2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.2 相似三角形的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
2．（2023九下·杭州月考）如图，AB∥CD，AD，BC相交于点O．若AB＝1，CD＝2，BO∶CO＝（ ）
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
3．（2023九上·鹿城月考）如图，在的正方形网格中，线段与交于点，若每个小正方形的边长为1，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2023九上·亳州月考）在菱形中，是边上的点，连接交于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）
A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2
6．（2023九上·怀化期中）如图，在中，，，．点是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，当平分时，的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·金沙期中）如图，梯形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，下面四个结论：①与相似；②与相似；③；④与面积相等.其中结论始终正确的有（ ）
A．①④ B．①③ C．①② D．②④
8．在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=6，内切圆的半径等于1，则腰长为（ ）
A． B．4 C． D．
二、填空题
9．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC= 90°，D是边BC上一点，以BD为直径的半圆与边AC相切于点E.若AB=3，BC=4，则 BD= .
10．（2020九上·黄浦期末）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 厘米．
11．（2023九上·武侯开学考）如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为：，则和的面积比是 ．
12．（2023九上·黄浦期中）如图，已知一张三角形纸片ABC，AB＝5，AC＝4，点M在AC边上．如果过点M剪下一个与△ABC相似的小三角形纸片，设AM＝x，那么x的取值范围是 ．
13．如图，⊙O的半径为10，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP=6，过点A作AP的垂线交QO于点B，C.若PC=15，则PB= .
三、解答题
14．（2023九上·亳州月考）如图，在中，是边上的一点，且，，与相交于点，与相交于点.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积.
15．（2023九上·怀化期中）如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G．
（1）求的值．
（2）若，
①求证：．
②求证：．
四、综合题
16．（2016九下·大庆期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
17．（2017八下·钦南期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】直接根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出结论．
【解答】∵△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．
故选A．
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴.
故答案为：A.
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△AOB∽△DOC，进而根据相似三角形对应边成比例即可得出结论.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由图可知：BC//AD
∴△CBE∽△DAE
∴
∵CB=，AD=
∴
∵CD=
∴DE=
故答案为：D.
【分析】由BC//AD，得△CBE∽△DAE，求出CE与DE的比值，然后根据CD的长，求得DE的长.
4．【答案】C
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
解：如图所示：
∵ 菱形ABCD
∴ AD∥BC，AD=BC
∴
∴
∵ EC=2BE
∴ BC=3BE
∴ AD=3BE
∴
∴
∴
故答案为C
【分析】本题考查菱形的性质与三角形相似的判定与性质。用平行线判断出三角形相似，用菱形性质得出线段的数量关系是关键。由菱形的性质得，则；由EC=2BE得AD=3BE；可得 ，则 .
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴两个相似三角形的周长比是1：3，
故选：D．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解： ，， ，
，
∠BEF=∠ABE，
平分 ，
∠ABE=∠BFE，
∠BEF=∠BFE，
FE=FB，
为线段的中点，
DE=EF，
DE=EF=BF，
，
即
解得：
解得：
故答案为：B.
【分析】先利用勾股定理求得AC的值，再利用平行线的性质和角平分线的性质、线段中点的性质求得DE=EF=BF，再证明利用相似三角形的性质求得BF的值，进而求得CD的值，从而求解.
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ，
与相似，故① 正确，符合题意；
故 ③ 错误，符合题意；
没有条件可证明与相似，故② 错误，不符合题意；
△ABD与△ABC等高同底，
S△ABD=S△ABC，
S△ABD-S△AOB=S△ABC-S△AOB，
S△AOD=S△BOC，故 ④ 正确，符合题意；
正确的有 ①④ ，
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合三角形相似的判定定理和性质进行逐一判断即可求解.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，圆O内切于 等腰△ABC，
则OF⊥AB，AD⊥BC，BF=BD=DC=CE=3.
设AF=x，则AO=
∵△AOF∽△ABD
∴，即x1=x2+1+13 ∴3x-1= x2+1，解得x=
∴腰长AB=AF+BF=34+3=154 .
故答案为：C.
