2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2022九上·深圳期中）如图，，且，，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．3 D．4
2．（2023九上·黄浦期中）如图，D、E分别是的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·闵行期中）给出下列四个命题，其中真命题有（ ）
（1）等腰三角形都是相似三角形（2）直角三角形都是相似三角形（3）等腰直角三角形都是相似三角形（4）等边三角形都是相似三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023九上·恩阳期中）如图，在和中，，要使与相似，还需要添加一个条件，这个条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019九上·滦南期中）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九下·钦州期中）如图，已知菱形的对角线，相交于点O，，，点E在上，，点F为的中点，点G，H为上的动点，，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·路北模拟）如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
9．（2023九上·闵行期中）如图，已知，cm，cm，cm，那么 cm．
10． 如图，直线，若，，则的值是 ．
11．（2023九上·崇明期中）如图，中，，的面积为40，矩形的四个顶点都在的边上，且，那么矩形的面积是 ．
12．（2023八下·桓台期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P从点A出发，沿的路线运动到点B停止，C是的中点，沿直线PC截，若得到的三角形与相似，则点P的坐标是 ．
13．（2022·仙桃）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且.给出下面四个结论：①平分； ②； ③； ④为的切线.其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
14．（2023九上·泰山月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P使得PC+PA的最小值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2023九上·青羊月考）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴、轴于两点，，且、的长分别是一元二次方程的两根．
（1）求直线的解析式；
（2）点从点出发沿射线方向运动，运动的速度为每秒个单位，设的面积，点运动的时间为，写出与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）点是轴上的点，点是第一象限内的点，若以、、、为顶点的四边形是菱形请求出点的坐标．
四、综合题
16．（2023·玉屏模拟） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴相交于，两点，与轴相交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，抛物线的顶点为，连接，，，，求证：∽；
（3）记抛物线位于轴上方的部分为，将向下平移个单位，使平移后的与的三条边有两个交点，请直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出，再根据 ，， 计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】
解：
A：可以推得DE∥BC，A符合；
B：可以推得DE∥BC，B符合；
C：不一定能推得DE∥BC，C不符合；
D：可以推得DE∥BC，D符合；故答案为：C
【分析】根据平行线分线段成比例，可运用同一法推导出结论。
3．【答案】（1）B
【知识点】相似三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）等腰三角形不一定是相似三角形，如两底角30度与底角为45度的两等腰三角形不相似，所以此命题是假命题；
（2）直角三角形只有一个直角相等，还不能确定都是相似三角形，所以此命题是假命题；
（3）等腰直角三角形，两底角都等于45度，所以它们有三对角对应相等，都是相似三角形，所以此命题是真命题；
（4）等边三角形每个角都等于60度，所以它们有三对角对应相等，都是相似三角形，所以此命题是真命题；
综上，（3）（4）是真命题，共2个，
故答案为：B.
【分析】根据三角形相似的判定方法对各命题逐条进行分析判定．
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在等腰△MNP中，
∵MN=MP=6， ∠P=75°，
∴底角 ∠P=∠N=75°，顶角∠M=30°，
A.在等腰三角形中，腰长为5，
∵顶角为75°，
∴底角为52.5°，
∴此三角形不可能与△MNP相似，
故A不符合题意；
B.在等边三角形中，边长为5，
∴此等边三角形不可能与△MNP相似，
故B不符合题意；
C.在等腰三角形中，腰长为5，
∵顶角为30°，
∴底角为75°，
∴此三角形与△MNP相似，
故C符合题意；
D.在等腰三角形中，腰长为5，
∵顶角为40°，
∴底角为70°，
∴此三角形不可能与△MNP相似，
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定： 两角对应相等，两个三角形相似；由此逐一判断即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】根据相似三角形的判定定理
已知两种对应边成比例
即
若AB与BC的夹角和AE与ED的夹角相等
即
则
故选：B
【分析】根据相似三角形的判定定理，已知两组对应边成比例，若两组对应边的夹角相等或者第三组对应边也与其他两组成比例，则可以判定相似，选项中只有B符合题意。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据相似形的判定定理逐一进行判断即可。
7．【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∵AC=6，BD=8，
∴OA=OC=3，OB=OD=4，
如图所示，作F关于BD的对称点F′，作EE′⊥OA于E′，连接E′F′，
，
∵EE′⊥OA，
∴EE′∥OD，
∴，，
∴
∴EE′=1=HG，
又∵EE′∥GH，
∴四边形EE′HG是平行四边形，
∴EG∥E′H，EG=E′H，
则此时E′F′为FH+EG的最小值.
