2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 1.2.1 代入消元法同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023七下·常熟期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（ ）
A． B．-1 C． D．
【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解满是，
∴
解得：
将其代入原方程组中含有k的方程中得：
解得：
故答案为：D.
【分析】根据该二元一次方程的解满足得到，解出x和y，最后代入原方程即可求出k.
2．（2023七下·常山期末）如果方程组中x与y相等，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组中的x、y相等，联立x=y、x+y=6可得，
解得.
将代入ax+(a-1)y=3中可得3a+3(a-1)=3，
∴6a=6，
∴a=1.
故答案为：A.
【分析】联立x=y、x+y=6可得x=y=3，将x=y=3代入ax+(a-1)y=3中进行计算就可求出a的值.
3．（2023七下·潼关期末）已知关于，的方程组的解中与互为相反数，则的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组的解中与互为相反数，
∴x+y=0，
联立，
解得：，
把代入（k-1）x+3ky=3中，得k-1-3k=3，
解得：k=-2；
故答案为：C.
【分析】由方程组的解互为相反数，可得x+y=0，联立4x+3y=1为方程组，解出x、y的值，将其代入（k-1）x+3ky=3中，即可求出k值.
4．（2023七下·中江期末）已知关于x，y的二元一次方程，其取值如表，则p的值为（ ）
x m
y n
t p
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得
整理得，
把①代入②得：p-2025=-2，
解得：p=2023，
故答案为：B.
【分析】由题意可列方程组为，利用整体代入法即可求出p值.
5．（2023七下·安达月考）用代入法解方程组
解：⑴由②得：x＝2＋3y；③
⑵把③代入①得：2＋3y＋5y＝6；
⑶解得：y＝1；
⑷把y＝1代入③，得x＝5，所以.
在以上解题过程中，开始错的一步是（ ）
A．⑴ B．⑵ C．⑶ D．⑷
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由②得：x＝2＋3y ③，
把③代入①得：2＋3y＋5y＝6 ，
解得：y=，
把y=代入 ③，得x＝，
则方程组的解为，
∴第③步错误；
故答案为：C.
【分析】利用代入消元法正确的解出方程，即可判断.
6．（2023七下·柯桥期末）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由②得，x=2y+m
代入①中可得3(2y+m)-y=5-2m，
∴5y=5-5m，
∴y=1-m
将y=1-m代入②中可得x-2(1-m)=m，
∴x=-m+2，
∴x-y=-m+2-(1-m)=1.
故答案为：C.
【分析】由第二个方程可得x=2y+m，代入第一个方程中可得y，然后将y代入第二个方程中表示出x，据此判断.
7．（2017八上·上城期中）已知关于 ， 的方程组 ，其中 ，给出下列结论：① 是方程的解；②当 时， ， 的值互为相反数；③当 时，方程组的解也是方程 的解；④若 ，则 ．其中正确的是（ ）．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】①解方程组 ，
由②可知 ，代入①中，可得 ，
故方程组的解为 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 不是方程组的解，①错误．
② 时， ， ， ， 互为相反数，②正确；
③ 时， ， ，满足 ，③正确；
④当 时， ，得 ，综合，在 时，且 ．
∴ ，
∴ ，④正确．
故答案为： ．
【分析】把a作为常数，解出方程组的解，根据a的取值范围，进而得出x，y的取值范围，即可判断出①所给的x，y的值没有在其取值范围内，故不符合题意；然后分别将a=-2，与a=1代入方程组的解，即可求出x，y的值，从而判断出②③的正确性；由x≤1及x=1+2a得出a的不等式，求解得出 a ≤ 0 ，综合①的结论，即可即可得出答案。
二、填空题
8．（2023七下·岳池期末）用代入消元法解方程组时，消去，得到关于的方程是 ．（不用化简）
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】∵，
∴将②代入①，可得：，
故答案为：.
【分析】利用代入消元法将②直接代入①即可.
9．（2023七下·泉港期末）已知二元一次方程组：，则 .
【答案】4
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由①得x=y，
将x=y代入②中可得5x=10，
解得x=2，
∴x=y=2，
∴xy=4.
故答案为：4.
【分析】由第一个方程可得x=y，代入第二个方程中可求出x、y的值，然后根据有理数的乘法法则进行计算.
10．（2023七下·上杭期末）对实数a、b，规定表示a、b中的较大值，表示a、b中的较小值．如，．则方程组的解为 ．
【答案】或.
