2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.2 相似三角形的性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·萧山月考）如图，中，点D，E分别在边上．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
又∵∠DAE=∠CAB
∴△DAE∽△CAB
∴
∴DE=BC==
故答案为：C.
【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△DAE∽△CAB，相似三角形的对应边之比等于相似比得，从而代入可算出DE的长.
2．（2023九上·安吉月考）如图，在中，，，若，则等于（ ）
A．6 B．8 C．7 D．5
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE//BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∵S△ABC=9
∴S△ ADE=1
∴S四边形BCDE=9-1=8
故答案为：B.
【分析】解决本题的主要依据是相似三角形的面积之比等于相似比.由DE//BC，得△ADE∽△ABC，于是，因为S△ ABC=9，所以S△ ADE=1，故S四边形BCDE=9-1=8.
3．（2023九上·安吉月考）如图所示，四边形中，，，，，，若与相似，则符合条件的点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设AP=x，则BP=7-x
若△PAD与△PBC相似，则
可得①3x=7-x4，或②3x=47-x
由①得x1=3，x2=4
由②得x=3
则符合条件的点 P的个数是2
故答案为：C.
【分析】直角三角形相似，对应边成比例，此题利用两条对应边成比例，由于题中没有指明明确的对应关系，故需分两种情况讨论，即，设AP=x，则BP=7-x，代入列出方程，求得几个符合题意的解，即点P的个数就有几个.
4．（2023九上·闵行期中）如果两个相似三角形对应周长之比是2∶3，那么它们的对应边之比是（ ）
A．2∶3 B．4∶9 C．3∶2 D．9∶4
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应周长之比是，
∴它们的对应边之比为，
故答案为：A.
【分析】相似三角形的周长的比等于相似比，据此求解即可．
5．（2021九上·温州期末）如图，在四边形 中，以 为直径的 恰好经过点 ， ， 交于点 ，已知 平分 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OC
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，∠DAB=2∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠BOC=2∠CAB，
∴∠BOC=∠DAB，
∴AD∥OC，
∴△OCE∽△DAE，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】连接OC，先证△ADC∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例列方程，分别用含AB的式子白表示出AC、BC、AD、CD，再利用平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△OCE∽△DAE，进而再根据相似三角形对应边成比例即可求解.
6．（2023·温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点作于点.当时，EH的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形CDEF是菱形，DE=2，
∴CD=DE=CF=EF=2，CF∥DE，CD∥EF，
∴∠CBO=∠DEO=90°，∠BEF=∠BOC=30°
∴OD=2DE=4，OE=，BF=，BE=，
∴BC=CF+BF=3，BO=OE+BE=，
∵AB=BC，
∴AB=3，
在Rt△ABO中，由勾股定理得AO=，
∵HE⊥AB，
∴∠BHE=∠A=90°，
又∠HBE=∠ABO，
∴△BHE∽△BAO，
∴，即，
解得HE= .
故答案为： C.
【分析】由菱形的性质得CD=DE=CF=EF=2，CF∥DE，CD∥EF，由二直线平行，同位角相等，得∠CBO=∠DEO=90°，∠BEF=∠BOC=30°，然后根据直角三角形中，含30°角所对的直角边等于斜边的一半得OD=2DE=4，OE=，BF=，BE=，进而由线段的和差算出BC、OB的长，在Rt△ABO中，由勾股定理算出OA的长，然后判断出△BHE∽△BAO，最后相似三角形对应边成比例建立方程可求出HE的长.
7．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似)，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）.
A． B． C．10 D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥AB于点B，交DC的延长线于点E，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F，
∴矩形ABEF，
设DF=x，CE=y，则DE=CD+CE=6+y，AF=BE=AD+DF=2+x，
∵ 剪掉的两个直角三角形相似，
∴△EFD∽△BCE，
∴即，
解之：
∴，故B，D不符合题意；
如图，延长BC，AD交于点F，过点B作BE⊥AB于点B，过点F作EF⊥AD于点F，
∴矩形ABEF，设FC=y，FD=x，则BF=CF+BC=7+y，AF=BE=AD+DF=2+x，
同理可知
△DFC∽△FBE，
∴即，
解之：
∴DF=10，BF=7+8=15，故C不符合题意，A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据题意分情况讨论：过点B作BE⊥AB于点B，交DC的延长线于点E，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F，可知四边形ABEF时矩形，设DF=x，CE=y，则DE=6+y，AF=BE=2+x，利用已知可得到△EFD∽△BCE，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，可得到DE，BE的长，可对B，D作出判断；延长BC，AD交于点F，过点B作BE⊥AB于点B，过点F作EF⊥AD于点F，设FC=y，FD=x，则BF=7+y，AF=BE=2+x，利用相似三角形的性质可得到关于x，y的方程组，解方程求出x，y的值，可得到BF的长，可对A，C作出判断.
