2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 26.2 实际问题与反比例函数同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2021九下·梅河口期中）购买 斤水果需 元，购买一斤水果的单价 与 的关系式是（ ）
A． B． （ 为自然数）
C． （ 为整数） D． （ 为正整数）
【答案】A
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】根据单价=总价除以数量，可得y= （x>0）.
故答案为：A
【分析】根据购买 斤水果需 元，求反比例函数解析式即可。
2．（2021九下·江西月考）小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力 阻力臂 动力 动力臂．现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m，则动力 （单位：N）关于动力臂 （单位：m）的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是2400N和1m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：2400×1＝Fl，
则F＝ ，是反比例函数，A选项符合，
故答案为：A．
【分析】利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，将已知数据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可．
3．（2023九下·西湖月考）某市举行中学生数学知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，.其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次数学知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）.
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，
∴xy的值就是该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两所学校的优秀人数相等，
点丙在反比例函数图象的上方，
∴丙的优秀人数最多.
故答案为：C
【分析】观察图象可知xy的值就是该校的优秀人数，乙、丁两所学校的优秀人数相等；点丙在反比例函数图象的上方，据此可得到丙的优秀人数最多.
4．（2015九下·深圳期中）如图，已知直线y=﹣x+4与两坐标轴分别相交于点A，B两点，点C是线段AB上任意一点，过C分别作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E．双曲线 与CD，CE分别交于点P，Q两点，若四边形ODCE为正方形，且 ，则k的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的定义；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：四边形ODCE为正方形，则OC是第一象限的角平分线，则解析式是y=x，
根据题意得： ，
解得： ，
则C的坐标是（2，2），
设Q的坐标是（2，a），
则DQ=EP=a，PC=CQ=2﹣a，
正方形ODCE的面积是：4，
S△ODQ= ×2 a=a，同理S△OPE=a，S△CPQ= （2﹣a）2，
则4﹣a﹣a﹣ （2﹣a）2= ，
解得：a=1或﹣1（舍去），
则Q的坐标是（2，1），
把（2，1）代入 得：k=2．
故选B．
【分析】四边形ODCE为正方形，则OC是第一象限的角平分线，则解析式是y=x，即可求得C的坐标，根据反比例函数一定关于y=x对称，则P、Q一定是对称点，则设Q的坐标是（2，a），则DQ=EP=a，PC=CQ=2﹣a，根据正方形ODCE的面积﹣△ODQ的面积﹣△OEP的面积﹣△PCQ的面积=△OPQ的面积，即可列方程求得a的值，求得Q的坐标，利用待定系数法即可求得k的值．
5．如图，点A是反比例函数y=是图象上一点，AB⊥y轴于点B，则△AOB的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：点A是反比例函数y=图象上一点，S△AOB==2．
故选B．
【分析】此题可从反比例函数系数k的几何意义入手，△AOB的面积为点A向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积的一半即S=．
6．已知反比例函数的图象经过点P（1，﹣2），则这个函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为：y=，
将（1，﹣2）代入上式，得k=﹣2＜0；
∴函数的图象位于第二、四象限．
故选C．
【分析】先根据点P的坐标求出反比例函数的比例系数k，再由反比例函数的性质即可得出结果．
7．（2019八下·乐山期末）如图，点A、B在反比例函数y= (x>0)的图象上，点C、D在反比例函数y= (x>0)的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A、B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为 ，则k的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】根据题意A(1,1),B(2,)
∵AC∥BD∥y轴
可得出点C（1，k）点D（2，）
延长CA、DB分别与x轴教育点E、点F
S△OAC=S△OCE-S△OAE=
可得出S△OAC+S△ABD=
解得k=3
故答案为：B
【分析】根据点的坐标与解析式的关系，可利用面积公式，解得k的值。
8．（2017·达州模拟）如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数 的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：①设D（x， ），则F（x，0），
由图象可知x＞0，
∴△DEF的面积是： ×| |×|x|=2，
设C（a， ），则E（0， ），
由图象可知： ＜0，a＞0，
