2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 1.1 建立二元一次方程组同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2020七下·遵义期末）若是关于x、y的二元一次方程ax-3y=1的解，则a的值为（ ）
A．-5 B．-1 C．2 D．7
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】根据题意得，只要把代入ax-3y=1中，即可求出a的值．
【解答】把代入ax-3y=1中，
∴a-3×2=1，
a=1+6=7，
故选：D，
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，做题的关键是正确了解二元一次方程的解的定义．
2．关于x、y的方程组的解是，则|m-n|的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵的解为，
∴
解得：
∴
故答案为：C.
【分析】将代入中即可求出m和n的值，进而即可求解.
3．植树节这天，有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，姓有y人，根据题题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设男生有x人，女生有y人，
∴，
故答案为：D.
【分析】 设男生有x人，女生有y人，根据"男生每人种3棵，女姓每人种2棵"且总共有20名同学共种了52棵树苗，据此列出方程组即可.
4．某课外小组分组开展活动，若每组7人，则余下下3人；若每组8人，则少5人．若设课外小组的人数为x，分成的组数为y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设课外小组的人数为x，分成的组数为y，
∴
故答案为：C.
【分析】设课外小组的人数为x，分成的组数为y，根据"若每组7人，则余下下3人，"可列：根据"若每组8人，则少5人"可列：联立即可得二元一次方程组，即可求解.
5．若是关于x、y的方程组的解，则m-n的值为（ ）
A．4 B．-4 C．8 D．-8
【答案】A
【知识点】代数式求值；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将代入方程组中，
得到：
∴
故答案为：A.
【分析】将代入方程组中，得到：进而即可求出m-n的值.
6．一副三角板如图摆放，∠1比∠2大50°．若设∠1=x°，∠2=y°，则可列的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设∠1=x°，∠2=y° ，
∴
故答案为：D.
【分析】设∠1=x°，∠2=y° ，根据"∠1比∠2大50°"，可列：再根据"∠1与∠2互余"，可列：联立即可得到二元一次方程组，即可求解.
7．（2021七下·硚口期末）某车间每天能生产甲种零件120个或者乙种零件100个.3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，要在27天内生产最多的成套产品，问甲、乙两种零件各生产几天？设甲种零件生产 天，乙种零件生产 天，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可知：
甲种零件生产 天，乙种零件生产 天，则甲种零件有 ，乙种零件有 ，
3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，则 ，即
故答案为：B.
【分析】 设甲种零件生产x天，乙种零件生产y天， 根据总时间为27天， 3个甲种零件与2个乙种零件配成一套， 列出二元一次方程组求解即可.
8．（2021七下·昭通期末）已知关于，的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则以上四种说法中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：①当时，方程组的解为：，
也是方程的一个解，符合题意；
②关于，的方程组的解为：，
当时，，符合题意；
③不论取什么实数，的值始终不变，符合题意；
④当时，方程组的解为：，
则，符合题意．
所以以上四种说法中正确的有4个．
故答案为：D．
【分析】 ①时，求方程组的解，然后验证是否为方程 的解；
②用含a的式子表示方程组的解，然后根据 解不等式可求出a的范围；
③结合②用含a的式子表示方程组的解后，计算 即可判断；
④ 当时求方程组的解，即可验证是否成立。
二、填空题
9．x=a，y=b是方程2x-3y+4=0的解，则6a-9b+5=
【答案】-7
【知识点】代数式求值；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将代入原方程得：
∴
故答案为：-7.
【分析】将代入原方程得：将待求式改写为：，即可求解.
10．已知关于x，y的二元一次方程(k-2)x2+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0，则k的值为
【答案】2
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程
∴，
解得：
故答案为：2.
【分析】根据二元一次方程的定义：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，得到：解此方程组即可求解.
11．（2021七下·丽水期中）若关于x，y的 的解是 ，则关于m，n的方程组 的解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由由题意得： ，
∵由 得 ，
∴，
解得,
故答案为：.
【分析】把 代入原方程得出 ，然后把关于m，n的方程组根据这个形式变形，则可得出，再解之即可.
12．（2020七下·密山期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，那么关于m，n的二元一次方程组 的解为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解为： ，
∴ ，∴ ，解得： ．
故答案为 ．
【分析】观察两个方程组的特点可将m+n看作x，m-n看作y，即可得到，求解方程组得到m、n的值.
