2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.3 相似三角形应用举例同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·江北期中）如图，为测量学校旗杆的高度，小明用长为3.2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．8.8m B．10m C．12m D．14m
2．（2023九上·兴隆期中）如图，身高的小亮站在某路灯下，发现自己的影长恰好是，经测量，此时小亮离路灯底部的距离是，则路灯离地面的高度AB是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·武侯期中）同一时刻，同一地点，在阳光下影长为0.4米的小王身高为1.6米，一棵树的影长为3.2米，则这棵树的高度为 （ ）
A．0.8米 B．6.4米 C．12.8米 D．25.6米
4．（2023九上·浦东期中）《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木.出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.”大意是：如图所示，四边形是一座正方形小城，北门位于的中点，南门位于的中点.从北门出去正北方向20步远的处有一树木.从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见处的树木.正方形小城的边长为（ ）
A．105步 B．200步 C．250步 D．305步
5．（2023九上·宁海月考）凸透镜成像的原理如因所示，.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的弫离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·光明月考）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm．
A． B．6 C． D．8
7．（2023九上·宽城月考）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，则旗杆AC的高度为（ ）.
A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米
8．如图，一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高线长为22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）．
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
二、填空题
9．（2023九上·闵行期中）如图，已知小丽的身高是1.6米，他在路灯下的影长为2米，小丽距路灯灯杆的底部3米，那么路灯灯泡距地面的高度是 米．
10．（2022九上·青岛期中）如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平面高度的平面示意图，则图3中AB＝ cm．
11．（2023·湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是 米．
12．（2023九上·潜山期中）如图，在正方形中，是边上的一点，连接交于点，连接并延长交于点．
（1）若是的中点，则 ；
（2）若，则 ．
13．（2023九上·萧山月考）如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现．测得米，米，米，则所在圆的半径为 米，所在圆的半径 为．米．
三、解答题
14．一天晚上，小南和小北利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当朝阳走到点A处时，小南测得小北直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着小北沿AC方向继续向前走，走到点B处时，小北直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得.已知小北直立时的身高为1.5m，求路灯的高CD的长.
15．（2023九上·恩阳期中）已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，在阳光下的投影．
（1）请你在图中画出此时在阳光下的投影，并简述画图步骤和说明作图依据了太阳光线的哪一性质；
（2）在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长．
四、综合题
16．（2023九上·永州月考） 如图，在锐角三角形中，为边的中点，为边所在的直线上一点，连接交延长线于，已知，问：
（1）点此时的位置；
（2）求的值．
17．（2023·锦江模拟）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为.图中A，B，C，D在同一条直线上.
（1）求的长；
（2）求灯泡到地面的高度.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵BE⊥AD，CD⊥AD，
∴BE∥CD，
∴，
，
∵，
∴，
解得，
旗杆的高为12m.
故答案为：C.
【分析】由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BE∥CD，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABE∽△ACD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CD的长，从而得出答案.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：AD=9m，DE=3m，CD=1.6m，
∵CD//AB，
∴，
∴，
∴，
∴AB=6.4m，
即路灯离地面的高度AB是6.4m，
故答案为：C.
【分析】结合图形，利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设树高为x米，列方程得，
，
解得：x=12.8，
故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】利用同一时刻，同一地点 ，物高：影长=物高：影长，（即）列方程求解。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设小城的边长为x步，根据题意，
，
∴，即，
去分母并整理，得x2+34x-71000=0，
解得x1=250，x2=-284（不合题意，舍去），
经检验，x=250是原方程的解，
∴小城的边长为250步．
故答案为：C。
【分析】找到，根据对应边成比例建立方程求解。
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：
∵， ， ，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的．
故答案为：A.
【分析】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键．先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如下图：
∴
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】利用平行线的性质证明进而即可求解.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，△ABC∽△DEF，
∴，
根据题意得，EF=1，DF=1.5，BC=6，
∴，
解得：AC=9.
