2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.1.2 幂的乘方与积的乘方同步分层训练培优题

2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.1.2 幂的乘方与积的乘方同步分层训练培优题
一、选择题
1．若x=2m+1，y=3+4m，则用含x的代数式表示y为（　　）
A．3+ B．3+x2 C．3+ D．3+4x2
2．若a=522，b=344，c=433，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a3．从棱长为4a的正方体中，挖去一个棱长为2a的小正方体，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的体积是（　　）
A．4a3 B．8a3 C．56a3 D．58a3
4．若（ambn）2=a8b6，那么m2﹣2n的值是（　　）
A．10 B．52 C．20 D．32
5．下列计算中正确的是（　　）
A．(ab2)3=ab6 B．(3cd)3=9c3d3
C．(-3a3)2=-9a3 D．(x2y)3=x6y3
6．1993+9319的个位数字是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．当x=-6，y=时，x2018y2019的值为（　　）
A． B．- C．6 D．-6
8．已知a=833，b=1625，c=3219，则有（　　）
A．a二、填空题
9．已知am=9，an=2，则a2m+n的值为　 　.
10．已知2a·3b·167c=2004， 其中a， b， c均为正整数，则a+b+c的值为　 　
11．计算：（2ab2）3=　 　
12．（2019七上·义乌月考）观察下列各数，按照某种规律在横线上填上一个适当的数。
， ， ， ， ，　 　.
13．（2023七上·浦东期中）已知，，求的值是　 　．
三、解答题
14．若a=255，b=344，c=433，d=522，试比较a，b，c，d的大小。
15．已知16m=4×22n﹣2，27n=9×3m+3，求（n﹣m）2010的值．
四、综合题
16．（2022·台湾）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品.已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞.
请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂.今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，则k之值为何？
（2）承（1），已知60亿介于与之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？
17．（2023七下·石阡期中）阅读下面的材料：
材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小．
解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
解决下列问题：
（1）比较，，的大小；
（2）比较，，的大小．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵ x=2m+1=2m·2，
∴2m=x，
∴y=3+4m=3+（2m）2=3+（x）2=x2+3.
即y=x2+3.
故答案为：C.
【分析】 由x=2m+1得2m=x，再由y=3+4m=3+（2m）2，然后代入计算即可.
2．【答案】A
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解： a=522=（52）11=2511，
b=344=（34）11=8111，
c=433=（43）11=6411，
∵25＜64＜81，
∴2511＜6411＜ 8111，
即 a故答案为：A.
【分析】将各数化为同一指数，底数大的数就大.
3．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：根据该几何体的体积=大正方体的体积-小正方体的体积可得，
（4a）3-（2a）3=64a3-8a3=56a3；
故答案为：C.
【分析】结合题意和正方体的体积公式即可列出代数式，根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘和幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，将代数式化简计算即可求解.
4．【答案】A
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：∵（ambn）2=a2mb2n=a8b6，
∴m=4，n=3，
∴m2﹣2n=42﹣2×3=16﹣6=10．
故选A．
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘计算后，再根据相同字母的次数相等求得m，n的值，再代入计算即可求解．
5．【答案】D
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、 (ab2)3=a3b6 ，故不符合题意；
B、 (3cd)3=27c3d3 ，故不符合题意；
C、 (-3a3)2=9a6 ，故不符合题意；
D、 (x2y)3=x6y3 ，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方、幂的乘方分别计算，再判断即可.
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；探索数与式的规律；幂的乘方
【解析】【分析】∵一个数的乘方的个位数字＝这个数的个位数字的乘方的个位数字。依题意知，
【解答】易知9的n次方的个位数有两种情况，当n是偶数是，其个位数=1，当n为奇数时，个位数=9，∴1993的个位数为9。
而93则考虑个位3的n次方：319=32×9+1=99×3，且99的个位数=9，所以319的个位数=9×3，所以其个位数=7。结合前者9+7=16，∴1993+9319的个位数为6。
【点评】本题难度较高，主要考查学生对幂的乘方的学习。需要进行分析数字n次方下个位数的特殊情况。本题主要围绕9来分析为解题关键。
7．【答案】A
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：∵x2018y2019=x2018y2018y，x=-6，y=，
∴原式=（xy）2018y=（-6×）2018 ×=，
故答案为：A.
【分析】先根据同底数幂乘方的逆运算将y2019转化为y2018y，再利用积的乘方的逆运算将原式变形为（xy）2018y，代入已知条件求解即可.
8．【答案】C
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：∵a=833=299，b=1625=2100，c=3219=295，
295<299<2100，
c故答案为：C.
【分析】观察a、b、c所表示的幂，底数均为2的的倍数，根据幂的乘方运算法则将它们分别表示为以2为底数的幂，再比较大小即可.
9．【答案】162
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解： a2m+n = a2m·an=(am)2· an=92×2=162.
故答案为：162.
【分析】根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方将式子变形即可求得.
10．【答案】4
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：∵ 2004=22×3×167= 2a·3b·167c，
∴a=2，b=1，c=1，
∴ a+b+c =4.