13．（2022七下·通州期中）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：
①当时，x，y的值互为相反数；
②是方程组的解；
③无论a取何值，x，y恒有关系式；
④若，则．
其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】③④
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解方程组，
得，
①当时，
，，
故结论①不符合题意；
②把代入，
得，
解得，
∵，
∴此时不符合题意，故结论②不符合题意；
③由原方程组的解可知，
，故结论③符合题意；
④∵，
∴，即，
由∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论④符合题意．
故答案为：③④．
【分析】解方程组得，①当时，分别求出x、y的值，即可判断；②把代入中求出a值，根据检验即可；③将方程组的解相加，可求出x+y=2，即可判断；④由，即得，可求，由可得，即得，继而得出3≤1-a≤4，由y=1-a可得y的范围，即可判断.
三、解答题
14．小明在甲公司打工．几个月后同时又在乙公司打工．甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元．年终小明从这两家公司共获得薪金7620元．问他在甲、乙两公司分别打工几个月
【答案】解：设他在甲公司打工x个月，在乙公司打工y个月，依题可得：
470x+350y=7620，
化简为：47x+35y=762，
∴x==16-y+，
∵x是整数，
∴47|10+12y，
∴y=7，x=11，
∴x=11，y=7是原方程的一组解，
∴原方程的整数解为：（k为任意整数），
又∵x＞0，y＞0，
∴，
解得：-＜k＜，
k=0，
∴原方程正整数解为：.
答：他在甲公司打工11个月，在乙公司打工7个月.
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】设他在甲公司打工x个月，在乙公司打工y个月，根据等量关系式：甲公司工资+乙公司工资=总工资，列出方程，此题转换成求方程47x+35y=762的整数解，求二元一次不定方程的正整数解时，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式组．由不等式组解得k的范围．在这范围内取k的整数值，代入通解，即得这个不定方程的所有正整数解．
15．（2023八上·潍坊月考） 甲乙两位同学对一道方程组的问题进行辩论，具体信息如下：
【问题信息】已知关于 x，y 的方程组的解是，求关于 x，y 的方程组 的解．
【观点阐述】 甲说：“由于方程组中未知数较多，导致这个题目的条件不足，不能求解”； 乙说：“可以把第二个方程组的两个方程的两边都除以 5，通过换元的思想来解决”．
你认为甲乙两位同学谁说得对，请尝试求出第二个方程组的解．
【答案】解：乙同学说的对．理由如下：
可变形为①，
设，
∴方程组①可变为②
又∵的解是
∴，
∴
∴x＝5，y＝10
故方程组的解是
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】先把关于x、y的方程组
，
各个方程两边都除以5，将方程组转化为
，通过换元： 设 ，进一步将方程组化为 ，
再把 代入，求出m、n的值，从而求出x、y的值.
四、综合题
16．（2023七下·恩阳期中）为深入贯彻落实习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某单位计划购买甲、乙两种树苗开展义务植树活动．若购买100棵甲树苗和200棵乙树苗需花费8000元，若购买甲树苗和乙树苗各150棵，则需花费7500元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵分别为多少元；
（2）为提升绿化效果，单位决定购买甲、乙两种树苗共400棵，总费用不超过10000元，则最少购买多少棵甲树苗？
【答案】（1）解：设甲、乙两种树苗每棵分别为x元和y元，
根据题意有：，
解得：，
答：甲、乙两种树苗每棵分别为20元和30元；
（2）解：设最少购买a棵甲树苗，则购买棵乙树苗，
根据题意有：，
解得：，
答：最少购买200棵甲树苗．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】（1）设甲种树苗每棵为x元，乙种树苗每棵为y元，根据购买100棵甲树苗和200棵乙树苗需花费8000元，若购买甲树苗和乙树苗各150棵，则需花费7500元列方程组可解得甲种树苗每棵为20元，乙种树苗每棵为30元；
（2）设购买m棵甲树苗，由总费用不超过10000元，得20m+30（400-m）≤10000，即可解得答案．
17．（2023七下·福州期中）当，都是实数，且满足时，我们称为巧妙点.
（1）若是巧妙点，则 ，巧妙点A（ ，5）；
（2）判断点是否为巧妙点，并说明理由.
（3）已知关于，的方程组，当为何值吋，以方程组的解为坐标的点是巧妙点？
【答案】（1）5；6
（2）解：点不是巧妙点，理由如下，
依题意，，
解得：，
∵，
∴点不是巧妙点；
（3）解：∵，
解得：，
∵点是巧妙点，
∴，
即，
解得：.
【知识点】二元一次方程组的解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：∵是巧妙点，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴巧妙点，
故答案为：，.
