2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.1.4 多项式的乘法同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2019七下·金坛期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】由多项式乘以多项式法则“用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”即可判断求解.
2．下列各式中，结果是x2+7x-18的是（ ）
A．(x-1)(x+18) B．(x+2)(x+9) C．(x-3)(x+6) D．(x-2)(x+9)
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：A.(x-1)(x+18)=x2+18x-x-18=x2+17x-18，不符合题意；
B.(x+2)(x+9)=x2+9x+2x+18=x2+11x+18，不符合题意；
C.(x-3)(x+6)=x2+6x-3x-18=x2+3x-18，不符合题意；
D.(x-2)(x+9)=x2+9x-2x-18=x2+7x-18，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用多项式乘多项式将各项展开，再逐项判断即可.
3．（2023七下·蜀山期中）已知，若，均为整数，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】
得a+b=c，ab=-8，
a，b均为整数，
a和b是-8的因数，
则a的值可以是-1，-2，-4，1，2，4，8，
而对应b的值是8，4，2，-8，-4，-2，-1，
则c=a+b=-1+8=7
或-2+4=2
或-4+2=-2
或1+（-8）=-7
所以，c的值可以是，不可能是4
故答案是A
【分析】本题考查多项式相乘法则：多项式乘以多项式，先用第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘， 再把所得的积相加。用公式表示：（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd。根据每一项对应相等，得到c和a、b的数量关系即可。
4．（2023七下·石家庄期中）若，则p、q的值是（ ）
A．2， B．， C．，8 D．2，8
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴p=2，q=-8，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
5．若(3x+1)(-2x+5)=-6x2+mx+n，则m的值为（ ）
A．3 B．-2 C．13 D．5
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵ (3x+1)(-2x+5)=-6x2+13x+5= -6x2+mx+n，
∴m=13，n=5，
故答案为：C.
【分析】利用多项式乘多项式法则将等号左边展开，再利用对应系数相等即可求解.
6．下列计算错误的是（ ）
A．(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab B．(x+a)(x-b)=x2+(a-b)x+ab
C．(x-a)(x+b)=x2-(a-b)x-ab D．(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：A、 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，正确，故不符合题意；
B、 (x+a)(x-b)=x2+(a-b)x-ab， 错误，故符合题意；
C、 (x-a)(x+b)=x2-(a-b)x-ab ，正确，故不符合题意；
D、 (x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab ，正确，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用多项式乘多项式将各项展开，再判断即可.
7．如果长方形的长为(4a2-2a+1)，宽为(2a+1)，则这个长方形的面积为（ ）
A．8a3-4a2+2a-1 B．8a3+4a2-2a-1
C．8a3-1 D．8a3+1
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：这个长方形的面积为 (4a2-2a+1)(2a+1)=4a2·(2a+1)-2a(2a+1)+2a+1
= 8a3+1 .
故答案为：D.
【分析】根据长方形的面积=长×宽先列式，再计算即可.
8．如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4，那么m+n+p+q=( )
A．24 B．25
C．26 D．28
【答案】A
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【解析】【分析】由题意m，n，p，q是四个互不相同的正整数，又（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=4，因为4=-1×2×（-2)×1，然后对应求解出m、n、p、q，从而求解．
【解答】∵m，n，p，q互不相同的是正整数，
又（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=4，
∵4=1×4=2×2，
∴4=-1×2×（-2)×1，∴（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=-1×2×（-2)×1，
∴可设6-m=-1，6-n=2，6-p=-2，6-q=1，
∴m=7，n=4，p=8，q=5，
∴m+n+p+q=7+4+8+5=24，
故选A．
【点评】此题是一道竞赛题，难度较大，不能硬解，要学会分析，把4进行分解因式，此题主要考查多项式的乘积，是一道好题
二、填空题
9．（2023七下·石家庄期中）计算： ．
【答案】
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】利用单项式乘多项式法则计算求解即可。
10．（2023七下·吴兴期中）若（x2-x+1）（x-q）的乘积中不含x2项，则q= ．
【答案】-1
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： ∵（x2-x+1）（x-q） =x3-qx2-x2+qx+x-q=x3-（q+1）x2+（q+1）x-q，
又∵ （x2-x+1）（x-q）的乘积中不含x2项 ，
∴-q-1=0，
解得q=-1.
故答案为：-1.
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则将已知式子去括号，再合并同类项化简，进而根据两个式子的乘积中不含x2项，故x2的系数为0，据此列出关于字母q的方程， 求解即可.
11．一块三角形铁板余料的底边长是(2a+6b)米，这边上的高是(4a-5b)米，则这块铁板的面积是
【答案】4a2+7ab-15b2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： 这块铁板的面积为× (2a+6b) · (4a-5b) =4a2+7ab-15b2（平方米）.
