2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.1 图形的相似同步分层训练培优题
一、选择题
1．下列不一定是相似图形的是（ ）
A．边数相同的正多边形 B．两个等腰直角三角形
C．两个圆 D．两个等腰三角形
2．（2020九下·河北月考）手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，如图，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019九下·温州竞赛）已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中，与矩形ABCD相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是 （ ）
A．新三角形与原三角形相似
B．新矩形与原矩形相似
C．新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似
D．都不相似
5．如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．3 B．4 C．3 D．5
6．（2022九上·镇海区期中）如图， 点P是平行四边形内部一点， 过P分别作和的平行线交平行四边 形的四边于. 连结分别交于M和N. 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍. 下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019九上·平顶山期中）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
8．（2017·普陀模拟）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 ．
9．如图，图形可以看成某种特殊的“细胞”，每个图形分裂为全等的4个小“细胞”，分裂的小“细胞”与原图形相似，其相似比为
10．（2023九上·聊城月考）一个多边形的边长分别为，，，，另一个与它相似的多边形的最长边长为，则该多边形的最短边长为 ．
11．（2020九上·孝义期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ．
12．（2019·抚顺模拟）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2；正六边形A2B2C2D2E2F2的6条对角线又围成一个正六边形A3B3C3D3E3F3…；如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 .
三、解答题
13．用木条制成如图的形式，A、B、C三点钉上钉子，在D和D′处加上粉笔，当用D′画图时，在D处的笔同时也画出一个图形．请问：这样画出的两个图形是相似图形吗？
14．如图所示，系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸.
（1）填空：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍.
（2）根据系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比.
（3）设1张纸张的重量为克，试求出1张纸张的质量.(用含的代数式表示)
四、综合题
15．（2022九上·灌阳期中）如图，在直角坐标中，矩形的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数是的图象经过的中点D，且与交于点E，连接．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是边上一点，且，求直线的解析式．
（3）若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标．
16．（2021·深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、 倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？ （填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， ，
联立 得 ，再探究根的情况：
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的 倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明 ： ， ： ，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 ，若存在，用图像表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A：边数相同的正多边形各内角也相等，故它们一定相似．
B：两个等腰直角三角形的顶角均为90°，两个锐角分别为45°，故它们一定相似．
C：两个圆的形状一定相同，故它们一定相似．
D：两个等腰三角形的三个内角不一定相等，故它们不一定相似．
故：选D
【分析】根据相似的概念进行判断即可．
2．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；
B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；
C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不一定成比例，故D选项符合要求；
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的判定方法逐项判定即可。
3．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】矩形ABCD的长宽之比为4∶3，
A、长宽之比为2∶1.5=4∶3，A符合题意；
B、长宽之比为2：1.2=5：3，B不符合题意；
C、长宽之比为3：2，C不符合题意；
D、长宽之比为2.5∶1.5=5∶3，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】分别把每个矩形的长宽之比化为最简整数比，比较即可。
4．【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′；
∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴ ， ，
∴新矩形与原矩形对应边的比不相等，
∴新矩形与原矩形不相似，
故选：A
【分析】根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定定理证明即可．
5．【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似图形
【解析】【解答】解：∵这三个正方形的边都互相平行．
∴它们均相似．
∴ = 解得：x=4．
故选B．
【分析】根据相似多边形的对应边的比相等，就可以判断．
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H.
四边形四边形，
∴四边形都是平行四边形，且相似，
设，
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，
∵四边形的面积是四边形的3倍.设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，
∴，
∴，
∴、、都不成立，
成立，
故答案为：D.
【分析】易得四边形PFBG、DEPH都是平行四边形，且相似，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，易得，从而可得GM=x，FN=y，EM=kx，NH=ky，然后推出△CGM≌△NFA，△CNH≌△MAE，则可得，四边形FBCH的面积是四边形AFPE的3倍，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，进而建立方程求出k的值，从而即可一一判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】菱形的性质；平移的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝ ∠BCD＝30°，
∴A'D＝1，A'C＝ DA'＝ ，
∴菱形ABCD的面积＝4× ×A'D×A'C＝2 ，
如图，
由平移的性质得， ABCD∽ A'ECF，且A'C＝ AC，
∴四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，
∴阴影部分的面积＝ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，即可求解.
