2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.1.1 同底数幂的乘法同步分层训练培优题
一、选择题
1．已知m，n是正整数，且2m·2n=25，则m，n的值共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解： ∵2m·2n=2m+n=25，
∴m+n=5，
∵ m，n是正整数 ，
∴m=1 n=2；m=2 n=3；m=3，n=2；m=4 n=1.
故答案为：D.
【分析】由同底数幂的乘法及已知等式可得m+n=5，再求出正整数m、n的值即可.
2．（2019七下·铜仁期中）x3m＋1可以写成（ ）
A．x3·x(m+1) B．x3＋x(m+1) C．x·x3m D．xm＋x(2m+1)
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】x3m+1=x3m x.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，作出判断即可.
3．（2023·镇江）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：依题意有，5﹣2y+2x+2y＝29+2y﹣2x＝29+2x﹣2x﹣2y，
即5+2x＝29+2y﹣2x＝29﹣2y，
∴
解得：
∴2x+y＝2x×2y＝16×8＝128，
故答案为：A.
【分析】根据最后 三只袋中球的个数相同可列出方程，然后解方程分别求出2x和2y，最后根据同底数幂乘法的逆运算即可求出2x+y的值．
4．（2023七下·深圳期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am am＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m） h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）·h（2020）的结果是（ ）
A．2kn+2021 B．2kn+2022 C．kn+1010 D．2022k
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【解答】解：∵h（2）=k（k≠0）， h（m+n）＝h（m）·h（n），
∴h（2n）·h（2020） = h（n）·h（1010）=n·1010=kn·k1010=kn+1010，
故答案为：C.
【分析】结合题意，根据所给的新运算法则，同底数幂的乘法法则计算求解即可。
5．（2023七下·怀宁期中）若 ，则n为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：
∴，
故答案为：D．
【分析】利用有理数的乘方、合并同类项的计算方法及同底数幂的乘法计算方法求解即可。
6．（2023七下·道县期中）计算的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘法法则；有理数的乘方法则
【解析】【解答】
故答案为：C.
【分析】把0.522和（-2）23转化为同底数幂，然后利用同底数幂的乘法法则计算即可。
7．若 ， ，且满足 ，则 的值为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】由 相乘得：y= ，代入其中一式得x=4，故 =
故C符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题考查了同底数幂的乘法.观察题目先求出y的值是关键.
8．（2020七上·犍为期中）为了求 的值，可设 ，等式两边同乘以 ，得 ，所以得 ，所以 ，即： ＝ .仿照以上方法求 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：求 的值，
可设s= ，
则5s=5（ ）= ，
=4s=
（ ）-（ ）
= ，
.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，模仿给出的示例，可设S=①，可得5s= ② ，利用②-①即可求解.
二、填空题
9．（2023七下·浙江期中）若7-2×7-1×70=7P，则p的值为
【答案】-3
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵7-2×7-1×70=7-2+（-1）+0=7-3=7P；
故答案为：-3.
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求解.
10．（2023七上·合江期中）若且，，则叫做以为底的对数，记为（即，如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．则的值为 ．
【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【解答】解：∵26=64，
∴log264=6，
故答案为：6.
【分析】因为26=64，根据对数的定义可知：log264=6.
11．（2023八上·北京市期中） 如果，那么我们规定．例如，因为，所以．
（1）根据上述规定填空： ；
（2）记，，，则，，之间的等量关系 ．
【答案】（1）0
（2）
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【解答】解：(1) 根据“如果ac=b，那么我们规定(a，b)=c”，
∵40=1，
∴（4，1）=0.
故答案为：0；
(2)根据“如果ac=b，那么我们规定(a，b)=c”，
3a=5，3b=6，3c=30，
∴3a×3b=3c，即
3a+b=3c，
∴a+b=c.
故答案为：a+b=c.
【分析】本题考查同底数的幂的乘法。（1）根据定义可以直接得出；（2）根据定义可以得到3a=5，3b=6，3c=30，即可得到结果。
12．（2023八上·长春净月高新技术产业开发期中）若am=2，an=3，则am+n等于
【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：6
【分析】根据同底数幂的乘法将代数式化简，再代入相应值即可求出答案.
13．（2018八上·长春月考）已知2a＝5，2b＝10，2c＝100，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ．
【答案】c＝1+a+b
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵100＝2×5×10，
∴2c＝2×2a×2b＝21+a+b，
则c＝1+a+b，
故答案为：c＝1+a+b．
【分析】欲找 a、b、c之间满足的等量关系 ，可先找等式右边的三个数5、10、100之间满足的等量关系：100=2×5×10，然后再把三个等式代入即可.
三、解答题
14．（2022七下·镇江期中）数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，接着老师问道：“科学家们正在寻找一颗星球，也可以近似地看做球体，它的半径是地球的10000倍，那么这样的星球它的体积约是多少立方千米？”请你尝试计算.
