2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.2.2 完全平方公式同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2022七下·兰州期中）下列各式中，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵（a-1）2=a2-2a+1，
∴与（a-1）2相等的是B.
故答案为：B.
【分析】直接根据完全平方公式进行判断即可.
2．（2023八上·禹城月考）如图1是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】S小正方形=S大正方形-S矩形=（a+b）2-2a×2b=a2-2ab+b2=（a-b）2，C正确。
【分析】大长方形面积=矩形+小正方形面积，根据图形分别找到对应的边长长度，再分别把大正方形和矩形的面积求出来，相减即可。
3．（2023八上·前郭尔罗斯月考）将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52． B．9.52=（10+0.5）（10- 0.5）．
C．9.52=102-2×10×0.5+0.52． D．9.52=92+9×0.5+0.52．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： 9.52=（10-0.52）=102-2×10×0.5+0.52．
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式进行计算判断即可。
4．（2020八下·重庆月考）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，
故答案为：D.
【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可.
5．（2016·海南）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64 B．48 C．32 D．16
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据乘积项先确定出这两个数是x和8，再根据完全平方公式的结构特点求出8的平方即可．
【解答】∵16x=2×x×8，
∴这两个数是x、8
∴k=82=64．
故选A．
【点评】本题是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点，求出这两个数是求解的关键．
6．（2023七下·南明月考）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（ ）2=a2+4ab+4b2，且一张类卡片面积为ab，
∴ 需要类卡片的张数为4张.
故答案为：D.
【分析】由题意知拼成的正方形的面积等于各类卡片的面积之和，据此解答即可.
7．如图，在正方形ABCD中，P是线段AC上任意一点，过点P分别作EF∥AD，MN∥AB．设正方形AEPM和正方形CFPN的面积之和为S1，其余部分(即图中两阴影部分)的面积之和为S2，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1>S2 B．S1≥S2 C．S1【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形AEPM和正方形CFPN的边长为a和b，
则正方形AEPM和正方形CFPN的面积之和S1=a2+b2，
图中两阴影部分的面积之和S2=ab+ab=2ab，
把S1-S2=a2+b2-2ab=（a-b）2，
∵（a-b）2≥0，
∴S1≥S2；
故答案为：B.
【分析】先设正方形AEPM和正方形CFPN的边长为a和b，表示出S1与S2后，根据完全平方数比较大小即可得出答案.
8．（2023七下·浙江期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长(x>y) ．则①x-y=n；②xy= ；③x2-y2=mn；④x2+y2= ，中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由拼图可知，m=x+y，n=x-y，
因此①正确；
由于mn=（x+y）（x-y）=x2-y2，
因此③正确；
由于xy表示一个小长方形的面积，由拼图可知，4xy=S大正方形 S小正方形，
即4xy=m2 n2，
故，
因此②不正确；
由于x2+y2
=（x+y）2-2xy
，
因此④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：C．
【分析】根据两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍进行计算即可.
二、填空题
9．（2019·枣庄）若 ，则 ．
【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 ，
，
故答案为11．
【分析】根据完全平方公式将原式子变形，然后整体代入求值即可
10．（2022八上·莱西期中）已知正方形的面积是，则正方形的周长是 cm．
【答案】（4x-16）
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
正方形的边长为cm，
正方形的周长为：，
故答案为：．
【分析】将代数式变形为，再根据正方形的面积公式可得正方形的边长为。
11．（2023八上·鸠江月考）若，则 ．
【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：49．
【分析】根据完全平方公式变形求解。将已知方程变形为，然后利用完全平方公式展开求解即可．
12．（2023八上·江津期中）已知实数、满足，，则值为 ．
【答案】5
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：5．
【分析】根据非负数的性质求解。几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质得出2个等式，再根据完全平方公式变形后整体代入求值．
13．（2023八上·太和月考）如图，有两个边长分别为a，b（）正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．
1 ．
2 若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为 ．
【答案】；
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由题意得，新正方形的边长为，
∴新正方形的面积为，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据完全平方公式的几何背景求解。根据题意得到，再由完全平方公式的变形进行求解；
（2）根据完全平方公式的几何背景求解。先求出新正方形的面积为，根据完全平方公式的变形求出，则．
三、解答题
14．已知a+b=5，ab=-6，求下列各式的值：
（1）a2+b2．
（2）(a-b)2．
【答案】（1）解：∵ a+b=5，ab=-6，
∴a2+b2 =（a+b）2-2ab=52-2×（-6）=25+12=37；
（2）解：∵ a+b=5，ab=-6，
∴ (a-b)2 = (a+b)2 -4ab=52-4×（-6）=25+24=49.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的恒等变形将待求式子a2+b2变形为（a+b）2-2ab，然后整体代入，利用含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案；
（2）根据完全平方公式的恒等变形将待求式子(a-b)2 变形为（a+b）2-4ab，然后整体代入，利用含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