8．（2023九上·亳州月考）如图，在中，，在边的延长线上取一点，过点的直线分别交，的延长线于点，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
解：如图所示，过点E作EF∥AD，交PB于F
∵ AB=AC
∴ ∠ABC=∠ACB
∵ EF∥AD
∴ ∠ABC=∠CFE
∵ ∠ACB=∠FCE
∴ ∠CFE=∠FCE
∴ FE=CE
∵ EF∥AD
∴
∴
∴
故答案为D
【分析】本题考查三角形相似的判定及性质、等腰三角形的性质，熟悉三角形相似的判定和性质是解题关键。过点E作EF∥AD，交PB于F得∠ABC=∠CFE，，得；结合对顶角得 ∠CFE=∠FCE得FE=CE ，则，可得 .
二、填空题
9．（2023九上·闵行期中）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为、，则另一个三角形中最小的内角为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个三角形的两个角分别为，
∴这个三角形的第三个角是，
∵两个三角形相似，已知三角形中最小角是，
∴另一个三角形的最小的内角为．
故答案为：．
【分析】根据相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理求解。根据三角形内角和等于求出第三个角，再根据相似三角形对应角相等解答．
10．（2021九上·阳山期末）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的周长比是 ．
【答案】1：2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两相似三角形的相似比为1：2，
∴它们的周长比是1：2，
故答案为：1：2．
【分析】根据相似三角形的性质即可得出相似比，由此得出周长比。
11．（2023九上·宝山期中）已知，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果，，那么 .
【答案】75
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：75.
【分析】根据相似三角形的性质得出是解决问题的关键．
12．（2021九上·瑞安期中）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点 正好在书架边框上.每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则 的长 .
【答案】cm
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得： ，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
设 ，则 ，
，解得 ，
在 中， ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
即 .
故答案为： .
【分析】由题得FG=5cm，BC=20cm，BJ=40cm，EF=20cm，由同角的余角相等得∠GFI=∠FEC，证明△GFI∽△FEC，设FI=xcm，则CF=(20-x)cm，由相似三角形的性质可得CE，由勾股定理求出x，据此可得FI.
13．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3相似三角形（2） 同步练习）如图， 中， ， ，垂足为D，若AD=2，BD=4，则CD为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 中， ， ，
，
又 ，
，
，即 .
故答案为：
【分析】由题意用同角的余角相等可得∠ACD=∠B，根据直角都相等可得∠ACD=∠CDB，由相似三角形的判定可得△ACD △CBD，可得比例式，结合已知条件可求得CD的长。
三、解答题
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C为的中点，延长AD，BC相交于点P，连结AC.
（1）求证；AB=AP.
（2）当AB=10，DP=2时，求线段CP的长.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，即AC⊥BP
又∵ C为BD 的中点
∴
∴∠BAC=∠DAC
∴∠B=∠P
∴ AB=AP.
（2）解：∵ 四边形ABCD内接于⊙O
∴∠PDC=∠B=∠P
∴CP=CD
易证△CDP∽△ABP
∴，即CP·BP=AP·DP
∵AB=AP，AC⊥BP
∴BP=2CP
∴2CP2=20，CP=10
∴CD=CP=10.
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)要证 AB=AP，可证∠B=∠P，因为AB是⊙O的直径，可得AC⊥BP，由C为BD 的中点，可得∠BAC=∠DAC，故∠B=∠P，所以AB=AP.
（2） 由四边形ABCD内接于⊙O，可知∠PDC=∠B=∠P.结合（1）可推得BC=CP=CD，又△CDP∽△ABP，所以，2CP2=20，故CP=10.