【答案】解：设地球的半径为r千米，则该星球的半径为104r千米.
因为
==1012
=1012
而=千米3，
所以==（千米3）.
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】设地球的半径为r千米，则该星球的半径为104r千米，V星球=π(104r)3=1012V地球，然后结合V地球=1.08×1012立方千米进行计算.
15．用字母表示同底数幂的乘法法则，并写出推导过程及每一步的依据．
【答案】解：同底数幂的乘法法则：am an=a m+n（m，n是正整数），
推导：
am an × （乘方的意义）
= （乘法结合律）
=am+n（乘方的意义）
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】依据乘方的意义以及乘法结合律，即可得到同底数幂的乘法法则．
四、综合题
16．规定新运算“☆”：a☆b=10a×10b.例如，3☆4=103×104=107。
（1）试求2☆5和3☆17的值；
（2）猜想：a☆b与b☆a的运算结果是否相等？说明理由。
【答案】（1）解：2☆5=102×105=107，
3☆17=103×1017=1020
（2）解：a☆b与b☆a的运算结果相等.理由如下：
∵a☆b=10a×10b=10a+b，
b☆a=10b×10a=10b+a，
∴a☆b=b☆a.
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据规定运算的法则： 将a=2，b=5和a=3，b=17分别代入a☆b=10a×10b 即可求解；
（2）将 a☆b用法则展开： a☆b=10a×10b=10a+b ； 将 b☆a用法则展开b☆a=10b×10a=10b+a ，所以a☆b=b☆a.
17．（2022七上·宛城期末）先阅读下列材料，然后解答问题.
探究：用的幂的形式表示am an的结果（m、为正整数）.
分析：根据乘方的意义，am an==am+n.
（1）请根据以上结论填空：36×38= ，52×53×57= ，（a+b）3 （a+b）5= ；
（2）仿照以上的分析过程，用的幂的形式表示（am）n的结果（提示：将am看成一个整体）.
【答案】（1）314；512；（a+b）8
（2）解：.
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：1）36×38=36+8=314；
52×53×57=52+3+7=512；
（a+b）3 （a+b）5=（a+b）3+5=（a+b）8；
故答案为314；512；（a+b）8；
【分析】（1）同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可；
（2）将am看成一个整体，根据乘方的意义即可求解.
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一、选择题
1．已知m，n是正整数，且2m·2n=25，则m，n的值共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．（2019七下·铜仁期中）x3m＋1可以写成（ ）
A．x3·x(m+1) B．x3＋x(m+1) C．x·x3m D．xm＋x(2m+1)
3．（2023·镇江）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
4．（2023七下·深圳期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am am＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m） h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）·h（2020）的结果是（ ）
A．2kn+2021 B．2kn+2022 C．kn+1010 D．2022k
5．（2023七下·怀宁期中）若 ，则n为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
6．（2023七下·道县期中）计算的值是（ ）
A． B． C． D．2
7．若 ， ，且满足 ，则 的值为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
8．（2020七上·犍为期中）为了求 的值，可设 ，等式两边同乘以 ，得 ，所以得 ，所以 ，即： ＝ .仿照以上方法求 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023七下·浙江期中）若7-2×7-1×70=7P，则p的值为
10．（2023七上·合江期中）若且，，则叫做以为底的对数，记为（即，如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．则的值为 ．
11．（2023八上·北京市期中） 如果，那么我们规定．例如，因为，所以．
（1）根据上述规定填空： ；
（2）记，，，则，，之间的等量关系 ．
12．（2023八上·长春净月高新技术产业开发期中）若am=2，an=3，则am+n等于
13．（2018八上·长春月考）已知2a＝5，2b＝10，2c＝100，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ．
三、解答题
14．（2022七下·镇江期中）数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，接着老师问道：“科学家们正在寻找一颗星球，也可以近似地看做球体，它的半径是地球的10000倍，那么这样的星球它的体积约是多少立方千米？”请你尝试计算.
15．用字母表示同底数幂的乘法法则，并写出推导过程及每一步的依据．
四、综合题
16．规定新运算“☆”：a☆b=10a×10b.例如，3☆4=103×104=107。
（1）试求2☆5和3☆17的值；
（2）猜想：a☆b与b☆a的运算结果是否相等？说明理由。
17．（2022七上·宛城期末）先阅读下列材料，然后解答问题.
探究：用的幂的形式表示am an的结果（m、为正整数）.
分析：根据乘方的意义，am an==am+n.
（1）请根据以上结论填空：36×38= ，52×53×57= ，（a+b）3 （a+b）5= ；
（2）仿照以上的分析过程，用的幂的形式表示（am）n的结果（提示：将am看成一个整体）.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解： ∵2m·2n=2m+n=25，
∴m+n=5，
∵ m，n是正整数 ，
∴m=1 n=2；m=2 n=3；m=3，n=2；m=4 n=1.