故答案为：D.
【分析】根据题意得，△ABC∽△DEF，由相似三角形的性质即可求解.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】 解：∵已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3.
根据相似三角形的性质，设从顶点到这个正方形的线段为xcm.
∴，解得x=4.5.
∴另一段长为22.5-4.5=18（ cm ）.
∵18÷3=6，
∴这张正方形纸条是第6张．
故答案为：C.
【分析】 根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
9．【答案】4
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：结合题意画出图形得：，
，
，
，
小明的身高为米，他在路灯下的影子长为米；小明距路灯杆底部为米，
，，，
，
解得：，
则路灯灯泡距地面的高度是米．
故答案为：4.
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用；根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可．
10．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作交于G，如图所示：
根据题意可知，
根据对称性可知，，
，
，
，
，
，
，即，解得，
，
故答案为：．
【分析】过D作交于G，根据对称性可知，，可得CD=4cm，证明，根据相似三角形的性质求出BC，即得AB的长。
11．【答案】4.1
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点E作GH⊥AB于点H，
∵CD∥AB，
∴GH⊥CD，
∴∠CGE=∠AHE=90°，
易证四边形DGEF和四边形EFBH是矩形，
∴GE=DF=2，FB=EH=6，EF=DG=BH=0.5，
∴CG=CD-DG=1.7-0.5=1.2，
∵把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，
∴∠CEG=∠AEH，
∴△CEG∽△AEH，
∴即
解之：AH=3.6，
∴AB=AH+BH=3.6+0.5=4.1.
故答案为：4.1.
【分析】过点E作GH⊥AB于点H，易证四边形DGEF和四边形EFBH是矩形，分别求出相关线段的长，再利用已知可证得∠CEG=∠AEH，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CEG∽△AEH，利用相似三角形的性质可求出AH的长，根据AB=AH+BH，代入计算求出AB的长.
12．【答案】（1）
（2）
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD， AB∥CD，
∵E是AB的中点，
∴CD=AB=2BE，
∵AB∥CD，
∴△EBM∽△CDM，
.
故答案为： .
(2)∵∠CMF=45°，
∴∠AMC= 135°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADM=∠CDM=45°，
∵DM=DM，
∴△ADM≌△CDM(SAS)，
∴∠AMD=∠CMD=67.5°，
∴∠DCM=180°-45°-67.5°=67.5°，
则∠DMC=∠DCM=67.5°，
∴CD=DM，设CD=DM=m，则BD=CD=m，
∴BM=(-1)m，
∵△EBM∽△CDM，
，
故答案为： .
【分析】(1)根据正方形的性质可得CD=AB=2BE，AB∥CD，可证△EBM∽△CDM，由此即可求解；
(2)根据∠CMF=45°可得∠AMD=∠CMD，根据三角形的内角和可求出∠DCM，可得CD=MD，设CD=DM=m，则BD=CD=m，根据勾股定理可得BD的值，由此可用含m的式子表示BM，根据相似三角形的性质即可求解.
13．【答案】5；
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AD于点G，则点A、E、D所在圆的圆心必在EG上，
如图取圆心O，连接AO，
∵ 米， 米
∴AG==4.8米，EG==6.4米
设 所在圆的半径为r米，则AO=EO=r米，OG=6.4-r（米）
在Rt△AOG中，AG2+OG2=AO2，即4.82+(6.4-r)2=r2
解得：r=5米，即半径为5米；
延长GE交大圆于点H，则 所在圆的圆心必在HG上，
如图记大圆圆心为O1，作O1M⊥AC于点M，连接O1C，
∵米， 米
∴AF=9.6+2.4=12米
∵
∴EG//CF
∴，即
∴AC=20米
∴AM=CM=10米，EM=10-8=2米
∵△AEG∽△O1EM
∴，即
∴O1M=
∴O1C=
故答案为：5，.
