；
C、 把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2D、 把点代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，这与已知条件相符，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】将x=-3、-1、1分别代入y=3x、y=3x2、y=、y=-中求出y1、y2、y3的值，然后进行比较即可判断.
4．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】当k>0时，函数y=-kx+k的图象分布在第一、二、四象限，函数y= 的图象位于第一、三象限．
故答案为：C.
【分析】利用一次函数的图象及反比例函数的图象与其系数的关系逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠BCD=90°，∠OAC+ACO=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△ACO与△BCD中，∵∠OAC=∠BCD，∠AOC=∠BDC，AC=BC，∴△ACO≌△BCD（AAS），∴OC=BD，OA=CD，∵A（0，2），C（1，0），∴OD=3，BD=1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为 ，将B（3，1）代入 ，∴k=3，∴ ，∴把y=2代入 ，∴x= ，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了 个单位长度，∴C也移动了 个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（ ，0）．故答案为：C．
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，根据同角的余角相等得出∠OAC=∠BCD，然后由AAS判断出△ACO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等得出OC=BD，OA=CD，根据A，C两点的坐标得出OB，BD的长，从而得出B点的坐标，利用待定系数法得出双曲线的解析式，根据平移的规律，得出平移后A点的对应点的纵坐标为2，把y=2代入双曲线的解析式得出对应的自变量的值，即A点移动的距离，从而得出C点移动的距离，即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，如图所示：
∵轴
∴AB⊥y轴，
∴，
∵
∴
解得
∵点B在双曲线上，且B在第二象限
∴
∴
故答案为：C
【分析】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，先根据反比例函数的图象和三角形的面积即可得到，，进而结合反比例函数k的几何意义即可求解。
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】根据题意
反比例函数图象在一、三象限内单调递减，
点A和点B必定在同一个象限内，
即
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的性质，判定图象在一三象限单调递减，即随着x的增大y反而减小；据此判定A、B在同一象限，进而判定出a取值范围。
8．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；三角形的面积；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点作于，设与轴交于，
则，
是等腰三角形，且底边轴，
，
过原点的直线与双曲线交于、两点，
、关于原点对称，即为的中点，
点为的中点，
，
，
设，则，，
，，，，
，
，
，
解得：，
故选：．
【分析】过点作于，设与轴交于，则，由等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH，由A、关于原点对称可得点为的中点，从而得出BH=2BE，即得BC=4BE，设，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出点A、C、D的坐标，根据建立方程，即可求出k值.
9．【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵过点作轴于点的面积为3，
∴k=-6，
故答案为：-6
【分析】根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。
10．【答案】m>3
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数 的图象经过第二、四象限，
，解得m>3，
故答案为：m>3.
【分析】由反比例函数图象的性质结合题意可得3-m<0，求解可得m的范围.
11．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】将点代入，
可得：，
解得：m=8，
∴反比例函数解析式为，
故答案为：.
【分析】将点A的坐标代入，再求出m的值即可.
12．【答案】9
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵的面积为9，四边形ABDE的面积为14 ，
∴△BDE的面积=四边形ABDE的面积-的面积=5，
设A（m，），则E（），
∴AE=m-，
∵，
∴B（-2m，-），D（-2m，-）
∴点B到AE的距离为+=，BD=--（-）=，
点E到BD的距离为-（-2m）=+2m，
∴△ABE的面积=×（m-）×=9，△BDE的面积=××（+2m）=5，
∴a-b=12①，
∴△BDE的面积=××（+2m）=5，
∴a=-3b②，
联立①②可得a=9.
【分析】易求△BDE的面积=四边形ABDE的面积-的面积=5，设A（m，），则E（），可推出B（-2m，-），D（-2m，-），由△ABE的面积=9可得a-b=12①，由△BDE的面积=5可得a=-3b②，联立①②即可求解.
13．【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点A、C分别作轴的垂线，垂足分别为E、F，
四边形ABCD是平行四边形
，
即
轴，在上，
，即
设，则
是的中点
，在上，
即
得
故答案为：2
【分析】过点A、C分别作轴的垂线，垂足分别为E、F，证明△AOE≌△CBF，可得AE=CF，OE=BF，从而求出OF=EB，根据反比例函数系数k的几何意义可得，根据三角形的面积公式可求出，设，则可得，即得，由点D是AB的中点，可得，将B、D坐标代入中，即可求出mn的值，从而得k值.