15．（2023九上·安吉月考）如图，内接于，，它的外角的平分线交于点D，连接交于点F．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）若，当，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】（1）解：∵，平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，圆内接四边形对角互补，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】(1)在圆中，要求 BC 的度数，求出BC 所对的圆周角或圆心角即可；由，平分∠EAC，得，，弧的度数等于所对圆周角度数的2倍，故BC 的度数为.
(2)圆内接四边形的外角等于内对角，同弧所对圆周角相等；由AD平分∠EAC得∠EAD=∠DAC，∠EAD=∠CAD=∠DBC=∠DCB，故DB=DC.
(3) 由DA=DF得，∠DAF=∠DFA，由同弧所对圆周角相等，得∠DAF=∠DFA=∠CBD=∠BCD，故△DAF∽△DBC，∠ADF=∠BDC，由圆内接四边形对角互补得，∠ADF=12∠ADC=90° α2，故∠DAF=∠DFA=(180° ∠ADF)÷2=45°+α4，所以∠DFC=180° ∠DFA=135° α4．
四、综合题
16．（2021九上·东昌府期中）如图，矩形 中， 为 上一点， 于点 ．
（1）证明 ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ；
（2）解：∵在 中， ， ，
，
由（1）已证： ，
∴ ，即 ，
解得 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据四边形 是矩形，得出 ， ，再根据垂直的定义得出 ，利用全等三角形的性质得出 ；
（2）在 中， ， ，利用勾股定理得出AE的值，由（1）已证： ，得出 ，解得即可。
17．（2021九上·成都期末）在 中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
（1）求证： ；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且 .若 ， ，求AН的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ， ，
∴ ，
∵E为DC中点，
∴
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
.
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由中点的定义得CE=DE，由平行四边形性质和平行线性质得AD=BC，∠DAF=∠F和∠D=∠DCF，然后利用AAS证明△AED≌△FEC，得出AD=CF，等量代换，可得结论；
（2）根据角平分线的定义和平行的性质得出∠GAF=∠F，则可求出AG=GF，最后根据线段的和差关系求出CF和AD的长，由AD∥BC，证明△AHD∽△GHC，根据相似三角形的性质列比例式求解即可.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.2 相似三角形的性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·萧山月考）如图，中，点D，E分别在边上．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．3
2．（2023九上·安吉月考）如图，在中，，，若，则等于（ ）
A．6 B．8 C．7 D．5
3．（2023九上·安吉月考）如图所示，四边形中，，，，，，若与相似，则符合条件的点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2023九上·闵行期中）如果两个相似三角形对应周长之比是2∶3，那么它们的对应边之比是（ ）
A．2∶3 B．4∶9 C．3∶2 D．9∶4
5．（2021九上·温州期末）如图，在四边形 中，以 为直径的 恰好经过点 ， ， 交于点 ，已知 平分 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点作于点.当时，EH的长为（ ）
A． B． C． D．
7．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似)，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）.
A． B． C．10 D．
8．（2023九上·亳州月考）如图，在中，，在边的延长线上取一点，过点的直线分别交，的延长线于点，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·闵行期中）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为、，则另一个三角形中最小的内角为 ．
10．（2021九上·阳山期末）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的周长比是 ．
11．（2023九上·宝山期中）已知，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果，，那么 .
12．（2021九上·瑞安期中）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点 正好在书架边框上.每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则 的长 .
13．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3相似三角形（2） 同步练习）如图， 中， ， ，垂足为D，若AD=2，BD=4，则CD为 ．
三、解答题
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C为的中点，延长AD，BC相交于点P，连结AC.
（1）求证；AB=AP.
（2）当AB=10，DP=2时，求线段CP的长.
15．（2023九上·安吉月考）如图，内接于，，它的外角的平分线交于点D，连接交于点F．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）若，当，求的度数（用含的代数式表示）．
四、综合题
16．（2021九上·东昌府期中）如图，矩形 中， 为 上一点， 于点 ．
（1）证明 ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
17．（2021九上·成都期末）在 中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
（1）求证： ；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且 .若 ， ，求AН的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
又∵∠DAE=∠CAB
∴△DAE∽△CAB
∴
∴DE=BC==
故答案为：C.
【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△DAE∽△CAB，相似三角形的对应边之比等于相似比得，从而代入可算出DE的长.
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE//BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∵S△ABC=9
∴S△ ADE=1
∴S四边形BCDE=9-1=8
故答案为：B.
