2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.2.1 平方差公式同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023·河北） 若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴的值总能被3整除，
故答案为：B
【分析】先运用平方差公式进行因式分解，再结合题意即可求解。
2．对于(2a+3b-1)(2a-3b+1)，为了用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A．[2a-(3b+1)]2 B．[2a+(3b-1)][2a-(3b-1)]
C．[(2a-3b)+1][(2a-3b)-1] D．[2a-(3b-1]2
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：(2a+3b-1)(2a-3b+1)=[2a+(3b-1)] [2a-(3b-1)].
故答案为：B.
【分析】平方差公式应满足：一项相同，另一项互为相反数，据此变形即可.
3．（2023七上·浦东期中）从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：甲图中阴影部分面积=，
图乙中平行四边形面积=（a+b）(a-b).
两个图形面积相等，
，
D正确，A，B，C错误.
故答案为：D.
【分析】先分别表示两个图形面积，再根据面积相等得到公式.
4．（2023八上·开福期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 （ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图1得：S阴影=a2-b2，由图2得：S阴影=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）。
故答案为：D。
【分析】：由图1得：S阴影=a2-b2，由图2得：S阴影=（a+b）（a-b），故而可得a2-b2=（a+b）（a-b）。
5．（2023八上·兴县期中）如图，阴影部分是在一个边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列四种割拼方法，每种割拼方法都能够验证平方差公式，其中用到的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．整体思想
C．公理化思想 D．方程思想
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵.此题探究方法是通过对图形面积的不同求解方法验证了整式乘法的特殊方法“平方差公式”，
∴其中用到的数学思想是数形结合思想，
故答案为：A.
【分析】通过部分求和与整体计算两种方式对图形面积求解的方式验证了整式乘法的特殊方法“平方差公式”.
6．（2022七下·电白月考）式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设S= ，
∴（2-1）S=（2-1）
∴S=
=
=
= ，
=
故答案为：C．
【分析】将代数式变形为（2-1） ，再利用平方差公式计算即可。
7．（2022七上·济阳期末）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）的结果为（ ）
A．232-1 B．232+1 C．232 D．216
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）
=（22-1）（22+1）（24+1）…（216+1）
=（24-1）（24+1）…（216+1）
=（28-1）…（216+1）
=232-1，
故答案为：A．
【分析】将原式变形为（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1），然后利用平方差公式计算即可.
8．（2022七下·长兴期末）如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】C
【知识点】列式表示数量关系；平方差公式及应用；探索图形规律
【解析】【解答】解：设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，
∴长方形③的长=a+b，宽=a-b，
∵长方形③的面积为16，
∴（a+b）（a-b）=16，
∴a2-b2=16（1）
∵大长方形的长=2a+b，大长方形的宽=2a-b，
∵大长方形的面积为100，
∴（2a+b）（2a-b）=100，
∴4a2-b2=100（2）
由（2）-（1）×4，得：3b2=36，
∴b2=12，
∴正方形②的面积=b2=12.
故答案为：C.
【分析】设正方形①边长为a，正方形②边长为b，表示出长方形③长=a+b，宽=a-b，由长方形③面积为16，可得（a+b）（a-b）=16，整理得a2-b2=16（1）；大长方形长=2a+b，大长方形宽=2a-b，由大长方形面积为100，可得（2a+b）（2a-b）=100，整理得4a2-b2=100（2），再由（2）-（1）×4，得3b2=36，解得b2=12，即可正方形②的面积.
二、填空题
9．（2023八上·无为月考）若，则代数式的值为 ．
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：1
【分析】根据平方差公式对式子进行变形，进而代入数值即可求解。
10．某学校改造一个边长为5x米的正方形花坛，经规划后，南北向要缩短3米，东西向要加长3米，则改造后花坛的面积是 平方米，改造后花坛的面积减少了 平方米．
【答案】（25x2-9）；9
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得：改造后花坛为矩形，则矩形的长（5x+3）米，宽为（5x-3）米，
∴矩形的面积为（5x+3）（5x-3）=（25x2-9）平方米，
∵原正方形的面积为（5x）2=25x2平方米，
∴ 改造后花坛的面积减少了25x2-（25x2-9）=9平方米．
故答案为：（25x2-9），9.
【分析】改造后花坛为矩形，且矩形的长（5x+3）米，宽为（5x-3）米，求出矩形的面积与正方形的面积，继而得解.
