2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 1.2.2 加减消元法同步分层训练培优题
一、选择题
1．解方程组，最简便的方法为（ ）
A．代入法 B．加减法
C．换元法 D．三种方法一样简便
2．已知关于x，y的方程组无解，则m的值是（ ）
A．9 B．6 C．-6 D．-9
3．（2023八上·西安期中）在解关于，的二元一次方程组时，若①-②可直接消去一个未知数，则和的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·济阳期中）已知二元一次方程组，则m+n＝（ ）
A．1 B．7 C．﹣1 D．﹣7
5．（2023·临沧模拟） 若是二元一次方程组的解，则为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·招远期末）如果两数、满足，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022七下·杭州期中）已知关于x，y的方程组 ，以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程 的解；②存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y=6则k=1.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②
8．（2023九下·沙坪坝月考）定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（ ）
①若，，则的值为-1；
②若为常数，关于的方程与的解相同，则；
③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为1.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．（2023七下·黄埔期末）已知关于x，y的二元一次方程组，则 ．
10．已知=3，则a= ．
11．对X，Y定义一种新运算“*"：X*Y=aX+bY，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算，已知3*5=15，4*7=28，那么2*3=
12．（2021七下·北仑期中）若方程组 的解是 ，则方程组 的解是，x＝ ，y＝ ．
13．（2021七下·寒亭期中）若关于，的二元一次方程组与有相同的解，则这个解是 ．
三、解答题
14．甲、乙两人同时解方程组时，甲看错了方程(1)中的a，解得，乙看错了(2)中的b，解得，求原方程组的正确解．
15．（2023七下·辛集期末）定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点．
（1）在；；三点中，是方程图象的关联点有 ；填序号
（2）已知，两点是方程图象的关联点，，两点是方程图象的关联点若点在轴上，点在轴上，求四边形的面积．
（3）若，，三点是二元一次方程图象的关联点，探究与的大小．
四、计算题
16．（2020七上·景德镇期末）
（1）解方程组：
（2）
五、综合题
17．（2022七下·福州期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B坐标为，a，b，c满足．
（1）求B坐标（用含a的式子表示）；
（2）求线段AB长度；
（3）若两个动点．请你探索是否存在以两个动点M、N为端点的线段，且．若存在，请求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2022七下·井研期末）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．其方法为：由2x+3y＝12可得yx（x、y为正整数），要使y＝4x为正整数，则x为整数，所以x必须为3的倍数，从而得到x＝3，代入得y＝4x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 ；
（2）若为自然数，求出满足条件的正整数x的值；
（3）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵未知数的系数必须是相等，
∴最简便的方法为加减法，
故答案为：B.
【分析】用加减消元法解二元一次方程组时，未知数的系数必须是相等或者是相反数，据此可知最简便的方法.
2．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由②得：，
将代入①得：
∴当时，原方程组无解，
故答案为：C.
【分析】由②得：，将其代入①得到：易知当时，原方程组无解.
3．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】由题意知方程组中y的系数相同，所以答案为A。
【分析】 若①-②可直接消去一个未知数 ，则说明y的系数相同。
4．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】，
由①-②，可得m+n=-1，
故答案为：C.
【分析】利用二元一次方程组的计算方法由①-②，可得m+n=-1，从而得解.
5．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】将代入，
可得：，
由①-②，可得x+2y=3，
故答案为：C.
【分析】将代入，可得，再利用加减消元法可得x+2y=3.
6．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】，
由②-①，可得x-y=3，
由①+②，可得5（x+y）=25，
∴x+y=5，
∴，
故答案为：C.
【分析】先利用加减消元法求出x-y=3，x+y=5，再求出即可.
7．【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①当k=0时，方程组为，
由①×2-②得：y=1，
∴x+2×1=0，
∴x=-2，
将x=-2和y=1代入方程x-2y=4，等式成立，
∴①说法符合题意；
②∵x+y=0，
∴x=-y，
∴方程组变形为，
∴k=3k-1，
∴k=0.5，
∴②说法符合题意；
③∵方程组为，
∴由①×3-②得：x+3y=1，
∴无论k取什么实数，x+3y=1，
∴③说法符合题意；
④∵方程组为，
由①×2-②得：y=-k+1，
∴x+2（-k+1）=k
∴x=3k-2，
又∵3x+2y=6，
∴3（3k-2）+2（-k+1）=6，
整理，解得：k=，
∴④说法不符合题意，
∴正确的有①②③.
