2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.1.4 多项式的乘法同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·沧州月考）要使多项式不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得，
∵要使多项式不含x的一次项，
∴m-2=0，
即m=2，
故答案为：C
【分析】先化简多项式，进而根据题意即可求解。
2．（2023八上·长沙期中）若的积中不含的一次项，那么与一定是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．比大
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】
的积中不含的一次项，
a-b=0，
解得：a=b，
故答案为：C.
【分析】先利用多项式乘多项式法则展开并整理，再根据的积中不含的一次项，得到a、b的方程，解方程即可求解.
3．（2023八上·潮南月考）已知(x+a)(x+b)=x2+mx+24，其中a，b为整数，则整数m可能的取值有（ ）个.
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+mx+24 ，
∴ a+b=m，ab=24，
则a=1， b=24，则a+b=25；a=24， b=1，则a+b=25；
a=-1， b=-24，则a+b=-25；a=-24， b=-1，则a+b=-25；
a=2， b=12，则a+b=14；a=12， b=2，则a+b=14；
a=-2， b=-12，则a+b=-14；a=-12， b=-2，则a+b=-14；
a=3， b=8，则a+b=11；a=8， b=3，则a+b=11；
a=-3， b=-8，则a+b=-11；a=-8， b=-3，则a+b=-11；
a=4， b=6，则a+b=10；a=6， b=4，则a+b=10；
a=-4， b=-6，则a+b=-10；a=-6， b=-4，则a+b=-10；
综上，m=25，-25，14，-14，11，-11，10，-11.
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘多项式，展开式中各项对应相等得到 a+b=m，ab=24，再列出所有情况即可求得.
4．如图1，有边长分别为a和b（a>b）的A类和B类正方形纸片、长为a、宽为b的C类矩形纸片若干张，要拼一个边长为a+b的正方形（如图2所示），则需要1张A类纸片、1张B类纸片和⒉张C类纸片.若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵A类正方形的边长为a，B类正方形的边长为b，C类长方形的边长分别为a和b
∴A类正方形的面积为a2，B类正方形的面积为b2，C类长方形的边面积分别为ab
∴要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形的面积为(3a+b)(2a+2b)=
∴需要C类纸片8张。
故答案为：C.
【分析】根据矩形的面积公式列出式子，再根据多项式乘以多项式法则展开，最后合并同类项化简，即可得出答案.
5．(x-a)(x2+ax+a2)的计算结果是（ ）
A．x3+2ax+a3 B．x3-a3 C．x3+2a2x+a3 D．x2+2ax2+a3
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： (x-a)(x2+ax+a2)=x3+ax2+a2x-ax2-a2x-a3=x3-a3.
故答案为：B.
【分析】利用多项式乘多项式法则进行计算，再判断即可.
6．（2019七下·漳州期末）我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在 为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按 的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则 展开式中含 项的系数是
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意， ，
可知，展开式中第二项为
展开式中含 项的系数是2019.
故答案为： D .
【分析】根据表中系数找出规律，根据x2018是（x+1）2019的展开式中的第二项，即可可解决问题.
7．（2021七上·沙坪坝期末）如图1的8张宽为a，长为 的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：设左上角阴影部分的面积为 ，右下角的阴影部分的面积为 ，
S1=（BC-3 ）× ，S2=（BC- ）×5
=（BC -3 ）× -(BC- ）×5 .
=
=
当 的长度变化时，按照同样的放置方式， 始终保持不变，
，
.
故答案为： .
【分析】 分别表示出左上角阴影部分的面积S1和右下角的阴影部分的面积S2，两者求差，根据当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即与BC无关，则可求得a与b的数量关系．
8．（2023七下·镇海期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了(a+b)n展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式 中 项的系数为（ ）
A．80 B．60 C．40 D．20
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由已知规律得：（x2+1）5=x10+5x8+10x6+10x4+5x2+1，
∴ = （x10+5x8+10x6+10x4+5x2+1）=3x12+15x10+30x8+
30x6+15x4+3x2+2x11+10x9+20x7+20x5+10x3+2x+x10+5x8+10x6+10x4+5x2+1，
∴30x6+10x6=40x6+，
∴项的系数为40.
