2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·禅城月考）已知，，，成比例线段，其中，，，则（ ）
A．8cm B．9.5cm C．4cm D．4.5cm
【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，，成比例线段 ，
∴，
将 ，， 代入上式得：，解得；
故答案为：A.
【分析】根据比例线段的定义，若 ，，，成比例线段，则，代入数据求解即可.
2．（2023·常州）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵CM∥DN∥BE，
∴AC∶CD∶DE=AM∶MN∶BN，
∵AC=CD=DE，
∴AM=MN=NB，
∴这一画图过程体现的数学依据是： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
故答案为：D.
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ，即可作答.
3．（2023九上·松江期中）已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中不能够判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，当时，
，，
MN∥BC，
当时，不能确定△AMN与△ABC相似，
∴不能确定∠ANM与∠C相等，
∴不能够判断MN∥BC，
∴A，B，C都不符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例判断即可.
4．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．= D．AC2=AD AB
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠A是公共角，
∴再加上∠B=∠ACD，或∠ADC=∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2=AD AB，即=，也可判定△ABC∽△ACD，
∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．
故选C．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
5．如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
A：没有能判定相似的条件，故不相似，不符合题意；
B：两角相等，故相似，符合题意；
C：两边对应成比例且夹角相等，故相似，符合题意；
D：两角相等，故相似，符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用相似三角形的判定条件进行逐一判断即可求解.
6．（2023九上·邵东月考） 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，∴∠BAC=∠DAE，
A、∵，∠BAC=∠DAE，∴，∴A不符合题意；
B、∵，∠BAC=∠DAE，∴，∴B不符合题意；
C、∵∠D与∠B的大小无法判定，，∴无法判定，∴C符合题意；
D、∵，∠BAC=∠DAE，∴，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项分析判断即可.
7．（2023九上·榆树月考）如图，l1∥l2∥l3，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，DE＝3，EF＝6，则AC的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝4，DE＝3，EF＝6，
∴，
∴BC=8，
∴AC=AB+BC=4+8=12.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得，代入已知数据可得BC的长，从而得解.
8．（2023九上·永州月考）如图正方形，点分别在边上，且，把绕点沿逆时针方向旋转得到，连接交于点，连接，并在上截取，连接，有如下结论：①；②始终平分；③；④；⑤垂直平分，上述结论中，所有正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：正方形，
，
绕点沿逆时针方向旋转得到，
，
，
，
三点共线，
，
，
故①错误；
由
由
始终平分
故②始终平分正确；
正方形
故③正确；
如图，连接
④正确，
垂直平分．
故⑤垂直平分正确．
综上：上述结论中，所有正确的是②③④⑤，共有4个．
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质与旋转的性质得到，再证明，从而可判断出①②，利用正方形性质与 ，证明，可判断③，连接MC ，证明，再证明为直角三角形，可判断④，证明，利用等腰三角形的性质可判断⑤.
二、填空题
9．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，//，，
在中，，
∴，
∵是中点，
∴，
∵//，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质，结合平行线分线段成比例求解。
10．如图，要使，可以添加条件∶ ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：可添加条件：．证明如下：
∵，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据相似三角形的判定求解．相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似．由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．
11．（2023九上·宁远期中）如图，在正方形网格上，若使，则点P应在 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由图知：一定是钝角；
∵，
，，
，
，
，
，
只有点符合这样的要求，
故P点应该在处，
故答案为：．
【分析】根据三角形相似的判定求解。由图可知一定是钝角，若要，则，可据此进行判断．
12．（2023七下·思茅开学考）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．则MP＝ cm．
【答案】3或9
【知识点】比例线段；线段的计算
【解析】【解答】解：∵点P是点M关于点N的“半距点”
∴
①∵MN=6cm，
∴
②∵MN=6cm，
∴
∴MP=3cm或9cm
【分析】根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得，分情况讨论，即可求出答案.
13．（2023八下·江岸期末）如图所示，在四边形中，，，，E为的中点，连结，若，则的度数为 ．
【答案】52
【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接AE，延长AB、DE交于F，作EG⊥AD于G，如下图：
∵
∴
∵E为BC的中点，
∴G为AD中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
在和中
∴，
∴，
∴
∴
∴
故答案为：52.
【分析】连接AE，延长AB、DE交于F，作EG⊥AD于G，根据平行线等分线段得：G为AD中点，进而求出∠BAE度数，然后利用“AAS”证明得到：，，进而利用等腰三角形的性质即可求出∠F，进而求出∠CDE的度数.
三、解答题
14．（2023九上·青龙期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计多高？
【答案】解：如图所示，雕像高为，上部为，下部为．
由题可知．设下部，则，
，
去分母得，，
，
解得，（舍），
检验，方程解为，
答：它的下部应设计为高．
【知识点】分式方程的实际应用；比例线段
【解析】【分析】列分式方程解实际问题，设下部BC的长后，根据题意所给的比例（）列方程，求得BC长，注意分式方程需检验。
15．（2023九上·从江期中）如图所示，点A，B，C，D在☉O上，=.求证：
（1）BD=AC；
（2）△ABE∽△DCE.
【答案】（1）证明：∵=，
∴+=+.
∴=.
∴BD=AC.
（2）证明：∵∠B=∠C，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先求出，再利用弧与弦之间的关系可得BD=AC；
（2）利用两对角相等的三角形相似可得答案.
