2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九下·武义月考）下列各组数中，成比例的是（ ）.
A．1，-2，-3，-6 B．1，4，2，-8
C．5，6，2，3 D．，，1，
2．（2023九上·亳州月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·兴隆期中）如图，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·闵行期中）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD ：BD=2：3，那么下列条件中能够判断DE//BC的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2018九上·宁波期中）若，则 的值为( )
A． B． C． D．
6．（2023九上·长沙月考）如图，，点分别在上，的长（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
7．（2022九上·金东期中）如图，在中，点分别是边上的点，，且，则等于（ ）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
8．（2023九上·简阳期中）如图，在中，点分别在边上，．若，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023九上·天长期中）某零件长是40cm，若该零件在设计图上的长为2mm，则这幅设计图的比例尺为1： ．
10．（2023九上·浦东期中）如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是 .
11．（2023九上·虹口期中）如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么线段的长是 ．
12．（2021九上·长春期中）如图，在 中，D、E分别是边 、 上的点，且 ．若 ， ， ，则 的长为 ．
13．（2023九上·闵行期中）如图，已知在△中，是边上的一点，连结.当满足 条件时，△∽△（写一个即可）.
三、解答题
14．（2023九上·金沙期中）如图，在中，经，CD是边AB上的高.
（1）求证：；
（2）若，，求BD的长.
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC．试判断线段AD，BE，AC，BC是否成比例，并说明理由．
四、综合题
16．（2020九上·乐清月考）如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC = EB .
（1）求证：△CEB∽△CBD ；
（2）若CE = 3，CB=5 ，求DE的长.
17．（2019九上·路南期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．
（1）若AD＝5，DB＝6，EC＝12，求AE的长；
（2）若AB＝10，AD＝4，AE＝6，求EC的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意.
故答案为：D.
【分析】如果前两个数据的比值等于后两个数据的比值，那么这四个数据就成比例，据此一一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】
解：∵
∴ 3（a-b）=b
∴ 3a=4b
∴
故答案为A
【分析】本题考查比例的性质，熟悉其性质是关键。根据比例的性质，可得3（a-b）=b，则可得.
3．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴选项A，B和D错误，选项C正确，
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
可假设，
∵
∴，故A选项错误，
，故D选项错误；
反过来，当时，不能得到，故B选项错误；
当时，能得到，故C选项正确；
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．
可先假设，由平行得出其对应线段成比例判定即可．
5．【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【分析】用b表示a，代入求解即可．
【解答】法一：由可设a=3k，b=5k，则==
法二：由可得5a=3b，则=
【点评】本题主要考查了简单的比例问题，能够熟练掌握．
6．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴DE=4，
故答案为：B
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意即可求解。
7．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴；
∵EF∥AB，
∴.
故答案为：C
【分析】利用平行线分线段成比例定理可得到AE与CE的比值；再由EF∥AB，可求出BF与CF的比值.
8．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴、，故原选项错误，不符合题意；
、，故原选项错误，不符合题意；
、，即面积比等于相似比的平方，故原选项错误，不符合题意；
、，即周长比等于相似比，故原选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定和性质判定。先证明，则，再根据相似三角形的性质进行解答即可．本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形性质的运用是解题的关键．需要注意的是：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
9．【答案】200
【知识点】比例线段
【解析】【解答】∵40cm=400mm，
∴2：400=1：200，
∴这幅设计图的比例尺为1：200，
故答案为：200.
【分析】先利用单位换算可得40cm=400mm，再求出2：400=1：200，从而得解.
10．【答案】100
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设实际距离500km的两地在地图上的图距是xcm，则
4：2000000=x：50000000，解得x=100．
故答案为100．
【分析】根据比例线段建立方程求解。
11．【答案】8
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵DF=20，
∴DE=DF=8.
故答案为：8.
【分析】根据平行线分线段成比例可得，继而求解.
12．【答案】3
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得：
∴ ．
故答案为：3．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入计算求出AC的长，最后利用AC-AE计算即可。
13．【答案】∠B=∠ACP(或，答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴当或或时，．
故答案为：或或．
【分析】根据相似三角形的判定求解．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．
14．【答案】（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴，
∵，∴，
∵，∴
（2）解：∵，CD是边AB上的高，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴BD的长为.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1） CD是边AB上的高， 得到 ， 结合题意得到 ， 由图形可得∠A是公共角，进而证明 ；
（2）先利用勾股定理求得AB的值，再利用三角形等面积法求出CD的值，再次利用勾股定理即可求得BD的值.
15．【答案】解：由，可得
解：成比例；理由如下：
∵
∴，
即AD：BE=AC：BC，
所以线段AD，BE，AC，BC成比例．
【知识点】三角形的面积；比例线段
【解析】【分析】根据三角形的面积公式可得，推得，即可判断．
16．【答案】（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD
∴BC=BD
∴∠CDB=∠DCB
∵CE=EB
∴∠DCB=∠ECB
∴∠CBE=∠CDB
∵∠ECB=∠BCD
∴△CEB∽△CBD
（2）解：由（1）知△CEB∽△CBD
∴
∴CB =CE·CD
∵CE=3，CB=5
∴CD=
∴DE=
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得BD=BC，再由圆周角定理得出∠CDB=∠DCB，结合∠CDB=∠DCB，可得∠DCB=∠ECB，最后根据两个角分别相等的两个三角形是相似三角形证出△CEB∽△CBD；
（2）根据相似三角形的对应边成比例列式求出CD的长，结合CE=3，则DE长可求.