△CEF的面积是： ×|a|×| |=2，
∴△CEF的面积=△DEF的面积，
故①正确；②△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，
故EF∥CD，
∴FE∥AB，
∴△AOB∽△FOE，
故②正确；③∵C、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数 的图象的交点，
∴x+3= ，
解得：x=﹣4或1，
经检验：x=﹣4或1都是原分式方程的解，
∴D（1，4），C（﹣4，﹣1），
∴DF=4，CE=4，
∵一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵DF∥BO，AO∥CE，
∴∠BCE=∠BAO=45°，∠FDA=∠OBA=45°，
∴∠DCE=∠FDA=45°，
在△DCE和△CDF中 ，
∴△DCE≌△CDF（SAS），
故③正确；④∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD=EF，
同理EF=AC，
∴AC=BD，
故④正确；
正确的有4个．
故选：C．
【分析】设D（x， ），得出F（x，0），根据三角形的面积公式求出△DEF的面积，同法求出△CEF的面积，即可判断①；根据面积相等，推出边EF上的高相等，推出CD∥EF，即可证出△AOB∽△FOE，可判断②；算出C、D点坐标，可得到DF=CE，再证出∠DCE=∠FDA=45°，根据全等三角形的判定判断③即可；证出平行四边形BDFE和平行四边形ACEF，可推出BD=AC，判断④即可．
二、填空题
9．（2023·扬州）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 ．
【答案】0.6
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知P是V的的反比例函数，
设（k≠0），
∴k=3×8000=24000，
∴，
∵p≤40000， 气球不爆炸
∴，
解之：V≥0.6，
∴ 气球的体积应不小于0.6
故答案为：0.6
【分析】由题意可知P是V的的反比例函数，结合已知条件可求出P与V的函数解析式，再根据p≥40000，可得到关于V的不等式，然后求出不等式的最小值即可.
10．（2023·南通）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为 ．
【答案】2500N
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解： 设功率为P，
∴，
∵F=3750时，V=20
∴P=3750×20=75000，
∴，
当V=30时，
N.
故答案为：2500N.
【分析】设功率为P，可得，将F=3750时，V=20代入函数解析式，可求出P的值，可得到V与F的函数解析式，然后将V=30代入求出F的值.
11．（2023·益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象；将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象．若将反比例函数的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；列反比例函数关系式；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 将反比例函数的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式是，
故答案为：.
【分析】根据平移规律：左加右减，上加下减，求函数解析式即可。
12．（2017九上·泰州开学考）如图，已知双曲线 （x＞0）经过矩形OABC的边AB、BC上的点F、E，其中CE= CB，AF= AB，且四边形OEBF的面积为2，则k的值为 ．
【答案】1
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的实际应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：设矩形的长为a，宽为b，
则由CE= CB，AF= AB，得：
CE= a，AF= b，
∴三角形COE的面积为： ab，
三角形AOF的面积为： ab，
矩形的面积为：ab，
四边形OEBF的面积为：ab﹣ ab﹣ ab= ab，
∴ = ，
∴三角形AOF的面积=四边形OEBF的面积× =2× = ，
∴ |k|= ，
又由于反比例函数的图象位于第一象限，k＞0；
∴k=1．
故答案为：1．
【分析】设矩形的长为a，宽为b，根据已知分别表示出矩形的面积、△COE的面积、△AOF的面积，即可表示出四边形OEBF的面积，然后得出△AOF的面积与四边形OEBF的面积的关系，从而求出k的值。
13．（2014·防城港）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y= 和y= 的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：
① = ；
②阴影部分面积是 （k1+k2）；
③当∠AOC=90°时，|k1|=|k2|；
④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的结论是 （把所有正确的结论的序号都填上）．
【答案】①④
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴S△AOB=S△COB，
∴AE=CF，
∴OM=ON，
∵S△AOM= |k1|= OM AM，S△CON= |k2|= ON CN，
∴ = ，故①正确；
∵S△AOM= |k1|，S△CON= |k2|，
∴S阴影部分=S△AOM+S△CON= （|k1|+|k2|），
而k1＞0，k2＜0，
∴S阴影部分= （k1﹣k2），故②错误；
当∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴不能确定OA与OC相等，
而OM=ON，
∴不能判断△AOM≌△CNO，
∴不能判断AM=CN，
∴不能确定|k1|=|k2|，故③错误；
若OABC是菱形，则OA=OC，
而OM=ON，
∴Rt△AOM≌Rt△CNO，
∴AM=CN，
∴|k1|=|k2|，
