2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.3 相似三角形应用举例同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2022九下·巧家期中）图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，米，米，点到的距离是2.4米，则到的距离为（ ）
A．3.6米 B．4米 C．5米 D．5.4米
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，
∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，
∴AB：CD=PE：PF，
∴3：5=2.4：PF，
∴PF=4米，
故答案为：B．
【分析】过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，先证明△PAB∽△PCD，可得AB：CD=PE：PF，再将数据代入求出PF的长即可。
2．（2020九下·大石桥月考）如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为( )
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设屏幕上图形的高度xcm，为根据相似三角形对应高的比等于相似比可得 ，解得x=18cm，即屏幕上图形的高度18cm，
故答案为：C.
【分析】根据题意刻画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答。
3．（2020九下·龙岗期中）路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（ ）
A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：延长FH交AB于点M，则得∠AMG=90°，四边形BCMH是矩形。
∵四边形CDFH是矩形
∴BM=CH=DF=3，∠AMG=90°
∵AG∥FE
∴∠AGM=∠FED
又∵∠FDE=∠AMG=90°
∴△AMG∽△FDE
∴AM：MG=DF：DE
即AM：（5+2）=3：4
解得 AM=5.25
∴AB=AM+BM=8.25(米)
故答案为：C。
【分析】延长FH交AB于点M，利用矩形性质得出BM，DF，然后易证△AMG∽△FDE，利用相似三角形的对应边成比例可得AM：MG=DF：DE，据此求出AM，则AB=AM+BM即可得解。
4．（2020九下·河北月考）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A．0.36 平方米 B．0. 81 平方米
C．2 平方米 D．3.24 平方米
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：构造如下图形，由题意可得：DE= 米，FG=1米，AG=3米，DE∥BC，AF和AG分别为△ADE和△ABC的高
∴△ADE∽△ABC
∴
即
解得：BC=
∴地面上阴影部分的面积为
故答案为：B.
【分析】先求其直径，二直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出。
5．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 m，继续往前走3 m到达E处时，测得影子EF的长为2 m.已知王华的身高是1.5 m，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5 m B．6 m C．7.2 m D．8 m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设BC=xm，
依题可得：GC⊥BD，AB⊥BD，
∴GC∥AB，
∴△ABD∽△GCD，
∴，
∵CD=1，GC=1.5，
∴，
同理可得：，
∴，
∴x=3，
∴=4，
∴AB=6.
故答案为：B.
【分析】根据路灯、人和地面都是垂直，得出直线平行，由相似三角形的判定得两组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例得出方程，解之即可得出答案.
6．（2017九下·建湖期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠DPE=90°，PE交AB于点E，设BP=x，BE=y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°
∵PE⊥DP，
∴∠DPC+∠EPB=90°，∠BPE+∠PEB=180°﹣∠B=90°
∴∠DPC=∠BEP，又∠B=∠CBAP=∠QPC
∴△EBP∽△PCD，
∴ = ，又BP=x，PC=BC﹣BP=4﹣x，CD=4，BE=y，
即 = ，
∴y=﹣ x2+x（0＜x＜4），
故选A．
【分析】由题意知：PE⊥DP，即：∠DPC+∠EPB=90°，∠BPE+∠PEB=180°﹣∠B=90°，所以∠DPC=∠BEP，又∠B=∠C，即：△EBP∽△PCD，由相似三角形的性质可得： = ，又BP=x，PC=BC﹣BP=4﹣x，CD=4，将其代入该式求出CP的值即可．
7．（2019·巴中）如图 ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 ，连结EF交DC于点G，则 ＝（ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵点F是BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】设 ，仔细审题再结合平行四边形的性质可将CF表示出来，再根据相似三角形的判定易证 ，由相似三角形的性质中相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求出结论
8．（2019·枣庄）如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置．已知 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若 ，则 等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】 、 ，且 为 边的中线，
， ，
将 沿 边上的中线 平移得到 ，
，
，
则 ，即 ，
解得 或 （舍），
故答案为： ．
【分析】仔细分析题意容易得到，，根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可以得到，由此可得到答案。
二、填空题
9．如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米．则旗杆的高度为 米．
【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】由题意得：∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，
AB=1.6米，OB=2米，OD=10米，
解得：CD=8米，
【分析】由题意得利用相似三角形的性质列出比列式将数据代入即可求解.
10．（2023九上·成都期中）如图，小亮同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是7米（即OD＝7米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是 米．
【答案】6.3
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
即
解得：BD=6.3米，
故答案为：6.3.
【分析】根据题意可得利用相似三角形的性质列出比例式代入数据即可求解.
