2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.2.1 平方差公式同步分层训练基础题
一、选择题
1．计算(2x-5)(2x-5)的结果是（ ）
A．4x2-5 B．4x2-25 C．25-4x2 D．4x2+25
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=4x2-25.
故答案为：B.
【分析】利用平方差公式计算即可.
2．若a2-b2=，a-b=，则a+b的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： ∵a2-b2=，a-b=，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=（a+b）=，
∴ a+b=.
【分析】利用平方差公式将原式变形为a2-b2=（a+b）（a-b）=，再代入计算即可.
3．（2023七下·海港期末）如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为x的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，x的恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，左图可表示阴影部分的面积为，
由右图可表示阴影部分的面积为：，
∴
故答案为：D.
【分析】 分别列式表示出两图中阴影部分的面积，则可选出正确的结果.
4．（2023七下·南京期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：能用平方差公式计算的是(a+b)(a-b).
故答案为：B.
【分析】平方差公式表示两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，可表示为(a+b)(a-b)=a2-b2，据此判断即可.
5．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．无法确定
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积=a2﹣b2；
第二个图形是梯形，则面积是 （2a+2b） （a﹣b）=（a+b）（a﹣b）．
则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选C．
【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．
6．边长为m的正方形边长增加n以后，所得较大正方形的面积比原正方形面积增加了（ ）
A．n2 B．2mn C．2mn-n2 D．2mn+n2
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：新正方形的边长为m+n，
∴ 较大正方形的面积比原正方形面积增加了（m+n）2-m2=（m+n+m）（m+n-m）=2mn+n2 .
故答案为：D.
【分析】利用新正方形的面积减去原正方形的面积即可求解.
7．（2022七下·济南期末）观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1：长方形的面积为：（a+b）（a-b），
图2：剪掉边长为b的正方形的面积为：a2-b2，
所以从图1到图2可用式子表示为：（a+b）（a-b）=a2-b2．
故答案为：A．
【分析】由于两个图形的面积相等，正好验证出平方差公式。
8．（2023七下·坪山月考）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户王老汉，第二年，他对王老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得王老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：矩形的面积为(a +6)(a-6)=a2- 36，
∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米；
故答案为：C.
【分析】根据矩形面积及平方差公式可得出答案.
二、填空题
9．（2023七下·惠来期末）已知：，，则 ．
【答案】-10
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 解：当x+y=-5，x-y=2时，
原式=（x+y）·（x-y）
=-5×2
=-10．
故答案为：-10．
【分析】 根据平方差公式 变形，整体代入求值即可得出答案．
10．（2020七下·龙泉驿期中）计算：（a+1）（a﹣1）= .
【答案】a2﹣1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】（a+1）（a﹣1）=a2﹣1，
故答案为：a2﹣1.
【分析】直接根据平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2进行计算即可.
11．已知a+b=3，ab=﹣2，则a2+b2的值是 ．
【答案】13
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a+b=3，ab=﹣2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×（﹣2）=9+4=13．
故答案为：13
【分析】首先根据完全平方公式将a2+b2用（a+b）与ab的代数式表示，然后把a+b，ab的值整体代入求值．
12．请你观察如图的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个非常熟悉的乘法公式，这个公式是 .
【答案】x2-y2=（x+y）（x-y）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：左图中L型面积为x2-y2，右图中长方形的面积为（x+y）（x-y），
由图形可知：x2-y2=（x+y）（x-y）；
故答案为：x2-y2=（x+y）（x-y）.
【分析】根据左图中大正方形的面积=左侧长方形的面积，据此即得结论.
13．填空：
（1）( x+y)( )=x2-y2
（2）( )( m+n)= m2-n2．
（3） (-5s+6t)( )= 25s2-36t2．
（4）( + )( -)=x2-
【答案】（1）x-y
（2）m-n
（3）-5s+6t
（4）x；x
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1） ( x+y)( x-y)=x2-y2，
故答案为： x-y；
（2） (m-n)( m+n)= m2-n2．
故答案为：m-n；
（3） (-5s+6t)(-5s-6t)= 25s2-36t2．
故答案为：-5s+6t；
（4） ( +x)(x-)=x2-；
故答案为：x；x.
【分析】利用平方差公式分别填空即可.
三、解答题
14． 通过学习，同学们已经体会到灵活运用乘法公式使整式的乘法运算方便、快捷．相信通过对下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算：．
解：，
①
②
．
（1）例题求解过程中，由①到②变形是利用 （填乘法公式的名称）．
（2）用简便方法计算：．
【答案】（1）平方差公式
（2）解：，
=，
=，
=，
=．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）例题求解过程中，由①到②变形是利用平方差公式计算的；
故答案为： 平方差公式 .
【分析】（1）平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，据此解答即可；
（2） 将原式化为， 再利用平方差公式依次计算即可.
