2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.2 相似三角形的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·闵行期中）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是 （ ）
A．S1=S3 B．S2=2S1
C．S2=2S4 D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、与等底同高，则，，即，故A选项正确；
B、过点，作于，交于，
，，，，，
即，故B正确；
C、，，，，，即，故C选项不正确；
D、，，故D正确；
故答案为：C。
【分析】根据与等底同高，即可判断A选项，根据，可得以及，可得，即可判断B选项，过点，作于，交于，根据，可得，即可判断C选项， 结合，，即可判断D选项．
2．（2023九上·成都期中）如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．3.2 B．4 C．5 D．20
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】△ADE∽△ACB，
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的性质列出关于AE的比例式，代入数据即可求解.
3．（2022九上·奉贤期中）如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边 上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是（ ）
A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为x．
∵正方形得，
∴，即，
∵，
∴．
∵
∴
∴．
∵
∴，即，
∵ ，
∴，解得．
故正方形的边长是6cm．
故答案为：C．
【分析】设正方形的边长为x．先证明，可得，再结合，可得，最后求出x的值即可。
4．（2023九上·恩阳期中）如图是小阳设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地面的高度米，解决本题应用什么光学知识，该古城墙的高度是（ ）
A．光的反射，米 B．光的折射，米
C．光沿直线传播，8米 D．光的反射，24米
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】光的入射角等于反射角，这是光的反射定律
故选：A
【分析】根据图示，解决本题应该的光学知识是光的反射定律，根据光的反射定律，可得到一组对应角相等，根据垂直又得到一组对应角相等，根据判定相似的AA定理，可以得到两三角形的对应边成比例，代入已知的三条线段，CD的长可求。
5．（2023九上·衡山期中）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则（ ）
A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质与判定求解。先根据平行四边形的性质得到，再证明，得到，然后根据，推出，由此即可得到答案．
6．（2019九上·西安期中）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，图中相似的三角形有（ ）对.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：图中的相似三角形有△ABC∽△ADE，△ABD∽△AEF，△AEF∽△DCF，△ABD∽△DCF，△ADF∽△ACD；理由如下：
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，
∴△ABC∽△ADE；
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠FAE，
∴△ABD∽△AEF；
∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，
∴△AEF∽△DCF，
∴△ABD∽△DCF；
∵∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，
∴△ADF∽△ACD，
故答案为：C.
【分析】由等边三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，得出△ABC∽△ADE，再证出∠BAD＝∠FAE，得出△ABD∽△AEF；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，证出△AEF∽△DCF，得出△ABD∽△DCF；由∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，即可得出△ADF∽△ACD.
7．（2023九上·长沙月考）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于．对于下列结论：
①；②；③；④当时，面积的最小值为．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
为正方形，
，
又
故①正确；
把绕点A逆时针旋转，得到．
，
∵，
∴．
又，
∴．
∴，
即故②正确；
由②得．
过作，作，如图所示：
则与的相似比就是．
易证，
则可知，
故③正确；
当时，
设，因为，
所以，所以．
整理，得，
所以，
即．
又因为，所以，当且仅当时等号成立，此时．
因此，当时，取最小值，为．故④正确．
故答案为：D