故答案为：A.
【分析】①把k=0代入方程组，再利用加减消元法二元一次方程组，把解代入方程x-2y=4验证解满足方程；②由x+y=0变形得x=-y，原方程组变形为，解之求得k值，即存在k使得x+y=0成立；③方程组为，由①×3-②得：x+3y=1，即无论k取什么实数，x+3y=1为定值；④由①×2-②得：y=-k+1，从而得x=3k-2，代入到方程3x+2y=6，整理解得k=，即可判断④说法不符合题意. 据此即可得到正确答案.
8．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①∵，，
依题意
解得：，，
∴，故①正确；
②的方程与的解相同，即与的解相同，
∴
∴，故②正确；
③
∵的最小值为，
当
∴的最小值为1，
∴有最小值，且最小值为1.
当，有最大值，且最大值为1 .
故③不正确，
故答案为：C.
【分析】利用定义可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，然后求出（m+n）2023的值，可对①作出判断；利用已知可得到与的解相同，据此可得到k的值，可对②作出判断；将A，B代入pA+qB，再进行变形，可得到pA+qB=，可推出其最小值为p-q，当p=q＞0时，可求出的最小值为1，此时A的最小值为1；当p-q＜0时，可知A的最大值为1，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．【答案】1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②得：4x+4y=4，
∴x+y=1，
故答案为：1.
【分析】将两方程相加即可求解.
10．【答案】6
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
解得：
故答案为：6.
【分析】由题目已知信息得到：解此方程组即可求解.
11．【答案】2
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵3*5=15，
∴
∵4*7=28，
∴
联立得：
解得：
∴
∴
故答案为：2.
【分析】根据新运算的定义以及3*5=15，可列：根据4*7=28，可列：联立可得二元一次方程组，解此方程组即可求出新运算的计算公式，进而求解.
12．【答案】-1；-3
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组的解是
∴由①-②，可得
2(a1-a2)=c1-c2
方程组，
由③-④，可得
(a1-a2)x=(a1-a2)-(c1-c2)
∴ (a1-a2)x=(a1-a2)-2(a1-a2)=-(a1-a2)
∴ x=-1
把x=1代入③，得
-a1+y=a1-c1
∴ y=2a1-c1 由①，可得
y=-3
∴x=-1，y=-3.
【分析】利用加减消元法，对两个方程组进行变形整理，再整体代换.
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵
∴
又元一次方程组
与
有相同的解
∴
解得，
故答案为：
【分析】根据题意可得
，再利用加减消元法求解二元一次方程组即可。
14．【答案】解：由题意得：甲计算出正确的b的值，乙计算出正确的a的值，
即将甲的解代入原方程组得到b的值，将乙的解代入原方程组得到a的值，
∴把代入原方程②得：
把代入原方程①得：
∴原方程组为：
解得：
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据题意知：甲计算出正确的b的值，乙计算出正确的a的值，将甲的解代入原方程②得到b的值，将乙的解代入原方①组得到a的值，据此即可求出原方程组的解.
15．【答案】（1）
（2）解：，两点是方程图象的关联点，，两点是方程图象的关联点，
，
解得，
，
点在轴上，
当时，，
，
，
点在轴上，
当时，，
，
，
四边形的面积；
（3）解：，，三点是二元一次方程图象的关联点，
将代入，
得，
整理，得，
将代入，
得，
得，
解得，
将代入，
得，
即，
解得，
将代入，
得，
即，
解得，
．
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）将代入，可得3×（-1）+4×=2，∴是方程图象的关联点；
将代入，可得3×1+4×=5≠2，∴不是方程图象的关联点；
将代入，可得3×（-2）+4×2=2，∴是方程图象的关联点；
综上，是方程图象的关联点有，，
故答案为：；
【分析】（1）将三个点坐标分别代入方程判断即可；
（2）先求出点B、C的坐标，再利用割补法求出四边形的面积即可；
（3）根据“关联点”的定义可得，，再求出，再将点M、P分别代入，可得，，即可得到.
16．【答案】（1）解：
由②可得：
两边平方化简得： ，即
代入①得： ，即
解得： 或
将 代入②得： ，解得：
将 代入②得： ，解得：
故原方程组的解为： 或 ；
（2）解：
去括号化简得： ，即
得： ，解得：
将 代入①得： ，解得：
故原方程组的解为 .