∴k1=﹣k2，
∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确．
故答案为：①④．
【分析】作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，根据平行四边形的性质得S△AOB=S△COB，利用三角形面积公式得到AE=CF，则有OM=ON，再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到S△AOM= |k1|= OM AM，S△CON= |k2|= ON CN，所以有 = ；由S△AOM= |k1|，S△CON= |k2|，得到S阴影部分=S△AOM+S△CON= （|k1|+|k2|）= （k1﹣k2）；当∠AOC=90°，得到四边形OABC是矩形，由于不能确定OA与OC相等，则不能判断△AOM≌△CNO，所以不能判断AM=CN，则不能确定|k1|=|k2|；若OABC是菱形，根据菱形的性质得OA=OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，则AM=CN，所以|k1|=|k2|，即k1=﹣k2，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
三、解答题
14．（2023八下·资阳期末）如图，直线与双曲线相交于点，轴于点，以为边在右侧作正方形，与双曲线相交于点，连结、．
（1）当时，求点的坐标；
（2）当时，求的值；
（3）是否存在实数，满足，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵四边形为正方形，，
∴A点的纵坐标为4，
∵A在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为
（2）解：设，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，解得，
∴；
（3）解：不存在．理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
要使，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，，则点，
∴，，
∴，得，
∴，
∵，
∴不符合题意，不存在．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用；正方形的性质
【解析】【分析】本题考查正方形性质，反比例函数求解析式求点坐标，是否存在点的问题。（1）由”四边形ABCD为正方形“可知，A的纵坐标为4，则可得： 反比例函数解析式为 ，根据线段和求出E点横坐标，可得E点坐标；（2）设点A ，正方形ABCD，可得 ， ， 可得：=，代入坐标，得，则k=18；（3）要是OA⊥AE，可证，则，根据坐标表示，所得k=0与k＞0矛盾，故不存在实数k，使 。根据正方形的性质，结合反比例函数，得出点坐标是关键。
15．（2017·永康模拟）综合题
（1）探究：如图1 ，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数 的图象交于C，D两点(点C在点D的左边)，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，CE与DF交于点G(a，b).
①若 ，请用含n的代数式表示 ；
②求证： ；
（2）应用：如图2，直线l与坐标轴的正半轴分别交于点A，B两点，与反比例函数 的图象交于点C，D两点(点C在点D的左边)，已知 ，△OBD的面积为1，试用含m的代数式表示k.
【答案】（1）①∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，∴∠AEC=∠DFB=90°，又∵∠ACE=∠DCG，∴△ACE∽△DCG∴ ；
②证明：易证△ACE∽△DCG∽△DBF
又∵G(a，b) ∴C( ) ，D(a， ) ∴
即△ACE与△DBF都和△DCG相似，且相似比都为
∴△ACE≌△DBF
∴AC=BD.
（2）如图，过点D作DH⊥x轴于点H
由（2）可得AC=BD
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∴ .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）①由直角相等，对顶角相等，可证明△ACE∽△DCG， ；②由①同理可证明△ACE∽△DCG∽△DBF，通过证明△ACE∽△DCG相似比与△DBF∽△DCG相似比相等，则可证得△ACE≌△DBF，则AC=BD；（2）过点D作DH⊥x轴于点H，则DH//OA，所以有 ， ，根据反比例函数k的几何意义可得 ，
则可写出 ，代入比可解得.
四、综合题
16．（2022八下·温州期末）某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变实验发现，当每次漂洗用水量v（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量y（克）与漂洗次数x（次）满足y=（k为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．
（1）求k的值．
（2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？
（3）现将20升水等分成x次（x>1）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？
【答案】（1）解：∵使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克，
∴v=5，x=1，y=2，
∴2=，
∴k=-0.1．
（2）解：∵v=5，
∴y=，
∵反比例函数y=，在x>0的范围内y随x的增大而减少，
∴当y<0.8时，漂洗的次数x>2.5，
∴至少漂洗3次，衣服中残留的洗衣粉量小于0.8克．
（3）解：由（1）得y=，
∴xy=-0.1v+2.5，即x2y=-0.1vx+2.5x，
∵将20升水等分成x次，
∴vx=20，
∴x2y=-2+2.5x，
∵y=0.5，
∴0.5x2=-2+2.5x，
即x2-5x+4=0，
∴x1=4，x2=1（舍去，x＞1），
∴当x=4时，每次漂洗用水v=20÷4=5升.