【分析】先根据正方形的性质得到，进而结合题意得到，从而运用相似三角形的判定即可判定①；进而根据相似三角形的性质得到，从而根据旋转的性质得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，再根据平行线的性质得到，再结合题意证明，从而运用相似三角形的判定与性质证明即可判断②；由②得，过作，作，则与的相似比就是，进而结合题意运用三角形全等的判定即可判断③；设，因为，进而结合题意运用三角形的面积进行运算即可求解。
8．如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（ ）
A．8 B．4 C．10 D．8
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
设BM=x，
∴ = ，
即 = ，
整理得：CN=﹣ x2+x=﹣ （x﹣4）2+2，
∴当x=4时，CN取得最大值2，
∵AN= = ，
∴当DN取得最小值、CN取得最大值，即DN=6时，AN最小，
则AN= =10，
故答案为：C．
【分析】通过相似三角形对应边成比例，写出关系式来，然后表示出CN，二次函数配方法求最值。
二、填空题
9．（2023九上·长沙月考）如图，平行四边形中，点是边上一点，交于点，若，则为 ．
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
故答案为：4
【分析】先根据题意得到CB的长，进而根据平行四边形的性质得到，，从而根据相似三角形的判定与性质结合题意即可求解。
10．（2023九上·黄浦期中）如图，将正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，点B对应点H，得折痕CG，则＝ ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】证明：延长，交于点，如图所示：
∵对折正方形得折痕，
∴设，即
∵四边形为正方形，
∴，
∴
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
【分析】根据相似三角形的判定和性质、轴对称的性质求解。延长，交于点，利用折叠的性质可设，即，利用勾股定理得到，进而得到，，证明出，利用相似三角形的性质求解即可．
11．（2021八下·姑苏期末）如图， 是 的中线，点 、 、 分别是 、 、 的中点，连接 、 .现随机向 内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；几何概率
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴ ，
∴ ，
∵G是AB的中点，
∴
∴
∵E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴ ，
∴△AEF～△ADC，
∴ ，即 ，
∴S四边形EDCF
∴S阴影部分=S△BDG+S四边形EDCF
∴ ，
∴针尖落在阴影区域的概率是： ；
故答案为：
【分析】先根据等底同高的三角形的面积相等证出，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方证出S四边形EDCF，利用S阴影部分=S△BDG+S四边形EDCF 得出S阴影部分=，再利用概率公式即可得出答案.
12．（2023九上·定海月考）如图，在中，，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为⊙B上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足，连结BF，当点E与点D重合时，BF的值为 ，点E在⊙B上运动过程中，BF存在最大值为 ．
【答案】；
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，当点E与点D重合时，
∵BC=6，BD=2，
∴CD=BC-BD=6-2=4，
∵CF=CE，
∴CF=2，
又∵∠FCB=90°，
∴；
如图，连接AF、BE，
∵CF⊥CE，
∴∠FCE=∠ACB=90°，
∴∠FCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE，
即∠ACF=∠BCE，
∵AC=3，BC=6，CF=CE，
∴，
∴△ACF∽△BCE，
∴，
∵BE=2，
∴AF=1，
∴，
∵BF≤AF+AB=，
∴BF的最大值为.
故答案为：；.
【分析】第一空：首先根据线段之间的关系算出CD、CF，进而直接根据勾股定理算出BF即可；第二空：连接AF、BE，由同角的余角相等得∠ACF=∠BCE，由线段之间的关系可得，然后根据两组边对应成比例且夹角相等得两个三角形相似得△ACF∽△BCE，由相似三角形对应边成比例可求出AF的长，再根据勾股定理算出AB的长，最后根据三角形三边之间的关系可得BF≤AF+AB=，从而此题得解.
13．（2023九上·成都期中）如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接AE，BF交于点G，点H为AG上一点，且BG＝GH，连接DH，则DH的最小值为 ．
【答案】4﹣4
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】取AB的中点O，连接OC、OG、GC、BD，如图，
四边形ABCD是正方形，
AB=BC=8，∠DBC=45°，
点O是AB的中点，
OB=4，
BE=CF，∠ABE=∠BCF=90°，
∠AEB=∠BFC，
∠BFC+∠FBC=∠AEB+∠FBC=90°，
∠AGB=90°，
点G在以AB为直径的圆上运动，
当点G在OC上时，CG有最小值，最小值为
BG=GH，∠AGB=90°，
∠HBG=45°=∠DBC，BH=
【分析】先证明可得到∠AEB=∠BFC，进一步得到∠AGB=90°，则点G在以AB为直径的圆上运动，当点G在OC上时，CG有最小值，最小值为再证利用相似三角形的性质可得从而求解.