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出 ，再代入第一个方程可求出y的值，然后将y的最代入第二个方程可求出x的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.
17．【答案】（1）解：∵
∴
∴
∴
（2）解：∵、
∴
（3）解：存在，
∵，
∴
∵
∴，
∴根据题意由，或
解得：或
∴当时，；
当时，；
综上，或．
【知识点】两点间的距离；偶次方的非负性；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性以及偶次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可得a+c-4=0、a-b=0，联立求出b、c，据此可得点B的坐标；
（2）根据（1）可得A（a，-a），B（a，4-a），观察两点的坐标发现横坐标相同，故两点间的距离等于这两点纵坐标差的绝对值，据此即可得出答案；
（3）由（2）可知，点A、B所在的直线平行于y轴，再根据MN⊥AB可得MN平行于x轴，故M、N两点的纵坐标相同，据此可得3m-5=-2n-3，再根据MN=AB=2可得2m=n-1+2，2m=n-1-2，据此可得关于m、n的方程组，求出m、n的值，得到点M、N的坐标.
18．【答案】（1）
（2）解：∵为自然数，
∴x-3=1或x-3=2或x-3=3或x-3=6，
∴x=4或5或6或9.
（3）解：，
由①×2-②得：（4-k）y=8，
∵二元一次方程组有解，
∴4-k≠0，
∴y=，
∵y是正整数，
∴4-k=1或4-k=2或4-k=4或4-k=8，
∴k=3或2或k=0或k=-4，
∵k=3时，y=8，
∴x=-7（不符合题意），
∴满足题意的k为2或0或-4.
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵3x+2y=8，
∴y==4-，
∴当x=2时，y=1，
∴方程的正整数解为.
故答案为：.
【分析】（1）由3x+2y=8变形为y=4-，若y为正整数，则3x被2整除，又x为正整数，因此x=2，y=1，即可求解；
（2）由为自然数，可得6为x-3的倍数，则x-3=1或x-3=2或x-3=3或x-3=6，解之即可求解；
（3）先利用加减消元法解二元一次方程组，得（4-k）y=8，因为4-k≠0，即得y=，再结合y和x均为正整数，进而得满足题意的k为2或0或-4.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 1.2.2 加减消元法同步分层训练培优题
一、选择题
1．解方程组，最简便的方法为（ ）
A．代入法 B．加减法
C．换元法 D．三种方法一样简便
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵未知数的系数必须是相等，
∴最简便的方法为加减法，
故答案为：B.
【分析】用加减消元法解二元一次方程组时，未知数的系数必须是相等或者是相反数，据此可知最简便的方法.
2．已知关于x，y的方程组无解，则m的值是（ ）
A．9 B．6 C．-6 D．-9
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由②得：，
将代入①得：
∴当时，原方程组无解，
故答案为：C.
【分析】由②得：，将其代入①得到：易知当时，原方程组无解.
3．（2023八上·西安期中）在解关于，的二元一次方程组时，若①-②可直接消去一个未知数，则和的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】由题意知方程组中y的系数相同，所以答案为A。
【分析】 若①-②可直接消去一个未知数 ，则说明y的系数相同。
4．（2023八上·济阳期中）已知二元一次方程组，则m+n＝（ ）
A．1 B．7 C．﹣1 D．﹣7
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】，
由①-②，可得m+n=-1，
故答案为：C.
【分析】利用二元一次方程组的计算方法由①-②，可得m+n=-1，从而得解.
5．（2023·临沧模拟） 若是二元一次方程组的解，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】将代入，
可得：，
由①-②，可得x+2y=3，
故答案为：C.
【分析】将代入，可得，再利用加减消元法可得x+2y=3.
6．（2023七下·招远期末）如果两数、满足，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】，
由②-①，可得x-y=3，
由①+②，可得5（x+y）=25，
∴x+y=5，
∴，
故答案为：C.
【分析】先利用加减消元法求出x-y=3，x+y=5，再求出即可.
