2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 1.2.2 加减消元法同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023七下·浙江期末）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①-②得：4y=8，
解得：y=2；
将y=2代入①得：x+2=6，
解得：x=4，；
故方程组的解是；
故答案为：A.
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解.
2．（2023七下·仓山期末）已知二元一次方程组则②①得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
②-①得3x-3y-(2x-4y)=12-9，
整理得x+y=3.
故答案为：B.
【分析】根据等式性质，用②方程的左右两边分别减去①方程的左右两边，再整理可得答案.
3．（2023八上·惠州开学考）已知、满足方程组，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①+②得3x+3y=3，
∴x+y=1.
故答案为：A.
【分析】将方程组中的两个方程相加可得3x+3y=3，再根据等式的性质，方程两边同时除以3即可求出x+y得值.
4．如果方程组的解同时满足x+3y=-2，则k的值是（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得：
∵，
∴
∴
解得：
故答案为：C.
【分析】解二元一次方程组得：结合已知条件，即可得到解此方程即可.
5．已知方程组，由②×3-①×2，得（ ）
A．-3y=2 B．4y+1=0 C．y=0 D．7y=-8
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
②×3得：
①×2得：
③-④得：
∴②×3-①×2得：
故答案为：C.
【分析】由题干②×3-①×2，据此计算即可.
6．已知是方程组的解，则a，b之间的关系式为（ ）
A．4a-9b=1 B．3a+2b=1 C．4a-9b=-1 D．9a+4b=1
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将代入得到：，
①×3-②×2得：
∴
故答案为：D.
【分析】将代入得到：，利用加减消元法消去c，即可求解.
7．已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当a=5时，方程组的解是
②当x，y的值互为相反数时，a=20．
③不存在一个实数a使得x=y．
④若22a-3y=27，则a=2．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③
【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把a=5代入方程组得：，
解得： ；故①错误；
②∵x，y的值互为相反数，
故x+y=0，即y=-x；
将y=-x代入方程组得：，
解得：a=20，故②正确；
③若x=y，则原方程式为：，
解得：a=a-5，
故不存在一个实数a使得x=y，故③正确；
④解方程组，
得：，
∵22a-3y=27，
∴2a-3y=7，
把y=15-a代入可得：2a-3（15-a）=7，
解得：；故④错误；
故正确的有：②③；
故答案为：D.
【分析】①把a=5代入原方程组中，求解即可；②根据互为相反数的两数之和为0可得y=-x，代入原方程式中，求解即可；③将x=y代入代入原方程式中，求a的值，即可判断；④先求出原方程式中x和y与a的关系式，再根据指数相等可得2a-3y=7，代入即可求出a的值.
8．（2022七下·井研期末）若a、b、c、d是正整数，且a+b＝20，a+c＝24，a+d＝22，设a+b+c+d的最大值为M，最小值为N，则M﹣N＝（ ）
A．28 B．12 C．48 D．36
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵a+b＝20①，a+c＝24②，a+d＝22③，
由②-①得：c-b=4，
由③-①得：d-b=2，
∴c=b+4，d=b+2，
∴a+b+c+d=2b+26，
又∵a，b为正整数，（a+b+c+d）的最大值为M，最小值为N，
∴b的最大值为19，b的最小值为1，
∴M=2×19+26=64，
N=2×1+26=28，
∴M-N=64-28=36.
故答案为：D.
【分析】根据a+b＝20①，a+c＝24②，a+d＝22③，联立方程组求得c=b+4，d=b+2，从而得到a+b+c+d=2b+26，根据a，b为正整数，（a+b+c+d）的最大值为M，最小值为N，当b最大为19时，M=64，当b最小为1时，N=28，再代入到M-N中求值即可.
二、填空题
9．（2023·延庆模拟） 方程组的解为 ．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由×2-得：5y=-10
解得y=-2，则x=1
故答案为：
【分析】根据加减消元法进行计算即可求出答案。
10．（2022七下·单县期末）在关于、y的二元一次方程组中，若，则a的值为 ．
【答案】3
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
① ②，得：2x＋3y＝a 1，
∵，即2x＋3y＝2，
∴a 1＝2，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【分析】利用加减消元法可得2x＋3y＝a 1，再结合可得a 1＝2，再求出a的值即可。
11．（2023七下·南宁期末）已知二元一次方程组，则2x+y的值为 ．
【答案】8
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
由①+②得，2x+y=8.