三、解答题
14．（2023九上·南明期中）如图①，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC边上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F，交AB于点E，连接DE．
（1）求证：△AFC∽△CFD；
（2）若AE＝2BE，求证：AF＝2CF；
（3）如图②，若AB＝，DE⊥BC，求的值。
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠DCF＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠ACF＝∠CDF，
∵∠AFC＝∠CFD＝90°，
∴△AFC∽△CFD；
（2）证明：如图①，过点B作BH⊥CE交CE的延长线于H，
∵CE⊥AD，
∴AF∥BH，
∴＝2，
∴AF＝2BH，
由（1）可知，△AFC∽△CFD，
∴∠CAF＝∠BCH，
在△ACF和△CBH中，
，
∴△ACF≌△CBH（AAS），
∴CF＝BH，
∴AF＝2CF；
（3）解：在Rt△ABC中，AC＝BC， ∠ACB=90°， AB＝，
则AC＝BC＝1，∠B＝45°，
设CD＝x，则BD＝1﹣x，
在Rt△BDE中，∠B＝45°，
则DE＝BD＝1﹣x，
∵∠CAD＝∠ECD，∠ACD＝∠CDE＝90°，
∴△ACD∽△CDE，
∴， 即
解得：x1＝（舍去），
∵DE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据题意证明ACF＝∠CDF，进而运用相似三角形的判定即可求解；
（2）点B作BH⊥CE交CE的延长线于H，先根据平行线分线段成比例即可得到＝2，进而根据相似三角形的性质即可得到∠CAF＝∠BCH，从而运用三角形全等的判定与性质证明△ACF≌△CBH（AAS）即可得到CF＝BH，从而即可求解；
（3）先根据题意得到AC＝BC＝1，∠B＝45°，在Rt△BDE中，∠B＝45°，则DE＝BD＝1﹣x，进而根据相似三角形的判定与性质即可得到x的值，从而结合题意即可求解。
15．（2023九上·鹿城月考）如图1，内接于圆为直径，点在的上方，且．连结是边上的高，过点作交的延长线于点，交于点．
（1）求证：．
（2）当时，求的值．
（3）如图2，取的中点，连结．
①若，在点运动的过程中，当四边形的其中一边长是的2倍时，求所有满足条件的的长．
②连结，当的面积是的面积的2倍时，则 ▲ （请直接写出答案）
【答案】（1）证明：，
，
为直径，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
为正三角形，
，
，
；
（3）解：①当时，设，则，
，
又，
在Rt中，
即，
解得，
由，
，
当时，设，则
由得，
化简得
解得（舍去）
当时，由于，
但
∴此种情况不存在，
综上所述，当或时，四边形的其中一边长为的2倍；
②.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：②当 的面积是△BOE的面积的2倍时，CQ=2BE.
记BE长为单位1，则CQ=BQ=2，QE=1.
∵OQ⊥CE，CO⊥OE
由射影定理得：OQ2=CQ×QE=2
∴OQ=，OB=
∵△BOQ∽△BCG，
∴
∴CG=，BG=
∴OG=
由射影定理得：OG2=CG×GD
∴GD=
∴
故答案为：.
【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角，可得，故；由；同角的余角相等，故；又因为，得.
（2）因为且，可得∠ECO=∠DCO=∠ACG=，所以；
（3）若Q是BC的中点，由垂径定理推论可知，OQ⊥BC，那么OQ//AC，OQ是中位线；①四边形CGOQ的其中一边长是OQ的2倍，有三种可能性：CQ=2OQ，GO=2OQ，CG=2OQ；当CQ=2OQ时，由OC=5，可求得OQ=，CQ=BQ=；由cos∠CBG=求得BG=8，故OG=3；当GO=2OQ时，设OQ=x，则OG=2x，AC=2x，AG=5-2x，由，
得，解得x=，；当CG=2OQ时，由于，且AC＞CG，故此种情况不成立；
②当 的面积是 的面积的2倍时得CQ=2BE是本题解题的关键，记BE长为单位1，则CQ=BQ=2，QE=1，然后由射影定理求出OQ的长，从而求出CQ、BQ、BO的值，利用三角形相似列出比例式，求出CG、BG的长，从而可得OG长，由射影定理OG2=CG×GD求出DG的值，那么就可以求得了.