【分析】解决本题的主要依据是相似三角形的面积之比等于相似比.由DE//BC，得△ADE∽△ABC，于是，因为S△ ABC=9，所以S△ ADE=1，故S四边形BCDE=9-1=8.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设AP=x，则BP=7-x
若△PAD与△PBC相似，则
可得①3x=7-x4，或②3x=47-x
由①得x1=3，x2=4
由②得x=3
则符合条件的点 P的个数是2
故答案为：C.
【分析】直角三角形相似，对应边成比例，此题利用两条对应边成比例，由于题中没有指明明确的对应关系，故需分两种情况讨论，即，设AP=x，则BP=7-x，代入列出方程，求得几个符合题意的解，即点P的个数就有几个.
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应周长之比是，
∴它们的对应边之比为，
故答案为：A.
【分析】相似三角形的周长的比等于相似比，据此求解即可．
5．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OC
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，∠DAB=2∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠BOC=2∠CAB，
∴∠BOC=∠DAB，
∴AD∥OC，
∴△OCE∽△DAE，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】连接OC，先证△ADC∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例列方程，分别用含AB的式子白表示出AC、BC、AD、CD，再利用平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△OCE∽△DAE，进而再根据相似三角形对应边成比例即可求解.
6．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形CDEF是菱形，DE=2，
∴CD=DE=CF=EF=2，CF∥DE，CD∥EF，
∴∠CBO=∠DEO=90°，∠BEF=∠BOC=30°
∴OD=2DE=4，OE=，BF=，BE=，
∴BC=CF+BF=3，BO=OE+BE=，
∵AB=BC，
∴AB=3，
在Rt△ABO中，由勾股定理得AO=，
∵HE⊥AB，
∴∠BHE=∠A=90°，
又∠HBE=∠ABO，
∴△BHE∽△BAO，
∴，即，
解得HE= .
故答案为： C.
【分析】由菱形的性质得CD=DE=CF=EF=2，CF∥DE，CD∥EF，由二直线平行，同位角相等，得∠CBO=∠DEO=90°，∠BEF=∠BOC=30°，然后根据直角三角形中，含30°角所对的直角边等于斜边的一半得OD=2DE=4，OE=，BF=，BE=，进而由线段的和差算出BC、OB的长，在Rt△ABO中，由勾股定理算出OA的长，然后判断出△BHE∽△BAO，最后相似三角形对应边成比例建立方程可求出HE的长.
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥AB于点B，交DC的延长线于点E，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F，
∴矩形ABEF，
设DF=x，CE=y，则DE=CD+CE=6+y，AF=BE=AD+DF=2+x，
∵ 剪掉的两个直角三角形相似，
∴△EFD∽△BCE，
∴即，
解之：
∴，故B，D不符合题意；
如图，延长BC，AD交于点F，过点B作BE⊥AB于点B，过点F作EF⊥AD于点F，
∴矩形ABEF，设FC=y，FD=x，则BF=CF+BC=7+y，AF=BE=AD+DF=2+x，
同理可知
△DFC∽△FBE，
∴即，
解之：
∴DF=10，BF=7+8=15，故C不符合题意，A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据题意分情况讨论：过点B作BE⊥AB于点B，交DC的延长线于点E，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F，可知四边形ABEF时矩形，设DF=x，CE=y，则DE=6+y，AF=BE=2+x，利用已知可得到△EFD∽△BCE，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，可得到DE，BE的长，可对B，D作出判断；延长BC，AD交于点F，过点B作BE⊥AB于点B，过点F作EF⊥AD于点F，设FC=y，FD=x，则BF=7+y，AF=BE=2+x，利用相似三角形的性质可得到关于x，y的方程组，解方程求出x，y的值，可得到BF的长，可对A，C作出判断.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
解：如图所示，过点E作EF∥AD，交PB于F
∵ AB=AC
∴ ∠ABC=∠ACB
∵ EF∥AD
∴ ∠ABC=∠CFE
∵ ∠ACB=∠FCE
∴ ∠CFE=∠FCE
∴ FE=CE
∵ EF∥AD
∴
∴
∴
故答案为D
【分析】本题考查三角形相似的判定及性质、等腰三角形的性质，熟悉三角形相似的判定和性质是解题关键。过点E作EF∥AD，交PB于F得∠ABC=∠CFE，，得；结合对顶角得 ∠CFE=∠FCE得FE=CE ，则，可得 .