∵F是AB的中点，
∴F′是BC的中点，
作F′M⊥AC于点M，
∵F′M⊥AC，
∴F′M∥BO，
∴F′M=BO=×4=2，OM=BO=，
∵EE′∥OD，
∴，
∴，
AE′=
∴E′O＝3 =，E′M＝，
∴E′F′＝，
故FH+EG的最小值为，
故答案为：B．
【分析】将军遛马问题，作F关于BD的对称点F′，作EE′⊥OA于点E′，可证EG∥E′H，此时E′F′为FH+EG的最小值，再根据勾股定理求出E′F′．
8．【答案】B
【知识点】垂线段最短；勾股定理；点与圆的位置关系；切线的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为，
∵，，
∴
∵，
∴
∵点O是AB的三等分点，
∴，，
∴，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴MN最小值为，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值，
，
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故答案为：B．
【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN的最小值为OP-OF；当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN的最大值=OB+OE，据此求解即可.
9．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线，
∴，
∵cm，cm，
∴，即，
cm，
∴，即，
，
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代值计算即可．
10．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，
∴；
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例，得到，代入数据，即可求解．
11．【答案】20
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如下图，过点A作于点H，
因为 中，，的面积为40，所以解得：
因为四边形为矩形，所以故
因为在中所以即
又因为在中：所以即
由已知得：，所以化简得：则点D时AB的中点，则
又，所以则矩形的面积
故答案为：20.
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例问题，过点A作于点H，由平行线分线段成比例得到：再根据，求得：从而得到：可求出DE、DG即可求解.
12．【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】将x=0代入，可得y=8，
∴点B的坐标为（0，8）；
将y=0代入，可得x=6，
∴点A的坐标为（6，0）；
∴OB=8，OA=6，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB=，
∵点C是AB的中点，∠AOB=90°，
∴AC=CB=AB=5，
①如图：
当点P在OA上时，△APC∽△AOB，
∴∠APC=∠AOB，
∴PC//OB，
∴，
∴PO=AP=OA=3，
∴P（3，0）；
②如图：
当点P在OB上时，△PCB∽△AOB，
∴，
∴，
∴OP=8-，
∴P；
③如图：
当点P在OB上时，△CPB∽△AOB，
∴∠CPB=∠AOB，
∴PC//OA，
∴，
∴OP=PB=OB=4，
∴P（0，4），
综上，点P的坐标为 或或 ，
故答案为： 或或 .
【分析】先利用一次函数的解析式求出点A、B的坐标，再求出OA，OB和AB的长，再利用相似三角形的性质分类讨论求解即可.
13．【答案】①②④
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵点C是上一点，与点D关于AB对称，
∴AB为CD的垂直平分线，
∴BD=BC，AD=AC，
∴∠BDC=∠BCD，
∵，
∴∠ECD=∠CDB，
∴∠ECD=∠BCD，
∴CD平分∠BCE，故①正确；
在△ADB和△ACB中，
∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB（SSS），
∴∠EAB=∠CAB，
∴，
∴BE=BC=BD，故②正确；
∵AC≠AE，
∴≠，
∴∠AEF≠∠ABE，
∴△AEF与△ABE不相似，故③错误；
连结OB，
∵，CE为弦，
∴OB⊥CE，
∵，
∴OB⊥BD，
∴BD为的切线.故④正确，
∴其中所有正确结论的序号是①②④.
故答案为：①②④.
【分析】由题意可得：AB为CD的垂直平分线，则BD=BC，AD=AC，根据等腰三角形的性质可得∠BDC=∠BCD，由平行线的性质可得∠ECD=∠CDB，得到∠ECD=∠BCD，据此判断①；证明△ADB≌△ACB，得到∠EAB=∠CAB，则，根据弧、弦的关系可得BE=BC=BD，据此判断②；根据AC≠AE可得≠，则∠AEF≠∠ABE，结合相似三角形的判定定理可判断③；连结OB，易得OB⊥BD，据此判断④.