故答案为：4a2+7ab-15b2.
【分析】根据三角形的面积公式先列式，再计算即可.
12．如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为(2a+b)，宽为(a+ b)的长方形，则需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张．
【答案】3；3；1
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： 由图形知：1个A类卡片面积a2，1个B类卡片面积ab，1个C类卡片面积b2，
长为(2a+b)，宽为(a+ b)的长方形的面积=(2a+b)(a+ b)=3a2+3ab+b2，
∴需要3张A类卡片，3张B类卡片，1张C类卡片.
故答案为：3，3，1.
【分析】利用矩形的面积=长×宽，求出长方形的面积，根据结果及各类卡片的面积即可求解.
13．定义运算：a b=(a+b)(a-3)，下面给出这种运算的四个结论：①4 5=9；②a b=b a；③若a b=0，则a+b=0；④若a+b=0，则a b=0．其中正确的结论是 (把所有正确结论的序号都填在横线上)
【答案】①④
【知识点】多项式乘多项式；定义新运算
【解析】【解答】解： a b=(a+b)(a-3)，
①4 5=（4+5)(4-3）=9，故正确，
②∵a b=(a+b)(a-3)，b a=(a+b)(b-3) ，
∴ a b≠b a，故错误；
③若a b=0，则 a b=(a+b)(a-3)=0，
∴a+b=0 或a=3，故错误；
④若a+b=0，则a b=(a+b)(a-3)=0， 即a b=0，故正确．
故答案为：①④.
【分析】由a b=(a+b)(a-3)逐项列式计算，再判断即可.
三、解答题
14．一个长方形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)， 将长方形的长和宽各增加2cm．
（1）新长方形的面积比原长方形的面积增加多少？
（2）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求(a-2)(b-2)的值．
【答案】（1）解：新长方形的面积为（a+2）(b+2）=ab+2a+2b+4，
原长方形的面积为ab，
∴新长方形的面积比原长方形的面积增加了（a+2）(b+2）-ab=2a+2b+4（cm2）.
（2）解：∵新长方形的面积是原长方形面积的2倍 ，
∴（a+2）(b+2）=2ab，
∴2a+2b+4=ab，
(a-2)(b-2) =ab-2a-2b+4=2a+2b+4-2a-2b+4=8.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）分别求出新长方形和原长方形的面积，再求其差即可；
（2）由新长方形的面积是原长方形面积的2倍建立等式，再 将(a-2)(b-2) 展开，整体代入即可求值.
15．红枣丰收了，为了运输方便，小华的爸爸打算把一个长为(a+2b) cm、宽为(a+b)cm的长方形纸板制成一个有底无盖的盒子，在长方形的四个角各截去一个边长为 bcm的小正方形，然后沿虚线折起即可，如图所示．
（1）现将盒子的外表面贴上彩纸，用代数式表示至少需要多大面积的彩纸；
（2）当a=8，b=6时，求所需彩纸的面积．
【答案】（1）解：（a+2b-b）（a+b-b）+b(a+2b-b)+b(a+b-b)=a2+b2+3ab（cm2），
∴ 至少需要（a2+b2+3ab）cm2面积的彩纸 ；
（2）解：当a=8，b=6 时，
原式=64+36+144=244cm2.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据图形求出彩纸的面积即可；
（2）把a、b值代入（1）结论计算即可.
四、综合题
16．（2023七下·惠来期末）如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区结果需要化简
（1）求长方形游泳池面积；
（2）求休息区面积；
（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．
【答案】（1）解：长方形游泳池面积为：
平方米
（2）解：长方形空地的面积为：
平方米，
休息区面积
平方米
（3）解：，
休息区的面积大于游泳池面积．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】 （1）根据长方形的面积公式即可得出答案；
（2）根据休息区面积=空地的面积-长方形游泳池的面积，即可得出答案；
（3）将休息区面积-游泳池面积，判断该值与0的关系，即可得出答案.
17．（2023七下·盐田期末）（1）计算：
①；
②．
（2）分别求的值：
①；
②．
（3）已知，、为正整数，求的值．
【答案】（1）解：①原式；
②原式
（2）解：①，
，．
，．
②，
，．
，．
（3）解：由题意得，，
，．
，为正整数，
，；，；，；，；，；，；
，；，；，．
满足题意的为：37，20，15，13，12．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）①利用多项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项；②利用多项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项.
（2）①将等式左边先去括号，再合并同类项，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，然后求出m，n的值；②将等式左边先去括号，再合并同类项，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，然后求出m，n的值.