四、综合题
16．（2023九上·长沙月考）在圆中，弦交于点．
（1）如图1，已知，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，若，求证：；
（3）如图3，为线段上一点，已知，当的最大值为12时，求的值．
【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：连接，
由（1）知，
，
，
在与中，
，
，
设，
，
，
，
又，
，
，
且，
．
（3）解：，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
设，则，
，
即，
，
，
，
，
，
设，
则，
对称轴为直线，
①当，即时，
当时，，
解得，
②当，即时，
当时，，
化简得，
解得（舍去），
③当，即时，
当时，，
解得（舍去），
综上可知，．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）连接，结合题意运用等腰三角形的性质即可求解；
（2）连接，由（1）知，进而即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，设，进而结合题意证明，再运用相似三角形的判定即可求解；
（3）先根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而证明得到，设，则，根据勾股定理即可得到，再结合题意设，则，对称轴为直线，进而分类讨论：①当，即时，②当，即时，③当，即时，从而即可求解。
17．（2023·滁州模拟） 如图，在正方形中，点是对角线上一点不与点，重合，交边于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：∽；
（2）求的度数；
（3）若正方形的边长为，点是延长线上一点，交的延长线于点，且恰好经过的中点，如图，其他条件不变，求的值．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
由正方形性质可知，是等腰直角三角形，
，
，
又，
∽；
（2）解：由的∽，，
，
四边形为平行四边形，
，即：，
，
（3）解：，，，
，，
∽，
，
为中点，
，
，
，，
≌，
，则，，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）本题根据正方形的性质可知，∠CDB=∠DBA=45°，由EG⊥BD可知，△BGE和△BCD为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形三边的比可知，，由四边形EDCF是平行四边形可知，DC=EF，即，由∠EBD=∠GEF=45°，即可证明结论.
（2）由（1）知△BDE∽△EFG，可知∠GFE=∠BDE，由四边形DECF是平行四边形可知，∠CFE=∠CDE，即∠CDE-∠BED=∠CFE-∠GFE，即∠CFG=∠CDB=45°.
(3)由（1）知，∠GEB=∠DBA=45°，即∠FEG=∠EBD=135°，由，可证△GEF∽△EBD，可得，再由CD∥EF可得，∠CDH=∠BEH，∠DCH=∠EBH，可知△DCH≌△EBH，可得BE=CD=4，则AE=8，GE=，由勾股定理可知DE=，再由，可求得GF=，即可求得DG=，即可求得结果.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.2 相似三角形的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·闵行期中）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是 （ ）
A．S1=S3 B．S2=2S1
C．S2=2S4 D．
2．（2023九上·成都期中）如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．3.2 B．4 C．5 D．20
3．（2022九上·奉贤期中）如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边 上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是（ ）
A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米
4．（2023九上·恩阳期中）如图是小阳设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地面的高度米，解决本题应用什么光学知识，该古城墙的高度是（ ）
A．光的反射，米 B．光的折射，米
C．光沿直线传播，8米 D．光的反射，24米
5．（2023九上·衡山期中）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则（ ）
A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．1：4
6．（2019九上·西安期中）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，图中相似的三角形有（ ）对.
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023九上·长沙月考）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于．对于下列结论：
①；②；③；④当时，面积的最小值为．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
8．如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（ ）
A．8 B．4 C．10 D．8
二、填空题
9．（2023九上·长沙月考）如图，平行四边形中，点是边上一点，交于点，若，则为 ．
10．（2023九上·黄浦期中）如图，将正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，点B对应点H，得折痕CG，则＝ ．
11．（2021八下·姑苏期末）如图， 是 的中线，点 、 、 分别是 、 、 的中点，连接 、 .现随机向 内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 .