11．（2023九上·朝阳期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，阐释了光的直线传播原理，如图①所示．如图②所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ．
图① 图②
【答案】6
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵ 蜡烛火焰与倒立的像平行，
∴两三角形相似，
∴ 蜡烛火焰的高度：像的高度= 物距：像距，即蜡烛火焰的高度：9=10：15，
∴蜡烛火焰的高度=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解.
12．（2023八上·东阳期中）如图，‘ABC中，AB=AC，AD」BC于点D，DE平分经ADC，交AC与点E，EF」AB于点F，且交AD-于点G，若AG=2，BC=12，则AD= ，AF= .
【答案】8；1.6
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：(1)如图，过点E作EM、EN垂直于AD、BC，因为DE平分∠ADC，所以EM=EN，
因为AB=AC，AD⊥BC于点D，所以BD=CD=BC=×12=6，易证△AFG∽△EMG，∠FAG=∠MAG=∠GEM=∠NEC，
所以△EMG≌△ENC，GD=GM+MD=CN+DN=CD=6，故AD=AG+GD=2+6=8.
(2)由（1）可知，在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，所以AC=10；因为△AFG∽△ADC，所以，即
所以AF=1.6.
故答案为：8，1.6.
【分析】此题可以从直角平分线入手思考，从角平分线上的点向角的两边引垂线是常见的辅助线添法，图中有多对相似三角形及全等三角形可以利用，解题是要会辨识应用。
13．（2020九上·桐乡市月考）如图，等腰三角形.点在BC上，AC沿AD翻折交BC于点，点在AB上，EB沿EF翻折，使得在一条直线上.若，则CE的值为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：若 ，根据对称关系∠AEC=∠FAB'，又点B'，A，E，C四点共线.
由等角的补角相等可知，∠BAE=∠BEA，故AB=BE=6
又∵等腰△ABC，且∠BAC=120°
∴BC=3AB=63，故CE= .
故答案为：.
【分析】在分析相似三角形时，要特别注意分析相似三角形的对应边及对应角，此题由∠AEC=∠FAB'推断出∠BAE=∠BEA，从而AB=BE=6；含120°顶角的等腰三角形，三边有固定的比例1：1：3，这个结论可以由含30°的直角三角形三边关系推导出来.
三、解答题
14．（2020九下·碑林月考）如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度.一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5 米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°.请你帮小明求出大树CD的高度.
【答案】解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，
∵∠ABG＝150°，BE⊥CB，
∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°，
∴∠MFB＝30°，
∵BF的长为2米，
∴BM＝1米，MF＝ 米.
∵BE⊥CB，MF⊥BE，
∴BH∥MF，
∴△EBH∽△EMF，
∴ ＝ .
又∵EB＝1.8米，
∴ ＝ ，
∴BH＝ .
∵BE∥CD，
∴△HBE∽△HCD，
∴ ＝ .
∵CB＝5 ，
∴ ＝ ，
∴CD＝15.8米.
∴大树CD的高度为15.8米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，首先判断出 △EBH∽△EMF， 根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式算出BH的长，再判断出 △HBE∽△HCD ，根据相似三角形的对应边成比例得出 ＝ ，由比例式即可算出CD的长.