故答案为：C.
【分析】由已知规律得（x2+1）5=x10+5x8+10x6+10x4+5x2+1，再利用多项式乘多项式法则将原式= （x10+5x8+10x6+10x4+5x2+1）进行展开，再将 项的系数相加即可.
二、填空题
9．（2022八上·津南期中）若．则m＝ ．
【答案】-5
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：等式左边
故由题意有：
∴，解得．
故答案为：
【分析】将等式左边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件即可求出m值.
10．（2023八上·泸州期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图一）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6…）的展开式的系数规律．请你仔细观察下表中的规律，按照上述规律，则（a+b）6展开式中第二项的系数是 ；（a+b）98展开式中第三项的系数是 ．
【答案】6；4753
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意得：展开式中各项系数为：1，2，1，
展开式中各项系数为：1，3，3，1，
展开式中各项系数为：1，4，6，4，1，
展开式中各项系数为：1，5，10，10，5，1，
展开式中各项系数为：1，6，15，20，15，6，1，
∴展开式中第二项的系数是6；
∵展开式中第三项的系数是，
展开式中第三项的系数是，
展开式中第三项的系数是，
展开式中第三项的系数是，
…，
∴展开式中第三项的系数是，
故答案为：6，4753．
【分析】根据已知等式总结出规律：展开式中第二项的系数等于指数n，展开式中第三项的系数等于1+2+3+...+(n-1)．
11．（2023八上·衡阳月考）已知的展开式中不含和项，则 ．
【答案】10
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∴m-3=0，2-3m+n=0
∴m=3，n=7
∴m+n=10
故答案为：10.
【分析】本题考查整式乘法的计算方法，熟知整式乘法中多项式乘以多项式计算法则是解题关键，根据多项式乘以多项式计算法则展开合并，结合展开式中不含，可得m-3=0，2-3m+n=0解得m，n的值，即可得出答案.
12．（2022七下·义乌期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（a≠b），如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则不同的选取方案有 种．
【答案】9
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：①∵（a+b）（a+5b）＝a2+6ab+5b2，
∴1张A类卡片，6张C类卡片，5张B类卡片，共12张，
②∵（a+b）（5a+b）＝5a2+6ab+b2，
∴5张A类卡片，6张C类卡片，1张B类卡片，共12张，
③∵（a+b）（2a+4b）＝2a2+6ab+4b2，
∴2张A类卡片，6张C类卡片，4张B类卡片，共12张，
④∵（a+b）（4a+2b）＝4a2+6ab+2b2，
∴4张A类卡片，6张C类卡片，2张B类卡片，共12张，
⑤∵（a+b）（3a+3b）＝3a2+6ab+3b2，
∴3张A类卡片，6张C类卡片，3张B类卡片，共12张，
⑥∵（a+2b）（a+3b）＝a2+5ab+6b2，
∴1张A类卡片，5张C类卡片，6张B类卡片，共12张，
⑦∵（a+2b）（3a+b）＝3a2+7ab+2b2，
∴3张A类卡片，7张C类卡片，2张B类卡片，共12张，
⑧∵（a+2b）（2a+2b）＝2a2+6ab+4b2，
∴2张A类卡片，6张C类卡片，4张B类卡片，共12张，
⑨∵（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2，
∴2张A类卡片，7张C类卡片，3张B类卡片，共12张，
⑩∵（2a+b）（3a+b）＝6a2+5ab+b2，
∴6张A类卡片，5张C类卡片，1张B类卡片，共12张，
∵（2a+b）（2a+2b）＝4a2+6ab+2b2，
∴4张A类卡片，6张C类卡片，2张B类卡片，共12张，
∵③和⑧是重复的，④和 是重复的，
∴一共有9种方案.