答：每次漂洗用水5升.
【知识点】一元二次方程的其他应用；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克，即得v=5，x=1，y=2，代入解析式中即可求出值；
（2）把v=5代入函数解析式得y=，根据反比例函数的性质，即在x>0的范围内y随x的增大而减少，可求出当y<0.8时，漂洗的次数x>2.5，再由漂洗次数为正整数，即可得出至少漂洗的次数；
（3）由（1）得y=，整理得x2y=-0.1vx+2.5x，由将20升水等分成x次可得vx=20，再由y=0.5，再次化简得x2-5x+4=0，解之即可求得符合题意的x值，进而求出每次漂洗用水升数.
17．（2022九上·青岛期中）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
（1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
【答案】（1）解：根据题意可知：
当时，设y与x的函数解析式为，
∴，
解得：，
∴；
当时，设y与x的函数解析式为，
∴，
解得：
∴
综上所述，该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式为：；．
（2）解：当时，
令，
解得：，
∴，
∴销量不到36万件的天数为8天；
当时，
令，
解得： （不符合题意），
∴上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数为8天；
（3）解：当时，
令，
解得：
∴，
∴销量超过100万件的天数为6天，
当时，
令，
解得：
∴，
销量超过100万件的天数为6天，
综上所述，销售量不低于100万件，并且持续天数为12天，广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）风两段考虑： ①当时，②当时， 根据待定系数法分别求解析式即可；
（2）分别利用两个函数值小于36即可求出x范围，从而确定天数即可；
（3）分别求出销售量不低于100万件的天数，相加后大于等于10天即可拿到特殊贡献奖，否则不能.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 26.2 实际问题与反比例函数同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2021九下·梅河口期中）购买 斤水果需 元，购买一斤水果的单价 与 的关系式是（ ）
A． B． （ 为自然数）
C． （ 为整数） D． （ 为正整数）
2．（2021九下·江西月考）小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力 阻力臂 动力 动力臂．现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m，则动力 （单位：N）关于动力臂 （单位：m）的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九下·西湖月考）某市举行中学生数学知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，.其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次数学知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）.
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2015九下·深圳期中）如图，已知直线y=﹣x+4与两坐标轴分别相交于点A，B两点，点C是线段AB上任意一点，过C分别作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E．双曲线 与CD，CE分别交于点P，Q两点，若四边形ODCE为正方形，且 ，则k的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．如图，点A是反比例函数y=是图象上一点，AB⊥y轴于点B，则△AOB的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知反比例函数的图象经过点P（1，﹣2），则这个函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
7．（2019八下·乐山期末）如图，点A、B在反比例函数y= (x>0)的图象上，点C、D在反比例函数y= (x>0)的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A、B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为 ，则k的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
8．（2017·达州模拟）如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数 的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④
二、填空题
9．（2023·扬州）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 ．
10．（2023·南通）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为 ．
11．（2023·益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象；将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象．若将反比例函数的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ．
12．（2017九上·泰州开学考）如图，已知双曲线 （x＞0）经过矩形OABC的边AB、BC上的点F、E，其中CE= CB，AF= AB，且四边形OEBF的面积为2，则k的值为 ．
13．（2014·防城港）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y= 和y= 的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：
① = ；
②阴影部分面积是 （k1+k2）；
③当∠AOC=90°时，|k1|=|k2|；
④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的结论是 （把所有正确的结论的序号都填上）．
三、解答题
14．（2023八下·资阳期末）如图，直线与双曲线相交于点，轴于点，以为边在右侧作正方形，与双曲线相交于点，连结、．
（1）当时，求点的坐标；
（2）当时，求的值；
（3）是否存在实数，满足，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
15．（2017·永康模拟）综合题
（1）探究：如图1 ，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数 的图象交于C，D两点(点C在点D的左边)，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，CE与DF交于点G(a，b).
