2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.1.2 幂的乘方与积的乘方同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023·泸州）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解： A：，计算错误；
B：，计算正确；
C：，计算错误；
D：，计算错误；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方，积的乘方法则计算求解即可。
2．已知下列算式：
①(a3)3=a6；
②a2·a3=a6；
③2m·3n=6m+n；
④-a2·(-a)3=a5；
⑤(a-b)3·(b-a)2=(a-b)5．
其中计算结果错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：①(a3)3=a9，故①错误；
②a2·a3=a5，故②错误；
③2m·3n≠6m+n，故③错误；
④-a2·(-a)3=a5，正确；
⑤(a-b)3·(b-a)2=(a-b)5，正确.
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法分别计算，再判断即可.
3．计算a(-a3)·(a2)5的结果为（ ）
A．a14 B．-a14 C．a11 D．-a11
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解： a(-a3)·(a2)5=a·（-a3）·a10=-a14.
故答案为：B.
【分析】先算幂的乘方，再利用同底数幂的乘法进行计算即可.
4．（2021·广东）已知 ，则 （ ）
A．1 B．6 C．7 D．12
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】
解：
故答案为：D．
【分析】考查幂的运算公式的逆运用，先将条件和结论的底数统一为3，然后观察结论的式子需要将同底数幂的乘法公式反向运用，即，最后将条件变形整体代入运算即可。
5．（2023八上·江油期中）如果，那么的值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．2
【答案】C
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴2n=16
解得：n=8
故答案为：C
【分析】根据幂的乘方可得，根据同底数幂的性质可得2n=16，解方程即可求出答案.
6．（2018·河南）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x2）3=﹣x5 B．x2+x3=x5
C．x3 x4=x7 D．2x3﹣x3=1
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、（-x2）3=-x6，不符合题意；
B、x2、x3不是同类项，不能合并，不符合题意；
C、x3 x4=x7，符合题意；
D、2x3-x3=x3，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂相乘的法则、利用排除法求解。
7．已知关于xy的方程组则代数式4x8y(2y)2=（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②得4x+10y=8，
∴2x-5y=4，
4x8y(2y)2=22x·23y·22y=22x+5y =24=16.
故答案为：C.
【分析】将方程组中两方程相加可得2x-5y=4，利用幂的乘方及同底数幂的乘法可将原化为22x+5y ，再代入计算即可.
8．（2023七下·顺义期中）已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：原式
=35
故选：A
【分析】 根据同底数幂的乘法法则原式可得，再根据幂的乘方可得，代值计算即可。
二、填空题
9．（2023八上·重庆市期中） 计算：＝ ．
【答案】
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：（2x）3=23×x3=8x3.
故答案为：8x3.
【分析】根据积的乘方的性质，即可得出答案。
10．填空：
（1）[(-1)2020]2021= ．
（2）x12=[x（ ）]3=[x2]（ ）．
（3）[(2x-3y)n-1]4= .
（4）2(-a3)6-3(-a2·a4)3+(-a9)2-4a2·(-a2)2·(-a3)4= ．
【答案】（1）1
（2）4；6
（3）(2x-3y)4n-4
（4）3a18
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则；幂的乘方
【解析】【解答】解：（1）原式=12021=1；
故答案为：1.
（2） x12=[x（4 ）]3=[x2]（ 6）．
故答案为：4，6.
（3）原式= (2x-3y)4n-4，
故答案为： (2x-3y)4n-4.
（4）原式=2a18+3a18-a18-a18=3a18.
故答案为：3a18.
【分析】（1）利用有理数的乘方进行计算即可；
（2）利用幂的乘方进行解答即可；
（3）利用幂的乘方进行解答即可；
（4）利用幂的乘方及同底数幂的乘法先计算，再合并即可.
11．已知，，则 ．
【答案】200
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：∵，，
则
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解．
12．（2021七下·姑苏月考）已知 ， ，则 与 的大小关系为 .
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：∵ = = =b，
∴a、b的大小关系是：a=b.
故答案为a=b.
【分析】根据积的乘方法则、同底数幂的乘法法则可得a=，据此可判断a与b的关系.
13．若ax=3，则a3x的值为
【答案】27
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解： ∵ ax=3 ，
∴a3x==33=27.
故答案为：27.
【分析】根据幂的乘方 将原式化为a3x=，再代入计算即可.
三、解答题
14．把太阳看作一个球体，用V，r分别表示太阳的体积和半径，有公式V=πr3．已知太阳的半径约为6×105km，则太阳的体积大约是多少立方千米(π取3) ？
【答案】解：由r= 6×105km ， π≈3 ，
∴V=πr3=×3×（6×105）3=8.64×1017 立方千米 ；
∴ 太阳的体积大约是8.64×1017 立方千米.
【知识点】积的乘方
【解析】【分析】将r、π值直接代入V=πr3计算即可.