故答案为：9.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，结合三类卡片共有12张，列出关于不同类型卡片面积的多项式，确定符合题意的方案即可.
13．（2021七下·昌平期末）用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为 ， 的正方形和长为 宽为 的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为： ．
（1）图3可以解释为等式： ；
（2）要拼出一个两边长为 ， 的长方形，先回答需要以下三种纸片各多少块，再用画图或整式乘法验证你的结论；
块， 块， 块
（3）如图4，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，若用 ， （ ）表示四个相同小长方形的两边长，以下关系式正确的是 （填序号）．① ；② ；③ ；④ ．
【答案】（1）2a2+5ab+2b2
（2）3；4；1
（3）①③
【知识点】列式表示数量关系；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1） =2a2+5ab+2b2，故答案为：2a2+5ab+2b2（2）因为 =3a2+4ab+b2，所以需要a×a的3块，a×b的4块，b×b的1块，
故答案为：3，4，1．（3）由图4可知，m=x+y，n=x-y，所以①正确；
因为m2-n2= =2x 2y=4xy，所以②不正确；
因为mn= =x2-y2，所以③正确；
因为 ，所以④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
【分析】（1）图3是长为（a+2b），宽为（2a+b）的矩形，根据矩形面积可得出等式；
（2）计算出（a+b）（3a+b）的结果，即可得出答案；
（3）根据图4得出 ，n=x-y，再依据公式进行恒等变形即可。
三、解答题
14．（2017七下·武进期中）教材中，在计算如图1所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：
（1）把它看成是一个大正方形，则它的面积为 ；
（2）把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为 ；因此，可得到等式： .
① 类比教材中的方法，由图2中的大正方形可得等式： .
② 试在图2右边空白处画出面积为 的长方形的示意图（标注好a、b），由图形可知，多项式 可分解因式为： ．
在上方空白处画出②中的示意图
③ 若将代数式 展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N的项数一共有 项.
【答案】①（a＋b＋c）2=a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
②2a2＋3ab＋b2=（2a＋b）（a＋b）
③210
【知识点】多项式乘多项式；探索图形规律
【解析】【解答】解：⑵①根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
②根据长方形的面积公式与长，宽之间的关系画出图形即可；
③由 ，共有 项. 共有 项.
知 展开后合并同类项共
【分析】根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；根据长方形的面积公式与长，宽之间的关系画出图形即可.
15．（2023八下·锦州期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释如图，有足够多的，，三种纸片：种是边长为的正方形，种是边长为的正方形，种是宽为，长为的长方形用种纸片张，种纸片张，种纸片张可以拼出不重不漏如图所示的正方形根据正方形的面积，可以用来解释整式乘法，反过来也可以解释多项式，因式分解的结果为，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：
（1）若多项式表示分别由，，张，，三种纸片拼出如图所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式进行因式分解；
（2）我们可以借助图再拼出一个更大的长方形，使该长方形刚好由张种纸片，张种纸片，张种纸片拼成，那么这个长方形的面积可以表示为多项式 ，据此可得到该多项式因式分解的结果为 ．
【答案】（1）解：根据图形可知这个长方形的长是，宽是，
；
（2）；
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（2） 根据长方形刚好由3张A种纸片，2张B种纸片，7张C种纸片拼成，
则这个长方形的面积可以表示为多项式3m2+7mn+2n2，
∴3m2+7mn+2n2=（m+2n）（3m+n），
故答案为：3m2+7mn+2n2，（m+2n）（3m+n）．
【分析】 （1）根据A，B，C三种纸片的边长即可求出图2中长方形的长和宽，根据长方形的面积求法进行因式分解；
（2）根据长方形由3张A种纸片，2张B种纸片，7张C种纸片拼成，求出这个长方形的面积，然后进行因式分解．
四、综合题
16．（2023七下·即墨期末）
（1）计算观察下列各式填空：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ．
（3）利用（2）的猜想结论计算： ．
（4）扩展与应用： ．
【答案】（1）；；
（2）
（3）
（4）
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
（1）第1个：；
第2个：；
第3个：；
故答案为：；；；
（2）由（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，
若n为大于1的正整数，
则，
故答案为：；
（3）
，
故答案为：；
（4）
故答案为：．
【分析】
（1）根据整式的运算法则和公式进行计算即可。
（2）运用（1）中规律，推导出结果。
（3）（4）根据（2）中规律，运用添项法求出（3）、（4）结果。