①若 ，请用含n的代数式表示 ；
②求证： ；
（2）应用：如图2，直线l与坐标轴的正半轴分别交于点A，B两点，与反比例函数 的图象交于点C，D两点(点C在点D的左边)，已知 ，△OBD的面积为1，试用含m的代数式表示k.
四、综合题
16．（2022八下·温州期末）某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变实验发现，当每次漂洗用水量v（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量y（克）与漂洗次数x（次）满足y=（k为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．
（1）求k的值．
（2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？
（3）现将20升水等分成x次（x>1）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？
17．（2022九上·青岛期中）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
（1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】根据单价=总价除以数量，可得y= （x>0）.
故答案为：A
【分析】根据购买 斤水果需 元，求反比例函数解析式即可。
2．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是2400N和1m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：2400×1＝Fl，
则F＝ ，是反比例函数，A选项符合，
故答案为：A．
【分析】利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，将已知数据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可．
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，
∴xy的值就是该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两所学校的优秀人数相等，
点丙在反比例函数图象的上方，
∴丙的优秀人数最多.
故答案为：C
【分析】观察图象可知xy的值就是该校的优秀人数，乙、丁两所学校的优秀人数相等；点丙在反比例函数图象的上方，据此可得到丙的优秀人数最多.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数的定义；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：四边形ODCE为正方形，则OC是第一象限的角平分线，则解析式是y=x，
根据题意得： ，
解得： ，
则C的坐标是（2，2），
设Q的坐标是（2，a），
则DQ=EP=a，PC=CQ=2﹣a，
正方形ODCE的面积是：4，
S△ODQ= ×2 a=a，同理S△OPE=a，S△CPQ= （2﹣a）2，
则4﹣a﹣a﹣ （2﹣a）2= ，
解得：a=1或﹣1（舍去），
则Q的坐标是（2，1），
把（2，1）代入 得：k=2．
故选B．
【分析】四边形ODCE为正方形，则OC是第一象限的角平分线，则解析式是y=x，即可求得C的坐标，根据反比例函数一定关于y=x对称，则P、Q一定是对称点，则设Q的坐标是（2，a），则DQ=EP=a，PC=CQ=2﹣a，根据正方形ODCE的面积﹣△ODQ的面积﹣△OEP的面积﹣△PCQ的面积=△OPQ的面积，即可列方程求得a的值，求得Q的坐标，利用待定系数法即可求得k的值．
5．【答案】B
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：点A是反比例函数y=图象上一点，S△AOB==2．
故选B．
【分析】此题可从反比例函数系数k的几何意义入手，△AOB的面积为点A向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积的一半即S=．
6．【答案】C
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为：y=，
将（1，﹣2）代入上式，得k=﹣2＜0；
∴函数的图象位于第二、四象限．
故选C．
【分析】先根据点P的坐标求出反比例函数的比例系数k，再由反比例函数的性质即可得出结果．
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】根据题意A(1,1),B(2,)
∵AC∥BD∥y轴
可得出点C（1，k）点D（2，）
延长CA、DB分别与x轴教育点E、点F
S△OAC=S△OCE-S△OAE=
可得出S△OAC+S△ABD=
解得k=3
故答案为：B
【分析】根据点的坐标与解析式的关系，可利用面积公式，解得k的值。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：①设D（x， ），则F（x，0），
由图象可知x＞0，
∴△DEF的面积是： ×| |×|x|=2，
设C（a， ），则E（0， ），
由图象可知： ＜0，a＞0，
△CEF的面积是： ×|a|×| |=2，
∴△CEF的面积=△DEF的面积，
故①正确；②△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，
故EF∥CD，
∴FE∥AB，
∴△AOB∽△FOE，
故②正确；③∵C、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数 的图象的交点，
∴x+3= ，
解得：x=﹣4或1，
经检验：x=﹣4或1都是原分式方程的解，
∴D（1，4），C（﹣4，﹣1），
∴DF=4，CE=4，
∵一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵DF∥BO，AO∥CE，
∴∠BCE=∠BAO=45°，∠FDA=∠OBA=45°，
∴∠DCE=∠FDA=45°，
在△DCE和△CDF中 ，
∴△DCE≌△CDF（SAS），
故③正确；④∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD=EF，
同理EF=AC，
∴AC=BD，
故④正确；
正确的有4个．
故选：C．
【分析】设D（x， ），得出F（x，0），根据三角形的面积公式求出△DEF的面积，同法求出△CEF的面积，即可判断①；根据面积相等，推出边EF上的高相等，推出CD∥EF，即可证出△AOB∽△FOE，可判断②；算出C、D点坐标，可得到DF=CE，再证出∠DCE=∠FDA=45°，根据全等三角形的判定判断③即可；证出平行四边形BDFE和平行四边形ACEF，可推出BD=AC，判断④即可．
9．【答案】0.6
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知P是V的的反比例函数，
设（k≠0），
∴k=3×8000=24000，
∴，
∵p≤40000， 气球不爆炸
∴，
解之：V≥0.6，
∴ 气球的体积应不小于0.6
故答案为：0.6
【分析】由题意可知P是V的的反比例函数，结合已知条件可求出P与V的函数解析式，再根据p≥40000，可得到关于V的不等式，然后求出不等式的最小值即可.