【分析】垂直于弦的直径必经过圆心，过点E作AD的垂线，大小圆的圆心均在这条垂线上；借助垂径定理，以半径、弦心距、弦长一半三条线段构成直角三角形，用勾股定理列方程求或直接计算线段长度是圆中常见的解题方法；本题先借助Rt△AOG，求得小圆半径等于5米，再通过平行线分线段成比例求得AC=20米，由△AEG∽△O1EM，求得O1M的长，再利用Rt△O1MC ，通过勾股定理求得O1C的长.
14．【答案】解：设CD长为，
∵，，，，
∴，且为等腰直角三角形，
∴，∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，∴，，
∴，∴，
∴，解得：，
∴路灯CD的高度为4.5m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 设CD长为， 根据题意可证得 ，，再证明 ，利用相似三角形的性质列出比例式计算即可求解.
15．【答案】（1）解：连接，过点作，交直线于，如图所示，就是的投影，
作图依据是运用了太阳光线是平行光线的性质．
（2）解：，
，
又，
，
，
，，，
，
．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据光沿直线传播，连接AC，再根据太阳光线是平行光线的性质，作出AC的平行线DF；
（2）由平行得到同位角相等，根据判定相似的AA定理可以判定两三角形相似，根据相似三角形的性质得到对应边成比例，代入已知线段即可求出DE的长。
16．【答案】（1）解：如图，过点作，交于点．
，
．
为的中点，，
，
，
点在的延长线上，且．
（2）解：．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由平行线的性质证可证 ，即．因为为的中点，，根据等量代换可证从而求出F点此时的位置：
（2）在（1）的基础上即可求出的值 .
17．【答案】（1）解：由题意可得：，
则，
∴，
∴，
解得：，
答：的长为；
（2）解：∵，
∴，
∵光在镜面反射中的反射角等于入射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由题意易得FC∥DE，推出△BFC∽△BED，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解可得BC的长；
（2）根据光学知识，∠FCB=∠GAB，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△BGA∽△BFC，由相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AG的长，从而得出答案.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.3 相似三角形应用举例同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·江北期中）如图，为测量学校旗杆的高度，小明用长为3.2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．8.8m B．10m C．12m D．14m
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵BE⊥AD，CD⊥AD，
∴BE∥CD，
∴，
，
∵，
∴，
解得，
旗杆的高为12m.
故答案为：C.
【分析】由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BE∥CD，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABE∽△ACD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CD的长，从而得出答案.
2．（2023九上·兴隆期中）如图，身高的小亮站在某路灯下，发现自己的影长恰好是，经测量，此时小亮离路灯底部的距离是，则路灯离地面的高度AB是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：AD=9m，DE=3m，CD=1.6m，
∵CD//AB，
∴，
∴，
∴，
∴AB=6.4m，
即路灯离地面的高度AB是6.4m，
故答案为：C.
【分析】结合图形，利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
3．（2022九上·武侯期中）同一时刻，同一地点，在阳光下影长为0.4米的小王身高为1.6米，一棵树的影长为3.2米，则这棵树的高度为 （ ）
A．0.8米 B．6.4米 C．12.8米 D．25.6米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设树高为x米，列方程得，
，
解得：x=12.8，
故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】利用同一时刻，同一地点 ，物高：影长=物高：影长，（即）列方程求解。
4．（2023九上·浦东期中）《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木.出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.”大意是：如图所示，四边形是一座正方形小城，北门位于的中点，南门位于的中点.从北门出去正北方向20步远的处有一树木.从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见处的树木.正方形小城的边长为（ ）
A．105步 B．200步 C．250步 D．305步
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设小城的边长为x步，根据题意，
，
∴，即，
去分母并整理，得x2+34x-71000=0，
解得x1=250，x2=-284（不合题意，舍去），
经检验，x=250是原方程的解，
∴小城的边长为250步．
故答案为：C。
【分析】找到，根据对应边成比例建立方程求解。
5．（2023九上·宁海月考）凸透镜成像的原理如因所示，.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的弫离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：
∵， ， ，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的．
故答案为：A.