14．【答案】（1）解：把点A（-2，b）代入y＝-中得：
b＝-，
解得b＝4，
即A（-2，4），
把A（-2，4）代入y＝kx+5中得：
-2k+5＝4，
解得k＝，
∴一次函数的解析式为y＝x+5
（2）解：作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，与x轴交于点C，点C即为所求，
联立解析式得，
解得或，
∴B（-8，1），A（-2，4），
∴A′（-2，-4），
设直线A′B为y＝ax+b，
∴，
解得y＝，
当y＝0时，x＝-，
∴C（-，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先根据反比例函数关系式求得点A的坐标为（-2，4），再根据点A在 一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象 上，即可求得一次函数表达式；
（2）根据题意， 要使△ABC的周长最小， 即AC+BC最小，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，与x轴交于点C，点C即为所求， 然后根据关于x轴对称的点的坐标的关系，求得点A'的坐标，然后结合点B的坐标，利用待定系数法，即可求得直线A'B的解析式，进一步求出直线A'B与x轴的交点坐标，即可得出点C的坐标。
15．【答案】（1）解：每个台阶的高和宽分别是1和2，
，，，，，，，，
过点，
，
反比例函数的解析式为
（2）解：过点，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
在反比例函数图象上，
的坐标为
（3）解：若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
，
所有满足条件的整数，，，，，，．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】 (1)每个台阶的高和宽分别是1和2，根据T8 推出T1坐标，代入解析式即可； (2)反比例函数上的点横纵坐标乘积相同，据此可求；(3)内侧4个，外侧4个， k在曲线过点，时的k值和曲线过点，时k值之间。
16．【答案】（1）解：由题意得，
（2）解：当时，，
当时，，
，
在每一象限内，y随x的增大而减小，
当时，
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）观察表中的每一组x，y的对应值，可知xy=4，可得到y关于x的函数解析式.
（2）分别将x=2，x=4代入函数解析式，可分别求出对应的y的值，再利用此函数的性质，可得到当2＜x＜4时的y的取值范围.
17．【答案】（1）解：∵点 B 的坐标为（4，2），M 为 CB 中点，
∴M 的坐标为（2，2）， 将 M 点的坐标代入 得，k＝2×2＝4，
∴ ， ∴当 x＝4 时，y＝1，
∴N 的坐标为（4，1）
（2）解：连结OM，设 M 的坐标为（t，），B 的坐标为（3t，）
， 即
【知识点】函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；列反比例函数关系式；三角形的面积
【解析】【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和三角形等面积求函数关系。（1）根据点B的坐标，M为CB中点，可知M坐标，代入反比例函数，可得k值，当x=4时，求出y值，即为N的横纵坐标；（2） 连结OM，设 M 的坐标为（t，），根据MB=2CM，可得B的坐标为（3t，）根据 可得：，则， 即 .
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 26.1.2 反比例函数的图像和性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2022九上·交城期末）若反比例函数的图象经过点（3，-5），则该反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵的图象过点（3，-5），
∴把（3，-5）代入得：
k=xy=3×（-5）=-15＜0，
∴函数的图象应在第二，四象限．
故答案为：B．
【分析】将点（3，-5）代入求出k的值，再利用函数图象与系数的关系求解即可。
2．（2021·天津）若点 都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得：
、 、 ．
则 ．
故答案为：B．
【分析】将点ABC的横坐标分别代入反比例函数解析式中，求出 的 值，然后比较即可.
3．（2022·泰州）已知点在下列某一函数图象上，且那么这个函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：A、把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1B、把点代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件不符，故此选项错误，不符合题意；
C、 把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2D、 把点代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，这与已知条件相符，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】将x=-3、-1、1分别代入y=3x、y=3x2、y=、y=-中求出y1、y2、y3的值，然后进行比较即可判断.
4．（2020九上·河北期末）在同一直角坐标系中，函数y＝－kx＋k与y＝ (k≠0)的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】当k>0时，函数y=-kx+k的图象分布在第一、二、四象限，函数y= 的图象位于第一、三象限．
故答案为：C.
