2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.1 图形的相似同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·蚌埠期中）下列两个图形不一定是相似图形的是（ ）
A．两个圆 B．两个正方形
C．两个等边三角形 D．两个等腰三角形
2．（2023九上·宁远期中）下列说法正确的有个（ ）
任意两个矩形都相似 任意两个正方形都相似
任意两个等边三角形都相似 任意两个菱形都相似．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023九上·松江期中）下列说法正确的个数有（ ）
①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023九上·阜阳期中）已知两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的周长的比为（ ）
A．4：9 B．3：2 C．2：3 D．4：6
5．（2022九上·晋州期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．10
6．（2023九上·义乌月考）如图，在矩形ABCD中，M和N分别为AB和CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形MNCB，那么他们的相似比为（ ）
A． B． C．2：1 D．1：1
7．（2023九上·遵化期中）四边形四边形，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·市南区期中）如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．如图，四边形四边形，则的度数是 ．
10．（2023九上·朝阳期中）若两个相似多边形的面积之比是，则这两个相似多边形的周长之比是 ．
11．（2023九上·小店期中） 五边形五边形，相似比为，若，则 .
12．（2023九上·闵行期中）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是 ．
三、解答题
13．（2023九上·西安期中） 如图，已知△ABC～△A1B1C1，∠C＝40°，∠B1＝55°，AC＝6，BC＝7，A1C1＝8，求x的值和∠A的度数．
14．如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图①，若矩形ABCD内四周有宽为1的方形区域，图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
（2）如图②，当x为多少时，矩形ABCD和矩形A'B'C'D'相似？
四、综合题
15．（2023九下·丹徒月考）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上.
（1）在图①中， .
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.
①如图②，在上找一点P，使.
②如图③，在上找一点P，使.
16．（2023九下·秦淮月考）如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点.
（1）求证：是菱形：
（2）若，则的值为 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】A、∵任意两个圆均是相似图形，∴A不符合题意；
B、∵任意两个正方形均是相似图形，∴B不符合题意；
C、∵任意两个等边三角形均是相似图形，∴C不符合题意；
D、∵任意两个等腰三角形不一定相似，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用相似图形的判定方法逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误；
（2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确；
（3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确；
（4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误．
综合分析可得，下确的是（2）和（3），共2个，
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形定义判定。如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．
3．【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：当各边对应成比例，各角对应相等时两个图形相似，
①所有正方形各边对应成比例，各角对应相等，故都相似，此选项符合题意；
②所有的矩形对应边不一定成比例，不一定相似，故此选项不合题意；
③所有的菱形对应角不一定相等，不一定相似，故此选项不合题意；
④所有的等腰三角形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，不一定相似，故此选项不合题意．
故答案为：A.
【分析】根据“相似图形的对应边成比例，对应角相等”，分别判断得出答案．
4．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：因为相似三角形周长的比等于它们的相似比，所以它们的周长的比为2：3。
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为5和，每一个小矩形均与原矩形相似，
∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，
∴，解方程得，，（舍弃），
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出x的值即可。
6．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵M和N分别为AB和CD的中点，
∴矩形ABCD的面积是矩形MNCB的面积的2倍，
∵果矩形ABCD∽矩形MNCB
∴矩形ABCD与矩形MNCB的相似比为 .
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的性质，面积的比是相似比的平方，即可得解.
7．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：四边形四边形，
，
，，
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的性质以及四边形内角和定理进行计算即可求解.
8．【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】矩形外框与原图不一定相似，因为虽然它们的对应角相等，但是对应边的比值不一定相等；三角形外框与原图一定相似，因为其对应角均相等；正五边形相似，因为它们的对应角都相等，且各对应边的比值也相等；菱形也相似，因为它们的对应角都相等，且各对应边的比值也相等；
故答案为：C。
【分析】根据相似多边形的判定定理，对各个选项进行分析，即可得出答案。
9．【答案】95
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形四边形，
∴，
∴
故答案为：95.
【分析】根据相似多边形的性质求解。根据相似多边形的对应角相等，结合多边形内角和定理计算．
10．【答案】2：3
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是，
∴这两个相似多边形的周长之比2：3.
故答案为：2：3.
【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比.
11．【答案】6
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵五边形五边形，相似比为，
∴，
∵AB=2，
∴A'B'=3AB=3×2=6，
故答案为：6.
【分析】利用相似多边形的性质可得，再将AB的长代入计算即可.
12．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设第二个矩形较长的一边长是x，
∵两个矩形相似，
∴，
∴x=.