17．（2023七下·顺义期末）18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即．例如：当i=1时，．
（1）①，②，③中和为45的是 ；（填写编号）
（2） ；
（3） ；（用含n的式子表示）
（4）若，则 ， ， ．
【答案】（1）①③
（2）15
（3）
（4）4；；20
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1） =1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
②=9+10+11+12=42，
③=14+15+16=45，
∴和为45的是①③，
故答案为：①③；
（2） =(1+3)+(1+4)+(1+5)=15，
故答案为：15；
（3） =(2-3)+(2-4)+(2-5)+…+(2-n)
=2(n-2)-3-4-5-……-n
=2(n-2)-(3+4+5+……+n)
=2(n-2)-
=；
故答案为：；
（4）∵3x2+px+m中二次项系数为3，
∴n=4，
∴=(x-2)(x-1)+(x-3)(x-2)+(x-4)(x-3)
=x2-3x+2+x2-5x+6+x2-7x+12
= 3x2-15x+20，
∵，
∴3x2-15x+20=3x2+px+m，
∴p=-15，m=20，
故答案为：4；-15；20.
【分析】（1）根据题意，利用有理数的加法法则计算求解即可；
（2）根据题意，利用有理数的加法法则计算求解即可；
（3）根据题意，利用有理数的加减法则计算求解即可；
（4）利用多项式乘多项式法则计算求解即可。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.1.4 多项式的乘法同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·沧州月考）要使多项式不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
2．（2023八上·长沙期中）若的积中不含的一次项，那么与一定是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．比大
3．（2023八上·潮南月考）已知(x+a)(x+b)=x2+mx+24，其中a，b为整数，则整数m可能的取值有（ ）个.
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图1，有边长分别为a和b（a>b）的A类和B类正方形纸片、长为a、宽为b的C类矩形纸片若干张，要拼一个边长为a+b的正方形（如图2所示），则需要1张A类纸片、1张B类纸片和⒉张C类纸片.若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．(x-a)(x2+ax+a2)的计算结果是（ ）
A．x3+2ax+a3 B．x3-a3 C．x3+2a2x+a3 D．x2+2ax2+a3
6．（2019七下·漳州期末）我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在 为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按 的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则 展开式中含 项的系数是
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
7．（2021七上·沙坪坝期末）如图1的8张宽为a，长为 的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·镇海期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了(a+b)n展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式 中 项的系数为（ ）
A．80 B．60 C．40 D．20
二、填空题
9．（2022八上·津南期中）若．则m＝ ．
10．（2023八上·泸州期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图一）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6…）的展开式的系数规律．请你仔细观察下表中的规律，按照上述规律，则（a+b）6展开式中第二项的系数是 ；（a+b）98展开式中第三项的系数是 ．
11．（2023八上·衡阳月考）已知的展开式中不含和项，则 ．
12．（2022七下·义乌期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（a≠b），如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则不同的选取方案有 种．
13．（2021七下·昌平期末）用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为 ， 的正方形和长为 宽为 的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为： ．
（1）图3可以解释为等式： ；
（2）要拼出一个两边长为 ， 的长方形，先回答需要以下三种纸片各多少块，再用画图或整式乘法验证你的结论；
块， 块， 块
（3）如图4，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，若用 ， （ ）表示四个相同小长方形的两边长，以下关系式正确的是 （填序号）．① ；② ；③ ；④ ．
三、解答题
14．（2017七下·武进期中）教材中，在计算如图1所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：
（1）把它看成是一个大正方形，则它的面积为 ；
（2）把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为 ；因此，可得到等式： .