14．【答案】（1）解：∵直线y＝-x+2过B、C两点，
当x＝0时，代入y＝-x+2，得y＝2，
即C（0，2），
当y＝0时，代入y＝-x+2，得x＝4，
即B（4，0），
把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝-x2+bx+c，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+2；
（2）证明：∵抛物线y＝-x2+x+2与x轴交于点A，
则y＝-x2+x+2＝0，
解得x1＝-1，x2＝4，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴AO＝1，AB＝5，
在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴，
而，
又∵∠OAC＝∠CAB，
∴△AOC∽△ACB；
（3）解：存在，理由：
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则AC和抛物线对称轴的交点即为点P，
理由：PA+PC＝PB+PC＝BC为最小，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝-x+2，
当x＝时，y＝-x+2＝-+2＝，
即点P（，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定
【解析】【分析】⑴、待定系数法求二次函数解析式，因为有两未知系数，所以需要知道两点的坐标；而已知直线过B、C两点，所以先利用一次函数求得B、C两点的坐标，再代入二次函数解析式得未知系数的方程组即可求解；
⑵求出抛物线解析式后，容易求得点A的坐标，进而求得OA、OB、OC、AC、AB的长，可知OA：AC=AC：AB，且夹角相等，故两三角形相似；
⑶、由题易知点A、B关于对称轴对称，所以直线BC与对称轴的交点即为点P，此时PA+PC最小，（利用对称转化，两点之间线段最短），先求得对称轴直线方程，然后将其数值代入直线BC解析式求得纵坐标，也就求得点P的坐标。
15．【答案】（1）解：，则或，故点、的坐标分别为、，则；
设直线的表达式为：，则，解得，
故直线的表达式为：；
（2）解：过点作轴于点，
则，即，解得：，
，
故；
（3）解：点、的坐标分别为、，
设点、的坐标分别为、，
当是菱形的边时，
点向上平移个单位向左平移个单位得到点，同样点向上平移个单位向左平移个单位得到点，
即，且，
解得：，，
故点的坐标为；
当是菱形的对角线时，
由中点公式得：，且，即，
解得：，，
故点的坐标为；
综上，点的坐标为或
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质；比例线段；平行线分线段成比例
【解析】【分析】本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、平行线分线段成比例、分段函数、菱形的性质和分情况讨论。
（1）根据 ，得或，则点、则；设直线的表达式为：，代入得直线的表达式为：；
（2） 过C作CM⊥y轴于点，得，则，根据即可得表达式；
（3）设点、的坐标分别为、，
当AB是菱形的边时，点A向上平移8个单位向左平移6个单位得到点B，同样点Q向上平移8个单位向左平移6个单位得到点P，得，结合，得，，则点Q的坐标为（-8，24）；当AB是菱形的对角线时，由中点公式得：，且，即，解得，，则点Q的坐标为；
综上，点Q的坐标为（-8，24）或
16．【答案】（1）解：把、分别代入，得：
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：证明：，
点，
令，
解得：，，
点坐标为
，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
∽；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两点间的距离；平移的性质；相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：解：设直线的解析式为，
把点、分别代入中，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
将向下平移个单位，
则平移后的的解析式为，
当与没有交点时，
即没有实数根，
即没有实数根，
，
解得：，
当与线段只有两个交点时，
即方程有两个负实数根，
，
解得：，
的取值范围为．
【分析】（1）根据待定系数法将点坐标代入函数解析式即可求出答案；
（2）根据配方法将函数解析式转化为，可得点D坐标，令求出点B坐标，再根据两点间距离公式可得BC、DA、DC、AC长，再根据相似三角形判定定理即可求出答案；
（3）设直线的解析式为，根据待定系数法将A，C点坐标代入直线解析式可求出直线AC的解析式为：，根据平移性质可得平移后的的解析式为，再根据直线与抛物线的位置关系分情况讨论，联立方程组，根据二次方程根的性质即可求出答案。
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2022九上·深圳期中）如图，，且，，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出，再根据 ，， 计算求解即可。