12．（2023九上·定海月考）如图，在中，，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为⊙B上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足，连结BF，当点E与点D重合时，BF的值为 ，点E在⊙B上运动过程中，BF存在最大值为 ．
13．（2023九上·成都期中）如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接AE，BF交于点G，点H为AG上一点，且BG＝GH，连接DH，则DH的最小值为 ．
三、解答题
14．（2023九上·南明期中）如图①，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC边上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F，交AB于点E，连接DE．
（1）求证：△AFC∽△CFD；
（2）若AE＝2BE，求证：AF＝2CF；
（3）如图②，若AB＝，DE⊥BC，求的值。
15．（2023九上·鹿城月考）如图1，内接于圆为直径，点在的上方，且．连结是边上的高，过点作交的延长线于点，交于点．
（1）求证：．
（2）当时，求的值．
（3）如图2，取的中点，连结．
①若，在点运动的过程中，当四边形的其中一边长是的2倍时，求所有满足条件的的长．
②连结，当的面积是的面积的2倍时，则 ▲ （请直接写出答案）
四、综合题
16．（2023九上·长沙月考）在圆中，弦交于点．
（1）如图1，已知，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，若，求证：；
（3）如图3，为线段上一点，已知，当的最大值为12时，求的值．
17．（2023·滁州模拟） 如图，在正方形中，点是对角线上一点不与点，重合，交边于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：∽；
（2）求的度数；
（3）若正方形的边长为，点是延长线上一点，交的延长线于点，且恰好经过的中点，如图，其他条件不变，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、与等底同高，则，，即，故A选项正确；
B、过点，作于，交于，
，，，，，
即，故B正确；
C、，，，，，即，故C选项不正确；
D、，，故D正确；
故答案为：C。
【分析】根据与等底同高，即可判断A选项，根据，可得以及，可得，即可判断B选项，过点，作于，交于，根据，可得，即可判断C选项， 结合，，即可判断D选项．
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】△ADE∽△ACB，
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的性质列出关于AE的比例式，代入数据即可求解.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为x．
∵正方形得，
∴，即，
∵，
∴．
∵
∴
∴．
∵
∴，即，
∵ ，
∴，解得．
故正方形的边长是6cm．
故答案为：C．
【分析】设正方形的边长为x．先证明，可得，再结合，可得，最后求出x的值即可。
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】光的入射角等于反射角，这是光的反射定律
故选：A
【分析】根据图示，解决本题应该的光学知识是光的反射定律，根据光的反射定律，可得到一组对应角相等，根据垂直又得到一组对应角相等，根据判定相似的AA定理，可以得到两三角形的对应边成比例，代入已知的三条线段，CD的长可求。
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质与判定求解。先根据平行四边形的性质得到，再证明，得到，然后根据，推出，由此即可得到答案．
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：图中的相似三角形有△ABC∽△ADE，△ABD∽△AEF，△AEF∽△DCF，△ABD∽△DCF，△ADF∽△ACD；理由如下：
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，
∴△ABC∽△ADE；
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠FAE，
∴△ABD∽△AEF；
∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，
∴△AEF∽△DCF，
∴△ABD∽△DCF；
∵∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，
∴△ADF∽△ACD，
故答案为：C.
【分析】由等边三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，得出△ABC∽△ADE，再证出∠BAD＝∠FAE，得出△ABD∽△AEF；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，证出△AEF∽△DCF，得出△ABD∽△DCF；由∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，即可得出△ADF∽△ACD.
7．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
为正方形，
，
又
故①正确；
把绕点A逆时针旋转，得到．
，
∵，
∴．
又，
∴．
∴，
即故②正确；
由②得．
过作，作，如图所示：
则与的相似比就是．
易证，
则可知，
故③正确；
当时，
设，因为，
所以，所以．
整理，得，
所以，
即．
又因为，所以，当且仅当时等号成立，此时．
因此，当时，取最小值，为．故④正确．
故答案为：D
【分析】先根据正方形的性质得到，进而结合题意得到，从而运用相似三角形的判定即可判定①；进而根据相似三角形的性质得到，从而根据旋转的性质得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，再根据平行线的性质得到，再结合题意证明，从而运用相似三角形的判定与性质证明即可判断②；由②得，过作，作，则与的相似比就是，进而结合题意运用三角形全等的判定即可判断③；设，因为，进而结合题意运用三角形的面积进行运算即可求解。
8．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
设BM=x，
∴ = ，
即 = ，
整理得：CN=﹣ x2+x=﹣ （x﹣4）2+2，
∴当x=4时，CN取得最大值2，
∵AN= = ，
∴当DN取得最小值、CN取得最大值，即DN=6时，AN最小，
则AN= =10，
故答案为：C．
【分析】通过相似三角形对应边成比例，写出关系式来，然后表示出CN，二次函数配方法求最值。
9．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
故答案为：4
【分析】先根据题意得到CB的长，进而根据平行四边形的性质得到，，从而根据相似三角形的判定与性质结合题意即可求解。
10．【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】证明：延长，交于点，如图所示：
∵对折正方形得折痕，
∴设，即
∵四边形为正方形，
∴，
∴
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
【分析】根据相似三角形的判定和性质、轴对称的性质求解。延长，交于点，利用折叠的性质可设，即，利用勾股定理得到，进而得到，，证明出，利用相似三角形的性质求解即可．
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；几何概率
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴ ，
∴ ，
∵G是AB的中点，
∴
∴
∵E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴ ，
∴△AEF～△ADC，
∴ ，即 ，
∴S四边形EDCF
∴S阴影部分=S△BDG+S四边形EDCF
∴ ，
∴针尖落在阴影区域的概率是： ；
故答案为：
【分析】先根据等底同高的三角形的面积相等证出，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方证出S四边形EDCF，利用S阴影部分=S△BDG+S四边形EDCF 得出S阴影部分=，再利用概率公式即可得出答案.