（3）将等式左边先去括号，再合并同类项，利用对应项的系数相等，可得到关于p，q，n的方程组，再根据P，q为正整数，可得到符合题意的n的值.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.1.4 多项式的乘法同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2019七下·金坛期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，结果是x2+7x-18的是（ ）
A．(x-1)(x+18) B．(x+2)(x+9) C．(x-3)(x+6) D．(x-2)(x+9)
3．（2023七下·蜀山期中）已知，若，均为整数，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·石家庄期中）若，则p、q的值是（ ）
A．2， B．， C．，8 D．2，8
5．若(3x+1)(-2x+5)=-6x2+mx+n，则m的值为（ ）
A．3 B．-2 C．13 D．5
6．下列计算错误的是（ ）
A．(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab B．(x+a)(x-b)=x2+(a-b)x+ab
C．(x-a)(x+b)=x2-(a-b)x-ab D．(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab
7．如果长方形的长为(4a2-2a+1)，宽为(2a+1)，则这个长方形的面积为（ ）
A．8a3-4a2+2a-1 B．8a3+4a2-2a-1
C．8a3-1 D．8a3+1
8．如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4，那么m+n+p+q=( )
A．24 B．25
C．26 D．28
二、填空题
9．（2023七下·石家庄期中）计算： ．
10．（2023七下·吴兴期中）若（x2-x+1）（x-q）的乘积中不含x2项，则q= ．
11．一块三角形铁板余料的底边长是(2a+6b)米，这边上的高是(4a-5b)米，则这块铁板的面积是
12．如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为(2a+b)，宽为(a+ b)的长方形，则需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张．
13．定义运算：a b=(a+b)(a-3)，下面给出这种运算的四个结论：①4 5=9；②a b=b a；③若a b=0，则a+b=0；④若a+b=0，则a b=0．其中正确的结论是 (把所有正确结论的序号都填在横线上)
三、解答题
14．一个长方形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)， 将长方形的长和宽各增加2cm．
（1）新长方形的面积比原长方形的面积增加多少？
（2）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求(a-2)(b-2)的值．
15．红枣丰收了，为了运输方便，小华的爸爸打算把一个长为(a+2b) cm、宽为(a+b)cm的长方形纸板制成一个有底无盖的盒子，在长方形的四个角各截去一个边长为 bcm的小正方形，然后沿虚线折起即可，如图所示．
（1）现将盒子的外表面贴上彩纸，用代数式表示至少需要多大面积的彩纸；
（2）当a=8，b=6时，求所需彩纸的面积．
四、综合题
16．（2023七下·惠来期末）如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区结果需要化简
（1）求长方形游泳池面积；
（2）求休息区面积；
（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．
17．（2023七下·盐田期末）（1）计算：
①；
②．
（2）分别求的值：
①；
②．
（3）已知，、为正整数，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】由多项式乘以多项式法则“用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”即可判断求解.
2．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：A.(x-1)(x+18)=x2+18x-x-18=x2+17x-18，不符合题意；
B.(x+2)(x+9)=x2+9x+2x+18=x2+11x+18，不符合题意；
C.(x-3)(x+6)=x2+6x-3x-18=x2+3x-18，不符合题意；
D.(x-2)(x+9)=x2+9x-2x-18=x2+7x-18，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用多项式乘多项式将各项展开，再逐项判断即可.
3．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】
得a+b=c，ab=-8，
a，b均为整数，
a和b是-8的因数，
则a的值可以是-1，-2，-4，1，2，4，8，
而对应b的值是8，4，2，-8，-4，-2，-1，
则c=a+b=-1+8=7
或-2+4=2
或-4+2=-2
或1+（-8）=-7
所以，c的值可以是，不可能是4
故答案是A
【分析】本题考查多项式相乘法则：多项式乘以多项式，先用第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘， 再把所得的积相加。用公式表示：（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd。根据每一项对应相等，得到c和a、b的数量关系即可。
4．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴p=2，q=-8，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
5．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵ (3x+1)(-2x+5)=-6x2+13x+5= -6x2+mx+n，
∴m=13，n=5，
故答案为：C.
【分析】利用多项式乘多项式法则将等号左边展开，再利用对应系数相等即可求解.
6．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：A、 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，正确，故不符合题意；
B、 (x+a)(x-b)=x2+(a-b)x-ab， 错误，故符合题意；
C、 (x-a)(x+b)=x2-(a-b)x-ab ，正确，故不符合题意；
D、 (x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab ，正确，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用多项式乘多项式将各项展开，再判断即可.
7．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：这个长方形的面积为 (4a2-2a+1)(2a+1)=4a2·(2a+1)-2a(2a+1)+2a+1
= 8a3+1 .
故答案为：D.
【分析】根据长方形的面积=长×宽先列式，再计算即可.