故答案为：8.
【分析】通过观察可知，将两个方程相加即可得到2x+y=8.
12．当a= 时，关于x、y的方程组的解中．x、y互为相反数．
【答案】8
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①×2-②×3得-31y=a+54，
解得，
①×7+②×5得31x=19a-90，
解得，
∴该方程组的解为，
∵该方程组的解x、y互为相反数，
∴，
解得a=8，
∴当a=8时， 关于x、y的方程组的解中，x、y互为相反数.
故答案为：8.
【分析】将a作为字母系数，利用加减消元法用含a的式子表示出x、y，进而根据x、y互为相反数，由互为相反数的两个数和为0，建立出关于字母a得方程，解此方程即可.
13．阅读下列材料并填空：
对于方程组，不妨设，则原方程组变成以m，n为
未知数的方程组： ，解得： .
∴ ，解得： 是原方程组的解．
这种解法称之为换元法．
【答案】；；；
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵
∴原方程组改写为：
①+②得：
将代入①得：
∴原方程组为：
①+②得：，
将代入①得：
∴原方程组解为：
故答案为：.
【分析】根据即可将原方程组改写为：利用加减消元法解方程组，再将其改写为：再利用加减消元法即可求解.
三、解答题
14．（2023八上·砀山月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了②中的，得到方程组的解为，若按正确的计算，求原方程组的解．
【答案】解：根据题意，可知满足方程②，满足方程①，
则，解得，
把，代入原方程组为，
解得，∴原方程组的解为：解得．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】把甲的结果代入②，乙的结果代入①，组成方程组，求出a、b的值，然后把a、b的值代入原方组求解即可．注意：解不能代入看错的方程中。
15．解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
解：将①代入②得：，解得：
将代入①得：
原方程组的解为
（2）解：
解：由①+②得：，解得：
将代入②得：，解得：
原方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可.
四、综合题
16．（2023七下·泉港期末）已知，同时满足，.
（1）当时，请求出的值；
（2）试说明：对于任意给定的值，的值始终不变.
【答案】（1）解：解：依题意得
当时，原方程组可化为：
解得，
∴
（2）解：由①②得，
∴
即，对于任意给定的值，的值等于3，始终不变
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将k=5代入可得关于x、y的方程组，然后利用加减消元法求出x、y的值，进而可得x+y的值；
（2）利用第一个等式的3倍加上第二个等式并化简可得x+y的值，据此解答.
17．（2023七下·长沙期末）对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y．
（1）已知T（1，-1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值；
（2）已知关于x，y的方程组，若a≥-2，求x+y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标．
【答案】（1）解：根据新运算的定义可得：
，
解得：；
（2）解：由题意得：，
解得：，
，
，
，
，
；
（3）点的坐标为或或或或或
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（3）由（2）知，，
，
将线段沿轴向右平移2个单位，得线段，
，
点落在坐标轴上，且，
或，
或；
①当时，，
若点在轴上，，
，
或；
若点在轴上，，
，
或；
②当时，；
点只能在轴上，，
，
或；
综上所述，点的坐标为或或或或或．
【分析】（1）由新运算T的规定建立方程组，解方程组即可得出x，y的值。
(2)应用新运算T规定建立方程组，解关于x、y 的方程组可得 ，进而得出
x+y=(2a-3)+a=3a-3，再根据a≥-2代入即可得出答案。
(3)根据题意得A(2a-3，a)，向右平移2个单位，由平移性质可得A'(2a一1，a)，根据点A(2a-3，a)落在坐标轴上，且a≥-2，分类讨论，A在x轴上，则A（-3，0）.B可以为（0.18）或（0.-18）A在y轴上则A（0，），B可为（12，0）（-12，0）（0，19）（0，-9）。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 1.2.2 加减消元法同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023七下·浙江期末）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·仓山期末）已知二元一次方程组则②①得（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·惠州开学考）已知、满足方程组，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如果方程组的解同时满足x+3y=-2，则k的值是（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