15．（2023七下·正定期末）如图，将两个长方形用不同方式拼成图和图两个图形．
（1）若图中的阴影部分面积为，则图中的阴影部分面积为 用含字母，的代数式表示；
（2）由你可以得到的等式是 ；
（3）根据你所得到的等式解决下面的问题：
若，，则_▲_ ；
计算：．
解方程：．
【答案】（1）
（2）
（3）
；
，
，
，
．
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】 (1)、 ，
(2)、，
(3)、①，
，
∴，
，
，
，
．
【分析】 (1)、 根据长方形面积公式表示出即可.
(2)、 根据阴影面积相等列出等式即可.
(3)、 根据平方差公式变形求解即可.
四、综合题
16．（2023七下·东源期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
（1）请你表示出图①中阴影部分的面积 ；
请你表示出图②中阴影部分的面 ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ；
（3）请应用公式计算：．
【答案】（1）；
（2）(a+b)(a-b)=a2-b2
（3）解：应用乘法公式得：
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①中：大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
；
图②中：大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
阴影部分长方形的长为(a+b），宽为（a-b），
.
故答案为：；；
（2）由图可知，两图的阴影部分面积相等，故(a+b)(a-b)=a2-b2.
故答案为：(a+b)(a-b)=a2-b2；
【分析】（1）利用割补法可知，图①阴影部分面积可看成是大正方形面积减去小正方形面积，再利用正方形的面积公式表示出阴影部分面积；图②阴影部分面积可看出一个长方形，先求得长方形的长与宽，再表示出长方形的面积；
（2）图②的阴影部分面积是由图①的两个小长方形拼接而成的，故两图的阴影部分面积相等，据此可得乘法公式
（3）先利用平方差公式对括号内的整式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可得出答案.
17．（2023七下·七星关期末）探究活动：
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 ．
（4）计算：①；
②．
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：
（4）解：①，
，
；
②，
，
．
【知识点】列式表示数量关系；平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）利用割补法可得阴影部分的面积为：；
故答案为：
（2）根据重新拼接的图形可得长为（a+b），宽为（a-b），
∴长方形的面积为；
故答案为：；
（3）根据两幅图中阴影部分的面积相等可得；
故答案为：.
【分析】（1）利用割补法求出阴影部分的面积即可；
（2）利用长方形的面积公式求解即可；
（3）根据两幅图中阴影部分的面积相等可得答案；
（4）①将代数式变形为，再利用平方差公式及完全平方计算即可；
②将代数式变形为，再利用平方差公式及完全平方计算即可.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.2.1 平方差公式同步分层训练基础题
一、选择题
1．计算(2x-5)(2x-5)的结果是（ ）
A．4x2-5 B．4x2-25 C．25-4x2 D．4x2+25
2．若a2-b2=，a-b=，则a+b的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2023七下·海港期末）如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为x的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，x的恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·南京期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．无法确定
6．边长为m的正方形边长增加n以后，所得较大正方形的面积比原正方形面积增加了（ ）
A．n2 B．2mn C．2mn-n2 D．2mn+n2
7．（2022七下·济南期末）观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
8．（2023七下·坪山月考）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户王老汉，第二年，他对王老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得王老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
二、填空题
9．（2023七下·惠来期末）已知：，，则 ．
10．（2020七下·龙泉驿期中）计算：（a+1）（a﹣1）= .
11．已知a+b=3，ab=﹣2，则a2+b2的值是 ．
12．请你观察如图的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个非常熟悉的乘法公式，这个公式是 .
13．填空：
（1）( x+y)( )=x2-y2
（2）( )( m+n)= m2-n2．
（3） (-5s+6t)( )= 25s2-36t2．
（4）( + )( -)=x2-
三、解答题
14． 通过学习，同学们已经体会到灵活运用乘法公式使整式的乘法运算方便、快捷．相信通过对下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算：．
解：，
①
②
．
（1）例题求解过程中，由①到②变形是利用 （填乘法公式的名称）．
（2）用简便方法计算：．
15．（2023七下·正定期末）如图，将两个长方形用不同方式拼成图和图两个图形．
（1）若图中的阴影部分面积为，则图中的阴影部分面积为 用含字母，的代数式表示；
（2）由你可以得到的等式是 ；
（3）根据你所得到的等式解决下面的问题：
若，，则_▲_ ；
计算：．
解方程：．
四、综合题
16．（2023七下·东源期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
（1）请你表示出图①中阴影部分的面积 ；
请你表示出图②中阴影部分的面 ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ；
（3）请应用公式计算：．
17．（2023七下·七星关期末）探究活动：
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 ．
（4）计算：①；
②．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=4x2-25.
故答案为：B.
【分析】利用平方差公式计算即可.
2．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： ∵a2-b2=，a-b=，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=（a+b）=，
∴ a+b=.
【分析】利用平方差公式将原式变形为a2-b2=（a+b）（a-b）=，再代入计算即可.
3．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，左图可表示阴影部分的面积为，
由右图可表示阴影部分的面积为：，
∴
故答案为：D.