17．【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AE＝10
（2）解：DE∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AC＝15，
∴EC＝AC﹣AE＝9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九下·武义月考）下列各组数中，成比例的是（ ）.
A．1，-2，-3，-6 B．1，4，2，-8
C．5，6，2，3 D．，，1，
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意.
故答案为：D.
【分析】如果前两个数据的比值等于后两个数据的比值，那么这四个数据就成比例，据此一一判断得出答案.
2．（2023九上·亳州月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】
解：∵
∴ 3（a-b）=b
∴ 3a=4b
∴
故答案为A
【分析】本题考查比例的性质，熟悉其性质是关键。根据比例的性质，可得3（a-b）=b，则可得.
3．（2023九上·兴隆期中）如图，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴选项A，B和D错误，选项C正确，
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例计算求解即可。
4．（2023九上·闵行期中）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD ：BD=2：3，那么下列条件中能够判断DE//BC的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
可假设，
∵
∴，故A选项错误，
，故D选项错误；
反过来，当时，不能得到，故B选项错误；
当时，能得到，故C选项正确；
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．
可先假设，由平行得出其对应线段成比例判定即可．
5．（2018九上·宁波期中）若，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【分析】用b表示a，代入求解即可．
【解答】法一：由可设a=3k，b=5k，则==
法二：由可得5a=3b，则=
【点评】本题主要考查了简单的比例问题，能够熟练掌握．
6．（2023九上·长沙月考）如图，，点分别在上，的长（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴DE=4，
故答案为：B
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意即可求解。
7．（2022九上·金东期中）如图，在中，点分别是边上的点，，且，则等于（ ）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴；
∵EF∥AB，
∴.
故答案为：C
【分析】利用平行线分线段成比例定理可得到AE与CE的比值；再由EF∥AB，可求出BF与CF的比值.
8．（2023九上·简阳期中）如图，在中，点分别在边上，．若，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴、，故原选项错误，不符合题意；
、，故原选项错误，不符合题意；
、，即面积比等于相似比的平方，故原选项错误，不符合题意；
、，即周长比等于相似比，故原选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定和性质判定。先证明，则，再根据相似三角形的性质进行解答即可．本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形性质的运用是解题的关键．需要注意的是：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
二、填空题
9．（2023九上·天长期中）某零件长是40cm，若该零件在设计图上的长为2mm，则这幅设计图的比例尺为1： ．
【答案】200
【知识点】比例线段
【解析】【解答】∵40cm=400mm，
∴2：400=1：200，
∴这幅设计图的比例尺为1：200，
故答案为：200.
【分析】先利用单位换算可得40cm=400mm，再求出2：400=1：200，从而得解.
10．（2023九上·浦东期中）如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是 .
【答案】100
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设实际距离500km的两地在地图上的图距是xcm，则
4：2000000=x：50000000，解得x=100．
故答案为100．
【分析】根据比例线段建立方程求解。
11．（2023九上·虹口期中）如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么线段的长是 ．
【答案】8
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵DF=20，
∴DE=DF=8.
故答案为：8.
【分析】根据平行线分线段成比例可得，继而求解.
12．（2021九上·长春期中）如图，在 中，D、E分别是边 、 上的点，且 ．若 ， ， ，则 的长为 ．
【答案】3
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得：
∴ ．
故答案为：3．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入计算求出AC的长，最后利用AC-AE计算即可。
13．（2023九上·闵行期中）如图，已知在△中，是边上的一点，连结.当满足 条件时，△∽△（写一个即可）.
【答案】∠B=∠ACP(或，答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴当或或时，．
故答案为：或或．
【分析】根据相似三角形的判定求解．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．
三、解答题
14．（2023九上·金沙期中）如图，在中，经，CD是边AB上的高.
（1）求证：；
（2）若，，求BD的长.
【答案】（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴，
∵，∴，
∵，∴
（2）解：∵，CD是边AB上的高，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴BD的长为.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1） CD是边AB上的高， 得到 ， 结合题意得到 ， 由图形可得∠A是公共角，进而证明 ；
（2）先利用勾股定理求得AB的值，再利用三角形等面积法求出CD的值，再次利用勾股定理即可求得BD的值.
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC．试判断线段AD，BE，AC，BC是否成比例，并说明理由．
【答案】解：由，可得
解：成比例；理由如下：
∵
∴，
即AD：BE=AC：BC，
所以线段AD，BE，AC，BC成比例．
【知识点】三角形的面积；比例线段
【解析】【分析】根据三角形的面积公式可得，推得，即可判断．
四、综合题
16．（2020九上·乐清月考）如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC = EB .
（1）求证：△CEB∽△CBD ；
（2）若CE = 3，CB=5 ，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD
∴BC=BD
∴∠CDB=∠DCB
∵CE=EB
∴∠DCB=∠ECB
∴∠CBE=∠CDB
∵∠ECB=∠BCD
∴△CEB∽△CBD
（2）解：由（1）知△CEB∽△CBD
∴
∴CB =CE·CD
∵CE=3，CB=5
∴CD=
∴DE=
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得BD=BC，再由圆周角定理得出∠CDB=∠DCB，结合∠CDB=∠DCB，可得∠DCB=∠ECB，最后根据两个角分别相等的两个三角形是相似三角形证出△CEB∽△CBD；
（2）根据相似三角形的对应边成比例列式求出CD的长，结合CE=3，则DE长可求.
17．（2019九上·路南期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．
（1）若AD＝5，DB＝6，EC＝12，求AE的长；
（2）若AB＝10，AD＝4，AE＝6，求EC的长．
【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AE＝10
（2）解：DE∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AC＝15，
∴EC＝AC﹣AE＝9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
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