【分析】（1）根据巧妙点的定义求解即可；
（2）根据巧妙点的定义解答即可；
（3）解方程组可得，根据巧妙点的定义建立方程并解之即可.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 1.1 建立二元一次方程组同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2020七下·遵义期末）若是关于x、y的二元一次方程ax-3y=1的解，则a的值为（ ）
A．-5 B．-1 C．2 D．7
2．关于x、y的方程组的解是，则|m-n|的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．植树节这天，有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，姓有y人，根据题题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．某课外小组分组开展活动，若每组7人，则余下下3人；若每组8人，则少5人．若设课外小组的人数为x，分成的组数为y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．若是关于x、y的方程组的解，则m-n的值为（ ）
A．4 B．-4 C．8 D．-8
6．一副三角板如图摆放，∠1比∠2大50°．若设∠1=x°，∠2=y°，则可列的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021七下·硚口期末）某车间每天能生产甲种零件120个或者乙种零件100个.3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，要在27天内生产最多的成套产品，问甲、乙两种零件各生产几天？设甲种零件生产 天，乙种零件生产 天，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021七下·昭通期末）已知关于，的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则以上四种说法中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．x=a，y=b是方程2x-3y+4=0的解，则6a-9b+5=
10．已知关于x，y的二元一次方程(k-2)x2+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0，则k的值为
11．（2021七下·丽水期中）若关于x，y的 的解是 ，则关于m，n的方程组 的解是 ．
12．（2020七下·密山期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，那么关于m，n的二元一次方程组 的解为 ．
13．（2022七下·通州期中）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：
①当时，x，y的值互为相反数；
②是方程组的解；
③无论a取何值，x，y恒有关系式；
④若，则．
其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）
三、解答题
14．小明在甲公司打工．几个月后同时又在乙公司打工．甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元．年终小明从这两家公司共获得薪金7620元．问他在甲、乙两公司分别打工几个月
15．（2023八上·潍坊月考） 甲乙两位同学对一道方程组的问题进行辩论，具体信息如下：
【问题信息】已知关于 x，y 的方程组的解是，求关于 x，y 的方程组 的解．
【观点阐述】 甲说：“由于方程组中未知数较多，导致这个题目的条件不足，不能求解”； 乙说：“可以把第二个方程组的两个方程的两边都除以 5，通过换元的思想来解决”．
你认为甲乙两位同学谁说得对，请尝试求出第二个方程组的解．
四、综合题
16．（2023七下·恩阳期中）为深入贯彻落实习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某单位计划购买甲、乙两种树苗开展义务植树活动．若购买100棵甲树苗和200棵乙树苗需花费8000元，若购买甲树苗和乙树苗各150棵，则需花费7500元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵分别为多少元；
（2）为提升绿化效果，单位决定购买甲、乙两种树苗共400棵，总费用不超过10000元，则最少购买多少棵甲树苗？
17．（2023七下·福州期中）当，都是实数，且满足时，我们称为巧妙点.
（1）若是巧妙点，则 ，巧妙点A（ ，5）；
（2）判断点是否为巧妙点，并说明理由.
（3）已知关于，的方程组，当为何值吋，以方程组的解为坐标的点是巧妙点？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】根据题意得，只要把代入ax-3y=1中，即可求出a的值．
【解答】把代入ax-3y=1中，
∴a-3×2=1，
a=1+6=7，
故选：D，
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，做题的关键是正确了解二元一次方程的解的定义．
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵的解为，
∴
解得：
∴
故答案为：C.
【分析】将代入中即可求出m和n的值，进而即可求解.
3．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设男生有x人，女生有y人，
∴，
故答案为：D.
【分析】 设男生有x人，女生有y人，根据"男生每人种3棵，女姓每人种2棵"且总共有20名同学共种了52棵树苗，据此列出方程组即可.
4．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设课外小组的人数为x，分成的组数为y，
∴
故答案为：C.
【分析】设课外小组的人数为x，分成的组数为y，根据"若每组7人，则余下下3人，"可列：根据"若每组8人，则少5人"可列：联立即可得二元一次方程组，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】代数式求值；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将代入方程组中，
得到：
∴
故答案为：A.
【分析】将代入方程组中，得到：进而即可求出m-n的值.
6．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设∠1=x°，∠2=y° ，
∴
故答案为：D.
【分析】设∠1=x°，∠2=y° ，根据"∠1比∠2大50°"，可列：再根据"∠1与∠2互余"，可列：联立即可得到二元一次方程组，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可知：
甲种零件生产 天，乙种零件生产 天，则甲种零件有 ，乙种零件有 ，
3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，则 ，即
故答案为：B.
【分析】 设甲种零件生产x天，乙种零件生产y天， 根据总时间为27天， 3个甲种零件与2个乙种零件配成一套， 列出二元一次方程组求解即可.