故答案为：。
【分析】设第二个矩形较长的一边长是x，根据相似多边形的对应边成比例，可得，解得x=，即可得出答案。
13．【答案】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∠B1＝55°，
∴AC：A1C1＝BC：B1C1，∠B＝∠B1＝55°，
即6：8＝7：x，
解得：x＝，
∵∠C＝40°，∠B＝∠B1＝55°，
∴∠A＝180°-（∠B+∠C）＝180°-（55°+40°）＝85°．
【知识点】三角形内角和定理；相似多边形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的对应边成比例及对应角相等，可求出∠B的度数，同时可求出x的值；然后利用三角形的内角和定理求出∠A的度数.
14．【答案】（1）解：不相似，理由如下：
∵AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，
∴，
∴
∴矩形ABCD与矩形A'B'C'D' 不相似；
（2）解：若矩形ABCD和矩形相似，则或，即，或，解得或.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】 （1）因为矩形的对应角都相等，只需证明两个矩形的对应边是否成比例即可判断，根据题中的数据计算可得矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似；
（2）由题知两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，根据对应边成比例，可列式即可求出x的值．
15．【答案】（1）
（2）解：①在网格图②中，，
如图2所示，连接CD，交AB于点P，
∵，
∴△PBC∽△PAD，
∴，
解得：，
∴点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A'，
连接A'C，交BD于点P，
∵，
∴△A'PB∽△CPD，
∵△ABP≌△A'BP，
∴△APB∽△CPD，
∴点P即为所要找的点.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）解：图1中，
∵，
∴△PCD∽△PBA，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PCD∽△PBA，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）①连接点A右边三个单位长度处的格点D与B点左边两个单位长度处的格点C，CD与AB的交点就是所求的点P，理由如下：首先利用网格纸的特点及勾股定理算出AB的长，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PBC∽△PAD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AP=3；
②作点A的对称点A'，连接A'C，交BD于点P，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△A'PB∽△CPD，格努轴对称的性质得△ABP≌△A'BP，从而得出△APB∽△CPD，故点P即为所要找的点.
16．【答案】（1）证明：∵的平分线交于点，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
∴.
同理，.
∴.
∵
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴四边形是菱形.
（2）
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似多边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（2）由（1）知，四边形是菱形，
又四边形是平行四边形，
，
设，，则有：
，即，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAE=∠EAF，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠EAF=∠AEB，则∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，同理可得AB=AF，则BE=AF，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）由（1）知：四边形ABEF是菱形，则AB=BE=EF=FA，根据平行四边形的性质可得FD=CE，EF=CD，则AB=BE=EF=FA=CD，使劲儿FD=CE=x，AF=BE=CD=y，则BC=x+y，根据相似图形的对应边成比例可得x，据此求解.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.1 图形的相似同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·蚌埠期中）下列两个图形不一定是相似图形的是（ ）
A．两个圆 B．两个正方形
C．两个等边三角形 D．两个等腰三角形
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】A、∵任意两个圆均是相似图形，∴A不符合题意；
B、∵任意两个正方形均是相似图形，∴B不符合题意；
C、∵任意两个等边三角形均是相似图形，∴C不符合题意；
D、∵任意两个等腰三角形不一定相似，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用相似图形的判定方法逐项分析判断即可.
2．（2023九上·宁远期中）下列说法正确的有个（ ）
任意两个矩形都相似 任意两个正方形都相似
任意两个等边三角形都相似 任意两个菱形都相似．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误；
（2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确；
（3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确；
（4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误．
综合分析可得，下确的是（2）和（3），共2个，
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形定义判定。如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．
3．（2023九上·松江期中）下列说法正确的个数有（ ）
①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：当各边对应成比例，各角对应相等时两个图形相似，
①所有正方形各边对应成比例，各角对应相等，故都相似，此选项符合题意；
②所有的矩形对应边不一定成比例，不一定相似，故此选项不合题意；
③所有的菱形对应角不一定相等，不一定相似，故此选项不合题意；
④所有的等腰三角形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，不一定相似，故此选项不合题意．
故答案为：A.
【分析】根据“相似图形的对应边成比例，对应角相等”，分别判断得出答案．
4．（2023九上·阜阳期中）已知两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的周长的比为（ ）
A．4：9 B．3：2 C．2：3 D．4：6
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：因为相似三角形周长的比等于它们的相似比，所以它们的周长的比为2：3。
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，即可得出答案。
5．（2022九上·晋州期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为5和，每一个小矩形均与原矩形相似，
∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，
∴，解方程得，，（舍弃），
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出x的值即可。
6．（2023九上·义乌月考）如图，在矩形ABCD中，M和N分别为AB和CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形MNCB，那么他们的相似比为（ ）
A． B． C．2：1 D．1：1
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵M和N分别为AB和CD的中点，
∴矩形ABCD的面积是矩形MNCB的面积的2倍，
∵果矩形ABCD∽矩形MNCB
∴矩形ABCD与矩形MNCB的相似比为 .
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的性质，面积的比是相似比的平方，即可得解.
7．（2023九上·遵化期中）四边形四边形，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：四边形四边形，
，
，，
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的性质以及四边形内角和定理进行计算即可求解.