15．（2023八上·临汾期中）阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为：（m、n为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：（m、n为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．例如，判断的末尾数字，我们可以采用如下的方法：
解析：的末尾数字等于的末尾数字
∵，又（n为正整数）的末尾数字均为6，
∴的末尾数字是的末尾数字，即为8．
∴的末尾数字为8
根据以上阅读材料，回答下列问题：
（1）逆用幂的乘方，写出的末尾数字
（2）试判断的末尾数字
【答案】（1）解：∵，又（n为正整数）的末尾数字均为1，
∴的末尾数字是1×9的末尾数字，即为9．
（2）解：的末尾数字为0，的末尾数字等于的末尾数字．
∵，又（n为正整数）的末尾数字均为1，
∴的末尾数字为1.
∴的末尾数字为．
【知识点】探索数与式的规律；幂的乘方
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法求出，可得末尾数字是1×9的末尾数字，即为9；
（2）先求出的末尾数字为0，的末尾数字等于的末尾数字，再求出的末尾数字为1，即可得到的末尾数字为．
四、综合题
16．（2023七下·榕城期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）求的值；
（2）若，，，求的值；
（3）若运算的结果为810，则t的值是多少？
【答案】（1）解：；
（2）解：当，，时，
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：．
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算；幂的乘方
【解析】【分析】(1)根据新运算可得x=2，a=2，b=3，代入x、a、b的值利用新运算的运算公式求值.
(2)根据新运算可得x=2，a=p，b=q，代入x、a、b的值利用新运算的运算公式列出等式，再通过幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则求值.
(3)根据新运算可得x=9，a=1，b=2t，代入x、a、b的值利用新运算的运算公式列出等式，再通过同底数幂的乘法法则进行分解得到，进而求得t的值.
17．（2023七下·兴化期中）若am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）若3x×9x×27x=312，求x的值．
（2）若x=5m-3，y=4-25m，用含x的代数式表示y．
【答案】（1）解：
∵
∴
∴ x=2；
（2）解：∵
∴
∵
∴
【知识点】同底数幂的乘法；探索数与式的规律；幂的乘方
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方运算法则、幂的乘方运算法则及同底数幂的乘法运算法则将等式的左边变形为36x，进而根据等式的性质及幂的性质可列出关于x的方程，求解可得x得值；
（2）由已知等式可得5m=x+3，然后将25m利用有理数的乘方运算法则及幂的乘方运算法则变形为（5m）2，然后整体代入再按完全平方公式化简后合并可得答案.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.1.2 幂的乘方与积的乘方同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023·泸州）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知下列算式：
①(a3)3=a6；
②a2·a3=a6；
③2m·3n=6m+n；
④-a2·(-a)3=a5；
⑤(a-b)3·(b-a)2=(a-b)5．
其中计算结果错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．计算a(-a3)·(a2)5的结果为（ ）
A．a14 B．-a14 C．a11 D．-a11
4．（2021·广东）已知 ，则 （ ）
A．1 B．6 C．7 D．12
5．（2023八上·江油期中）如果，那么的值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．2
6．（2018·河南）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x2）3=﹣x5 B．x2+x3=x5
C．x3 x4=x7 D．2x3﹣x3=1
7．已知关于xy的方程组则代数式4x8y(2y)2=（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
8．（2023七下·顺义期中）已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八上·重庆市期中） 计算：＝ ．
10．填空：
（1）[(-1)2020]2021= ．
（2）x12=[x（ ）]3=[x2]（ ）．
（3）[(2x-3y)n-1]4= .
（4）2(-a3)6-3(-a2·a4)3+(-a9)2-4a2·(-a2)2·(-a3)4= ．
11．已知，，则 ．
12．（2021七下·姑苏月考）已知 ， ，则 与 的大小关系为 .
13．若ax=3，则a3x的值为
三、解答题
14．把太阳看作一个球体，用V，r分别表示太阳的体积和半径，有公式V=πr3．已知太阳的半径约为6×105km，则太阳的体积大约是多少立方千米(π取3) ？
15．（2023八上·临汾期中）阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为：（m、n为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：（m、n为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．例如，判断的末尾数字，我们可以采用如下的方法：
解析：的末尾数字等于的末尾数字
∵，又（n为正整数）的末尾数字均为6，
∴的末尾数字是的末尾数字，即为8．
∴的末尾数字为8
根据以上阅读材料，回答下列问题：
（1）逆用幂的乘方，写出的末尾数字
（2）试判断的末尾数字
四、综合题
16．（2023七下·榕城期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）求的值；
（2）若，，，求的值；
（3）若运算的结果为810，则t的值是多少？
17．（2023七下·兴化期中）若am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）若3x×9x×27x=312，求x的值．
（2）若x=5m-3，y=4-25m，用含x的代数式表示y．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解： A：，计算错误；
B：，计算正确；
C：，计算错误；
D：，计算错误；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方，积的乘方法则计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：①(a3)3=a9，故①错误；
②a2·a3=a5，故②错误；
③2m·3n≠6m+n，故③错误；
④-a2·(-a)3=a5，正确；
⑤(a-b)3·(b-a)2=(a-b)5，正确.