15．（2023八上·肇源开学考）如图，在矩形中，，，动点从点开始以每秒2个单位长度沿向终点运动，同时，动点从点开始沿以每秒3个单位长度向终点运动，它们同时到达终点．连接交于点．过点作，交直线于点．
备用图
（1）当点在线段上时，求证：．
（2）当时，求的面积．
（3）在，的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当点Q在线段上时，由题意可得：，，，
∴，
∴．
（2）解：①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．
由，得．
由，得，
∴，
∴．
②当点Q在上时，如图2，作于点M，设．
，．
同理：，
∴，
∴．
同理：，得，
∴．
∴，解得，
∴．
∴的面积为或．
（3）解：①当点Q在上时，设，则．
若点F在Q的右侧，如图3，当，则．
作于点H，而，
∴，则，
∴．
∵，
∴，
解得．
∴．
若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合．
∵，
又∵
∴．
∵由结合对顶角可得：，而，
∴，
∴，即，则，
∴．
②当点Q在AD上时，如图5，，，，
作于点N，于点G．，则，
由，得，
∴，
∴．
同理可得：，
设，则，．
∴，，
由，得，，
∴，．
由题意，，
设，则，，，
由，得，即，
化简，得，
解得（舍去），．
∴．
综上所述，BP的长为或2或．
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行，有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例即可求解；
（2）①当点Q在CD上时，CQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N；根据（1）中结论可得AP=2，根据相似三角形的判定和性质可求得，根据三角形的面积公式即可求解；②当点Q在AD上时，作EM⊥AB于点M，设EM=h，再利用相似三角形的判定和性质可求解三角形的高，再利用面积公式计算即可；
（3）分三种情况讨论：①当点Q在CD上时，设CQ=3t，则AP=2t，若点F在Q的右侧，当△FEQ∽△ABC，则∠1=∠2，作PH⊥CD于点H，而∠B=∠PHQ=90°根据相似三角形的判定和性质即可求解；若点F在Q的左侧，△FEQ∽△ABC，点F与点C重合，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AC的值，结合（1）中结论求得AE的值，根据相似三角形的判定和性质即可求解；②当点Q在AD上时，根据相似三角形的判定和性质求得AE，EG的值，根据相似三角形的判定和性质列一元二次方程求解即可得出答案．
四、综合题
16．（2023·萧县模拟）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
（1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
（2）估计路灯的高，并求影长的步数．
（3）无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．测得，，，小明眼睛到地面的距离为，则树高为 m．
【答案】（1）解：路灯O和影子端点Q的位置如图所示．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
解得．
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴路灯的高为，影长为步．
（3）9
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】（3）如图，∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：9．
【分析】（1）根据题意作出图象即可；
（2）先证出，可得，求出，再证出，可得，即，最后求出即可；
（3）根据，，求出，再利用线段的和差求出AB的长即可。
17．（2023·龙江模拟）如图，是的直径，点在圆上，点在圆外，点和点在直径的同侧，与相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为4，，求的面积．
【答案】（1）证明： ，
∴ ，
，
∴，
∴ ，即 是 的切线；
（2）解：过点C作 于点F，
∵ 是 直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
根据勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
在 中， ，
∴ ，
，，
，
∴ ，即 ，解得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的应用
【解析】【分析】(1)本题的解题关键是证明直径AB垂直于AD，只要证明两个锐角互余即可.
(2)本题是圆的综合题，用三角形的相似比求面积是关键.先利用三角函数求出直角三角形ABC的边长及斜边上的高线，再通过相似直角三角形的相似比求出AD的长度.由于与相似，可以先求的面积，再通过相似比求的面积.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.3 相似三角形应用举例同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2022九下·巧家期中）图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，米，米，点到的距离是2.4米，则到的距离为（ ）
A．3.6米 B．4米 C．5米 D．5.4米
2．（2020九下·大石桥月考）如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为( )
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
3．（2020九下·龙岗期中）路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（ ）
A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
4．（2020九下·河北月考）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A．0.36 平方米 B．0. 81 平方米
C．2 平方米 D．3.24 平方米
5．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 m，继续往前走3 m到达E处时，测得影子EF的长为2 m.已知王华的身高是1.5 m，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5 m B．6 m C．7.2 m D．8 m
6．（2017九下·建湖期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠DPE=90°，PE交AB于点E，设BP=x，BE=y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019·巴中）如图 ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 ，连结EF交DC于点G，则 ＝（ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
8．（2019·枣庄）如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置．已知 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若 ，则 等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
二、填空题
9．如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米．则旗杆的高度为 米．
10．（2023九上·成都期中）如图，小亮同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是7米（即OD＝7米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是 米．
11．（2023九上·朝阳期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，阐释了光的直线传播原理，如图①所示．如图②所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ．
图① 图②
12．（2023八上·东阳期中）如图，‘ABC中，AB=AC，AD」BC于点D，DE平分经ADC，交AC与点E，EF」AB于点F，且交AD-于点G，若AG=2，BC=12，则AD= ，AF= .
13．（2020九上·桐乡市月考）如图，等腰三角形.点在BC上，AC沿AD翻折交BC于点，点在AB上，EB沿EF翻折，使得在一条直线上.若，则CE的值为 .
三、解答题
14．（2020九下·碑林月考）如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度.一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5 米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°.请你帮小明求出大树CD的高度.
15．（2023八上·肇源开学考）如图，在矩形中，，，动点从点开始以每秒2个单位长度沿向终点运动，同时，动点从点开始沿以每秒3个单位长度向终点运动，它们同时到达终点．连接交于点．过点作，交直线于点．
备用图
（1）当点在线段上时，求证：．
（2）当时，求的面积．
（3）在，的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
四、综合题
16．（2023·萧县模拟）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
（1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
（2）估计路灯的高，并求影长的步数．
（3）无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．测得，，，小明眼睛到地面的距离为，则树高为 m．
17．（2023·龙江模拟）如图，是的直径，点在圆上，点在圆外，点和点在直径的同侧，与相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为4，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，
∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，
∴AB：CD=PE：PF，
∴3：5=2.4：PF，
∴PF=4米，
故答案为：B．
【分析】过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，先证明△PAB∽△PCD，可得AB：CD=PE：PF，再将数据代入求出PF的长即可。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设屏幕上图形的高度xcm，为根据相似三角形对应高的比等于相似比可得 ，解得x=18cm，即屏幕上图形的高度18cm，
故答案为：C.