【分析】由圆O内切于 等腰△ABC，可以得到OF⊥AB，AD⊥BC，且BF=BD=DC=CE=3；要求腰长，可设腰长长未知部分线段AF为x，利用勾股定理表示出AO=，再由△AOF∽△ABD列出比例式x1=x2+1+13，得到AF=x=，于是腰长AB=AF+BF=34+3=154 .
9．【答案】3
【知识点】切线的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，在BD上取圆心O，连接OE，
设OB=OE=r，则OC=4-r，
在 Rt△ABC中 ，AC=AB2+BC2=32+42=5
∵△OEC∽△ABC
∴OEOC=ABAC，即r4-r=35
∴r=32，BD=2r=3.
故答案为：3.
【分析】利用线切的性质，连接OE，得△OEC∽△ABC，所以OEOC=ABAC，设OB=OE=r，则OC=4-r，则r4-r=35，解得r=32，BD=2r=3.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点 作 于 ，如图所示：
∵BC=6厘米，CD=16厘米， CD
厘米，
，
由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
即 ，
．
故答案为： ．
【分析】先由勾股定理求出 ，再过点 作 于 ，由 的比例线段求得结果即可．
11．【答案】4：9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】
故答案为：4∶9.
【分析】考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方。
12．【答案】7≤x＜4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：①过点M作交BC于点G，作交AB于点E，
∴，，
此时，点M在线段AC上，且不能与点A、点C重合，
∴，即；
②过点M作，交AB于点D，
则，
此时，点M在线段AC上，且不能与点A重合，
∴，即；
③过点M作，交BC于点F，
∵，
∴，
∵当点F与点B重合时，AM取得最小值，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点M不能与点C重合，
∴，即；
综上可得x的取值范围为：，
故答案为：．
【分析】分三种情况计算：①过点M作交BC于点G，作交AB于点E，此时，点M在线段AC上，且不能与点A、点C重合，可确定x的取值范围；②过点M作，交AB于点D，此时，点M在线段AC上，且不能与点A重合，可确定x的取值范围；③过点M作，交BC于点F，，当点F与点B重合时，AM取得最小值，利用相似三角形的对应边成比例可得，即可确定x的取值范围．
13．【答案】8
【知识点】圆周角定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】如图，作直径PD，连结BD，
则∠D=∠C
∵PD是直径，且PA⊥BC，
∴∠PBD=∠PAC=90°
∴△PBD∽△PAC
∴PBPD=PAPC，即PB20=615 ∴PB= 8
故答案为：8.
【分析】借助直径所对的圆周角为直角及同弧所对圆周角相等，构造△PBD∽△PAC，可得PBPD=PAPC，即PB20=615，所以PB= 8.
14．【答案】（1）解：证明：，，，，
，又，；
（2），，，又，
，
，，即的面积为.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查三角形相似的判定与性质、等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练应用条件得出结论是关键。（1）由 ，得，，则，结合可证；（2） 由相似三角形的性质，可得，结合，可得， 根据其性质得，可得的面积.
15．【答案】（1）解：因为在中，，，
又∵，
∴，
∴，
（2）解：①证明：∵，
可设，则，
由（1）知：，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质 求得 ， 再利用相似三角形的性质列出比例式代入数据即可求解；
（2） ①设，则， 用a表示出AE、AF，证明 ， 利用相似三角形的性质即可求解；
② 证明 ， 利用相似三角形的性质列出比例式，进行变形即可求解.
16．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2）解：∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°
∴ =1，
∴AD=BD，
∵△ACD∽△BFD，
∴ = =1，
∴BF=AC=3．
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得 = =1，即可解决问题．
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，
∵CF⊥CE
∴∠4+∠3=90°
∴∠2=∠4，
∴△CDE∽△CBF
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，
∵B为AF的中点
∴BF=AB，
设CD=BF=x
∵△CDE∽△CBF，
∴ ，
∴ ，
∵x＞0，
∴x= ，
即CD的长为
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用矩形的性质得∠D=∠1=∠2+∠3=90°，然后根据等角的余角相等得到∠2=∠4，则可判断△CDE∽△CBF；（2）先∴BF=AB，设CD=BF=x，再利用△CDE∽△CBF，则可根据相似比得到 ，然后利用比例性质求出x即可．
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.2 相似三角形的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】直接根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出结论．
【解答】∵△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．
故选A．
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．
2．（2023九下·杭州月考）如图，AB∥CD，AD，BC相交于点O．若AB＝1，CD＝2，BO∶CO＝（ ）
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴.