15．如图，图①是一个长为2m，宽为2n的长方形．沿图中虚线把它分割成四块完全相同的小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）求图②中阴影部分的面积．
（2）观察图②，发现三个代数式(m+n)2，(m-n)2，mm之间的等量关系是 ．
（3）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式？
（4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示代数恒等式(m+n)(m+4n)=m2+5mn+4n2．
【答案】（1）解：图②阴影部分的面积为：（m+n）2-4mn=m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=（m-n）2；
（2）（m+n）2-4mn=（m-n）2
（3）解：由题意得：(2m+n)(2m+n)=4m2+4mn+n2；
（4）解：如图，
i
该图形的面积可以表示代数 恒等式(m+n)(m+4n)=m2+5mn+4n2．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（2）由于阴影部分的边长为（m-n），则阴影部分的面积为（m-n）2，
由（1）知阴影部分的面积为：（m+n）2-4mn，
∴（m+n）2-4mn=（m-n）2；
故答案为：（m+n）2-4mn=（m-n）2；
【分析】（1）由阴影部分的面积=边长为（n+m）的正方形的面积减去4个长为m，宽为n的矩形的面积，列式计算可得答案；
（2）阴影部分的边长为（m-n），则阴影部分的面积为（m-n）2，结合（1）的计算可得答案；
（3）用长方形面积的计算公式表示出图形的面积，再由割补法，长方形的面积等于各个图形的面积之和可表示出长方形的面积，从而可得等式；
（4）画出长为（m+4n），宽为（m+n）的矩形，这个矩形是由一个边长为m的正方形，4个边长为n的正方形及5个长为m，宽为n的矩形组成.
四、综合题
16．（2023九上·长春月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：设，其中、、、均为整数，则有，，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、，填空： ．
（3）若，且、、均为正整数，求的值．
【答案】（1）m +5n ；2mn
（2）6；2；1；1
（3），，
，
而、、均为正整数，
，或者，，
当，时，；
当，时，．
综上，或者．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，；
（2）由（1）可得：m=1，n=1时，a=6，b=2，
故答案为：6；2；1；1；
【分析】（1）利用完全平方公式展开，再利用待定系数法可得，；
（2）利用（1）的结论直接求解即可；
（3）先求出，或者，，再分类讨论：①当，时，②当，时，分别代入计算即可.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.2.2 完全平方公式同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2022七下·兰州期中）下列各式中，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·禹城月考）如图1是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·前郭尔罗斯月考）将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52． B．9.52=（10+0.5）（10- 0.5）．
C．9.52=102-2×10×0.5+0.52． D．9.52=92+9×0.5+0.52．
4．（2020八下·重庆月考）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
5．（2016·海南）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64 B．48 C．32 D．16
6．（2023七下·南明月考）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．4
7．如图，在正方形ABCD中，P是线段AC上任意一点，过点P分别作EF∥AD，MN∥AB．设正方形AEPM和正方形CFPN的面积之和为S1，其余部分(即图中两阴影部分)的面积之和为S2，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1>S2 B．S1≥S2 C．S18．（2023七下·浙江期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长(x>y) ．则①x-y=n；②xy= ；③x2-y2=mn；④x2+y2= ，中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
二、填空题
9．（2019·枣庄）若 ，则 ．
10．（2022八上·莱西期中）已知正方形的面积是，则正方形的周长是 cm．
11．（2023八上·鸠江月考）若，则 ．
12．（2023八上·江津期中）已知实数、满足，，则值为 ．
13．（2023八上·太和月考）如图，有两个边长分别为a，b（）正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．
1 ．
2 若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
14．已知a+b=5，ab=-6，求下列各式的值：
（1）a2+b2．
（2）(a-b)2．
15．如图，图①是一个长为2m，宽为2n的长方形．沿图中虚线把它分割成四块完全相同的小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）求图②中阴影部分的面积．
（2）观察图②，发现三个代数式(m+n)2，(m-n)2，mm之间的等量关系是 ．
（3）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式？
（4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示代数恒等式(m+n)(m+4n)=m2+5mn+4n2．
四、综合题
16．（2023九上·长春月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：设，其中、、、均为整数，则有，，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、，填空： ．
（3）若，且、、均为正整数，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵（a-1）2=a2-2a+1，
∴与（a-1）2相等的是B.
故答案为：B.
【分析】直接根据完全平方公式进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】S小正方形=S大正方形-S矩形=（a+b）2-2a×2b=a2-2ab+b2=（a-b）2，C正确。
【分析】大长方形面积=矩形+小正方形面积，根据图形分别找到对应的边长长度，再分别把大正方形和矩形的面积求出来，相减即可。
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： 9.52=（10-0.52）=102-2×10×0.5+0.52．
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式进行计算判断即可。
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，
故答案为：D.