【分析】根据题意刻画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：延长FH交AB于点M，则得∠AMG=90°，四边形BCMH是矩形。
∵四边形CDFH是矩形
∴BM=CH=DF=3，∠AMG=90°
∵AG∥FE
∴∠AGM=∠FED
又∵∠FDE=∠AMG=90°
∴△AMG∽△FDE
∴AM：MG=DF：DE
即AM：（5+2）=3：4
解得 AM=5.25
∴AB=AM+BM=8.25(米)
故答案为：C。
【分析】延长FH交AB于点M，利用矩形性质得出BM，DF，然后易证△AMG∽△FDE，利用相似三角形的对应边成比例可得AM：MG=DF：DE，据此求出AM，则AB=AM+BM即可得解。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：构造如下图形，由题意可得：DE= 米，FG=1米，AG=3米，DE∥BC，AF和AG分别为△ADE和△ABC的高
∴△ADE∽△ABC
∴
即
解得：BC=
∴地面上阴影部分的面积为
故答案为：B.
【分析】先求其直径，二直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出。
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设BC=xm，
依题可得：GC⊥BD，AB⊥BD，
∴GC∥AB，
∴△ABD∽△GCD，
∴，
∵CD=1，GC=1.5，
∴，
同理可得：，
∴，
∴x=3，
∴=4，
∴AB=6.
故答案为：B.
【分析】根据路灯、人和地面都是垂直，得出直线平行，由相似三角形的判定得两组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例得出方程，解之即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】函数的图象；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°
∵PE⊥DP，
∴∠DPC+∠EPB=90°，∠BPE+∠PEB=180°﹣∠B=90°
∴∠DPC=∠BEP，又∠B=∠CBAP=∠QPC
∴△EBP∽△PCD，
∴ = ，又BP=x，PC=BC﹣BP=4﹣x，CD=4，BE=y，
即 = ，
∴y=﹣ x2+x（0＜x＜4），
故选A．
【分析】由题意知：PE⊥DP，即：∠DPC+∠EPB=90°，∠BPE+∠PEB=180°﹣∠B=90°，所以∠DPC=∠BEP，又∠B=∠C，即：△EBP∽△PCD，由相似三角形的性质可得： = ，又BP=x，PC=BC﹣BP=4﹣x，CD=4，将其代入该式求出CP的值即可．
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵点F是BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】设 ，仔细审题再结合平行四边形的性质可将CF表示出来，再根据相似三角形的判定易证 ，由相似三角形的性质中相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求出结论
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】 、 ，且 为 边的中线，
， ，
将 沿 边上的中线 平移得到 ，
，
，
则 ，即 ，
解得 或 （舍），
故答案为： ．
【分析】仔细分析题意容易得到，，根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可以得到，由此可得到答案。
9．【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】由题意得：∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，
AB=1.6米，OB=2米，OD=10米，
解得：CD=8米，
【分析】由题意得利用相似三角形的性质列出比列式将数据代入即可求解.
10．【答案】6.3
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
即
解得：BD=6.3米，
故答案为：6.3.
【分析】根据题意可得利用相似三角形的性质列出比例式代入数据即可求解.
11．【答案】6
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵ 蜡烛火焰与倒立的像平行，
∴两三角形相似，
∴ 蜡烛火焰的高度：像的高度= 物距：像距，即蜡烛火焰的高度：9=10：15，
∴蜡烛火焰的高度=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解.
12．【答案】8；1.6
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：(1)如图，过点E作EM、EN垂直于AD、BC，因为DE平分∠ADC，所以EM=EN，
因为AB=AC，AD⊥BC于点D，所以BD=CD=BC=×12=6，易证△AFG∽△EMG，∠FAG=∠MAG=∠GEM=∠NEC，
所以△EMG≌△ENC，GD=GM+MD=CN+DN=CD=6，故AD=AG+GD=2+6=8.
(2)由（1）可知，在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，所以AC=10；因为△AFG∽△ADC，所以，即
所以AF=1.6.
故答案为：8，1.6.