2．（2023九上·黄浦期中）如图，D、E分别是的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】
解：
A：可以推得DE∥BC，A符合；
B：可以推得DE∥BC，B符合；
C：不一定能推得DE∥BC，C不符合；
D：可以推得DE∥BC，D符合；故答案为：C
【分析】根据平行线分线段成比例，可运用同一法推导出结论。
3．（2023九上·闵行期中）给出下列四个命题，其中真命题有（ ）
（1）等腰三角形都是相似三角形（2）直角三角形都是相似三角形（3）等腰直角三角形都是相似三角形（4）等边三角形都是相似三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】（1）B
【知识点】相似三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）等腰三角形不一定是相似三角形，如两底角30度与底角为45度的两等腰三角形不相似，所以此命题是假命题；
（2）直角三角形只有一个直角相等，还不能确定都是相似三角形，所以此命题是假命题；
（3）等腰直角三角形，两底角都等于45度，所以它们有三对角对应相等，都是相似三角形，所以此命题是真命题；
（4）等边三角形每个角都等于60度，所以它们有三对角对应相等，都是相似三角形，所以此命题是真命题；
综上，（3）（4）是真命题，共2个，
故答案为：B.
【分析】根据三角形相似的判定方法对各命题逐条进行分析判定．
4．已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在等腰△MNP中，
∵MN=MP=6， ∠P=75°，
∴底角 ∠P=∠N=75°，顶角∠M=30°，
A.在等腰三角形中，腰长为5，
∵顶角为75°，
∴底角为52.5°，
∴此三角形不可能与△MNP相似，
故A不符合题意；
B.在等边三角形中，边长为5，
∴此等边三角形不可能与△MNP相似，
故B不符合题意；
C.在等腰三角形中，腰长为5，
∵顶角为30°，
∴底角为75°，
∴此三角形与△MNP相似，
故C符合题意；
D.在等腰三角形中，腰长为5，
∵顶角为40°，
∴底角为70°，
∴此三角形不可能与△MNP相似，
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定： 两角对应相等，两个三角形相似；由此逐一判断即可得出答案.
5．（2023九上·恩阳期中）如图，在和中，，要使与相似，还需要添加一个条件，这个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】根据相似三角形的判定定理
已知两种对应边成比例
即
若AB与BC的夹角和AE与ED的夹角相等
即
则
故选：B
【分析】根据相似三角形的判定定理，已知两组对应边成比例，若两组对应边的夹角相等或者第三组对应边也与其他两组成比例，则可以判定相似，选项中只有B符合题意。
6．（2019九上·滦南期中）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据相似形的判定定理逐一进行判断即可。
7．（2023九下·钦州期中）如图，已知菱形的对角线，相交于点O，，，点E在上，，点F为的中点，点G，H为上的动点，，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∵AC=6，BD=8，
∴OA=OC=3，OB=OD=4，
如图所示，作F关于BD的对称点F′，作EE′⊥OA于E′，连接E′F′，
，
∵EE′⊥OA，
∴EE′∥OD，
∴，，
∴
∴EE′=1=HG，
又∵EE′∥GH，
∴四边形EE′HG是平行四边形，
∴EG∥E′H，EG=E′H，
则此时E′F′为FH+EG的最小值.
∵F是AB的中点，
∴F′是BC的中点，
作F′M⊥AC于点M，
∵F′M⊥AC，
∴F′M∥BO，
∴F′M=BO=×4=2，OM=BO=，
∵EE′∥OD，
∴，
∴，
AE′=
∴E′O＝3 =，E′M＝，
∴E′F′＝，
故FH+EG的最小值为，
故答案为：B．
【分析】将军遛马问题，作F关于BD的对称点F′，作EE′⊥OA于点E′，可证EG∥E′H，此时E′F′为FH+EG的最小值，再根据勾股定理求出E′F′．
8．（2022·路北模拟）如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】垂线段最短；勾股定理；点与圆的位置关系；切线的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为，
∵，，
∴
∵，
∴
∵点O是AB的三等分点，
∴，，
∴，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴MN最小值为，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值，
，
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故答案为：B．
【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN的最小值为OP-OF；当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN的最大值=OB+OE，据此求解即可.