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：①当时，方程组的解为：，
也是方程的一个解，符合题意；
②关于，的方程组的解为：，
当时，，符合题意；
③不论取什么实数，的值始终不变，符合题意；
④当时，方程组的解为：，
则，符合题意．
所以以上四种说法中正确的有4个．
故答案为：D．
【分析】 ①时，求方程组的解，然后验证是否为方程 的解；
②用含a的式子表示方程组的解，然后根据 解不等式可求出a的范围；
③结合②用含a的式子表示方程组的解后，计算 即可判断；
④ 当时求方程组的解，即可验证是否成立。
9．【答案】-7
【知识点】代数式求值；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将代入原方程得：
∴
故答案为：-7.
【分析】将代入原方程得：将待求式改写为：，即可求解.
10．【答案】2
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程
∴，
解得：
故答案为：2.
【分析】根据二元一次方程的定义：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，得到：解此方程组即可求解.
11．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由由题意得： ，
∵由 得 ，
∴，
解得,
故答案为：.
【分析】把 代入原方程得出 ，然后把关于m，n的方程组根据这个形式变形，则可得出，再解之即可.
12．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解为： ，
∴ ，∴ ，解得： ．
故答案为 ．
【分析】观察两个方程组的特点可将m+n看作x，m-n看作y，即可得到，求解方程组得到m、n的值.
13．【答案】③④
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解方程组，
得，
①当时，
，，
故结论①不符合题意；
②把代入，
得，
解得，
∵，
∴此时不符合题意，故结论②不符合题意；
③由原方程组的解可知，
，故结论③符合题意；
④∵，
∴，即，
由∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论④符合题意．
故答案为：③④．
【分析】解方程组得，①当时，分别求出x、y的值，即可判断；②把代入中求出a值，根据检验即可；③将方程组的解相加，可求出x+y=2，即可判断；④由，即得，可求，由可得，即得，继而得出3≤1-a≤4，由y=1-a可得y的范围，即可判断.
14．【答案】解：设他在甲公司打工x个月，在乙公司打工y个月，依题可得：
470x+350y=7620，
化简为：47x+35y=762，
∴x==16-y+，
∵x是整数，
∴47|10+12y，
∴y=7，x=11，
∴x=11，y=7是原方程的一组解，
∴原方程的整数解为：（k为任意整数），
又∵x＞0，y＞0，
∴，
解得：-＜k＜，
k=0，
∴原方程正整数解为：.
答：他在甲公司打工11个月，在乙公司打工7个月.
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】设他在甲公司打工x个月，在乙公司打工y个月，根据等量关系式：甲公司工资+乙公司工资=总工资，列出方程，此题转换成求方程47x+35y=762的整数解，求二元一次不定方程的正整数解时，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式组．由不等式组解得k的范围．在这范围内取k的整数值，代入通解，即得这个不定方程的所有正整数解．
15．【答案】解：乙同学说的对．理由如下：
可变形为①，
设，
∴方程组①可变为②
又∵的解是
∴，
∴
∴x＝5，y＝10
故方程组的解是
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】先把关于x、y的方程组
，
各个方程两边都除以5，将方程组转化为
，通过换元： 设 ，进一步将方程组化为 ，
再把 代入，求出m、n的值，从而求出x、y的值.
16．【答案】（1）解：设甲、乙两种树苗每棵分别为x元和y元，
根据题意有：，
解得：，
答：甲、乙两种树苗每棵分别为20元和30元；
（2）解：设最少购买a棵甲树苗，则购买棵乙树苗，
根据题意有：，
解得：，
答：最少购买200棵甲树苗．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】（1）设甲种树苗每棵为x元，乙种树苗每棵为y元，根据购买100棵甲树苗和200棵乙树苗需花费8000元，若购买甲树苗和乙树苗各150棵，则需花费7500元列方程组可解得甲种树苗每棵为20元，乙种树苗每棵为30元；
（2）设购买m棵甲树苗，由总费用不超过10000元，得20m+30（400-m）≤10000，即可解得答案．
17．【答案】（1）5；6
（2）解：点不是巧妙点，理由如下，
依题意，，
解得：，
∵，
∴点不是巧妙点；
（3）解：∵，
解得：，
∵点是巧妙点，
∴，
即，
解得：.
【知识点】二元一次方程组的解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：∵是巧妙点，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴巧妙点，
故答案为：，.
【分析】（1）根据巧妙点的定义求解即可；
（2）根据巧妙点的定义解答即可；
（3）解方程组可得，根据巧妙点的定义建立方程并解之即可.
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