10．【答案】2500N
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解： 设功率为P，
∴，
∵F=3750时，V=20
∴P=3750×20=75000，
∴，
当V=30时，
N.
故答案为：2500N.
【分析】设功率为P，可得，将F=3750时，V=20代入函数解析式，可求出P的值，可得到V与F的函数解析式，然后将V=30代入求出F的值.
11．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；列反比例函数关系式；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 将反比例函数的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式是，
故答案为：.
【分析】根据平移规律：左加右减，上加下减，求函数解析式即可。
12．【答案】1
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的实际应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：设矩形的长为a，宽为b，
则由CE= CB，AF= AB，得：
CE= a，AF= b，
∴三角形COE的面积为： ab，
三角形AOF的面积为： ab，
矩形的面积为：ab，
四边形OEBF的面积为：ab﹣ ab﹣ ab= ab，
∴ = ，
∴三角形AOF的面积=四边形OEBF的面积× =2× = ，
∴ |k|= ，
又由于反比例函数的图象位于第一象限，k＞0；
∴k=1．
故答案为：1．
【分析】设矩形的长为a，宽为b，根据已知分别表示出矩形的面积、△COE的面积、△AOF的面积，即可表示出四边形OEBF的面积，然后得出△AOF的面积与四边形OEBF的面积的关系，从而求出k的值。
13．【答案】①④
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴S△AOB=S△COB，
∴AE=CF，
∴OM=ON，
∵S△AOM= |k1|= OM AM，S△CON= |k2|= ON CN，
∴ = ，故①正确；
∵S△AOM= |k1|，S△CON= |k2|，
∴S阴影部分=S△AOM+S△CON= （|k1|+|k2|），
而k1＞0，k2＜0，
∴S阴影部分= （k1﹣k2），故②错误；
当∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴不能确定OA与OC相等，
而OM=ON，
∴不能判断△AOM≌△CNO，
∴不能判断AM=CN，
∴不能确定|k1|=|k2|，故③错误；
若OABC是菱形，则OA=OC，
而OM=ON，
∴Rt△AOM≌Rt△CNO，
∴AM=CN，
∴|k1|=|k2|，
∴k1=﹣k2，
∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确．
故答案为：①④．
【分析】作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，根据平行四边形的性质得S△AOB=S△COB，利用三角形面积公式得到AE=CF，则有OM=ON，再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到S△AOM= |k1|= OM AM，S△CON= |k2|= ON CN，所以有 = ；由S△AOM= |k1|，S△CON= |k2|，得到S阴影部分=S△AOM+S△CON= （|k1|+|k2|）= （k1﹣k2）；当∠AOC=90°，得到四边形OABC是矩形，由于不能确定OA与OC相等，则不能判断△AOM≌△CNO，所以不能判断AM=CN，则不能确定|k1|=|k2|；若OABC是菱形，根据菱形的性质得OA=OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，则AM=CN，所以|k1|=|k2|，即k1=﹣k2，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
14．【答案】（1）解：∵四边形为正方形，，
∴A点的纵坐标为4，
∵A在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为
（2）解：设，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，解得，
∴；
（3）解：不存在．理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
要使，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，，则点，
∴，，
∴，得，
∴，
∵，
∴不符合题意，不存在．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用；正方形的性质
【解析】【分析】本题考查正方形性质，反比例函数求解析式求点坐标，是否存在点的问题。（1）由”四边形ABCD为正方形“可知，A的纵坐标为4，则可得： 反比例函数解析式为 ，根据线段和求出E点横坐标，可得E点坐标；（2）设点A ，正方形ABCD，可得 ， ， 可得：=，代入坐标，得，则k=18；（3）要是OA⊥AE，可证，则，根据坐标表示，所得k=0与k＞0矛盾，故不存在实数k，使 。根据正方形的性质，结合反比例函数，得出点坐标是关键。
15．【答案】（1）①∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，∴∠AEC=∠DFB=90°，又∵∠ACE=∠DCG，∴△ACE∽△DCG∴ ；
②证明：易证△ACE∽△DCG∽△DBF
又∵G(a，b) ∴C( ) ，D(a， ) ∴
即△ACE与△DBF都和△DCG相似，且相似比都为
∴△ACE≌△DBF
∴AC=BD.