【分析】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键．先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几．
6．（2023九上·光明月考）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm．
A． B．6 C． D．8
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如下图：
∴
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】利用平行线的性质证明进而即可求解.
7．（2023九上·宽城月考）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，则旗杆AC的高度为（ ）.
A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，△ABC∽△DEF，
∴，
根据题意得，EF=1，DF=1.5，BC=6，
∴，
解得：AC=9.
故答案为：D.
【分析】根据题意得，△ABC∽△DEF，由相似三角形的性质即可求解.
8．如图，一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高线长为22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）．
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】 解：∵已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3.
根据相似三角形的性质，设从顶点到这个正方形的线段为xcm.
∴，解得x=4.5.
∴另一段长为22.5-4.5=18（ cm ）.
∵18÷3=6，
∴这张正方形纸条是第6张．
故答案为：C.
【分析】 根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
二、填空题
9．（2023九上·闵行期中）如图，已知小丽的身高是1.6米，他在路灯下的影长为2米，小丽距路灯灯杆的底部3米，那么路灯灯泡距地面的高度是 米．
【答案】4
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：结合题意画出图形得：，
，
，
，
小明的身高为米，他在路灯下的影子长为米；小明距路灯杆底部为米，
，，，
，
解得：，
则路灯灯泡距地面的高度是米．
故答案为：4.
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用；根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可．
10．（2022九上·青岛期中）如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平面高度的平面示意图，则图3中AB＝ cm．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作交于G，如图所示：
根据题意可知，
根据对称性可知，，
，
，
，
，
，
，即，解得，
，
故答案为：．
【分析】过D作交于G，根据对称性可知，，可得CD=4cm，证明，根据相似三角形的性质求出BC，即得AB的长。
11．（2023·湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是 米．
【答案】4.1
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点E作GH⊥AB于点H，
∵CD∥AB，
∴GH⊥CD，
∴∠CGE=∠AHE=90°，
易证四边形DGEF和四边形EFBH是矩形，
∴GE=DF=2，FB=EH=6，EF=DG=BH=0.5，
∴CG=CD-DG=1.7-0.5=1.2，
∵把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，
∴∠CEG=∠AEH，
∴△CEG∽△AEH，
∴即
解之：AH=3.6，
∴AB=AH+BH=3.6+0.5=4.1.
故答案为：4.1.
【分析】过点E作GH⊥AB于点H，易证四边形DGEF和四边形EFBH是矩形，分别求出相关线段的长，再利用已知可证得∠CEG=∠AEH，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CEG∽△AEH，利用相似三角形的性质可求出AH的长，根据AB=AH+BH，代入计算求出AB的长.
12．（2023九上·潜山期中）如图，在正方形中，是边上的一点，连接交于点，连接并延长交于点．
（1）若是的中点，则 ；
（2）若，则 ．
【答案】（1）
（2）
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD， AB∥CD，
∵E是AB的中点，
∴CD=AB=2BE，
∵AB∥CD，
∴△EBM∽△CDM，
.
故答案为： .
(2)∵∠CMF=45°，
∴∠AMC= 135°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADM=∠CDM=45°，
∵DM=DM，
∴△ADM≌△CDM(SAS)，
∴∠AMD=∠CMD=67.5°，
∴∠DCM=180°-45°-67.5°=67.5°，
则∠DMC=∠DCM=67.5°，
∴CD=DM，设CD=DM=m，则BD=CD=m，
∴BM=(-1)m，
∵△EBM∽△CDM，
，
故答案为： .
【分析】(1)根据正方形的性质可得CD=AB=2BE，AB∥CD，可证△EBM∽△CDM，由此即可求解；
(2)根据∠CMF=45°可得∠AMD=∠CMD，根据三角形的内角和可求出∠DCM，可得CD=MD，设CD=DM=m，则BD=CD=m，根据勾股定理可得BD的值，由此可用含m的式子表示BM，根据相似三角形的性质即可求解.