7．（2022七下·杭州期中）已知关于x，y的方程组 ，以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程 的解；②存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y=6则k=1.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②
【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①当k=0时，方程组为，
由①×2-②得：y=1，
∴x+2×1=0，
∴x=-2，
将x=-2和y=1代入方程x-2y=4，等式成立，
∴①说法符合题意；
②∵x+y=0，
∴x=-y，
∴方程组变形为，
∴k=3k-1，
∴k=0.5，
∴②说法符合题意；
③∵方程组为，
∴由①×3-②得：x+3y=1，
∴无论k取什么实数，x+3y=1，
∴③说法符合题意；
④∵方程组为，
由①×2-②得：y=-k+1，
∴x+2（-k+1）=k
∴x=3k-2，
又∵3x+2y=6，
∴3（3k-2）+2（-k+1）=6，
整理，解得：k=，
∴④说法不符合题意，
∴正确的有①②③.
故答案为：A.
【分析】①把k=0代入方程组，再利用加减消元法二元一次方程组，把解代入方程x-2y=4验证解满足方程；②由x+y=0变形得x=-y，原方程组变形为，解之求得k值，即存在k使得x+y=0成立；③方程组为，由①×3-②得：x+3y=1，即无论k取什么实数，x+3y=1为定值；④由①×2-②得：y=-k+1，从而得x=3k-2，代入到方程3x+2y=6，整理解得k=，即可判断④说法不符合题意. 据此即可得到正确答案.
8．（2023九下·沙坪坝月考）定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（ ）
①若，，则的值为-1；
②若为常数，关于的方程与的解相同，则；
③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为1.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①∵，，
依题意
解得：，，
∴，故①正确；
②的方程与的解相同，即与的解相同，
∴
∴，故②正确；
③
∵的最小值为，
当
∴的最小值为1，
∴有最小值，且最小值为1.
当，有最大值，且最大值为1 .
故③不正确，
故答案为：C.
【分析】利用定义可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，然后求出（m+n）2023的值，可对①作出判断；利用已知可得到与的解相同，据此可得到k的值，可对②作出判断；将A，B代入pA+qB，再进行变形，可得到pA+qB=，可推出其最小值为p-q，当p=q＞0时，可求出的最小值为1，此时A的最小值为1；当p-q＜0时，可知A的最大值为1，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
9．（2023七下·黄埔期末）已知关于x，y的二元一次方程组，则 ．
【答案】1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②得：4x+4y=4，
∴x+y=1，
故答案为：1.
【分析】将两方程相加即可求解.
10．已知=3，则a= ．
【答案】6
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
解得：
故答案为：6.
【分析】由题目已知信息得到：解此方程组即可求解.
11．对X，Y定义一种新运算“*"：X*Y=aX+bY，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算，已知3*5=15，4*7=28，那么2*3=
【答案】2
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵3*5=15，
∴
∵4*7=28，
∴
联立得：
解得：
∴
∴
故答案为：2.
【分析】根据新运算的定义以及3*5=15，可列：根据4*7=28，可列：联立可得二元一次方程组，解此方程组即可求出新运算的计算公式，进而求解.
12．（2021七下·北仑期中）若方程组 的解是 ，则方程组 的解是，x＝ ，y＝ ．
【答案】-1；-3
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组的解是
∴由①-②，可得
2(a1-a2)=c1-c2
方程组，
由③-④，可得
(a1-a2)x=(a1-a2)-(c1-c2)
∴ (a1-a2)x=(a1-a2)-2(a1-a2)=-(a1-a2)
∴ x=-1
把x=1代入③，得
-a1+y=a1-c1
∴ y=2a1-c1 由①，可得
y=-3
∴x=-1，y=-3.
【分析】利用加减消元法，对两个方程组进行变形整理，再整体代换.
13．（2021七下·寒亭期中）若关于，的二元一次方程组与有相同的解，则这个解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵
∴
又元一次方程组
与
有相同的解
∴
解得，
故答案为：
【分析】根据题意可得
，再利用加减消元法求解二元一次方程组即可。
三、解答题
14．甲、乙两人同时解方程组时，甲看错了方程(1)中的a，解得，乙看错了(2)中的b，解得，求原方程组的正确解．
【答案】解：由题意得：甲计算出正确的b的值，乙计算出正确的a的值，
即将甲的解代入原方程组得到b的值，将乙的解代入原方程组得到a的值，
∴把代入原方程②得：
把代入原方程①得：
∴原方程组为：
解得：
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据题意知：甲计算出正确的b的值，乙计算出正确的a的值，将甲的解代入原方程②得到b的值，将乙的解代入原方①组得到a的值，据此即可求出原方程组的解.