四、综合题
16．（2022九上·哈尔滨月考）在四边形中，为对角线，，于点E，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长，交边的延长线于点F，交边于点G，连接，在不添加任何字母和辅助线的条件下，请直接写出图中与相似，但不全等的三角形．
【答案】（1）证明：∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴、、，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先求出，再证明，即可得到；
（2）利用相似三角形的判定方法求解即可。
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·禅城月考）已知，，，成比例线段，其中，，，则（ ）
A．8cm B．9.5cm C．4cm D．4.5cm
2．（2023·常州）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
3．（2023九上·松江期中）已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中不能够判断的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．= D．AC2=AD AB
5．如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023九上·邵东月考） 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·榆树月考）如图，l1∥l2∥l3，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，DE＝3，EF＝6，则AC的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．（2023九上·永州月考）如图正方形，点分别在边上，且，把绕点沿逆时针方向旋转得到，连接交于点，连接，并在上截取，连接，有如下结论：①；②始终平分；③；④；⑤垂直平分，上述结论中，所有正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
9．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，则的长为 ．
10．如图，要使，可以添加条件∶ ．
11．（2023九上·宁远期中）如图，在正方形网格上，若使，则点P应在 ．
12．（2023七下·思茅开学考）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．则MP＝ cm．
13．（2023八下·江岸期末）如图所示，在四边形中，，，，E为的中点，连结，若，则的度数为 ．
三、解答题
14．（2023九上·青龙期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计多高？
15．（2023九上·从江期中）如图所示，点A，B，C，D在☉O上，=.求证：
（1）BD=AC；
（2）△ABE∽△DCE.
四、综合题
16．（2022九上·哈尔滨月考）在四边形中，为对角线，，于点E，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长，交边的延长线于点F，交边于点G，连接，在不添加任何字母和辅助线的条件下，请直接写出图中与相似，但不全等的三角形．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，，成比例线段 ，
∴，
将 ，， 代入上式得：，解得；
故答案为：A.
【分析】根据比例线段的定义，若 ，，，成比例线段，则，代入数据求解即可.
2．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵CM∥DN∥BE，
∴AC∶CD∶DE=AM∶MN∶BN，
∵AC=CD=DE，
∴AM=MN=NB，
∴这一画图过程体现的数学依据是： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
故答案为：D.
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ，即可作答.
3．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，当时，
，，
MN∥BC，
当时，不能确定△AMN与△ABC相似，
∴不能确定∠ANM与∠C相等，
∴不能够判断MN∥BC，
∴A，B，C都不符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例判断即可.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠A是公共角，
∴再加上∠B=∠ACD，或∠ADC=∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2=AD AB，即=，也可判定△ABC∽△ACD，
∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．
故选C．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
A：没有能判定相似的条件，故不相似，不符合题意；
B：两角相等，故相似，符合题意；
C：两边对应成比例且夹角相等，故相似，符合题意；
D：两角相等，故相似，符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用相似三角形的判定条件进行逐一判断即可求解.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，∴∠BAC=∠DAE，
A、∵，∠BAC=∠DAE，∴，∴A不符合题意；
B、∵，∠BAC=∠DAE，∴，∴B不符合题意；
C、∵∠D与∠B的大小无法判定，，∴无法判定，∴C符合题意；
D、∵，∠BAC=∠DAE，∴，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项分析判断即可.
7．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝4，DE＝3，EF＝6，
∴，
∴BC=8，
∴AC=AB+BC=4+8=12.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得，代入已知数据可得BC的长，从而得解.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：正方形，
，
绕点沿逆时针方向旋转得到，
，
，
，
三点共线，
，
，
故①错误；
由
由
始终平分
故②始终平分正确；
正方形
故③正确；
如图，连接
④正确，
垂直平分．
故⑤垂直平分正确．
综上：上述结论中，所有正确的是②③④⑤，共有4个．
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质与旋转的性质得到，再证明，从而可判断出①②，利用正方形性质与 ，证明，可判断③，连接MC ，证明，再证明为直角三角形，可判断④，证明，利用等腰三角形的性质可判断⑤.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，//，，
在中，，
∴，
∵是中点，
∴，
∵//，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质，结合平行线分线段成比例求解。
10．【答案】（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：可添加条件：．证明如下：
∵，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据相似三角形的判定求解．相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似．由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．
11．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由图知：一定是钝角；
∵，
，，
，
，
，
，
只有点符合这样的要求，
故P点应该在处，
故答案为：．
【分析】根据三角形相似的判定求解。由图可知一定是钝角，若要，则，可据此进行判断．
12．【答案】3或9
【知识点】比例线段；线段的计算
【解析】【解答】解：∵点P是点M关于点N的“半距点”
∴
①∵MN=6cm，
∴
②∵MN=6cm，
∴
∴MP=3cm或9cm
【分析】根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得，分情况讨论，即可求出答案.
13．【答案】52
【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接AE，延长AB、DE交于F，作EG⊥AD于G，如下图：
∵
∴
∵E为BC的中点，
∴G为AD中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
在和中
∴，
∴，
∴
∴
∴
故答案为：52.
【分析】连接AE，延长AB、DE交于F，作EG⊥AD于G，根据平行线等分线段得：G为AD中点，进而求出∠BAE度数，然后利用“AAS”证明得到：，，进而利用等腰三角形的性质即可求出∠F，进而求出∠CDE的度数.
14．【答案】解：如图所示，雕像高为，上部为，下部为．
由题可知．设下部，则，
，
去分母得，，
，
解得，（舍），
检验，方程解为，
答：它的下部应设计为高．
【知识点】分式方程的实际应用；比例线段
【解析】【分析】列分式方程解实际问题，设下部BC的长后，根据题意所给的比例（）列方程，求得BC长，注意分式方程需检验。
15．【答案】（1）证明：∵=，
∴+=+.
∴=.
∴BD=AC.
（2）证明：∵∠B=∠C，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先求出，再利用弧与弦之间的关系可得BD=AC；
（2）利用两对角相等的三角形相似可得答案.
16．【答案】（1）证明：∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴、、，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先求出，再证明，即可得到；
（2）利用相似三角形的判定方法求解即可。
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