8．【答案】A
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【解析】【分析】由题意m，n，p，q是四个互不相同的正整数，又（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=4，因为4=-1×2×（-2)×1，然后对应求解出m、n、p、q，从而求解．
【解答】∵m，n，p，q互不相同的是正整数，
又（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=4，
∵4=1×4=2×2，
∴4=-1×2×（-2)×1，∴（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=-1×2×（-2)×1，
∴可设6-m=-1，6-n=2，6-p=-2，6-q=1，
∴m=7，n=4，p=8，q=5，
∴m+n+p+q=7+4+8+5=24，
故选A．
【点评】此题是一道竞赛题，难度较大，不能硬解，要学会分析，把4进行分解因式，此题主要考查多项式的乘积，是一道好题
9．【答案】
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】利用单项式乘多项式法则计算求解即可。
10．【答案】-1
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： ∵（x2-x+1）（x-q） =x3-qx2-x2+qx+x-q=x3-（q+1）x2+（q+1）x-q，
又∵ （x2-x+1）（x-q）的乘积中不含x2项 ，
∴-q-1=0，
解得q=-1.
故答案为：-1.
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则将已知式子去括号，再合并同类项化简，进而根据两个式子的乘积中不含x2项，故x2的系数为0，据此列出关于字母q的方程， 求解即可.
11．【答案】4a2+7ab-15b2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： 这块铁板的面积为× (2a+6b) · (4a-5b) =4a2+7ab-15b2（平方米）.
故答案为：4a2+7ab-15b2.
【分析】根据三角形的面积公式先列式，再计算即可.
12．【答案】3；3；1
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： 由图形知：1个A类卡片面积a2，1个B类卡片面积ab，1个C类卡片面积b2，
长为(2a+b)，宽为(a+ b)的长方形的面积=(2a+b)(a+ b)=3a2+3ab+b2，
∴需要3张A类卡片，3张B类卡片，1张C类卡片.
故答案为：3，3，1.
【分析】利用矩形的面积=长×宽，求出长方形的面积，根据结果及各类卡片的面积即可求解.
13．【答案】①④
【知识点】多项式乘多项式；定义新运算
【解析】【解答】解： a b=(a+b)(a-3)，
①4 5=（4+5)(4-3）=9，故正确，
②∵a b=(a+b)(a-3)，b a=(a+b)(b-3) ，
∴ a b≠b a，故错误；
③若a b=0，则 a b=(a+b)(a-3)=0，
∴a+b=0 或a=3，故错误；
④若a+b=0，则a b=(a+b)(a-3)=0， 即a b=0，故正确．
故答案为：①④.
【分析】由a b=(a+b)(a-3)逐项列式计算，再判断即可.
14．【答案】（1）解：新长方形的面积为（a+2）(b+2）=ab+2a+2b+4，
原长方形的面积为ab，
∴新长方形的面积比原长方形的面积增加了（a+2）(b+2）-ab=2a+2b+4（cm2）.
（2）解：∵新长方形的面积是原长方形面积的2倍 ，
∴（a+2）(b+2）=2ab，
∴2a+2b+4=ab，
(a-2)(b-2) =ab-2a-2b+4=2a+2b+4-2a-2b+4=8.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）分别求出新长方形和原长方形的面积，再求其差即可；
（2）由新长方形的面积是原长方形面积的2倍建立等式，再 将(a-2)(b-2) 展开，整体代入即可求值.
15．【答案】（1）解：（a+2b-b）（a+b-b）+b(a+2b-b)+b(a+b-b)=a2+b2+3ab（cm2），
∴ 至少需要（a2+b2+3ab）cm2面积的彩纸 ；
（2）解：当a=8，b=6 时，
原式=64+36+144=244cm2.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据图形求出彩纸的面积即可；
（2）把a、b值代入（1）结论计算即可.
16．【答案】（1）解：长方形游泳池面积为：
平方米
（2）解：长方形空地的面积为：
平方米，
休息区面积
平方米
（3）解：，
休息区的面积大于游泳池面积．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】 （1）根据长方形的面积公式即可得出答案；
（2）根据休息区面积=空地的面积-长方形游泳池的面积，即可得出答案；
（3）将休息区面积-游泳池面积，判断该值与0的关系，即可得出答案.
17．【答案】（1）解：①原式；
②原式
（2）解：①，
，．
，．
②，
，．
，．
（3）解：由题意得，，
，．
，为正整数，
，；，；，；，；，；，；
，；，；，．
满足题意的为：37，20，15，13，12．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）①利用多项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项；②利用多项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项.
（2）①将等式左边先去括号，再合并同类项，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，然后求出m，n的值；②将等式左边先去括号，再合并同类项，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，然后求出m，n的值.
（3）将等式左边先去括号，再合并同类项，利用对应项的系数相等，可得到关于p，q，n的方程组，再根据P，q为正整数，可得到符合题意的n的值.
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