5．已知方程组，由②×3-①×2，得（ ）
A．-3y=2 B．4y+1=0 C．y=0 D．7y=-8
6．已知是方程组的解，则a，b之间的关系式为（ ）
A．4a-9b=1 B．3a+2b=1 C．4a-9b=-1 D．9a+4b=1
7．已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当a=5时，方程组的解是
②当x，y的值互为相反数时，a=20．
③不存在一个实数a使得x=y．
④若22a-3y=27，则a=2．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③
8．（2022七下·井研期末）若a、b、c、d是正整数，且a+b＝20，a+c＝24，a+d＝22，设a+b+c+d的最大值为M，最小值为N，则M﹣N＝（ ）
A．28 B．12 C．48 D．36
二、填空题
9．（2023·延庆模拟） 方程组的解为 ．
10．（2022七下·单县期末）在关于、y的二元一次方程组中，若，则a的值为 ．
11．（2023七下·南宁期末）已知二元一次方程组，则2x+y的值为 ．
12．当a= 时，关于x、y的方程组的解中．x、y互为相反数．
13．阅读下列材料并填空：
对于方程组，不妨设，则原方程组变成以m，n为
未知数的方程组： ，解得： .
∴ ，解得： 是原方程组的解．
这种解法称之为换元法．
三、解答题
14．（2023八上·砀山月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了②中的，得到方程组的解为，若按正确的计算，求原方程组的解．
15．解方程组：
（1）
（2）
四、综合题
16．（2023七下·泉港期末）已知，同时满足，.
（1）当时，请求出的值；
（2）试说明：对于任意给定的值，的值始终不变.
17．（2023七下·长沙期末）对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y．
（1）已知T（1，-1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值；
（2）已知关于x，y的方程组，若a≥-2，求x+y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①-②得：4y=8，
解得：y=2；
将y=2代入①得：x+2=6，
解得：x=4，；
故方程组的解是；
故答案为：A.
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解.
2．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
②-①得3x-3y-(2x-4y)=12-9，
整理得x+y=3.
故答案为：B.
【分析】根据等式性质，用②方程的左右两边分别减去①方程的左右两边，再整理可得答案.
3．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①+②得3x+3y=3，
∴x+y=1.
故答案为：A.
【分析】将方程组中的两个方程相加可得3x+3y=3，再根据等式的性质，方程两边同时除以3即可求出x+y得值.
4．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得：
∵，
∴
∴
解得：
故答案为：C.
【分析】解二元一次方程组得：结合已知条件，即可得到解此方程即可.
5．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
②×3得：
①×2得：
③-④得：
∴②×3-①×2得：
故答案为：C.
【分析】由题干②×3-①×2，据此计算即可.
6．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将代入得到：，
①×3-②×2得：
∴
故答案为：D.
【分析】将代入得到：，利用加减消元法消去c，即可求解.
7．【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把a=5代入方程组得：，
解得： ；故①错误；
②∵x，y的值互为相反数，
故x+y=0，即y=-x；
将y=-x代入方程组得：，
解得：a=20，故②正确；
③若x=y，则原方程式为：，
解得：a=a-5，
故不存在一个实数a使得x=y，故③正确；
④解方程组，
得：，
∵22a-3y=27，
∴2a-3y=7，
把y=15-a代入可得：2a-3（15-a）=7，
解得：；故④错误；
故正确的有：②③；
故答案为：D.
【分析】①把a=5代入原方程组中，求解即可；②根据互为相反数的两数之和为0可得y=-x，代入原方程式中，求解即可；③将x=y代入代入原方程式中，求a的值，即可判断；④先求出原方程式中x和y与a的关系式，再根据指数相等可得2a-3y=7，代入即可求出a的值.