（2）如图，过点D作DH⊥x轴于点H
由（2）可得AC=BD
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∴ .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）①由直角相等，对顶角相等，可证明△ACE∽△DCG， ；②由①同理可证明△ACE∽△DCG∽△DBF，通过证明△ACE∽△DCG相似比与△DBF∽△DCG相似比相等，则可证得△ACE≌△DBF，则AC=BD；（2）过点D作DH⊥x轴于点H，则DH//OA，所以有 ， ，根据反比例函数k的几何意义可得 ，
则可写出 ，代入比可解得.
16．【答案】（1）解：∵使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克，
∴v=5，x=1，y=2，
∴2=，
∴k=-0.1．
（2）解：∵v=5，
∴y=，
∵反比例函数y=，在x>0的范围内y随x的增大而减少，
∴当y<0.8时，漂洗的次数x>2.5，
∴至少漂洗3次，衣服中残留的洗衣粉量小于0.8克．
（3）解：由（1）得y=，
∴xy=-0.1v+2.5，即x2y=-0.1vx+2.5x，
∵将20升水等分成x次，
∴vx=20，
∴x2y=-2+2.5x，
∵y=0.5，
∴0.5x2=-2+2.5x，
即x2-5x+4=0，
∴x1=4，x2=1（舍去，x＞1），
∴当x=4时，每次漂洗用水v=20÷4=5升.
答：每次漂洗用水5升.
【知识点】一元二次方程的其他应用；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克，即得v=5，x=1，y=2，代入解析式中即可求出值；
（2）把v=5代入函数解析式得y=，根据反比例函数的性质，即在x>0的范围内y随x的增大而减少，可求出当y<0.8时，漂洗的次数x>2.5，再由漂洗次数为正整数，即可得出至少漂洗的次数；
（3）由（1）得y=，整理得x2y=-0.1vx+2.5x，由将20升水等分成x次可得vx=20，再由y=0.5，再次化简得x2-5x+4=0，解之即可求得符合题意的x值，进而求出每次漂洗用水升数.
17．【答案】（1）解：根据题意可知：
当时，设y与x的函数解析式为，
∴，
解得：，
∴；
当时，设y与x的函数解析式为，
∴，
解得：
∴
综上所述，该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式为：；．
（2）解：当时，
令，
解得：，
∴，
∴销量不到36万件的天数为8天；
当时，
令，
解得： （不符合题意），
∴上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数为8天；
（3）解：当时，
令，
解得：
∴，
∴销量超过100万件的天数为6天，
当时，
令，
解得：
∴，
销量超过100万件的天数为6天，
综上所述，销售量不低于100万件，并且持续天数为12天，广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）风两段考虑： ①当时，②当时， 根据待定系数法分别求解析式即可；
（2）分别利用两个函数值小于36即可求出x范围，从而确定天数即可；
（3）分别求出销售量不低于100万件的天数，相加后大于等于10天即可拿到特殊贡献奖，否则不能.
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