13．（2023九上·萧山月考）如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现．测得米，米，米，则所在圆的半径为 米，所在圆的半径 为．米．
【答案】5；
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AD于点G，则点A、E、D所在圆的圆心必在EG上，
如图取圆心O，连接AO，
∵ 米， 米
∴AG==4.8米，EG==6.4米
设 所在圆的半径为r米，则AO=EO=r米，OG=6.4-r（米）
在Rt△AOG中，AG2+OG2=AO2，即4.82+(6.4-r)2=r2
解得：r=5米，即半径为5米；
延长GE交大圆于点H，则 所在圆的圆心必在HG上，
如图记大圆圆心为O1，作O1M⊥AC于点M，连接O1C，
∵米， 米
∴AF=9.6+2.4=12米
∵
∴EG//CF
∴，即
∴AC=20米
∴AM=CM=10米，EM=10-8=2米
∵△AEG∽△O1EM
∴，即
∴O1M=
∴O1C=
故答案为：5，.
【分析】垂直于弦的直径必经过圆心，过点E作AD的垂线，大小圆的圆心均在这条垂线上；借助垂径定理，以半径、弦心距、弦长一半三条线段构成直角三角形，用勾股定理列方程求或直接计算线段长度是圆中常见的解题方法；本题先借助Rt△AOG，求得小圆半径等于5米，再通过平行线分线段成比例求得AC=20米，由△AEG∽△O1EM，求得O1M的长，再利用Rt△O1MC ，通过勾股定理求得O1C的长.
三、解答题
14．一天晚上，小南和小北利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当朝阳走到点A处时，小南测得小北直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着小北沿AC方向继续向前走，走到点B处时，小北直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得.已知小北直立时的身高为1.5m，求路灯的高CD的长.
【答案】解：设CD长为，
∵，，，，
∴，且为等腰直角三角形，
∴，∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，∴，，
∴，∴，
∴，解得：，
∴路灯CD的高度为4.5m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 设CD长为， 根据题意可证得 ，，再证明 ，利用相似三角形的性质列出比例式计算即可求解.
15．（2023九上·恩阳期中）已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，在阳光下的投影．
（1）请你在图中画出此时在阳光下的投影，并简述画图步骤和说明作图依据了太阳光线的哪一性质；
（2）在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长．
【答案】（1）解：连接，过点作，交直线于，如图所示，就是的投影，
作图依据是运用了太阳光线是平行光线的性质．
（2）解：，
，
又，
，
，
，，，
，
．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据光沿直线传播，连接AC，再根据太阳光线是平行光线的性质，作出AC的平行线DF；
（2）由平行得到同位角相等，根据判定相似的AA定理可以判定两三角形相似，根据相似三角形的性质得到对应边成比例，代入已知线段即可求出DE的长。
四、综合题
16．（2023九上·永州月考） 如图，在锐角三角形中，为边的中点，为边所在的直线上一点，连接交延长线于，已知，问：
（1）点此时的位置；
（2）求的值．
【答案】（1）解：如图，过点作，交于点．
，
．
为的中点，，
，
，
点在的延长线上，且．
（2）解：．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由平行线的性质证可证 ，即．因为为的中点，，根据等量代换可证从而求出F点此时的位置：
（2）在（1）的基础上即可求出的值 .
17．（2023·锦江模拟）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为.图中A，B，C，D在同一条直线上.
（1）求的长；
（2）求灯泡到地面的高度.
【答案】（1）解：由题意可得：，
则，
∴，
∴，
解得：，
答：的长为；
（2）解：∵，
∴，
∵光在镜面反射中的反射角等于入射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由题意易得FC∥DE，推出△BFC∽△BED，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解可得BC的长；
（2）根据光学知识，∠FCB=∠GAB，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△BGA∽△BFC，由相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AG的长，从而得出答案.
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