【知识点】定义新运算；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：当x≥0时，有，
解得.
当x<0时，有
解得
故答案为：或.
【分析】分x≥0、x<0，根据定义的新运算可得关于x、y的方程组，求解即可.
11．
（1）当a 时，关于x，y的二元一次方程组有唯一解．
（2）当a 时，关于x，y的二元一次方程组无解．
（3）当m 时，关于x，y的二元一次方程组无解．
【答案】（1）≠2
（2）=2
（3）=4
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
由②得：
将其代入①得到：
∴当时，原方程组有唯一解；
故答案为：≠2.
（2）
由②得：
将其代入①得到：
∴当时，原方程组无解；
故答案为：=2.
（3）
由①得：
将其代入②得到：
∴当时，原方程组无解；
故答案为：=4.
【分析】（1）由②得：将其代入①得到：即可知当时，原方程组有唯一解；
（2）由②得：将其代入①得到：即可知当时，原方程组无解；
（3）由①得：将其代入②得到：即可知当时，原方程组无解；
三、解答题
12．（2023七下·伊通期末）（1）完成框图中解方程组的过程：
（2）上面框图所表示的解方程组的方法是 ．
【答案】（1）①1-2x；②1-2x；③1；④-1
（2）代入消元法
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据代入消元法的计算方法求解即可.
13．（2022七下·宁武期末）阅读材料：我们已经学过利用“代入消元法”和“加减消元法”来解二元一次方程组，通过查阅相关资料，“勤奋组”的同学们发现在解方程组：时可以采用一种“整体代入”的解法．
解：将方程②变形为4x＋2y＋y＝6，即2（2x＋y）＋y＝6③，把方程①代入方程③，得2×0＋y＝6．
所以y＝6，把y＝6代入方程①得x＝-3，所以方程组的解为．请你利用“整体代入”法解方程组：．
【答案】解：，
将方程②变形为-x＋6x-3y＝20，即-x＋3（2x-y）＝20③，
把方程①代入方程③，得-x＋15＝20．
所以x＝-5．
把x＝-5代入方程①得y＝-15，
所以方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程5x-3y=20变形为-x＋3（2x-y）＝20，再整体代入求出x值，继而求出y值即可.
四、计算题
14．（2019八下·嘉定期末）解方程组：
【答案】解：x2-2xy-3y2="0"
(x-y)2-4y2=0
又因：x-y=2代入上式
4-4y2=0
y=1或y=-1
再将y=1、y=-1分别代入x-y=2
则 x=1、x=3
∴
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用整体代入法解方程组即可.
五、综合题
15．（2023七下·东阳月考）阅读以下材料：
解方程组：，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得x+y＝1③，将③代入②得：
（1）请你替小阳补全完整的解题过程；
（2）请你用这种方法解方程组：.
【答案】（1）解：由①得x+y＝1③，
将③代入②得3×1+y＝2，
解得y＝-1，
把y＝-1代入①得，
x-1-1＝0，
解得x＝2，
故原方程组的解是 ；
（2）解：整理得，
把①代入②得，
2×（-1）+2+6y＝12，
解得y＝2，
把y＝2代入①得，
3x-2＝-1，
解得x＝ ，
故原方程组的解是 .
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由①得x+y＝1③，将③代入②中进行求解可得y的值，将y的值代入①中可求出x的值，据此可得方程组的解；
（2）将②化为2(3x-y)+2+6y=12，将①代入②中进行计算可得y的值，将y的值代入①中可求出x的值，据此可得方程组的解.
16．（2022七下·杭州期末）（1）点点在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程 变形： ，即
把方程 代入 得： ，所以 .
把 代入 得， .
所以方程组的解为 .
请你模仿点点的“整体代换”法解方程组 .
（2） 表示一个两位数，其中 为 的整数.圆圆在研究 平方的规律时发现：
.
.
猜想 的结果，并说明理由.
【答案】（1）解：
将方程 变形得： ，
把方程 代入 得： ，
解得： ，
将 代入 得： ，
所以原方程组的解为 ；
（2）解：由 .
.
.
可猜想： 理由如下：
，
.