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法分别计算，再判断即可.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解： a(-a3)·(a2)5=a·（-a3）·a10=-a14.
故答案为：B.
【分析】先算幂的乘方，再利用同底数幂的乘法进行计算即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】
解：
故答案为：D．
【分析】考查幂的运算公式的逆运用，先将条件和结论的底数统一为3，然后观察结论的式子需要将同底数幂的乘法公式反向运用，即，最后将条件变形整体代入运算即可。
5．【答案】C
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴2n=16
解得：n=8
故答案为：C
【分析】根据幂的乘方可得，根据同底数幂的性质可得2n=16，解方程即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、（-x2）3=-x6，不符合题意；
B、x2、x3不是同类项，不能合并，不符合题意；
C、x3 x4=x7，符合题意；
D、2x3-x3=x3，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂相乘的法则、利用排除法求解。
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②得4x+10y=8，
∴2x-5y=4，
4x8y(2y)2=22x·23y·22y=22x+5y =24=16.
故答案为：C.
【分析】将方程组中两方程相加可得2x-5y=4，利用幂的乘方及同底数幂的乘法可将原化为22x+5y ，再代入计算即可.
8．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：原式
=35
故选：A
【分析】 根据同底数幂的乘法法则原式可得，再根据幂的乘方可得，代值计算即可。
9．【答案】
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：（2x）3=23×x3=8x3.
故答案为：8x3.
【分析】根据积的乘方的性质，即可得出答案。
10．【答案】（1）1
（2）4；6
（3）(2x-3y)4n-4
（4）3a18
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则；幂的乘方
【解析】【解答】解：（1）原式=12021=1；
故答案为：1.
（2） x12=[x（4 ）]3=[x2]（ 6）．
故答案为：4，6.
（3）原式= (2x-3y)4n-4，
故答案为： (2x-3y)4n-4.
（4）原式=2a18+3a18-a18-a18=3a18.
故答案为：3a18.
【分析】（1）利用有理数的乘方进行计算即可；
（2）利用幂的乘方进行解答即可；
（3）利用幂的乘方进行解答即可；
（4）利用幂的乘方及同底数幂的乘法先计算，再合并即可.
11．【答案】200
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：∵，，
则
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解．
12．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：∵ = = =b，
∴a、b的大小关系是：a=b.
故答案为a=b.
【分析】根据积的乘方法则、同底数幂的乘法法则可得a=，据此可判断a与b的关系.
13．【答案】27
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解： ∵ ax=3 ，
∴a3x==33=27.
故答案为：27.
【分析】根据幂的乘方 将原式化为a3x=，再代入计算即可.
14．【答案】解：由r= 6×105km ， π≈3 ，
∴V=πr3=×3×（6×105）3=8.64×1017 立方千米 ；
∴ 太阳的体积大约是8.64×1017 立方千米.
【知识点】积的乘方
【解析】【分析】将r、π值直接代入V=πr3计算即可.
15．【答案】（1）解：∵，又（n为正整数）的末尾数字均为1，
∴的末尾数字是1×9的末尾数字，即为9．
（2）解：的末尾数字为0，的末尾数字等于的末尾数字．
∵，又（n为正整数）的末尾数字均为1，
∴的末尾数字为1.
∴的末尾数字为．
【知识点】探索数与式的规律；幂的乘方
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法求出，可得末尾数字是1×9的末尾数字，即为9；
（2）先求出的末尾数字为0，的末尾数字等于的末尾数字，再求出的末尾数字为1，即可得到的末尾数字为．
16．【答案】（1）解：；
（2）解：当，，时，
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：．
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算；幂的乘方
【解析】【分析】(1)根据新运算可得x=2，a=2，b=3，代入x、a、b的值利用新运算的运算公式求值.
(2)根据新运算可得x=2，a=p，b=q，代入x、a、b的值利用新运算的运算公式列出等式，再通过幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则求值.
(3)根据新运算可得x=9，a=1，b=2t，代入x、a、b的值利用新运算的运算公式列出等式，再通过同底数幂的乘法法则进行分解得到，进而求得t的值.
17．【答案】（1）解：
∵
∴
∴ x=2；
（2）解：∵
∴
∵
∴
【知识点】同底数幂的乘法；探索数与式的规律；幂的乘方
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方运算法则、幂的乘方运算法则及同底数幂的乘法运算法则将等式的左边变形为36x，进而根据等式的性质及幂的性质可列出关于x的方程，求解可得x得值；
（2）由已知等式可得5m=x+3，然后将25m利用有理数的乘方运算法则及幂的乘方运算法则变形为（5m）2，然后整体代入再按完全平方公式化简后合并可得答案.
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