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个三角形的两个角分别为，
∴这个三角形的第三个角是，
∵两个三角形相似，已知三角形中最小角是，
∴另一个三角形的最小的内角为．
故答案为：．
【分析】根据相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理求解。根据三角形内角和等于求出第三个角，再根据相似三角形对应角相等解答．
10．【答案】1：2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两相似三角形的相似比为1：2，
∴它们的周长比是1：2，
故答案为：1：2．
【分析】根据相似三角形的性质即可得出相似比，由此得出周长比。
11．【答案】75
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：75.
【分析】根据相似三角形的性质得出是解决问题的关键．
12．【答案】cm
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得： ，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
设 ，则 ，
，解得 ，
在 中， ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
即 .
故答案为： .
【分析】由题得FG=5cm，BC=20cm，BJ=40cm，EF=20cm，由同角的余角相等得∠GFI=∠FEC，证明△GFI∽△FEC，设FI=xcm，则CF=(20-x)cm，由相似三角形的性质可得CE，由勾股定理求出x，据此可得FI.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 中， ， ，
，
又 ，
，
，即 .
故答案为：
【分析】由题意用同角的余角相等可得∠ACD=∠B，根据直角都相等可得∠ACD=∠CDB，由相似三角形的判定可得△ACD △CBD，可得比例式，结合已知条件可求得CD的长。
14．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，即AC⊥BP
又∵ C为BD 的中点
∴
∴∠BAC=∠DAC
∴∠B=∠P
∴ AB=AP.
（2）解：∵ 四边形ABCD内接于⊙O
∴∠PDC=∠B=∠P
∴CP=CD
易证△CDP∽△ABP
∴，即CP·BP=AP·DP
∵AB=AP，AC⊥BP
∴BP=2CP
∴2CP2=20，CP=10
∴CD=CP=10.
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)要证 AB=AP，可证∠B=∠P，因为AB是⊙O的直径，可得AC⊥BP，由C为BD 的中点，可得∠BAC=∠DAC，故∠B=∠P，所以AB=AP.
（2） 由四边形ABCD内接于⊙O，可知∠PDC=∠B=∠P.结合（1）可推得BC=CP=CD，又△CDP∽△ABP，所以，2CP2=20，故CP=10.
15．【答案】（1）解：∵，平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，圆内接四边形对角互补，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】(1)在圆中，要求 BC 的度数，求出BC 所对的圆周角或圆心角即可；由，平分∠EAC，得，，弧的度数等于所对圆周角度数的2倍，故BC 的度数为.
(2)圆内接四边形的外角等于内对角，同弧所对圆周角相等；由AD平分∠EAC得∠EAD=∠DAC，∠EAD=∠CAD=∠DBC=∠DCB，故DB=DC.
(3) 由DA=DF得，∠DAF=∠DFA，由同弧所对圆周角相等，得∠DAF=∠DFA=∠CBD=∠BCD，故△DAF∽△DBC，∠ADF=∠BDC，由圆内接四边形对角互补得，∠ADF=12∠ADC=90° α2，故∠DAF=∠DFA=(180° ∠ADF)÷2=45°+α4，所以∠DFC=180° ∠DFA=135° α4．
16．【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ；
（2）解：∵在 中， ， ，
，
由（1）已证： ，
∴ ，即 ，
解得 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据四边形 是矩形，得出 ， ，再根据垂直的定义得出 ，利用全等三角形的性质得出 ；
（2）在 中， ， ，利用勾股定理得出AE的值，由（1）已证： ，得出 ，解得即可。
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ， ，
∴ ，
∵E为DC中点，
∴
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
.
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由中点的定义得CE=DE，由平行四边形性质和平行线性质得AD=BC，∠DAF=∠F和∠D=∠DCF，然后利用AAS证明△AED≌△FEC，得出AD=CF，等量代换，可得结论；
（2）根据角平分线的定义和平行的性质得出∠GAF=∠F，则可求出AG=GF，最后根据线段的和差关系求出CF和AD的长，由AD∥BC，证明△AHD∽△GHC，根据相似三角形的性质列比例式求解即可.
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