二、填空题
9．（2023九上·闵行期中）如图，已知，cm，cm，cm，那么 cm．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线，
∴，
∵cm，cm，
∴，即，
cm，
∴，即，
，
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代值计算即可．
10． 如图，直线，若，，则的值是 ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，
∴；
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例，得到，代入数据，即可求解．
11．（2023九上·崇明期中）如图，中，，的面积为40，矩形的四个顶点都在的边上，且，那么矩形的面积是 ．
【答案】20
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如下图，过点A作于点H，
因为 中，，的面积为40，所以解得：
因为四边形为矩形，所以故
因为在中所以即
又因为在中：所以即
由已知得：，所以化简得：则点D时AB的中点，则
又，所以则矩形的面积
故答案为：20.
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例问题，过点A作于点H，由平行线分线段成比例得到：再根据，求得：从而得到：可求出DE、DG即可求解.
12．（2023八下·桓台期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P从点A出发，沿的路线运动到点B停止，C是的中点，沿直线PC截，若得到的三角形与相似，则点P的坐标是 ．
【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】将x=0代入，可得y=8，
∴点B的坐标为（0，8）；
将y=0代入，可得x=6，
∴点A的坐标为（6，0）；
∴OB=8，OA=6，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB=，
∵点C是AB的中点，∠AOB=90°，
∴AC=CB=AB=5，
①如图：
当点P在OA上时，△APC∽△AOB，
∴∠APC=∠AOB，
∴PC//OB，
∴，
∴PO=AP=OA=3，
∴P（3，0）；
②如图：
当点P在OB上时，△PCB∽△AOB，
∴，
∴，
∴OP=8-，
∴P；
③如图：
当点P在OB上时，△CPB∽△AOB，
∴∠CPB=∠AOB，
∴PC//OA，
∴，
∴OP=PB=OB=4，
∴P（0，4），
综上，点P的坐标为 或或 ，
故答案为： 或或 .
【分析】先利用一次函数的解析式求出点A、B的坐标，再求出OA，OB和AB的长，再利用相似三角形的性质分类讨论求解即可.
13．（2022·仙桃）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且.给出下面四个结论：①平分； ②； ③； ④为的切线.其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②④
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵点C是上一点，与点D关于AB对称，
∴AB为CD的垂直平分线，
∴BD=BC，AD=AC，
∴∠BDC=∠BCD，
∵，
∴∠ECD=∠CDB，
∴∠ECD=∠BCD，
∴CD平分∠BCE，故①正确；
在△ADB和△ACB中，
∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB（SSS），
∴∠EAB=∠CAB，
∴，
∴BE=BC=BD，故②正确；
∵AC≠AE，
∴≠，
∴∠AEF≠∠ABE，
∴△AEF与△ABE不相似，故③错误；
连结OB，
∵，CE为弦，
∴OB⊥CE，
∵，
∴OB⊥BD，
∴BD为的切线.故④正确，
∴其中所有正确结论的序号是①②④.
故答案为：①②④.
【分析】由题意可得：AB为CD的垂直平分线，则BD=BC，AD=AC，根据等腰三角形的性质可得∠BDC=∠BCD，由平行线的性质可得∠ECD=∠CDB，得到∠ECD=∠BCD，据此判断①；证明△ADB≌△ACB，得到∠EAB=∠CAB，则，根据弧、弦的关系可得BE=BC=BD，据此判断②；根据AC≠AE可得≠，则∠AEF≠∠ABE，结合相似三角形的判定定理可判断③；连结OB，易得OB⊥BD，据此判断④.