【分析】此题可以从直角平分线入手思考，从角平分线上的点向角的两边引垂线是常见的辅助线添法，图中有多对相似三角形及全等三角形可以利用，解题是要会辨识应用。
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：若 ，根据对称关系∠AEC=∠FAB'，又点B'，A，E，C四点共线.
由等角的补角相等可知，∠BAE=∠BEA，故AB=BE=6
又∵等腰△ABC，且∠BAC=120°
∴BC=3AB=63，故CE= .
故答案为：.
【分析】在分析相似三角形时，要特别注意分析相似三角形的对应边及对应角，此题由∠AEC=∠FAB'推断出∠BAE=∠BEA，从而AB=BE=6；含120°顶角的等腰三角形，三边有固定的比例1：1：3，这个结论可以由含30°的直角三角形三边关系推导出来.
14．【答案】解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，
∵∠ABG＝150°，BE⊥CB，
∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°，
∴∠MFB＝30°，
∵BF的长为2米，
∴BM＝1米，MF＝ 米.
∵BE⊥CB，MF⊥BE，
∴BH∥MF，
∴△EBH∽△EMF，
∴ ＝ .
又∵EB＝1.8米，
∴ ＝ ，
∴BH＝ .
∵BE∥CD，
∴△HBE∽△HCD，
∴ ＝ .
∵CB＝5 ，
∴ ＝ ，
∴CD＝15.8米.
∴大树CD的高度为15.8米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，首先判断出 △EBH∽△EMF， 根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式算出BH的长，再判断出 △HBE∽△HCD ，根据相似三角形的对应边成比例得出 ＝ ，由比例式即可算出CD的长.
15．【答案】（1）解：当点Q在线段上时，由题意可得：，，，
∴，
∴．
（2）解：①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．
由，得．
由，得，
∴，
∴．
②当点Q在上时，如图2，作于点M，设．
，．
同理：，
∴，
∴．
同理：，得，
∴．
∴，解得，
∴．
∴的面积为或．
（3）解：①当点Q在上时，设，则．
若点F在Q的右侧，如图3，当，则．
作于点H，而，
∴，则，
∴．
∵，
∴，
解得．
∴．
若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合．
∵，
又∵
∴．
∵由结合对顶角可得：，而，
∴，
∴，即，则，
∴．
②当点Q在AD上时，如图5，，，，
作于点N，于点G．，则，
由，得，
∴，
∴．
同理可得：，
设，则，．
∴，，
由，得，，
∴，．
由题意，，
设，则，，，
由，得，即，
化简，得，
解得（舍去），．
∴．
综上所述，BP的长为或2或．
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行，有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例即可求解；
（2）①当点Q在CD上时，CQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N；根据（1）中结论可得AP=2，根据相似三角形的判定和性质可求得，根据三角形的面积公式即可求解；②当点Q在AD上时，作EM⊥AB于点M，设EM=h，再利用相似三角形的判定和性质可求解三角形的高，再利用面积公式计算即可；
（3）分三种情况讨论：①当点Q在CD上时，设CQ=3t，则AP=2t，若点F在Q的右侧，当△FEQ∽△ABC，则∠1=∠2，作PH⊥CD于点H，而∠B=∠PHQ=90°根据相似三角形的判定和性质即可求解；若点F在Q的左侧，△FEQ∽△ABC，点F与点C重合，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AC的值，结合（1）中结论求得AE的值，根据相似三角形的判定和性质即可求解；②当点Q在AD上时，根据相似三角形的判定和性质求得AE，EG的值，根据相似三角形的判定和性质列一元二次方程求解即可得出答案．
16．【答案】（1）解：路灯O和影子端点Q的位置如图所示．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
解得．
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴路灯的高为，影长为步．
（3）9
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】（3）如图，∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：9．
【分析】（1）根据题意作出图象即可；
（2）先证出，可得，求出，再证出，可得，即，最后求出即可；
（3）根据，，求出，再利用线段的和差求出AB的长即可。
17．【答案】（1）证明： ，
∴ ，
，
∴，
∴ ，即 是 的切线；
（2）解：过点C作 于点F，
∵ 是 直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
根据勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
在 中， ，
∴ ，
，，
，
∴ ，即 ，解得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的应用
【解析】【分析】(1)本题的解题关键是证明直径AB垂直于AD，只要证明两个锐角互余即可.
(2)本题是圆的综合题，用三角形的相似比求面积是关键.先利用三角函数求出直角三角形ABC的边长及斜边上的高线，再通过相似直角三角形的相似比求出AD的长度.由于与相似，可以先求的面积，再通过相似比求的面积.
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