8．（2023九上·市南区期中）如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】矩形外框与原图不一定相似，因为虽然它们的对应角相等，但是对应边的比值不一定相等；三角形外框与原图一定相似，因为其对应角均相等；正五边形相似，因为它们的对应角都相等，且各对应边的比值也相等；菱形也相似，因为它们的对应角都相等，且各对应边的比值也相等；
故答案为：C。
【分析】根据相似多边形的判定定理，对各个选项进行分析，即可得出答案。
二、填空题
9．如图，四边形四边形，则的度数是 ．
【答案】95
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形四边形，
∴，
∴
故答案为：95.
【分析】根据相似多边形的性质求解。根据相似多边形的对应角相等，结合多边形内角和定理计算．
10．（2023九上·朝阳期中）若两个相似多边形的面积之比是，则这两个相似多边形的周长之比是 ．
【答案】2：3
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是，
∴这两个相似多边形的周长之比2：3.
故答案为：2：3.
【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比.
11．（2023九上·小店期中） 五边形五边形，相似比为，若，则 .
【答案】6
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵五边形五边形，相似比为，
∴，
∵AB=2，
∴A'B'=3AB=3×2=6，
故答案为：6.
【分析】利用相似多边形的性质可得，再将AB的长代入计算即可.
12．（2023九上·闵行期中）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设第二个矩形较长的一边长是x，
∵两个矩形相似，
∴，
∴x=.
故答案为：。
【分析】设第二个矩形较长的一边长是x，根据相似多边形的对应边成比例，可得，解得x=，即可得出答案。
三、解答题
13．（2023九上·西安期中） 如图，已知△ABC～△A1B1C1，∠C＝40°，∠B1＝55°，AC＝6，BC＝7，A1C1＝8，求x的值和∠A的度数．
【答案】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∠B1＝55°，
∴AC：A1C1＝BC：B1C1，∠B＝∠B1＝55°，
即6：8＝7：x，
解得：x＝，
∵∠C＝40°，∠B＝∠B1＝55°，
∴∠A＝180°-（∠B+∠C）＝180°-（55°+40°）＝85°．
【知识点】三角形内角和定理；相似多边形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的对应边成比例及对应角相等，可求出∠B的度数，同时可求出x的值；然后利用三角形的内角和定理求出∠A的度数.
14．如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图①，若矩形ABCD内四周有宽为1的方形区域，图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
（2）如图②，当x为多少时，矩形ABCD和矩形A'B'C'D'相似？
【答案】（1）解：不相似，理由如下：
∵AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，
∴，
∴
∴矩形ABCD与矩形A'B'C'D' 不相似；
（2）解：若矩形ABCD和矩形相似，则或，即，或，解得或.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】 （1）因为矩形的对应角都相等，只需证明两个矩形的对应边是否成比例即可判断，根据题中的数据计算可得矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似；
（2）由题知两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，根据对应边成比例，可列式即可求出x的值．
四、综合题
15．（2023九下·丹徒月考）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上.
（1）在图①中， .
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.
①如图②，在上找一点P，使.
②如图③，在上找一点P，使.
【答案】（1）
（2）解：①在网格图②中，，
如图2所示，连接CD，交AB于点P，
∵，
∴△PBC∽△PAD，
∴，
解得：，
∴点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A'，
连接A'C，交BD于点P，
∵，
∴△A'PB∽△CPD，
∵△ABP≌△A'BP，
∴△APB∽△CPD，
∴点P即为所要找的点.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）解：图1中，
∵，
∴△PCD∽△PBA，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PCD∽△PBA，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）①连接点A右边三个单位长度处的格点D与B点左边两个单位长度处的格点C，CD与AB的交点就是所求的点P，理由如下：首先利用网格纸的特点及勾股定理算出AB的长，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PBC∽△PAD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AP=3；
②作点A的对称点A'，连接A'C，交BD于点P，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△A'PB∽△CPD，格努轴对称的性质得△ABP≌△A'BP，从而得出△APB∽△CPD，故点P即为所要找的点.
16．（2023九下·秦淮月考）如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点.
（1）求证：是菱形：
（2）若，则的值为 .
【答案】（1）证明：∵的平分线交于点，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
∴.
同理，.
∴.
∵
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴四边形是菱形.
（2）
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似多边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（2）由（1）知，四边形是菱形，
又四边形是平行四边形，
，
设，，则有：
，即，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAE=∠EAF，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠EAF=∠AEB，则∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，同理可得AB=AF，则BE=AF，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）由（1）知：四边形ABEF是菱形，则AB=BE=EF=FA，根据平行四边形的性质可得FD=CE，EF=CD，则AB=BE=EF=FA=CD，使劲儿FD=CE=x，AF=BE=CD=y，则BC=x+y，根据相似图形的对应边成比例可得x，据此求解.
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