8．【答案】1：4
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，
所以放大前后的两个三角形的面积比为5：20=1：4，
故答案为：1：4．
【分析】根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．
9．【答案】1：2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设分裂的小细胞与原图形的相似比是k，
则，
∴，
即相似比为1：2．
故答案为：1：2．
【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可．
10．【答案】8
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设多边形的最短边为x，由题意可得：
，解得：x=8
故答案为：8
【分析】根据相似图形的相似比即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为 ，
故答案为： ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
12．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，
∴B1B2＝ A1B1＝ ，
∴A2B2＝ A1B2＝B1B2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝ × ＝ ，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝（ ）3× ＝ ；
故答案为： .
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，进而得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，结合正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，即可得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，以此类推，即可得到答案.
13．【答案】解：因为木条制成的图形固定，点D和点D′的相对位置固定，
所以点D处的粉笔画图时，点D′处的粉笔会画出形状相同的图形，这两个图形的形状相同，
因此是相似图形．
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】因为D与D′两点是相对位置固定的，所以两者会画出相似的图形。
14．【答案】（1）2；2
（2）解：设A1的长宽为m、n，则A2的长宽为n、，
∵两个矩形相似，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可得对裁后的矩形重量是对裁前的，即克.
【知识点】轴对称的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）设矩形面积分别为A1、A2，A1对裁后得到两张A2，所以A1=2A2；设A2的长宽分别为a、b，则A4长宽为、，所以A2的周长为2a+2b，A4的周长为a+b，因此A2周长是A4周长的2倍；
故答案案为：2；2；
【分析】（1）一个矩形对裁得到2个新矩形，因此新矩形面积是原矩形的一半，即得A1面积是A2的2倍；通过设A2的长宽分别为a、b，得到A4长宽为、，所以A2的周长为2a+2b，A4的周长为a+b，因此A2周长是A4周长的2倍；
（2）设A1的长宽为m、n，则A2的长宽为n、，由相似矩形对应边成比例得到，算出；
（3）纸张厚度一样，因此重量比即为面积比，通过对裁可得到面积的变化规律为，因此A8纸张的重量为克.
15．【答案】（1）解：在矩形中，
∵B点坐标为，
∴边中点D的坐标为，
又∵反比例函数图象经过点，
∴，
∴，
∵E点在上，
∴E点的横坐标为2，
又∵经过点E，
∴E点纵坐标为，
∴E点坐标为，
（2）解：由（1）得，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即点F的坐标为，
设直线的解析式为，而直线经过，，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（3）解：∵，
由题意，得，
∴，
∴点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；相似多边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由B点的坐标，可得出D点的坐标，将点D的坐标代入反比例函数 可求出k值，由E点在AB上可得出点E的横坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出E点的纵坐标，进而可得出E点的坐标；
（2）由（1）可得出BD＝1，BE＝，CB＝2，由△FBC∽△DEB，利用相似三角形的对应边成比例建立方程可求出CF的长，结合OF＝OC CF可得出OF的长，进而可得出点F的坐标，由点F，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线FB的解析式；
（3）由S四边形BDOE＝S矩形OABC S△OCD S△OAE，可求出四边形BDOE的面积，由点P在y轴上及△OPD的面积与四边形BDOE的面积相等，可求出OP的长，进而可得出P点的坐标．
16．【答案】（1）不存在
（2）解：a存在；
∵ 的判别式 ，方程有两组正数解，故存在；
从图像来看， ： ， ： 在第一象限有两个交点，故存在；
b设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， ，联立 得 ，
因为 ，此方程无解，故这样的新矩形不存在；
从图像来看， ： ， ： 在第一象限无交点，故不存在；
c. ；
设新矩形长和宽为x和y，则由题意 ， ，
联立 得 ， ，故 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）不存在，
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在；
【分析】（1）根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的平方，即可得出这样的正方形不存在；
（2）a、方法①：根据一元二次方程根的判别式△＞0，得出方程有两组正数解，即可得出这样的新矩形存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+10与反比例函数y= 在第一象限有两个交点，即可得出这样的新矩形存在；
b、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式△＜0，得出方程无解，即可得出这样的新矩形不存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+与反比例函数y= 在第一象限没有交点，即可得出这样的新矩形不存在；
c、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式△≥0，求出k的取值范围，即可得出答案.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.1 图形的相似同步分层训练培优题
一、选择题
1．下列不一定是相似图形的是（ ）
A．边数相同的正多边形 B．两个等腰直角三角形
C．两个圆 D．两个等腰三角形
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A：边数相同的正多边形各内角也相等，故它们一定相似．
B：两个等腰直角三角形的顶角均为90°，两个锐角分别为45°，故它们一定相似．
C：两个圆的形状一定相同，故它们一定相似．
D：两个等腰三角形的三个内角不一定相等，故它们不一定相似．
故：选D
【分析】根据相似的概念进行判断即可．