① 类比教材中的方法，由图2中的大正方形可得等式： .
② 试在图2右边空白处画出面积为 的长方形的示意图（标注好a、b），由图形可知，多项式 可分解因式为： ．
在上方空白处画出②中的示意图
③ 若将代数式 展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N的项数一共有 项.
15．（2023八下·锦州期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释如图，有足够多的，，三种纸片：种是边长为的正方形，种是边长为的正方形，种是宽为，长为的长方形用种纸片张，种纸片张，种纸片张可以拼出不重不漏如图所示的正方形根据正方形的面积，可以用来解释整式乘法，反过来也可以解释多项式，因式分解的结果为，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：
（1）若多项式表示分别由，，张，，三种纸片拼出如图所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式进行因式分解；
（2）我们可以借助图再拼出一个更大的长方形，使该长方形刚好由张种纸片，张种纸片，张种纸片拼成，那么这个长方形的面积可以表示为多项式 ，据此可得到该多项式因式分解的结果为 ．
四、综合题
16．（2023七下·即墨期末）
（1）计算观察下列各式填空：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ．
（3）利用（2）的猜想结论计算： ．
（4）扩展与应用： ．
17．（2023七下·顺义期末）18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即．例如：当i=1时，．
（1）①，②，③中和为45的是 ；（填写编号）
（2） ；
（3） ；（用含n的式子表示）
（4）若，则 ， ， ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得，
∵要使多项式不含x的一次项，
∴m-2=0，
即m=2，
故答案为：C
【分析】先化简多项式，进而根据题意即可求解。
2．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】
的积中不含的一次项，
a-b=0，
解得：a=b，
故答案为：C.
【分析】先利用多项式乘多项式法则展开并整理，再根据的积中不含的一次项，得到a、b的方程，解方程即可求解.
3．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+mx+24 ，
∴ a+b=m，ab=24，
则a=1， b=24，则a+b=25；a=24， b=1，则a+b=25；
a=-1， b=-24，则a+b=-25；a=-24， b=-1，则a+b=-25；
a=2， b=12，则a+b=14；a=12， b=2，则a+b=14；
a=-2， b=-12，则a+b=-14；a=-12， b=-2，则a+b=-14；
a=3， b=8，则a+b=11；a=8， b=3，则a+b=11；
a=-3， b=-8，则a+b=-11；a=-8， b=-3，则a+b=-11；
a=4， b=6，则a+b=10；a=6， b=4，则a+b=10；
a=-4， b=-6，则a+b=-10；a=-6， b=-4，则a+b=-10；
综上，m=25，-25，14，-14，11，-11，10，-11.
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘多项式，展开式中各项对应相等得到 a+b=m，ab=24，再列出所有情况即可求得.
4．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵A类正方形的边长为a，B类正方形的边长为b，C类长方形的边长分别为a和b
∴A类正方形的面积为a2，B类正方形的面积为b2，C类长方形的边面积分别为ab
∴要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形的面积为(3a+b)(2a+2b)=
∴需要C类纸片8张。
故答案为：C.
【分析】根据矩形的面积公式列出式子，再根据多项式乘以多项式法则展开，最后合并同类项化简，即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： (x-a)(x2+ax+a2)=x3+ax2+a2x-ax2-a2x-a3=x3-a3.
故答案为：B.
【分析】利用多项式乘多项式法则进行计算，再判断即可.
6．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意， ，
可知，展开式中第二项为
展开式中含 项的系数是2019.
故答案为： D .
【分析】根据表中系数找出规律，根据x2018是（x+1）2019的展开式中的第二项，即可可解决问题.