【分析】 分别列式表示出两图中阴影部分的面积，则可选出正确的结果.
4．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：能用平方差公式计算的是(a+b)(a-b).
故答案为：B.
【分析】平方差公式表示两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，可表示为(a+b)(a-b)=a2-b2，据此判断即可.
5．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积=a2﹣b2；
第二个图形是梯形，则面积是 （2a+2b） （a﹣b）=（a+b）（a﹣b）．
则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选C．
【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．
6．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：新正方形的边长为m+n，
∴ 较大正方形的面积比原正方形面积增加了（m+n）2-m2=（m+n+m）（m+n-m）=2mn+n2 .
故答案为：D.
【分析】利用新正方形的面积减去原正方形的面积即可求解.
7．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1：长方形的面积为：（a+b）（a-b），
图2：剪掉边长为b的正方形的面积为：a2-b2，
所以从图1到图2可用式子表示为：（a+b）（a-b）=a2-b2．
故答案为：A．
【分析】由于两个图形的面积相等，正好验证出平方差公式。
8．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：矩形的面积为(a +6)(a-6)=a2- 36，
∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米；
故答案为：C.
【分析】根据矩形面积及平方差公式可得出答案.
9．【答案】-10
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 解：当x+y=-5，x-y=2时，
原式=（x+y）·（x-y）
=-5×2
=-10．
故答案为：-10．
【分析】 根据平方差公式 变形，整体代入求值即可得出答案．
10．【答案】a2﹣1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】（a+1）（a﹣1）=a2﹣1，
故答案为：a2﹣1.
【分析】直接根据平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2进行计算即可.
11．【答案】13
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a+b=3，ab=﹣2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×（﹣2）=9+4=13．
故答案为：13
【分析】首先根据完全平方公式将a2+b2用（a+b）与ab的代数式表示，然后把a+b，ab的值整体代入求值．
12．【答案】x2-y2=（x+y）（x-y）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：左图中L型面积为x2-y2，右图中长方形的面积为（x+y）（x-y），
由图形可知：x2-y2=（x+y）（x-y）；
故答案为：x2-y2=（x+y）（x-y）.
【分析】根据左图中大正方形的面积=左侧长方形的面积，据此即得结论.
13．【答案】（1）x-y
（2）m-n
（3）-5s+6t
（4）x；x
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1） ( x+y)( x-y)=x2-y2，
故答案为： x-y；
（2） (m-n)( m+n)= m2-n2．
故答案为：m-n；
（3） (-5s+6t)(-5s-6t)= 25s2-36t2．
故答案为：-5s+6t；
（4） ( +x)(x-)=x2-；
故答案为：x；x.
【分析】利用平方差公式分别填空即可.
14．【答案】（1）平方差公式
（2）解：，
=，
=，
=，
=．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）例题求解过程中，由①到②变形是利用平方差公式计算的；
故答案为： 平方差公式 .
【分析】（1）平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，据此解答即可；
（2） 将原式化为， 再利用平方差公式依次计算即可.
15．【答案】（1）
（2）
（3）
；
，
，
，
．
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】 (1)、 ，
(2)、，
(3)、①，
，
∴，
，
，
，
．
【分析】 (1)、 根据长方形面积公式表示出即可.
(2)、 根据阴影面积相等列出等式即可.
(3)、 根据平方差公式变形求解即可.
16．【答案】（1）；
（2）(a+b)(a-b)=a2-b2
（3）解：应用乘法公式得：
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①中：大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
；
图②中：大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
阴影部分长方形的长为(a+b），宽为（a-b），
.
故答案为：；；
（2）由图可知，两图的阴影部分面积相等，故(a+b)(a-b)=a2-b2.
故答案为：(a+b)(a-b)=a2-b2；
【分析】（1）利用割补法可知，图①阴影部分面积可看成是大正方形面积减去小正方形面积，再利用正方形的面积公式表示出阴影部分面积；图②阴影部分面积可看出一个长方形，先求得长方形的长与宽，再表示出长方形的面积；
（2）图②的阴影部分面积是由图①的两个小长方形拼接而成的，故两图的阴影部分面积相等，据此可得乘法公式
（3）先利用平方差公式对括号内的整式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可得出答案.
17．【答案】（1）
（2）解：
（3）解：知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：
（4）解：①，
，
；
②，
，
．
【知识点】列式表示数量关系；平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）利用割补法可得阴影部分的面积为：；
故答案为：
（2）根据重新拼接的图形可得长为（a+b），宽为（a-b），
∴长方形的面积为；
故答案为：；
（3）根据两幅图中阴影部分的面积相等可得；
故答案为：.
【分析】（1）利用割补法求出阴影部分的面积即可；
（2）利用长方形的面积公式求解即可；
（3）根据两幅图中阴影部分的面积相等可得答案；
（4）①将代数式变形为，再利用平方差公式及完全平方计算即可；
②将代数式变形为，再利用平方差公式及完全平方计算即可.
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