2．（2020九下·河北月考）手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，如图，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；
B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；
C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不一定成比例，故D选项符合要求；
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的判定方法逐项判定即可。
3．（2019九下·温州竞赛）已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中，与矩形ABCD相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】矩形ABCD的长宽之比为4∶3，
A、长宽之比为2∶1.5=4∶3，A符合题意；
B、长宽之比为2：1.2=5：3，B不符合题意；
C、长宽之比为3：2，C不符合题意；
D、长宽之比为2.5∶1.5=5∶3，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】分别把每个矩形的长宽之比化为最简整数比，比较即可。
4．将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是 （ ）
A．新三角形与原三角形相似
B．新矩形与原矩形相似
C．新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似
D．都不相似
【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′；
∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴ ， ，
∴新矩形与原矩形对应边的比不相等，
∴新矩形与原矩形不相似，
故选：A
【分析】根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定定理证明即可．
5．如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．3 B．4 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似图形
【解析】【解答】解：∵这三个正方形的边都互相平行．
∴它们均相似．
∴ = 解得：x=4．
故选B．
【分析】根据相似多边形的对应边的比相等，就可以判断．
6．（2022九上·镇海区期中）如图， 点P是平行四边形内部一点， 过P分别作和的平行线交平行四边 形的四边于. 连结分别交于M和N. 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍. 下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H.
四边形四边形，
∴四边形都是平行四边形，且相似，
设，
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，
∵四边形的面积是四边形的3倍.设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，
∴，
∴，
∴、、都不成立，
成立，
故答案为：D.
【分析】易得四边形PFBG、DEPH都是平行四边形，且相似，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，易得，从而可得GM=x，FN=y，EM=kx，NH=ky，然后推出△CGM≌△NFA，△CNH≌△MAE，则可得，四边形FBCH的面积是四边形AFPE的3倍，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，进而建立方程求出k的值，从而即可一一判断得出答案.
7．（2019九上·平顶山期中）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；平移的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝ ∠BCD＝30°，
∴A'D＝1，A'C＝ DA'＝ ，
∴菱形ABCD的面积＝4× ×A'D×A'C＝2 ，
如图，
由平移的性质得， ABCD∽ A'ECF，且A'C＝ AC，
∴四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，
∴阴影部分的面积＝ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，即可求解.
二、填空题
8．（2017·普陀模拟）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 ．
【答案】1：4
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，
所以放大前后的两个三角形的面积比为5：20=1：4，
故答案为：1：4．
【分析】根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．
9．如图，图形可以看成某种特殊的“细胞”，每个图形分裂为全等的4个小“细胞”，分裂的小“细胞”与原图形相似，其相似比为
【答案】1：2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设分裂的小细胞与原图形的相似比是k，
则，
∴，
即相似比为1：2．
故答案为：1：2．
【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可．
10．（2023九上·聊城月考）一个多边形的边长分别为，，，，另一个与它相似的多边形的最长边长为，则该多边形的最短边长为 ．
【答案】8
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设多边形的最短边为x，由题意可得：
，解得：x=8
故答案为：8
【分析】根据相似图形的相似比即可求出答案.
11．（2020九上·孝义期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为 ，
故答案为： ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
12．（2019·抚顺模拟）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2；正六边形A2B2C2D2E2F2的6条对角线又围成一个正六边形A3B3C3D3E3F3…；如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 .
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，
∴B1B2＝ A1B1＝ ，
∴A2B2＝ A1B2＝B1B2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝ × ＝ ，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝（ ）3× ＝ ；
故答案为： .
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，进而得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，结合正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，即可得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，以此类推，即可得到答案.