三、解答题
14．（2023九上·泰山月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P使得PC+PA的最小值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线y＝-x+2过B、C两点，
当x＝0时，代入y＝-x+2，得y＝2，
即C（0，2），
当y＝0时，代入y＝-x+2，得x＝4，
即B（4，0），
把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝-x2+bx+c，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+2；
（2）证明：∵抛物线y＝-x2+x+2与x轴交于点A，
则y＝-x2+x+2＝0，
解得x1＝-1，x2＝4，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴AO＝1，AB＝5，
在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴，
而，
又∵∠OAC＝∠CAB，
∴△AOC∽△ACB；
（3）解：存在，理由：
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则AC和抛物线对称轴的交点即为点P，
理由：PA+PC＝PB+PC＝BC为最小，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝-x+2，
当x＝时，y＝-x+2＝-+2＝，
即点P（，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定
【解析】【分析】⑴、待定系数法求二次函数解析式，因为有两未知系数，所以需要知道两点的坐标；而已知直线过B、C两点，所以先利用一次函数求得B、C两点的坐标，再代入二次函数解析式得未知系数的方程组即可求解；
⑵求出抛物线解析式后，容易求得点A的坐标，进而求得OA、OB、OC、AC、AB的长，可知OA：AC=AC：AB，且夹角相等，故两三角形相似；
⑶、由题易知点A、B关于对称轴对称，所以直线BC与对称轴的交点即为点P，此时PA+PC最小，（利用对称转化，两点之间线段最短），先求得对称轴直线方程，然后将其数值代入直线BC解析式求得纵坐标，也就求得点P的坐标。
15．（2023九上·青羊月考）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴、轴于两点，，且、的长分别是一元二次方程的两根．
（1）求直线的解析式；
（2）点从点出发沿射线方向运动，运动的速度为每秒个单位，设的面积，点运动的时间为，写出与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）点是轴上的点，点是第一象限内的点，若以、、、为顶点的四边形是菱形请求出点的坐标．
【答案】（1）解：，则或，故点、的坐标分别为、，则；
设直线的表达式为：，则，解得，
故直线的表达式为：；
（2）解：过点作轴于点，
则，即，解得：，
，
故；
（3）解：点、的坐标分别为、，
设点、的坐标分别为、，
当是菱形的边时，
点向上平移个单位向左平移个单位得到点，同样点向上平移个单位向左平移个单位得到点，
即，且，
解得：，，
故点的坐标为；
当是菱形的对角线时，
由中点公式得：，且，即，
解得：，，
故点的坐标为；
综上，点的坐标为或
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质；比例线段；平行线分线段成比例
【解析】【分析】本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、平行线分线段成比例、分段函数、菱形的性质和分情况讨论。
（1）根据 ，得或，则点、则；设直线的表达式为：，代入得直线的表达式为：；
（2） 过C作CM⊥y轴于点，得，则，根据即可得表达式；
（3）设点、的坐标分别为、，
当AB是菱形的边时，点A向上平移8个单位向左平移6个单位得到点B，同样点Q向上平移8个单位向左平移6个单位得到点P，得，结合，得，，则点Q的坐标为（-8，24）；当AB是菱形的对角线时，由中点公式得：，且，即，解得，，则点Q的坐标为；
综上，点Q的坐标为（-8，24）或
四、综合题
16．（2023·玉屏模拟） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴相交于，两点，与轴相交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，抛物线的顶点为，连接，，，，求证：∽；
（3）记抛物线位于轴上方的部分为，将向下平移个单位，使平移后的与的三条边有两个交点，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：把、分别代入，得：
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：证明：，
点，
令，
解得：，，
点坐标为
，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
∽；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两点间的距离；平移的性质；相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：解：设直线的解析式为，
把点、分别代入中，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
将向下平移个单位，
则平移后的的解析式为，
当与没有交点时，
即没有实数根，
即没有实数根，
，
解得：，
当与线段只有两个交点时，
即方程有两个负实数根，
，
解得：，
的取值范围为．
【分析】（1）根据待定系数法将点坐标代入函数解析式即可求出答案；
（2）根据配方法将函数解析式转化为，可得点D坐标，令求出点B坐标，再根据两点间距离公式可得BC、DA、DC、AC长，再根据相似三角形判定定理即可求出答案；
（3）设直线的解析式为，根据待定系数法将A，C点坐标代入直线解析式可求出直线AC的解析式为：，根据平移性质可得平移后的的解析式为，再根据直线与抛物线的位置关系分情况讨论，联立方程组，根据二次方程根的性质即可求出答案。
1 / 1