11．（人教版八年级数学上册 14.2.1 平方差公式 同步练习）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中虚线剪开后拼成如图②所示的梯形、通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为 ．
【答案】a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积=a2﹣b2；
第二个图形是梯形，其面积是： （2a+2b） （a﹣b）=（a+b）（a﹣b）．
则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）
【分析】根据梯形面积公式和平方差公式，可得出结果。
12．（2023七下·顺义期中）观察下列各式的规律：；；；请将发现的规律用含的式子表示为 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
【分析】观察等号左边第一个因数分别是1，3，5，7…，是以1开始的奇数，所以第n个数是2n-1；等号左边第二个因数分别是3，5，7，9…，是以3开始的奇数，所以第n个数是2n+1。等号右边第一项底数分别是2，4，6，8…，是2开始的偶数，所以第n个数是2n。
所以结果是
故填：
13．（2023九上·南岸月考）若一个四位正整数 满足：a+c＝b+d，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 ．
【答案】1001；8778
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：a取最小的正整数1，c取最小的整数0，
则a+c＝b+d，b＝0，d＝1．
∴最小的“交替数”是1001；
根据题意知：a2-b2＝15，c+d＝5k（k是正整数），a+c＝b+d．
∵a2-b2＝（a+b）（a-b）＝15＝15×1＝5×3，且0≤a≤9，0≤b≤9，
∴ 或 ，
解得 或 ，
∵a+c＝b+d．
∴c-d＝b-a，
∴c-d＝-1或c-d＝-3，
∵c+d＝5k（k是正整数），
∴c+d＝5或10或15，
∴ 或 或 或 或 或 ，
解得 或 或 （舍去）或 （舍去）或 或 ，
∴a＝8，b＝7，c＝2，d＝3，即8723；
或a＝4，b＝1，c＝1，d＝4，即4114；
或a＝8，b＝7，c＝7，d＝8，即8778；
或a＝4，b＝1，c＝6，d＝9，即4169．
故所有的“交替数”是8723或4114或8778或4169，
最大的“交替数”为8778，
故答案为：1001，8778．
【分析】根据“交替数”的定义求解，可得第一空的答案；根据题意列出方程组可得 或 ， 再分类求解即可.
三、解答题
14．（2023八上·太和月考）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则 ， （请用含a，b的代数式表示，只需表示，不必化简）．
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是
（3）运用（2）中得到的公式，计算：．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
故答案为：，；
（2）∵图1和图2中的阴影部分面积相等，
∴以上结果可以验证乘法公式为：，
故答案为：；
【分析】（1）根据平方差公式的几何背景求解。图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长方形面积公式表示即可；
（2）根据平方差公式的几何背景求解。根据（1）的结果，即可得到答案；
（3）根据平方差公式求解。在原式前面乘以，运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案．
15．（2023八上·太和月考）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2）解：第n个等式为，证明如下：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……，
以此类推，第n个等式为，
左边，
∴左边等于右边，
∴第n个等式为．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解（1）：由题意得，第5个等式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据数字类的规律探索求解。规律：等式的左边是两个连续的奇数的平方差，等式的右边是8的倍数，据此求解。；
（2）根据完全平方公式求解。观察可以得到规律第n个式子右边为，右边为，把等式左边的式子利用完全平方公式去括号，然后合并同类项，看是否和右边的式子相等即可得到结论．
四、综合题
16．（2023七下·嘉兴期末）关于任意实数存在一种新运算有如下结果：
；
按你发现的规律探索：
（1） .(用的代数式表示).
（2）当成立时，求满足的关系式.
【答案】（1）
（2）解：由题意得，
，即，
整理得，
即，
，
，
.
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）.
【分析】（1）利用定义新运算，列式即可.
（2）利用定义新运算可得到a2+b=b2+a，将等式变形可得到（a-b）（a+b-1）=0，根据a≠b，可得到a、b的关系式.
17．（2023七下·清远期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.
（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：____（选择正确的一个）
A． B．
C． D．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①计算：
②计算：.
【答案】（1）C
（2）解：①解：原式
②解：原式
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积=a2-b2，图2中阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，
∴a2-b2=(a+b)(a-b).
故答案为：C.