三、解答题
13．用木条制成如图的形式，A、B、C三点钉上钉子，在D和D′处加上粉笔，当用D′画图时，在D处的笔同时也画出一个图形．请问：这样画出的两个图形是相似图形吗？
【答案】解：因为木条制成的图形固定，点D和点D′的相对位置固定，
所以点D处的粉笔画图时，点D′处的粉笔会画出形状相同的图形，这两个图形的形状相同，
因此是相似图形．
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】因为D与D′两点是相对位置固定的，所以两者会画出相似的图形。
14．如图所示，系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸.
（1）填空：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍.
（2）根据系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比.
（3）设1张纸张的重量为克，试求出1张纸张的质量.(用含的代数式表示)
【答案】（1）2；2
（2）解：设A1的长宽为m、n，则A2的长宽为n、，
∵两个矩形相似，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可得对裁后的矩形重量是对裁前的，即克.
【知识点】轴对称的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）设矩形面积分别为A1、A2，A1对裁后得到两张A2，所以A1=2A2；设A2的长宽分别为a、b，则A4长宽为、，所以A2的周长为2a+2b，A4的周长为a+b，因此A2周长是A4周长的2倍；
故答案案为：2；2；
【分析】（1）一个矩形对裁得到2个新矩形，因此新矩形面积是原矩形的一半，即得A1面积是A2的2倍；通过设A2的长宽分别为a、b，得到A4长宽为、，所以A2的周长为2a+2b，A4的周长为a+b，因此A2周长是A4周长的2倍；
（2）设A1的长宽为m、n，则A2的长宽为n、，由相似矩形对应边成比例得到，算出；
（3）纸张厚度一样，因此重量比即为面积比，通过对裁可得到面积的变化规律为，因此A8纸张的重量为克.
四、综合题
15．（2022九上·灌阳期中）如图，在直角坐标中，矩形的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数是的图象经过的中点D，且与交于点E，连接．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是边上一点，且，求直线的解析式．
（3）若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标．
【答案】（1）解：在矩形中，
∵B点坐标为，
∴边中点D的坐标为，
又∵反比例函数图象经过点，
∴，
∴，
∵E点在上，
∴E点的横坐标为2，
又∵经过点E，
∴E点纵坐标为，
∴E点坐标为，
（2）解：由（1）得，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即点F的坐标为，
设直线的解析式为，而直线经过，，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（3）解：∵，
由题意，得，
∴，
∴点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；相似多边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由B点的坐标，可得出D点的坐标，将点D的坐标代入反比例函数 可求出k值，由E点在AB上可得出点E的横坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出E点的纵坐标，进而可得出E点的坐标；
（2）由（1）可得出BD＝1，BE＝，CB＝2，由△FBC∽△DEB，利用相似三角形的对应边成比例建立方程可求出CF的长，结合OF＝OC CF可得出OF的长，进而可得出点F的坐标，由点F，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线FB的解析式；
（3）由S四边形BDOE＝S矩形OABC S△OCD S△OAE，可求出四边形BDOE的面积，由点P在y轴上及△OPD的面积与四边形BDOE的面积相等，可求出OP的长，进而可得出P点的坐标．
16．（2021·深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、 倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？ （填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， ，
联立 得 ，再探究根的情况：
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的 倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明 ： ， ： ，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 ，若存在，用图像表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．
【答案】（1）不存在
（2）解：a存在；
∵ 的判别式 ，方程有两组正数解，故存在；
从图像来看， ： ， ： 在第一象限有两个交点，故存在；
b设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， ，联立 得 ，
因为 ，此方程无解，故这样的新矩形不存在；
从图像来看， ： ， ： 在第一象限无交点，故不存在；
c. ；
设新矩形长和宽为x和y，则由题意 ， ，
联立 得 ， ，故 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）不存在，
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在；
【分析】（1）根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的平方，即可得出这样的正方形不存在；
（2）a、方法①：根据一元二次方程根的判别式△＞0，得出方程有两组正数解，即可得出这样的新矩形存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+10与反比例函数y= 在第一象限有两个交点，即可得出这样的新矩形存在；
b、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式△＜0，得出方程无解，即可得出这样的新矩形不存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+与反比例函数y= 在第一象限没有交点，即可得出这样的新矩形不存在；
c、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式△≥0，求出k的取值范围，即可得出答案.
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