【分析】利用一次函数的图象及反比例函数的图象与其系数的关系逐项判断即可。
5．（2018·崇阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（ ，0） B．（2，0） C．（ ，0） D．（3，0）
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠BCD=90°，∠OAC+ACO=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△ACO与△BCD中，∵∠OAC=∠BCD，∠AOC=∠BDC，AC=BC，∴△ACO≌△BCD（AAS），∴OC=BD，OA=CD，∵A（0，2），C（1，0），∴OD=3，BD=1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为 ，将B（3，1）代入 ，∴k=3，∴ ，∴把y=2代入 ，∴x= ，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了 个单位长度，∴C也移动了 个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（ ，0）．故答案为：C．
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，根据同角的余角相等得出∠OAC=∠BCD，然后由AAS判断出△ACO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等得出OC=BD，OA=CD，根据A，C两点的坐标得出OB，BD的长，从而得出B点的坐标，利用待定系数法得出双曲线的解析式，根据平移的规律，得出平移后A点的对应点的纵坐标为2，把y=2代入双曲线的解析式得出对应的自变量的值，即A点移动的距离，从而得出C点移动的距离，即可得出答案。
6．（2023九上·邵阳月考）如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，如图所示：
∵轴
∴AB⊥y轴，
∴，
∵
∴
解得
∵点B在双曲线上，且B在第二象限
∴
∴
故答案为：C
【分析】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，先根据反比例函数的图象和三角形的面积即可得到，，进而结合反比例函数k的几何意义即可求解。
7．（2023九上·长春开学考）已知点，，在反比例函数的图象上，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】根据题意
反比例函数图象在一、三象限内单调递减，
点A和点B必定在同一个象限内，
即
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的性质，判定图象在一三象限单调递减，即随着x的增大y反而减小；据此判定A、B在同一象限，进而判定出a取值范围。
8．（2023·新疆维吾尔自治区模拟） 如图，平面直角坐标系中，过原点的直线与双曲线交于、两点，在线段左侧作等腰三角形，底边轴，过点作轴交双曲线于点，连接，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；三角形的面积；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点作于，设与轴交于，
则，
是等腰三角形，且底边轴，
，
过原点的直线与双曲线交于、两点，
、关于原点对称，即为的中点，
点为的中点，
，
，
设，则，，
，，，，
，
，
，
解得：，
故选：．
【分析】过点作于，设与轴交于，则，由等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH，由A、关于原点对称可得点为的中点，从而得出BH=2BE，即得BC=4BE，设，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出点A、C、D的坐标，根据建立方程，即可求出k值.
二、填空题
9．（2023九上·长沙月考）如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点的面积为3，则的值为 ．
【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵过点作轴于点的面积为3，
∴k=-6，
故答案为：-6
【分析】根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。
10．（2021八下·丹徒期末）反比例函数 的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 .
【答案】m>3
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数 的图象经过第二、四象限，
，解得m>3，
故答案为：m>3.
【分析】由反比例函数图象的性质结合题意可得3-m<0，求解可得m的范围.
11．（2023九上·石家庄月考）反比例函数的图像经过点，则反比例函数的表达式为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】将点代入，
可得：，
解得：m=8，
∴反比例函数解析式为，
故答案为：.
【分析】将点A的坐标代入，再求出m的值即可.
12．（2023九上·株洲期中）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接DE，BE．若，的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则的值为 ．
【答案】9
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵的面积为9，四边形ABDE的面积为14 ，
∴△BDE的面积=四边形ABDE的面积-的面积=5，
设A（m，），则E（），
∴AE=m-，
∵，
∴B（-2m，-），D（-2m，-）
∴点B到AE的距离为+=，BD=--（-）=，
点E到BD的距离为-（-2m）=+2m，
∴△ABE的面积=×（m-）×=9，△BDE的面积=××（+2m）=5，
∴a-b=12①，
∴△BDE的面积=××（+2m）=5，
∴a=-3b②，
联立①②可得a=9.
【分析】易求△BDE的面积=四边形ABDE的面积-的面积=5，设A（m，），则E（），可推出B（-2m，-），D（-2m，-），由△ABE的面积=9可得a-b=12①，由△BDE的面积=5可得a=-3b②，联立①②即可求解.
13．（2022·苍南模拟）如图，位于平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A及的中点D在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，则k的值为 .