【知识点】探索数与式的规律；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将第二个方程变形可得3(5a-2b)+2b=15，将第一个方程代入可得b的值，将b的值代入第一个方程中求出a的值，进而可得方程组的解；
（2）观察可发现：( ) 2=(10a+5)2，化简即可.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 1.2.1 代入消元法同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023七下·常熟期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（ ）
A． B．-1 C． D．
2．（2023七下·常山期末）如果方程组中x与y相等，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023七下·潼关期末）已知关于，的方程组的解中与互为相反数，则的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
4．（2023七下·中江期末）已知关于x，y的二元一次方程，其取值如表，则p的值为（ ）
x m
y n
t p
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
5．（2023七下·安达月考）用代入法解方程组
解：⑴由②得：x＝2＋3y；③
⑵把③代入①得：2＋3y＋5y＝6；
⑶解得：y＝1；
⑷把y＝1代入③，得x＝5，所以.
在以上解题过程中，开始错的一步是（ ）
A．⑴ B．⑵ C．⑶ D．⑷
6．（2023七下·柯桥期末）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A． B． C． D．
7．（2017八上·上城期中）已知关于 ， 的方程组 ，其中 ，给出下列结论：① 是方程的解；②当 时， ， 的值互为相反数；③当 时，方程组的解也是方程 的解；④若 ，则 ．其中正确的是（ ）．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题
8．（2023七下·岳池期末）用代入消元法解方程组时，消去，得到关于的方程是 ．（不用化简）
9．（2023七下·泉港期末）已知二元一次方程组：，则 .
10．（2023七下·上杭期末）对实数a、b，规定表示a、b中的较大值，表示a、b中的较小值．如，．则方程组的解为 ．
11．
（1）当a 时，关于x，y的二元一次方程组有唯一解．
（2）当a 时，关于x，y的二元一次方程组无解．
（3）当m 时，关于x，y的二元一次方程组无解．
三、解答题
12．（2023七下·伊通期末）（1）完成框图中解方程组的过程：
（2）上面框图所表示的解方程组的方法是 ．
13．（2022七下·宁武期末）阅读材料：我们已经学过利用“代入消元法”和“加减消元法”来解二元一次方程组，通过查阅相关资料，“勤奋组”的同学们发现在解方程组：时可以采用一种“整体代入”的解法．
解：将方程②变形为4x＋2y＋y＝6，即2（2x＋y）＋y＝6③，把方程①代入方程③，得2×0＋y＝6．
所以y＝6，把y＝6代入方程①得x＝-3，所以方程组的解为．请你利用“整体代入”法解方程组：．
四、计算题
14．（2019八下·嘉定期末）解方程组：
五、综合题
15．（2023七下·东阳月考）阅读以下材料：
解方程组：，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得x+y＝1③，将③代入②得：
（1）请你替小阳补全完整的解题过程；
（2）请你用这种方法解方程组：.
16．（2022七下·杭州期末）（1）点点在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程 变形： ，即
把方程 代入 得： ，所以 .
把 代入 得， .
所以方程组的解为 .
请你模仿点点的“整体代换”法解方程组 .
（2） 表示一个两位数，其中 为 的整数.圆圆在研究 平方的规律时发现：
.
.
猜想 的结果，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解满是，
∴
解得：
将其代入原方程组中含有k的方程中得：
解得：
故答案为：D.
【分析】根据该二元一次方程的解满足得到，解出x和y，最后代入原方程即可求出k.
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组中的x、y相等，联立x=y、x+y=6可得，
解得.
将代入ax+(a-1)y=3中可得3a+3(a-1)=3，
∴6a=6，
∴a=1.
故答案为：A.
【分析】联立x=y、x+y=6可得x=y=3，将x=y=3代入ax+(a-1)y=3中进行计算就可求出a的值.
3．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组的解中与互为相反数，
∴x+y=0，
联立，
解得：，
把代入（k-1）x+3ky=3中，得k-1-3k=3，
解得：k=-2；
故答案为：C.
【分析】由方程组的解互为相反数，可得x+y=0，联立4x+3y=1为方程组，解出x、y的值，将其代入（k-1）x+3ky=3中，即可求出k值.
4．【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得
整理得，
把①代入②得：p-2025=-2，
解得：p=2023，
故答案为：B.
【分析】由题意可列方程组为，利用整体代入法即可求出p值.
5．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由②得：x＝2＋3y ③，
把③代入①得：2＋3y＋5y＝6 ，
解得：y=，
把y=代入 ③，得x＝，
则方程组的解为，
∴第③步错误；
故答案为：C.
【分析】利用代入消元法正确的解出方程，即可判断.