12．【答案】；
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，当点E与点D重合时，
∵BC=6，BD=2，
∴CD=BC-BD=6-2=4，
∵CF=CE，
∴CF=2，
又∵∠FCB=90°，
∴；
如图，连接AF、BE，
∵CF⊥CE，
∴∠FCE=∠ACB=90°，
∴∠FCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE，
即∠ACF=∠BCE，
∵AC=3，BC=6，CF=CE，
∴，
∴△ACF∽△BCE，
∴，
∵BE=2，
∴AF=1，
∴，
∵BF≤AF+AB=，
∴BF的最大值为.
故答案为：；.
【分析】第一空：首先根据线段之间的关系算出CD、CF，进而直接根据勾股定理算出BF即可；第二空：连接AF、BE，由同角的余角相等得∠ACF=∠BCE，由线段之间的关系可得，然后根据两组边对应成比例且夹角相等得两个三角形相似得△ACF∽△BCE，由相似三角形对应边成比例可求出AF的长，再根据勾股定理算出AB的长，最后根据三角形三边之间的关系可得BF≤AF+AB=，从而此题得解.
13．【答案】4﹣4
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】取AB的中点O，连接OC、OG、GC、BD，如图，
四边形ABCD是正方形，
AB=BC=8，∠DBC=45°，
点O是AB的中点，
OB=4，
BE=CF，∠ABE=∠BCF=90°，
∠AEB=∠BFC，
∠BFC+∠FBC=∠AEB+∠FBC=90°，
∠AGB=90°，
点G在以AB为直径的圆上运动，
当点G在OC上时，CG有最小值，最小值为
BG=GH，∠AGB=90°，
∠HBG=45°=∠DBC，BH=
【分析】先证明可得到∠AEB=∠BFC，进一步得到∠AGB=90°，则点G在以AB为直径的圆上运动，当点G在OC上时，CG有最小值，最小值为再证利用相似三角形的性质可得从而求解.
14．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠DCF＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠ACF＝∠CDF，
∵∠AFC＝∠CFD＝90°，
∴△AFC∽△CFD；
（2）证明：如图①，过点B作BH⊥CE交CE的延长线于H，
∵CE⊥AD，
∴AF∥BH，
∴＝2，
∴AF＝2BH，
由（1）可知，△AFC∽△CFD，
∴∠CAF＝∠BCH，
在△ACF和△CBH中，
，
∴△ACF≌△CBH（AAS），
∴CF＝BH，
∴AF＝2CF；
（3）解：在Rt△ABC中，AC＝BC， ∠ACB=90°， AB＝，
则AC＝BC＝1，∠B＝45°，
设CD＝x，则BD＝1﹣x，
在Rt△BDE中，∠B＝45°，
则DE＝BD＝1﹣x，
∵∠CAD＝∠ECD，∠ACD＝∠CDE＝90°，
∴△ACD∽△CDE，
∴， 即
解得：x1＝（舍去），
∵DE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据题意证明ACF＝∠CDF，进而运用相似三角形的判定即可求解；
（2）点B作BH⊥CE交CE的延长线于H，先根据平行线分线段成比例即可得到＝2，进而根据相似三角形的性质即可得到∠CAF＝∠BCH，从而运用三角形全等的判定与性质证明△ACF≌△CBH（AAS）即可得到CF＝BH，从而即可求解；
（3）先根据题意得到AC＝BC＝1，∠B＝45°，在Rt△BDE中，∠B＝45°，则DE＝BD＝1﹣x，进而根据相似三角形的判定与性质即可得到x的值，从而结合题意即可求解。
15．【答案】（1）证明：，
，
为直径，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
为正三角形，
，
，
；
（3）解：①当时，设，则，
，
又，
在Rt中，
即，
解得，
由，
，
当时，设，则
由得，
化简得
解得（舍去）
当时，由于，
但
∴此种情况不存在，
综上所述，当或时，四边形的其中一边长为的2倍；
②.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：②当 的面积是△BOE的面积的2倍时，CQ=2BE.