故答案为：A.
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△AOB∽△DOC，进而根据相似三角形对应边成比例即可得出结论.
3．（2023九上·鹿城月考）如图，在的正方形网格中，线段与交于点，若每个小正方形的边长为1，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由图可知：BC//AD
∴△CBE∽△DAE
∴
∵CB=，AD=
∴
∵CD=
∴DE=
故答案为：D.
【分析】由BC//AD，得△CBE∽△DAE，求出CE与DE的比值，然后根据CD的长，求得DE的长.
4．（2023九上·亳州月考）在菱形中，是边上的点，连接交于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
解：如图所示：
∵ 菱形ABCD
∴ AD∥BC，AD=BC
∴
∴
∵ EC=2BE
∴ BC=3BE
∴ AD=3BE
∴
∴
∴
故答案为C
【分析】本题考查菱形的性质与三角形相似的判定与性质。用平行线判断出三角形相似，用菱形性质得出线段的数量关系是关键。由菱形的性质得，则；由EC=2BE得AD=3BE；可得 ，则 .
5．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）
A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴两个相似三角形的周长比是1：3，
故选：D．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
6．（2023九上·怀化期中）如图，在中，，，．点是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，当平分时，的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解： ，， ，
，
∠BEF=∠ABE，
平分 ，
∠ABE=∠BFE，
∠BEF=∠BFE，
FE=FB，
为线段的中点，
DE=EF，
DE=EF=BF，
，
即
解得：
解得：
故答案为：B.
【分析】先利用勾股定理求得AC的值，再利用平行线的性质和角平分线的性质、线段中点的性质求得DE=EF=BF，再证明利用相似三角形的性质求得BF的值，进而求得CD的值，从而求解.
7．（2023九上·金沙期中）如图，梯形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，下面四个结论：①与相似；②与相似；③；④与面积相等.其中结论始终正确的有（ ）
A．①④ B．①③ C．①② D．②④
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ，
与相似，故① 正确，符合题意；
故 ③ 错误，符合题意；
没有条件可证明与相似，故② 错误，不符合题意；
△ABD与△ABC等高同底，
S△ABD=S△ABC，
S△ABD-S△AOB=S△ABC-S△AOB，
S△AOD=S△BOC，故 ④ 正确，符合题意；
正确的有 ①④ ，
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合三角形相似的判定定理和性质进行逐一判断即可求解.
8．在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=6，内切圆的半径等于1，则腰长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，圆O内切于 等腰△ABC，
则OF⊥AB，AD⊥BC，BF=BD=DC=CE=3.
设AF=x，则AO=
∵△AOF∽△ABD
∴，即x1=x2+1+13 ∴3x-1= x2+1，解得x=
∴腰长AB=AF+BF=34+3=154 .
故答案为：C.
【分析】由圆O内切于 等腰△ABC，可以得到OF⊥AB，AD⊥BC，且BF=BD=DC=CE=3；要求腰长，可设腰长长未知部分线段AF为x，利用勾股定理表示出AO=，再由△AOF∽△ABD列出比例式x1=x2+1+13，得到AF=x=，于是腰长AB=AF+BF=34+3=154 .
二、填空题
9．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC= 90°，D是边BC上一点，以BD为直径的半圆与边AC相切于点E.若AB=3，BC=4，则 BD= .
【答案】3
【知识点】切线的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，在BD上取圆心O，连接OE，
设OB=OE=r，则OC=4-r，
在 Rt△ABC中 ，AC=AB2+BC2=32+42=5
∵△OEC∽△ABC
∴OEOC=ABAC，即r4-r=35
∴r=32，BD=2r=3.
故答案为：3.
【分析】利用线切的性质，连接OE，得△OEC∽△ABC，所以OEOC=ABAC，设OB=OE=r，则OC=4-r，则r4-r=35，解得r=32，BD=2r=3.