8．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵a+b＝20①，a+c＝24②，a+d＝22③，
由②-①得：c-b=4，
由③-①得：d-b=2，
∴c=b+4，d=b+2，
∴a+b+c+d=2b+26，
又∵a，b为正整数，（a+b+c+d）的最大值为M，最小值为N，
∴b的最大值为19，b的最小值为1，
∴M=2×19+26=64，
N=2×1+26=28，
∴M-N=64-28=36.
故答案为：D.
【分析】根据a+b＝20①，a+c＝24②，a+d＝22③，联立方程组求得c=b+4，d=b+2，从而得到a+b+c+d=2b+26，根据a，b为正整数，（a+b+c+d）的最大值为M，最小值为N，当b最大为19时，M=64，当b最小为1时，N=28，再代入到M-N中求值即可.
9．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由×2-得：5y=-10
解得y=-2，则x=1
故答案为：
【分析】根据加减消元法进行计算即可求出答案。
10．【答案】3
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
① ②，得：2x＋3y＝a 1，
∵，即2x＋3y＝2，
∴a 1＝2，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【分析】利用加减消元法可得2x＋3y＝a 1，再结合可得a 1＝2，再求出a的值即可。
11．【答案】8
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
由①+②得，2x+y=8.
故答案为：8.
【分析】通过观察可知，将两个方程相加即可得到2x+y=8.
12．【答案】8
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①×2-②×3得-31y=a+54，
解得，
①×7+②×5得31x=19a-90，
解得，
∴该方程组的解为，
∵该方程组的解x、y互为相反数，
∴，
解得a=8，
∴当a=8时， 关于x、y的方程组的解中，x、y互为相反数.
故答案为：8.
【分析】将a作为字母系数，利用加减消元法用含a的式子表示出x、y，进而根据x、y互为相反数，由互为相反数的两个数和为0，建立出关于字母a得方程，解此方程即可.
13．【答案】；；；
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵
∴原方程组改写为：
①+②得：
将代入①得：
∴原方程组为：
①+②得：，
将代入①得：
∴原方程组解为：
故答案为：.
【分析】根据即可将原方程组改写为：利用加减消元法解方程组，再将其改写为：再利用加减消元法即可求解.
14．【答案】解：根据题意，可知满足方程②，满足方程①，
则，解得，
把，代入原方程组为，
解得，∴原方程组的解为：解得．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】把甲的结果代入②，乙的结果代入①，组成方程组，求出a、b的值，然后把a、b的值代入原方组求解即可．注意：解不能代入看错的方程中。
15．【答案】（1）解：
解：将①代入②得：，解得：
将代入①得：
原方程组的解为
（2）解：
解：由①+②得：，解得：
将代入②得：，解得：
原方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可.
16．【答案】（1）解：解：依题意得
当时，原方程组可化为：
解得，
∴
（2）解：由①②得，
∴
即，对于任意给定的值，的值等于3，始终不变
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将k=5代入可得关于x、y的方程组，然后利用加减消元法求出x、y的值，进而可得x+y的值；
（2）利用第一个等式的3倍加上第二个等式并化简可得x+y的值，据此解答.
17．【答案】（1）解：根据新运算的定义可得：
，
解得：；
（2）解：由题意得：，
解得：，
，
，
，
，
；
（3）点的坐标为或或或或或
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（3）由（2）知，，
，
将线段沿轴向右平移2个单位，得线段，
，
点落在坐标轴上，且，
或，
或；
①当时，，
若点在轴上，，
，
或；
若点在轴上，，
，
或；
②当时，；
点只能在轴上，，
，
或；
综上所述，点的坐标为或或或或或．
【分析】（1）由新运算T的规定建立方程组，解方程组即可得出x，y的值。
(2)应用新运算T规定建立方程组，解关于x、y 的方程组可得 ，进而得出
x+y=(2a-3)+a=3a-3，再根据a≥-2代入即可得出答案。
(3)根据题意得A(2a-3，a)，向右平移2个单位，由平移性质可得A'(2a一1，a)，根据点A(2a-3，a)落在坐标轴上，且a≥-2，分类讨论，A在x轴上，则A（-3，0）.B可以为（0.18）或（0.-18）A在y轴上则A（0，），B可为（12，0）（-12，0）（0，19）（0，-9）。
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