【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点A、C分别作轴的垂线，垂足分别为E、F，
四边形ABCD是平行四边形
，
即
轴，在上，
，即
设，则
是的中点
，在上，
即
得
故答案为：2
【分析】过点A、C分别作轴的垂线，垂足分别为E、F，证明△AOE≌△CBF，可得AE=CF，OE=BF，从而求出OF=EB，根据反比例函数系数k的几何意义可得，根据三角形的面积公式可求出，设，则可得，即得，由点D是AB的中点，可得，将B、D坐标代入中，即可求出mn的值，从而得k值.
三、解答题
14．（2023九上·泸州期中）如图，一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数的函数交于A（-2，b），B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点C，使△ABC的周长最小，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点A（-2，b）代入y＝-中得：
b＝-，
解得b＝4，
即A（-2，4），
把A（-2，4）代入y＝kx+5中得：
-2k+5＝4，
解得k＝，
∴一次函数的解析式为y＝x+5
（2）解：作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，与x轴交于点C，点C即为所求，
联立解析式得，
解得或，
∴B（-8，1），A（-2，4），
∴A′（-2，-4），
设直线A′B为y＝ax+b，
∴，
解得y＝，
当y＝0时，x＝-，
∴C（-，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先根据反比例函数关系式求得点A的坐标为（-2，4），再根据点A在 一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象 上，即可求得一次函数表达式；
（2）根据题意， 要使△ABC的周长最小， 即AC+BC最小，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，与x轴交于点C，点C即为所求， 然后根据关于x轴对称的点的坐标的关系，求得点A'的坐标，然后结合点B的坐标，利用待定系数法，即可求得直线A'B的解析式，进一步求出直线A'B与x轴的交点坐标，即可得出点C的坐标。
15．（2022九上·安徽开学考）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．反比例函数的图象为曲线．
（1）若过点，求反比例函数的解析式；
（2）若过点，则它必定还过另一点，求的坐标；
（3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数．
【答案】（1）解：每个台阶的高和宽分别是1和2，
，，，，，，，，
过点，
，
反比例函数的解析式为
（2）解：过点，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
在反比例函数图象上，
的坐标为
（3）解：若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
，
所有满足条件的整数，，，，，，．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】 (1)每个台阶的高和宽分别是1和2，根据T8 推出T1坐标，代入解析式即可； (2)反比例函数上的点横纵坐标乘积相同，据此可求；(3)内侧4个，外侧4个， k在曲线过点，时的k值和曲线过点，时k值之间。
四、综合题
16．（2023八下·丽水期末）已知x，y满足下表.
x … 1 4 …
y … 4 1 …
（1）求y关于x的函数表达式：
（2）当时，求y的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得，
（2）解：当时，，
当时，，
，
在每一象限内，y随x的增大而减小，
当时，
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）观察表中的每一组x，y的对应值，可知xy=4，可得到y关于x的函数解析式.
（2）分别将x=2，x=4代入函数解析式，可分别求出对应的y的值，再利用此函数的性质，可得到当2＜x＜4时的y的取值范围.
17．（2023八下·长春期末）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，函数的图象与BC边相交于点M（点M不与点B重合），与AB边相交于点N．
（1）如图①，若点B的坐标为（4，2），M为CB中点，求k的值和点N的坐标．
（2）如图②，连结OB，过点M作MQ⊥OB，垂足为Q．若k＝1，MB＝2CM时，设OB长为m，MQ长为n，求m与n的函数关系式．
【答案】（1）解：∵点 B 的坐标为（4，2），M 为 CB 中点，
∴M 的坐标为（2，2）， 将 M 点的坐标代入 得，k＝2×2＝4，
∴ ， ∴当 x＝4 时，y＝1，
∴N 的坐标为（4，1）
（2）解：连结OM，设 M 的坐标为（t，），B 的坐标为（3t，）
， 即
【知识点】函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；列反比例函数关系式；三角形的面积
【解析】【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和三角形等面积求函数关系。（1）根据点B的坐标，M为CB中点，可知M坐标，代入反比例函数，可得k值，当x=4时，求出y值，即为N的横纵坐标；（2） 连结OM，设 M 的坐标为（t，），根据MB=2CM，可得B的坐标为（3t，）根据 可得：，则， 即 .
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