10．（2020九上·黄浦期末）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 厘米．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点 作 于 ，如图所示：
∵BC=6厘米，CD=16厘米， CD
厘米，
，
由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
即 ，
．
故答案为： ．
【分析】先由勾股定理求出 ，再过点 作 于 ，由 的比例线段求得结果即可．
11．（2023九上·武侯开学考）如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为：，则和的面积比是 ．
【答案】4：9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】
故答案为：4∶9.
【分析】考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方。
12．（2023九上·黄浦期中）如图，已知一张三角形纸片ABC，AB＝5，AC＝4，点M在AC边上．如果过点M剪下一个与△ABC相似的小三角形纸片，设AM＝x，那么x的取值范围是 ．
【答案】7≤x＜4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：①过点M作交BC于点G，作交AB于点E，
∴，，
此时，点M在线段AC上，且不能与点A、点C重合，
∴，即；
②过点M作，交AB于点D，
则，
此时，点M在线段AC上，且不能与点A重合，
∴，即；
③过点M作，交BC于点F，
∵，
∴，
∵当点F与点B重合时，AM取得最小值，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点M不能与点C重合，
∴，即；
综上可得x的取值范围为：，
故答案为：．
【分析】分三种情况计算：①过点M作交BC于点G，作交AB于点E，此时，点M在线段AC上，且不能与点A、点C重合，可确定x的取值范围；②过点M作，交AB于点D，此时，点M在线段AC上，且不能与点A重合，可确定x的取值范围；③过点M作，交BC于点F，，当点F与点B重合时，AM取得最小值，利用相似三角形的对应边成比例可得，即可确定x的取值范围．
13．如图，⊙O的半径为10，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP=6，过点A作AP的垂线交QO于点B，C.若PC=15，则PB= .
【答案】8
【知识点】圆周角定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】如图，作直径PD，连结BD，
则∠D=∠C
∵PD是直径，且PA⊥BC，
∴∠PBD=∠PAC=90°
∴△PBD∽△PAC
∴PBPD=PAPC，即PB20=615 ∴PB= 8
故答案为：8.
【分析】借助直径所对的圆周角为直角及同弧所对圆周角相等，构造△PBD∽△PAC，可得PBPD=PAPC，即PB20=615，所以PB= 8.
三、解答题
14．（2023九上·亳州月考）如图，在中，是边上的一点，且，，与相交于点，与相交于点.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）解：证明：，，，，
，又，；
（2），，，又，
，
，，即的面积为.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查三角形相似的判定与性质、等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练应用条件得出结论是关键。（1）由 ，得，，则，结合可证；（2） 由相似三角形的性质，可得，结合，可得， 根据其性质得，可得的面积.
15．（2023九上·怀化期中）如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G．
（1）求的值．
（2）若，
①求证：．
②求证：．
【答案】（1）解：因为在中，，，
又∵，
∴，
∴，
（2）解：①证明：∵，
可设，则，
由（1）知：，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质 求得 ， 再利用相似三角形的性质列出比例式代入数据即可求解；
（2） ①设，则， 用a表示出AE、AF，证明 ， 利用相似三角形的性质即可求解；
② 证明 ， 利用相似三角形的性质列出比例式，进行变形即可求解.
四、综合题
16．（2016九下·大庆期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2）解：∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°
∴ =1，
∴AD=BD，
∵△ACD∽△BFD，
∴ = =1，
∴BF=AC=3．
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得 = =1，即可解决问题．
17．（2017八下·钦南期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，
∵CF⊥CE
∴∠4+∠3=90°
∴∠2=∠4，
∴△CDE∽△CBF
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，
∵B为AF的中点
∴BF=AB，
设CD=BF=x
∵△CDE∽△CBF，
∴ ，
∴ ，
∵x＞0，
∴x= ，
即CD的长为
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用矩形的性质得∠D=∠1=∠2+∠3=90°，然后根据等角的余角相等得到∠2=∠4，则可判断△CDE∽△CBF；（2）先∴BF=AB，设CD=BF=x，再利用△CDE∽△CBF，则可根据相似比得到 ，然后利用比例性质求出x即可．
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