【分析】（1）分别表示图1、图2阴影部分的面积，然后根据阴影部分的面积相等就可得到等式；
（2）①原式可变形为(2023-1)×(2023+1)-20232，然后利用平方差公式进行计算；
②原式可变形为(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1，然后利用平方差公式进行计算.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.2.1 平方差公式同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023·河北） 若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
2．对于(2a+3b-1)(2a-3b+1)，为了用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A．[2a-(3b+1)]2 B．[2a+(3b-1)][2a-(3b-1)]
C．[(2a-3b)+1][(2a-3b)-1] D．[2a-(3b-1]2
3．（2023七上·浦东期中）从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八上·开福期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 （ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
5．（2023八上·兴县期中）如图，阴影部分是在一个边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列四种割拼方法，每种割拼方法都能够验证平方差公式，其中用到的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．整体思想
C．公理化思想 D．方程思想
6．（2022七下·电白月考）式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022七上·济阳期末）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）的结果为（ ）
A．232-1 B．232+1 C．232 D．216
8．（2022七下·长兴期末）如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
二、填空题
9．（2023八上·无为月考）若，则代数式的值为 ．
10．某学校改造一个边长为5x米的正方形花坛，经规划后，南北向要缩短3米，东西向要加长3米，则改造后花坛的面积是 平方米，改造后花坛的面积减少了 平方米．
11．（人教版八年级数学上册 14.2.1 平方差公式 同步练习）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中虚线剪开后拼成如图②所示的梯形、通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为 ．
12．（2023七下·顺义期中）观察下列各式的规律：；；；请将发现的规律用含的式子表示为 ．
13．（2023九上·南岸月考）若一个四位正整数 满足：a+c＝b+d，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 ．
三、解答题
14．（2023八上·太和月考）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则 ， （请用含a，b的代数式表示，只需表示，不必化简）．
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是
（3）运用（2）中得到的公式，计算：．
15．（2023八上·太和月考）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
四、综合题
16．（2023七下·嘉兴期末）关于任意实数存在一种新运算有如下结果：
；
按你发现的规律探索：
（1） .(用的代数式表示).
（2）当成立时，求满足的关系式.
17．（2023七下·清远期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.
（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：____（选择正确的一个）
A． B．
C． D．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①计算：
②计算：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴的值总能被3整除，
故答案为：B
【分析】先运用平方差公式进行因式分解，再结合题意即可求解。
2．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：(2a+3b-1)(2a-3b+1)=[2a+(3b-1)] [2a-(3b-1)].
故答案为：B.
【分析】平方差公式应满足：一项相同，另一项互为相反数，据此变形即可.
3．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：甲图中阴影部分面积=，
图乙中平行四边形面积=（a+b）(a-b).
两个图形面积相等，
，
D正确，A，B，C错误.
故答案为：D.
【分析】先分别表示两个图形面积，再根据面积相等得到公式.
4．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图1得：S阴影=a2-b2，由图2得：S阴影=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）。
故答案为：D。
【分析】：由图1得：S阴影=a2-b2，由图2得：S阴影=（a+b）（a-b），故而可得a2-b2=（a+b）（a-b）。
5．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵.此题探究方法是通过对图形面积的不同求解方法验证了整式乘法的特殊方法“平方差公式”，
∴其中用到的数学思想是数形结合思想，
故答案为：A.
【分析】通过部分求和与整体计算两种方式对图形面积求解的方式验证了整式乘法的特殊方法“平方差公式”.
6．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设S= ，
∴（2-1）S=（2-1）
∴S=
=
=
= ，
=
故答案为：C．
【分析】将代数式变形为（2-1） ，再利用平方差公式计算即可。
7．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）
=（22-1）（22+1）（24+1）…（216+1）
=（24-1）（24+1）…（216+1）
=（28-1）…（216+1）
=232-1，
故答案为：A．
【分析】将原式变形为（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1），然后利用平方差公式计算即可.
8．【答案】C
【知识点】列式表示数量关系；平方差公式及应用；探索图形规律
【解析】【解答】解：设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，
∴长方形③的长=a+b，宽=a-b，
∵长方形③的面积为16，
∴（a+b）（a-b）=16，
∴a2-b2=16（1）
∵大长方形的长=2a+b，大长方形的宽=2a-b，
∵大长方形的面积为100，
∴（2a+b）（2a-b）=100，
∴4a2-b2=100（2）
由（2）-（1）×4，得：3b2=36，
∴b2=12，
∴正方形②的面积=b2=12.
故答案为：C.
【分析】设正方形①边长为a，正方形②边长为b，表示出长方形③长=a+b，宽=a-b，由长方形③面积为16，可得（a+b）（a-b）=16，整理得a2-b2=16（1）；大长方形长=2a+b，大长方形宽=2a-b，由大长方形面积为100，可得（2a+b）（2a-b）=100，整理得4a2-b2=100（2），再由（2）-（1）×4，得3b2=36，解得b2=12，即可正方形②的面积.