7．【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：设左上角阴影部分的面积为 ，右下角的阴影部分的面积为 ，
S1=（BC-3 ）× ，S2=（BC- ）×5
=（BC -3 ）× -(BC- ）×5 .
=
=
当 的长度变化时，按照同样的放置方式， 始终保持不变，
，
.
故答案为： .
【分析】 分别表示出左上角阴影部分的面积S1和右下角的阴影部分的面积S2，两者求差，根据当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即与BC无关，则可求得a与b的数量关系．
8．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由已知规律得：（x2+1）5=x10+5x8+10x6+10x4+5x2+1，
∴ = （x10+5x8+10x6+10x4+5x2+1）=3x12+15x10+30x8+
30x6+15x4+3x2+2x11+10x9+20x7+20x5+10x3+2x+x10+5x8+10x6+10x4+5x2+1，
∴30x6+10x6=40x6+，
∴项的系数为40.
故答案为：C.
【分析】由已知规律得（x2+1）5=x10+5x8+10x6+10x4+5x2+1，再利用多项式乘多项式法则将原式= （x10+5x8+10x6+10x4+5x2+1）进行展开，再将 项的系数相加即可.
9．【答案】-5
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：等式左边
故由题意有：
∴，解得．
故答案为：
【分析】将等式左边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件即可求出m值.
10．【答案】6；4753
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意得：展开式中各项系数为：1，2，1，
展开式中各项系数为：1，3，3，1，
展开式中各项系数为：1，4，6，4，1，
展开式中各项系数为：1，5，10，10，5，1，
展开式中各项系数为：1，6，15，20，15，6，1，
∴展开式中第二项的系数是6；
∵展开式中第三项的系数是，
展开式中第三项的系数是，
展开式中第三项的系数是，
展开式中第三项的系数是，
…，
∴展开式中第三项的系数是，
故答案为：6，4753．
【分析】根据已知等式总结出规律：展开式中第二项的系数等于指数n，展开式中第三项的系数等于1+2+3+...+(n-1)．
11．【答案】10
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∴m-3=0，2-3m+n=0
∴m=3，n=7
∴m+n=10
故答案为：10.
【分析】本题考查整式乘法的计算方法，熟知整式乘法中多项式乘以多项式计算法则是解题关键，根据多项式乘以多项式计算法则展开合并，结合展开式中不含，可得m-3=0，2-3m+n=0解得m，n的值，即可得出答案.
12．【答案】9
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：①∵（a+b）（a+5b）＝a2+6ab+5b2，
∴1张A类卡片，6张C类卡片，5张B类卡片，共12张，
②∵（a+b）（5a+b）＝5a2+6ab+b2，
∴5张A类卡片，6张C类卡片，1张B类卡片，共12张，
③∵（a+b）（2a+4b）＝2a2+6ab+4b2，
∴2张A类卡片，6张C类卡片，4张B类卡片，共12张，
④∵（a+b）（4a+2b）＝4a2+6ab+2b2，
∴4张A类卡片，6张C类卡片，2张B类卡片，共12张，
⑤∵（a+b）（3a+3b）＝3a2+6ab+3b2，
∴3张A类卡片，6张C类卡片，3张B类卡片，共12张，
⑥∵（a+2b）（a+3b）＝a2+5ab+6b2，
∴1张A类卡片，5张C类卡片，6张B类卡片，共12张，
⑦∵（a+2b）（3a+b）＝3a2+7ab+2b2，
∴3张A类卡片，7张C类卡片，2张B类卡片，共12张，
⑧∵（a+2b）（2a+2b）＝2a2+6ab+4b2，
∴2张A类卡片，6张C类卡片，4张B类卡片，共12张，
⑨∵（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2，
∴2张A类卡片，7张C类卡片，3张B类卡片，共12张，
⑩∵（2a+b）（3a+b）＝6a2+5ab+b2，
∴6张A类卡片，5张C类卡片，1张B类卡片，共12张，
∵（2a+b）（2a+2b）＝4a2+6ab+2b2，
∴4张A类卡片，6张C类卡片，2张B类卡片，共12张，
∵③和⑧是重复的，④和 是重复的，
∴一共有9种方案.