6．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由②得，x=2y+m
代入①中可得3(2y+m)-y=5-2m，
∴5y=5-5m，
∴y=1-m
将y=1-m代入②中可得x-2(1-m)=m，
∴x=-m+2，
∴x-y=-m+2-(1-m)=1.
故答案为：C.
【分析】由第二个方程可得x=2y+m，代入第一个方程中可得y，然后将y代入第二个方程中表示出x，据此判断.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】①解方程组 ，
由②可知 ，代入①中，可得 ，
故方程组的解为 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 不是方程组的解，①错误．
② 时， ， ， ， 互为相反数，②正确；
③ 时， ， ，满足 ，③正确；
④当 时， ，得 ，综合，在 时，且 ．
∴ ，
∴ ，④正确．
故答案为： ．
【分析】把a作为常数，解出方程组的解，根据a的取值范围，进而得出x，y的取值范围，即可判断出①所给的x，y的值没有在其取值范围内，故不符合题意；然后分别将a=-2，与a=1代入方程组的解，即可求出x，y的值，从而判断出②③的正确性；由x≤1及x=1+2a得出a的不等式，求解得出 a ≤ 0 ，综合①的结论，即可即可得出答案。
8．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】∵，
∴将②代入①，可得：，
故答案为：.
【分析】利用代入消元法将②直接代入①即可.
9．【答案】4
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由①得x=y，
将x=y代入②中可得5x=10，
解得x=2，
∴x=y=2，
∴xy=4.
故答案为：4.
【分析】由第一个方程可得x=y，代入第二个方程中可求出x、y的值，然后根据有理数的乘法法则进行计算.
10．【答案】或.
【知识点】定义新运算；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：当x≥0时，有，
解得.
当x<0时，有
解得
故答案为：或.
【分析】分x≥0、x<0，根据定义的新运算可得关于x、y的方程组，求解即可.
11．【答案】（1）≠2
（2）=2
（3）=4
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
由②得：
将其代入①得到：
∴当时，原方程组有唯一解；
故答案为：≠2.
（2）
由②得：
将其代入①得到：
∴当时，原方程组无解；
故答案为：=2.
（3）
由①得：
将其代入②得到：
∴当时，原方程组无解；
故答案为：=4.
【分析】（1）由②得：将其代入①得到：即可知当时，原方程组有唯一解；
（2）由②得：将其代入①得到：即可知当时，原方程组无解；
（3）由①得：将其代入②得到：即可知当时，原方程组无解；
12．【答案】（1）①1-2x；②1-2x；③1；④-1
（2）代入消元法
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据代入消元法的计算方法求解即可.
13．【答案】解：，
将方程②变形为-x＋6x-3y＝20，即-x＋3（2x-y）＝20③，
把方程①代入方程③，得-x＋15＝20．
所以x＝-5．
把x＝-5代入方程①得y＝-15，
所以方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程5x-3y=20变形为-x＋3（2x-y）＝20，再整体代入求出x值，继而求出y值即可.
14．【答案】解：x2-2xy-3y2="0"
(x-y)2-4y2=0
又因：x-y=2代入上式
4-4y2=0
y=1或y=-1
再将y=1、y=-1分别代入x-y=2
则 x=1、x=3
∴
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用整体代入法解方程组即可.
15．【答案】（1）解：由①得x+y＝1③，
将③代入②得3×1+y＝2，
解得y＝-1，
把y＝-1代入①得，
x-1-1＝0，
解得x＝2，
故原方程组的解是 ；
（2）解：整理得，
把①代入②得，
2×（-1）+2+6y＝12，
解得y＝2，
把y＝2代入①得，
3x-2＝-1，
解得x＝ ，
故原方程组的解是 .
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由①得x+y＝1③，将③代入②中进行求解可得y的值，将y的值代入①中可求出x的值，据此可得方程组的解；
（2）将②化为2(3x-y)+2+6y=12，将①代入②中进行计算可得y的值，将y的值代入①中可求出x的值，据此可得方程组的解.
16．【答案】（1）解：
将方程 变形得： ，
把方程 代入 得： ，
解得： ，
将 代入 得： ，
所以原方程组的解为 ；
（2）解：由 .
.
.
可猜想： 理由如下：
，
.
【知识点】探索数与式的规律；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将第二个方程变形可得3(5a-2b)+2b=15，将第一个方程代入可得b的值，将b的值代入第一个方程中求出a的值，进而可得方程组的解；
（2）观察可发现：( ) 2=(10a+5)2，化简即可.
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