9．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：1
【分析】根据平方差公式对式子进行变形，进而代入数值即可求解。
10．【答案】（25x2-9）；9
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得：改造后花坛为矩形，则矩形的长（5x+3）米，宽为（5x-3）米，
∴矩形的面积为（5x+3）（5x-3）=（25x2-9）平方米，
∵原正方形的面积为（5x）2=25x2平方米，
∴ 改造后花坛的面积减少了25x2-（25x2-9）=9平方米．
故答案为：（25x2-9），9.
【分析】改造后花坛为矩形，且矩形的长（5x+3）米，宽为（5x-3）米，求出矩形的面积与正方形的面积，继而得解.
11．【答案】a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积=a2﹣b2；
第二个图形是梯形，其面积是： （2a+2b） （a﹣b）=（a+b）（a﹣b）．
则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）
【分析】根据梯形面积公式和平方差公式，可得出结果。
12．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
【分析】观察等号左边第一个因数分别是1，3，5，7…，是以1开始的奇数，所以第n个数是2n-1；等号左边第二个因数分别是3，5，7，9…，是以3开始的奇数，所以第n个数是2n+1。等号右边第一项底数分别是2，4，6，8…，是2开始的偶数，所以第n个数是2n。
所以结果是
故填：
13．【答案】1001；8778
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：a取最小的正整数1，c取最小的整数0，
则a+c＝b+d，b＝0，d＝1．
∴最小的“交替数”是1001；
根据题意知：a2-b2＝15，c+d＝5k（k是正整数），a+c＝b+d．
∵a2-b2＝（a+b）（a-b）＝15＝15×1＝5×3，且0≤a≤9，0≤b≤9，
∴ 或 ，
解得 或 ，
∵a+c＝b+d．
∴c-d＝b-a，
∴c-d＝-1或c-d＝-3，
∵c+d＝5k（k是正整数），
∴c+d＝5或10或15，
∴ 或 或 或 或 或 ，
解得 或 或 （舍去）或 （舍去）或 或 ，
∴a＝8，b＝7，c＝2，d＝3，即8723；
或a＝4，b＝1，c＝1，d＝4，即4114；
或a＝8，b＝7，c＝7，d＝8，即8778；
或a＝4，b＝1，c＝6，d＝9，即4169．
故所有的“交替数”是8723或4114或8778或4169，
最大的“交替数”为8778，
故答案为：1001，8778．
【分析】根据“交替数”的定义求解，可得第一空的答案；根据题意列出方程组可得 或 ， 再分类求解即可.
14．【答案】（1）；
（2）
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
故答案为：，；
（2）∵图1和图2中的阴影部分面积相等，
∴以上结果可以验证乘法公式为：，
故答案为：；
【分析】（1）根据平方差公式的几何背景求解。图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长方形面积公式表示即可；
（2）根据平方差公式的几何背景求解。根据（1）的结果，即可得到答案；
（3）根据平方差公式求解。在原式前面乘以，运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案．
15．【答案】（1）
（2）解：第n个等式为，证明如下：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……，
以此类推，第n个等式为，
左边，
∴左边等于右边，
∴第n个等式为．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解（1）：由题意得，第5个等式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据数字类的规律探索求解。规律：等式的左边是两个连续的奇数的平方差，等式的右边是8的倍数，据此求解。；
（2）根据完全平方公式求解。观察可以得到规律第n个式子右边为，右边为，把等式左边的式子利用完全平方公式去括号，然后合并同类项，看是否和右边的式子相等即可得到结论．
16．【答案】（1）
（2）解：由题意得，
，即，
整理得，
即，
，
，
.
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）.
【分析】（1）利用定义新运算，列式即可.
（2）利用定义新运算可得到a2+b=b2+a，将等式变形可得到（a-b）（a+b-1）=0，根据a≠b，可得到a、b的关系式.
17．【答案】（1）C
（2）解：①解：原式
②解：原式
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积=a2-b2，图2中阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，
∴a2-b2=(a+b)(a-b).
故答案为：C.
【分析】（1）分别表示图1、图2阴影部分的面积，然后根据阴影部分的面积相等就可得到等式；
（2）①原式可变形为(2023-1)×(2023+1)-20232，然后利用平方差公式进行计算；
②原式可变形为(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1，然后利用平方差公式进行计算.
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