记BE长为单位1，则CQ=BQ=2，QE=1.
∵OQ⊥CE，CO⊥OE
由射影定理得：OQ2=CQ×QE=2
∴OQ=，OB=
∵△BOQ∽△BCG，
∴
∴CG=，BG=
∴OG=
由射影定理得：OG2=CG×GD
∴GD=
∴
故答案为：.
【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角，可得，故；由；同角的余角相等，故；又因为，得.
（2）因为且，可得∠ECO=∠DCO=∠ACG=，所以；
（3）若Q是BC的中点，由垂径定理推论可知，OQ⊥BC，那么OQ//AC，OQ是中位线；①四边形CGOQ的其中一边长是OQ的2倍，有三种可能性：CQ=2OQ，GO=2OQ，CG=2OQ；当CQ=2OQ时，由OC=5，可求得OQ=，CQ=BQ=；由cos∠CBG=求得BG=8，故OG=3；当GO=2OQ时，设OQ=x，则OG=2x，AC=2x，AG=5-2x，由，
得，解得x=，；当CG=2OQ时，由于，且AC＞CG，故此种情况不成立；
②当 的面积是 的面积的2倍时得CQ=2BE是本题解题的关键，记BE长为单位1，则CQ=BQ=2，QE=1，然后由射影定理求出OQ的长，从而求出CQ、BQ、BO的值，利用三角形相似列出比例式，求出CG、BG的长，从而可得OG长，由射影定理OG2=CG×GD求出DG的值，那么就可以求得了.
16．【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：连接，
由（1）知，
，
，
在与中，
，
，
设，
，
，
，
又，
，
，
且，
．
（3）解：，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
设，则，
，
即，
，
，
，
，
，
设，
则，
对称轴为直线，
①当，即时，
当时，，
解得，
②当，即时，
当时，，
化简得，
解得（舍去），
③当，即时，
当时，，
解得（舍去），
综上可知，．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）连接，结合题意运用等腰三角形的性质即可求解；
（2）连接，由（1）知，进而即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，设，进而结合题意证明，再运用相似三角形的判定即可求解；
（3）先根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而证明得到，设，则，根据勾股定理即可得到，再结合题意设，则，对称轴为直线，进而分类讨论：①当，即时，②当，即时，③当，即时，从而即可求解。
17．【答案】（1）证明：四边形是正方形，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
由正方形性质可知，是等腰直角三角形，
，
，
又，
∽；
（2）解：由的∽，，
，
四边形为平行四边形，
，即：，
，
（3）解：，，，
，，
∽，
，
为中点，
，
，
，，
≌，
，则，，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）本题根据正方形的性质可知，∠CDB=∠DBA=45°，由EG⊥BD可知，△BGE和△BCD为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形三边的比可知，，由四边形EDCF是平行四边形可知，DC=EF，即，由∠EBD=∠GEF=45°，即可证明结论.
（2）由（1）知△BDE∽△EFG，可知∠GFE=∠BDE，由四边形DECF是平行四边形可知，∠CFE=∠CDE，即∠CDE-∠BED=∠CFE-∠GFE，即∠CFG=∠CDB=45°.
(3)由（1）知，∠GEB=∠DBA=45°，即∠FEG=∠EBD=135°，由，可证△GEF∽△EBD，可得，再由CD∥EF可得，∠CDH=∠BEH，∠DCH=∠EBH，可知△DCH≌△EBH，可得BE=CD=4，则AE=8，GE=，由勾股定理可知DE=，再由，可求得GF=，即可求得DG=，即可求得结果.
1 / 1