【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可.
5．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据乘积项先确定出这两个数是x和8，再根据完全平方公式的结构特点求出8的平方即可．
【解答】∵16x=2×x×8，
∴这两个数是x、8
∴k=82=64．
故选A．
【点评】本题是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点，求出这两个数是求解的关键．
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（ ）2=a2+4ab+4b2，且一张类卡片面积为ab，
∴ 需要类卡片的张数为4张.
故答案为：D.
【分析】由题意知拼成的正方形的面积等于各类卡片的面积之和，据此解答即可.
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形AEPM和正方形CFPN的边长为a和b，
则正方形AEPM和正方形CFPN的面积之和S1=a2+b2，
图中两阴影部分的面积之和S2=ab+ab=2ab，
把S1-S2=a2+b2-2ab=（a-b）2，
∵（a-b）2≥0，
∴S1≥S2；
故答案为：B.
【分析】先设正方形AEPM和正方形CFPN的边长为a和b，表示出S1与S2后，根据完全平方数比较大小即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由拼图可知，m=x+y，n=x-y，
因此①正确；
由于mn=（x+y）（x-y）=x2-y2，
因此③正确；
由于xy表示一个小长方形的面积，由拼图可知，4xy=S大正方形 S小正方形，
即4xy=m2 n2，
故，
因此②不正确；
由于x2+y2
=（x+y）2-2xy
，
因此④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：C．
【分析】根据两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍进行计算即可.
9．【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 ，
，
故答案为11．
【分析】根据完全平方公式将原式子变形，然后整体代入求值即可
10．【答案】（4x-16）
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
正方形的边长为cm，
正方形的周长为：，
故答案为：．
【分析】将代数式变形为，再根据正方形的面积公式可得正方形的边长为。
11．【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：49．
【分析】根据完全平方公式变形求解。将已知方程变形为，然后利用完全平方公式展开求解即可．
12．【答案】5
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：5．
【分析】根据非负数的性质求解。几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质得出2个等式，再根据完全平方公式变形后整体代入求值．
13．【答案】；
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由题意得，新正方形的边长为，
∴新正方形的面积为，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据完全平方公式的几何背景求解。根据题意得到，再由完全平方公式的变形进行求解；
（2）根据完全平方公式的几何背景求解。先求出新正方形的面积为，根据完全平方公式的变形求出，则．
14．【答案】（1）解：∵ a+b=5，ab=-6，
∴a2+b2 =（a+b）2-2ab=52-2×（-6）=25+12=37；
（2）解：∵ a+b=5，ab=-6，
∴ (a-b)2 = (a+b)2 -4ab=52-4×（-6）=25+24=49.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的恒等变形将待求式子a2+b2变形为（a+b）2-2ab，然后整体代入，利用含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案；
（2）根据完全平方公式的恒等变形将待求式子(a-b)2 变形为（a+b）2-4ab，然后整体代入，利用含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
15．【答案】（1）解：图②阴影部分的面积为：（m+n）2-4mn=m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=（m-n）2；
（2）（m+n）2-4mn=（m-n）2
（3）解：由题意得：(2m+n)(2m+n)=4m2+4mn+n2；
（4）解：如图，
i
该图形的面积可以表示代数 恒等式(m+n)(m+4n)=m2+5mn+4n2．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（2）由于阴影部分的边长为（m-n），则阴影部分的面积为（m-n）2，
由（1）知阴影部分的面积为：（m+n）2-4mn，
∴（m+n）2-4mn=（m-n）2；
故答案为：（m+n）2-4mn=（m-n）2；
【分析】（1）由阴影部分的面积=边长为（n+m）的正方形的面积减去4个长为m，宽为n的矩形的面积，列式计算可得答案；
（2）阴影部分的边长为（m-n），则阴影部分的面积为（m-n）2，结合（1）的计算可得答案；
（3）用长方形面积的计算公式表示出图形的面积，再由割补法，长方形的面积等于各个图形的面积之和可表示出长方形的面积，从而可得等式；
（4）画出长为（m+4n），宽为（m+n）的矩形，这个矩形是由一个边长为m的正方形，4个边长为n的正方形及5个长为m，宽为n的矩形组成.
16．【答案】（1）m +5n ；2mn
（2）6；2；1；1
（3），，
，
而、、均为正整数，
，或者，，
当，时，；
当，时，．
综上，或者．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，；
（2）由（1）可得：m=1，n=1时，a=6，b=2，
故答案为：6；2；1；1；
【分析】（1）利用完全平方公式展开，再利用待定系数法可得，；
（2）利用（1）的结论直接求解即可；
（3）先求出，或者，，再分类讨论：①当，时，②当，时，分别代入计算即可.
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