故答案为：D.
【分析】由同底数幂的乘法及已知等式可得m+n=5，再求出正整数m、n的值即可.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】x3m+1=x3m x.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，作出判断即可.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：依题意有，5﹣2y+2x+2y＝29+2y﹣2x＝29+2x﹣2x﹣2y，
即5+2x＝29+2y﹣2x＝29﹣2y，
∴
解得：
∴2x+y＝2x×2y＝16×8＝128，
故答案为：A.
【分析】根据最后 三只袋中球的个数相同可列出方程，然后解方程分别求出2x和2y，最后根据同底数幂乘法的逆运算即可求出2x+y的值．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【解答】解：∵h（2）=k（k≠0）， h（m+n）＝h（m）·h（n），
∴h（2n）·h（2020） = h（n）·h（1010）=n·1010=kn·k1010=kn+1010，
故答案为：C.
【分析】结合题意，根据所给的新运算法则，同底数幂的乘法法则计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：
∴，
故答案为：D．
【分析】利用有理数的乘方、合并同类项的计算方法及同底数幂的乘法计算方法求解即可。
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘法法则；有理数的乘方法则
【解析】【解答】
故答案为：C.
【分析】把0.522和（-2）23转化为同底数幂，然后利用同底数幂的乘法法则计算即可。
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】由 相乘得：y= ，代入其中一式得x=4，故 =
故C符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题考查了同底数幂的乘法.观察题目先求出y的值是关键.
8．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：求 的值，
可设s= ，
则5s=5（ ）= ，
=4s=
（ ）-（ ）
= ，
.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，模仿给出的示例，可设S=①，可得5s= ② ，利用②-①即可求解.
9．【答案】-3
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵7-2×7-1×70=7-2+（-1）+0=7-3=7P；
故答案为：-3.
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求解.
10．【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【解答】解：∵26=64，
∴log264=6，
故答案为：6.
【分析】因为26=64，根据对数的定义可知：log264=6.
11．【答案】（1）0
（2）
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【解答】解：(1) 根据“如果ac=b，那么我们规定(a，b)=c”，
∵40=1，
∴（4，1）=0.
故答案为：0；
(2)根据“如果ac=b，那么我们规定(a，b)=c”，
3a=5，3b=6，3c=30，
∴3a×3b=3c，即
3a+b=3c，
∴a+b=c.
故答案为：a+b=c.
【分析】本题考查同底数的幂的乘法。（1）根据定义可以直接得出；（2）根据定义可以得到3a=5，3b=6，3c=30，即可得到结果。
12．【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：6
【分析】根据同底数幂的乘法将代数式化简，再代入相应值即可求出答案.
13．【答案】c＝1+a+b
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵100＝2×5×10，
∴2c＝2×2a×2b＝21+a+b，
则c＝1+a+b，
故答案为：c＝1+a+b．
【分析】欲找 a、b、c之间满足的等量关系 ，可先找等式右边的三个数5、10、100之间满足的等量关系：100=2×5×10，然后再把三个等式代入即可.
14．【答案】解：设地球的半径为r千米，则该星球的半径为104r千米.
因为
==1012
=1012
而=千米3，
所以==（千米3）.
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】设地球的半径为r千米，则该星球的半径为104r千米，V星球=π(104r)3=1012V地球，然后结合V地球=1.08×1012立方千米进行计算.
15．【答案】解：同底数幂的乘法法则：am an=a m+n（m，n是正整数），
推导：
am an × （乘方的意义）
= （乘法结合律）
=am+n（乘方的意义）
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】依据乘方的意义以及乘法结合律，即可得到同底数幂的乘法法则．
16．【答案】（1）解：2☆5=102×105=107，
3☆17=103×1017=1020
（2）解：a☆b与b☆a的运算结果相等.理由如下：
∵a☆b=10a×10b=10a+b，
b☆a=10b×10a=10b+a，
∴a☆b=b☆a.
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据规定运算的法则： 将a=2，b=5和a=3，b=17分别代入a☆b=10a×10b 即可求解；
（2）将 a☆b用法则展开： a☆b=10a×10b=10a+b ； 将 b☆a用法则展开b☆a=10b×10a=10b+a ，所以a☆b=b☆a.
17．【答案】（1）314；512；（a+b）8
（2）解：.
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：1）36×38=36+8=314；
52×53×57=52+3+7=512；
（a+b）3 （a+b）5=（a+b）3+5=（a+b）8；
故答案为314；512；（a+b）8；
【分析】（1）同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可；
（2）将am看成一个整体，根据乘方的意义即可求解.
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