故答案为：9.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，结合三类卡片共有12张，列出关于不同类型卡片面积的多项式，确定符合题意的方案即可.
13．【答案】（1）2a2+5ab+2b2
（2）3；4；1
（3）①③
【知识点】列式表示数量关系；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1） =2a2+5ab+2b2，故答案为：2a2+5ab+2b2（2）因为 =3a2+4ab+b2，所以需要a×a的3块，a×b的4块，b×b的1块，
故答案为：3，4，1．（3）由图4可知，m=x+y，n=x-y，所以①正确；
因为m2-n2= =2x 2y=4xy，所以②不正确；
因为mn= =x2-y2，所以③正确；
因为 ，所以④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
【分析】（1）图3是长为（a+2b），宽为（2a+b）的矩形，根据矩形面积可得出等式；
（2）计算出（a+b）（3a+b）的结果，即可得出答案；
（3）根据图4得出 ，n=x-y，再依据公式进行恒等变形即可。
14．【答案】①（a＋b＋c）2=a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
②2a2＋3ab＋b2=（2a＋b）（a＋b）
③210
【知识点】多项式乘多项式；探索图形规律
【解析】【解答】解：⑵①根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
②根据长方形的面积公式与长，宽之间的关系画出图形即可；
③由 ，共有 项. 共有 项.
知 展开后合并同类项共
【分析】根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；根据长方形的面积公式与长，宽之间的关系画出图形即可.
15．【答案】（1）解：根据图形可知这个长方形的长是，宽是，
；
（2）；
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（2） 根据长方形刚好由3张A种纸片，2张B种纸片，7张C种纸片拼成，
则这个长方形的面积可以表示为多项式3m2+7mn+2n2，
∴3m2+7mn+2n2=（m+2n）（3m+n），
故答案为：3m2+7mn+2n2，（m+2n）（3m+n）．
【分析】 （1）根据A，B，C三种纸片的边长即可求出图2中长方形的长和宽，根据长方形的面积求法进行因式分解；
（2）根据长方形由3张A种纸片，2张B种纸片，7张C种纸片拼成，求出这个长方形的面积，然后进行因式分解．
16．【答案】（1）；；
（2）
（3）
（4）
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
（1）第1个：；
第2个：；
第3个：；
故答案为：；；；
（2）由（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，
若n为大于1的正整数，
则，
故答案为：；
（3）
，
故答案为：；
（4）
故答案为：．
【分析】
（1）根据整式的运算法则和公式进行计算即可。
（2）运用（1）中规律，推导出结果。
（3）（4）根据（2）中规律，运用添项法求出（3）、（4）结果。
17．【答案】（1）①③
（2）15
（3）
（4）4；；20
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1） =1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
②=9+10+11+12=42，
③=14+15+16=45，
∴和为45的是①③，
故答案为：①③；
（2） =(1+3)+(1+4)+(1+5)=15，
故答案为：15；
（3） =(2-3)+(2-4)+(2-5)+…+(2-n)
=2(n-2)-3-4-5-……-n
=2(n-2)-(3+4+5+……+n)
=2(n-2)-
=；
故答案为：；
（4）∵3x2+px+m中二次项系数为3，
∴n=4，
∴=(x-2)(x-1)+(x-3)(x-2)+(x-4)(x-3)
=x2-3x+2+x2-5x+6+x2-7x+12
= 3x2-15x+20，
∵，
∴3x2-15x+20=3x2+px+m，
∴p=-15，m=20，
故答案为：4；-15；20.
【分析】（1）根据题意，利用有理数的加法法则计算求解即可；
（2）根据题意，利用有理数的加法法则计算求解即可；
（3）根据题意，利用有理数的加减法则计算求解即可；
（4）利用多项式乘多项式法则计算求解即可。
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