15．（2023七下·辛集期末）定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点．
（1）在；；三点中，是方程图象的关联点有 ；填序号
（2）已知，两点是方程图象的关联点，，两点是方程图象的关联点若点在轴上，点在轴上，求四边形的面积．
（3）若，，三点是二元一次方程图象的关联点，探究与的大小．
【答案】（1）
（2）解：，两点是方程图象的关联点，，两点是方程图象的关联点，
，
解得，
，
点在轴上，
当时，，
，
，
点在轴上，
当时，，
，
，
四边形的面积；
（3）解：，，三点是二元一次方程图象的关联点，
将代入，
得，
整理，得，
将代入，
得，
得，
解得，
将代入，
得，
即，
解得，
将代入，
得，
即，
解得，
．
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）将代入，可得3×（-1）+4×=2，∴是方程图象的关联点；
将代入，可得3×1+4×=5≠2，∴不是方程图象的关联点；
将代入，可得3×（-2）+4×2=2，∴是方程图象的关联点；
综上，是方程图象的关联点有，，
故答案为：；
【分析】（1）将三个点坐标分别代入方程判断即可；
（2）先求出点B、C的坐标，再利用割补法求出四边形的面积即可；
（3）根据“关联点”的定义可得，，再求出，再将点M、P分别代入，可得，，即可得到.
四、计算题
16．（2020七上·景德镇期末）
（1）解方程组：
（2）
【答案】（1）解：
由②可得：
两边平方化简得： ，即
代入①得： ，即
解得： 或
将 代入②得： ，解得：
将 代入②得： ，解得：
故原方程组的解为： 或 ；
（2）解：
去括号化简得： ，即
得： ，解得：
将 代入①得： ，解得：
故原方程组的解为 .
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出 ，再代入第一个方程可求出y的值，然后将y的最代入第二个方程可求出x的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.
五、综合题
17．（2022七下·福州期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B坐标为，a，b，c满足．
（1）求B坐标（用含a的式子表示）；
（2）求线段AB长度；
（3）若两个动点．请你探索是否存在以两个动点M、N为端点的线段，且．若存在，请求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵
∴
∴
∴
（2）解：∵、
∴
（3）解：存在，
∵，
∴
∵
∴，
∴根据题意由，或
解得：或
∴当时，；
当时，；
综上，或．
【知识点】两点间的距离；偶次方的非负性；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性以及偶次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可得a+c-4=0、a-b=0，联立求出b、c，据此可得点B的坐标；
（2）根据（1）可得A（a，-a），B（a，4-a），观察两点的坐标发现横坐标相同，故两点间的距离等于这两点纵坐标差的绝对值，据此即可得出答案；
（3）由（2）可知，点A、B所在的直线平行于y轴，再根据MN⊥AB可得MN平行于x轴，故M、N两点的纵坐标相同，据此可得3m-5=-2n-3，再根据MN=AB=2可得2m=n-1+2，2m=n-1-2，据此可得关于m、n的方程组，求出m、n的值，得到点M、N的坐标.
18．（2022七下·井研期末）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．其方法为：由2x+3y＝12可得yx（x、y为正整数），要使y＝4x为正整数，则x为整数，所以x必须为3的倍数，从而得到x＝3，代入得y＝4x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 ；
（2）若为自然数，求出满足条件的正整数x的值；
（3）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值．
【答案】（1）
（2）解：∵为自然数，
∴x-3=1或x-3=2或x-3=3或x-3=6，
∴x=4或5或6或9.
（3）解：，
由①×2-②得：（4-k）y=8，
∵二元一次方程组有解，
∴4-k≠0，
∴y=，
∵y是正整数，
∴4-k=1或4-k=2或4-k=4或4-k=8，
∴k=3或2或k=0或k=-4，
∵k=3时，y=8，
∴x=-7（不符合题意），
∴满足题意的k为2或0或-4.
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵3x+2y=8，
∴y==4-，
∴当x=2时，y=1，
∴方程的正整数解为.
故答案为：.
【分析】（1）由3x+2y=8变形为y=4-，若y为正整数，则3x被2整除，又x为正整数，因此x=2，y=1，即可求解；
（2）由为自然数，可得6为x-3的倍数，则x-3=1或x-3=2或x-3=3或x-3=6，解之即可求解；
（3）先利用加减消元法解二元一次方程组，得（4-k）y=8，因为4-k≠0，即得y=，再结合y和x均为正整数，进而得满足题意的k为2或0或-4.
1 / 1