故答案为：4.
【分析】由2004=22×3×167= 2a·3b·167c， 可确定a、b、c的值，再代入计算即可.
11．【答案】8a3b6
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】
（2ab2）3= 8a3b6
答案为：8a3b6
【分析】根据积的乘方，即可解答
12．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；幂的乘方
【解析】【解答】解：，,,,
；
由此可得：第n项为, 则第6项为.
故答案为：.
【分析】依次分别求出每项数值和项数的关系，得出一般规律，照此求出第6项数值即可.
13．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ， ，
.
，
.
3n=2m-1，m=2n，
m=2，n=1，
故答案为：3.
【分析】先将两个等式中的幂化同底，再根据指数关系建立关于m，n的方程组，求出m，n即可.
14．【答案】解：∵a=（25）11=3211；
b=（34）11=811；
c=（43）1l=6411
d=（52）1l=2511；
∴b>c>a>d
【知识点】有理数大小比较；幂的乘方
【解析】【分析】 观察a、b、c所表示的幂特征，指数均为11的的倍数，根据幂的乘方运算法则将它们分别表示为以11为指数的幂，再比较大小即可.
15．【答案】解：∵16m=4×22n﹣2，
∴（24）m=22×22n﹣2，
∴24m=22n﹣2+2，
∴2n﹣2+2=4m，
∴n=2m①，
∵27n=9×3m+3，
∴（33）n=9×3m+3，
∴（33）n=32×3m+3，
∴33n=3m+5，
∴3n=m+5②，
由①②得：
解得：m=1，n=2，
∴（n﹣m）2010
=（2﹣1）2010
=1
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【分析】根据已知得出方程n=2m，3n=m+5，求出方程组的解，最后代入求出即可．
16．【答案】（1）解：15天小时小时，
∵1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，
从1个绿藻细胞开始培养，经过20小时分裂成4个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
之值为18；
（2）∵每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，
制作公克的「绿藻粉」需要亿个绿藻细胞，
∵60亿介于与之间，
亿，即亿，
而，
亿，
个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」
【知识点】有理数的乘方法则；幂的乘方
【解析】【分析】（1） 由1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，可知经过15天，即360个小时，分裂成个绿藻细胞 ，即得k值；
（2） 根据每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，60亿介于与之间， 可得 制作公克的「绿藻粉」需要亿个绿藻细胞， 且即亿， 由于，即得个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」.
17．【答案】（1）解：∵，
，
，
∵，
∴；
（2）解：∵，
，
，
∵，
∴．
【知识点】幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用幂的乘方计算求解即可；
（2）利用幂的乘方计算求解即可。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.1.2 幂的乘方与积的乘方同步分层训练培优题
一、选择题
1．若x=2m+1，y=3+4m，则用含x的代数式表示y为（　　）
A．3+ B．3+x2 C．3+ D．3+4x2
【答案】C
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵ x=2m+1=2m·2，
∴2m=x，
∴y=3+4m=3+（2m）2=3+（x）2=x2+3.
即y=x2+3.
故答案为：C.
【分析】 由x=2m+1得2m=x，再由y=3+4m=3+（2m）2，然后代入计算即可.
2．若a=522，b=344，c=433，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a【答案】A
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解： a=522=（52）11=2511，
b=344=（34）11=8111，
c=433=（43）11=6411，
∵25＜64＜81，
∴2511＜6411＜ 8111，
即 a故答案为：A.
【分析】将各数化为同一指数，底数大的数就大.
3．从棱长为4a的正方体中，挖去一个棱长为2a的小正方体，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的体积是（　　）
A．4a3 B．8a3 C．56a3 D．58a3
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：根据该几何体的体积=大正方体的体积-小正方体的体积可得，
（4a）3-（2a）3=64a3-8a3=56a3；
故答案为：C.
【分析】结合题意和正方体的体积公式即可列出代数式，根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘和幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，将代数式化简计算即可求解.
4．若（ambn）2=a8b6，那么m2﹣2n的值是（　　）
A．10 B．52 C．20 D．32
【答案】A
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：∵（ambn）2=a2mb2n=a8b6，
∴m=4，n=3，
∴m2﹣2n=42﹣2×3=16﹣6=10．
故选A．
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘计算后，再根据相同字母的次数相等求得m，n的值，再代入计算即可求解．
5．下列计算中正确的是（　　）
A．(ab2)3=ab6 B．(3cd)3=9c3d3
C．(-3a3)2=-9a3 D．(x2y)3=x6y3
【答案】D
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、 (ab2)3=a3b6 ，故不符合题意；
B、 (3cd)3=27c3d3 ，故不符合题意；
C、 (-3a3)2=9a6 ，故不符合题意；
D、 (x2y)3=x6y3 ，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方、幂的乘方分别计算，再判断即可.
6．1993+9319的个位数字是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；探索数与式的规律；幂的乘方
【解析】【分析】∵一个数的乘方的个位数字＝这个数的个位数字的乘方的个位数字。依题意知，
【解答】易知9的n次方的个位数有两种情况，当n是偶数是，其个位数=1，当n为奇数时，个位数=9，∴1993的个位数为9。
而93则考虑个位3的n次方：319=32×9+1=99×3，且99的个位数=9，所以319的个位数=9×3，所以其个位数=7。结合前者9+7=16，∴1993+9319的个位数为6。
【点评】本题难度较高，主要考查学生对幂的乘方的学习。需要进行分析数字n次方下个位数的特殊情况。本题主要围绕9来分析为解题关键。
7．当x=-6，y=时，x2018y2019的值为（　　）
A． B．- C．6 D．-6
【答案】A
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：∵x2018y2019=x2018y2018y，x=-6，y=，
∴原式=（xy）2018y=（-6×）2018 ×=，
故答案为：A.
【分析】先根据同底数幂乘方的逆运算将y2019转化为y2018y，再利用积的乘方的逆运算将原式变形为（xy）2018y，代入已知条件求解即可.
8．已知a=833，b=1625，c=3219，则有（　　）
A．a【答案】C
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：∵a=833=299，b=1625=2100，c=3219=295，
295<299<2100，
c故答案为：C.
【分析】观察a、b、c所表示的幂，底数均为2的的倍数，根据幂的乘方运算法则将它们分别表示为以2为底数的幂，再比较大小即可.
二、填空题
9．已知am=9，an=2，则a2m+n的值为　 　.
【答案】162
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解： a2m+n = a2m·an=(am)2· an=92×2=162.
故答案为：162.
【分析】根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方将式子变形即可求得.
10．已知2a·3b·167c=2004， 其中a， b， c均为正整数，则a+b+c的值为　 　
【答案】4
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：∵ 2004=22×3×167= 2a·3b·167c，
∴a=2，b=1，c=1，
∴ a+b+c =4.
故答案为：4.
【分析】由2004=22×3×167= 2a·3b·167c， 可确定a、b、c的值，再代入计算即可.
11．计算：（2ab2）3=　 　
【答案】8a3b6
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】
（2ab2）3= 8a3b6
答案为：8a3b6
【分析】根据积的乘方，即可解答
12．（2019七上·义乌月考）观察下列各数，按照某种规律在横线上填上一个适当的数。
， ， ， ， ，　 　.
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；幂的乘方
【解析】【解答】解：，,,,
；
由此可得：第n项为, 则第6项为.
故答案为：.
【分析】依次分别求出每项数值和项数的关系，得出一般规律，照此求出第6项数值即可.
13．（2023七上·浦东期中）已知，，求的值是　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ， ，
.
，
.
3n=2m-1，m=2n，
m=2，n=1，
故答案为：3.
【分析】先将两个等式中的幂化同底，再根据指数关系建立关于m，n的方程组，求出m，n即可.
三、解答题
14．若a=255，b=344，c=433，d=522，试比较a，b，c，d的大小。
【答案】解：∵a=（25）11=3211；
b=（34）11=811；
c=（43）1l=6411
d=（52）1l=2511；
∴b>c>a>d
【知识点】有理数大小比较；幂的乘方
【解析】【分析】 观察a、b、c所表示的幂特征，指数均为11的的倍数，根据幂的乘方运算法则将它们分别表示为以11为指数的幂，再比较大小即可.
15．已知16m=4×22n﹣2，27n=9×3m+3，求（n﹣m）2010的值．
【答案】解：∵16m=4×22n﹣2，
∴（24）m=22×22n﹣2，
∴24m=22n﹣2+2，
∴2n﹣2+2=4m，
∴n=2m①，
∵27n=9×3m+3，
∴（33）n=9×3m+3，
∴（33）n=32×3m+3，
∴33n=3m+5，
∴3n=m+5②，
由①②得：
解得：m=1，n=2，
∴（n﹣m）2010
=（2﹣1）2010
=1
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【分析】根据已知得出方程n=2m，3n=m+5，求出方程组的解，最后代入求出即可．
四、综合题
16．（2022·台湾）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品.已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞.
请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂.今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，则k之值为何？
（2）承（1），已知60亿介于与之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？
【答案】（1）解：15天小时小时，
∵1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，
从1个绿藻细胞开始培养，经过20小时分裂成4个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
之值为18；
（2）∵每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，
制作公克的「绿藻粉」需要亿个绿藻细胞，
∵60亿介于与之间，
亿，即亿，
而，
亿，
个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」
【知识点】有理数的乘方法则；幂的乘方
【解析】【分析】（1） 由1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，可知经过15天，即360个小时，分裂成个绿藻细胞 ，即得k值；
（2） 根据每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，60亿介于与之间， 可得 制作公克的「绿藻粉」需要亿个绿藻细胞， 且即亿， 由于，即得个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」.
17．（2023七下·石阡期中）阅读下面的材料：
材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小．
解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
解决下列问题：
（1）比较，，的大小；
（2）比较，，的大小．
【答案】（1）解：∵，
，
，
∵，
∴；
（2）解：∵，
，
，
∵，
∴．
【知识点】幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用幂的乘方计算求解即可；
（2）利用幂的乘方计算求解即可。
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