2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.2.3 运用乘法公式进行计算同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023·临沂）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020八上·渝北月考）下列各式中，不能用平方差公式的是（ ）
A．（3x﹣2y）（3x+2y） B．（a+b+c）（a﹣b+c）
C．（a﹣b）（﹣b﹣a） D．（﹣x+y）（x﹣y）
3．与(9a-b)之积等于b2-81a2的因式是（ ）
A．9a-b B．9a+b C．-9a-b D．b-9a
4．（2023八上·长春期中）若a2-b2=4，a-b=-2，则a+b的值为（ ）
A．2 B．1 C．-0.5 D．-2
5．（2021八上·长春月考）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020八上·张掖期末）已知a＝2 002x＋2 003，b＝2 002x＋2 004，c＝2 002x＋2 005，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2023七上·奉贤期中）若，，在下列判断结果正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
8．若(-mx-3y)(mx-3y)=-49x2+9y2，则m的值为（ ）
A．-7 B．7 C．±7 D．不能确定
二、填空题
9．（2017九下·佛冈期中）分解因式：
10．（2023八上·长沙期中）已知，，则的值是 ．
11．（2022八上·抚远期末）已知，，则 ．
12．若非零实数a，b满足4a2+b2=4ab，则的值为 ．
13．填空：
（1）4x2- +9y2=(2x-3y)2．
（2）p2-3p+ =(p- )2．
三、解答题
14．（2023八上·无为月考）要拼成如图2所示的边长为的正方形图形，需要用图1所示的纸片1张，纸片1张，纸片2张．
（1）若要拼成长、宽分别为、的长方形，需要纸片 张，纸片 张，纸片 张；
（2）请用画图形和计算的方法分别验证（1）中的结论．
15．（2023八上·鸠江月考）如图1，这是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四块小长方形，然后拼成如图2所示的正方形．
（1）图2中阴影部分的边长为 ；观察图2，请你写出之间的等量关系： ．
（2）根据（1）中的等量关系，直接写出与之间的关系．
（3）根据（2）中的等量关系解决如下问题：若，求的值．
四、综合题
16．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请写出图2中阴影部分的面积；
（2）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）2 ， （m﹣n）2 ， mn；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．
17．（2023八上·成都开学考）
（1）若，，求的值；
（2）如图，点、分别是正方形的边与上的点，以、为边在正方形内部作面积为的长方形，再分别以、为边作正方形和正方形若图中阴影部分的面积为，求长方形的周长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解： A：，计算错误；
B：，计算错误；
C：，计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】利用合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的乘法法则计算求解即可。
2．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（3x﹣2y）（3x+2y）是3x与2y的和与差的积，符合平方差公式结构，故本选项不符合题意；
B、（a+b+c）（a﹣b+c），是（a+c）与b的和与差的积，符合平方差公式结构，故本选项不符合题意；
C、（a﹣b）（﹣b﹣a），是﹣b与a的和与差的积，符合平方差公式结构，故本选项不符合题意；
D、（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，不符合平方差公式结构，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】平方差公式的左边是两个数的和与这两个数差的积，即两个项数相同的多项式中，有一项完全相同，剩下的项只有符号不同，根据这一特点对各选项逐一判断即可.
3．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：b2-81a2= (9a-b) (-9a-b) .
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行解答即可.
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a2-b2=4
∴ （a+b）（a-b）=4
∵ a-b=-2
∴ a+b=-2
故答案为：D.
【分析】本题考查用平方差因式分解的应用。熟悉平方差公式是关键，a2-b2=（a+b）（a-b），代入求值即可。
5．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x＋2）（x＋2）＝ ，不符合平方差公式的特点，A不符合题意；
B、（ x＋y）（x y）＝ ，不符合平方差公式的特点，B不符合题意；
C、（2x y）（2x＋y）＝ ，符合平方差公式的特点，C符合题意；
D、（ x y）（x＋y）＝ 不符合平方差公式的特点，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式判断各选项即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，
∴a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ca= （2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca），
= [（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]，
= [（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]，
= ×（1+1+4），
=3．
故答案为：D．
【分析】先求出（a-b）、（b-c）、（a-c）的值，再把所给式子整理为含（a-b）2，（b-c）2和（a-c）2的形式，代入求值即可．
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
，
，
．
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式求得b的值是解题的关键．b的前面三项就是2022和2023的差的平方．
8．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： (-mx-3y)(mx-3y)=9y2-m2x2=-49x2+9y2，
∴-m2=-49，
解得：m= ±7 .
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式将等号左侧计算，再利用对应系数相等求解即可.
9．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.
10．【答案】20
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵x2-y2=(x+y)(x-y)
又∵x+y=-5，x-y=-4，
∴原式=20.
故答案为：20.
【分析】利用平方差公式 a -b =(a+b)(a-b ），即可求解。
11．【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，即，
∴，
故答案为：4．
【分析】利用平方差公式可得，再将代入计算求出即可。
12．【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：4a2+b2=4ab，
即4a2-4ab+b2=0，
∴（2a-b）2=0，
∴2a-b=0，
∴2a=b，
则；
故答案为：2.
【分析】根据完全平方公式求出2a=b，代入即可求解.
13．【答案】（1）12xy
（2）；
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）∵（2x-3y）2
=（2x）2-2·2x·3y+（3y）2
=4x2-12xy+9y2
即4x2-12xy+9y2=（2x-3y）2；
故答案为：12xy.
（2）∵，
即；
故答案为：；.
【分析】（1）根据完全平方公式将（2x-3y）2展开即可得出答案；
（2）根据完全平方公式： a2±2ab+b2=（a±b）2 即可求解得出答案.
14．【答案】（1）1；2；3
（2）解：图形法：如图，由图形可知需要纸片1张，纸片2张，纸片3张．
计算法：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由题意得需要纸片1张，纸片2张，纸片3张；
故答案为：1；2；3
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）根据题意运用完全平方公式即可求解。
15．【答案】（1）；
（2）解：由（1）知，，
∴；
（3）解：∵，且，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由题意知，图2中阴影部分的边长为；
∵图2中，大正方形的面积与小正方形的面积的差等于四个长方形的面积，
∴．
故答案为：；；
【分析】（1）阴影部分为正方形，其边长为，根据大正方形的面积与小正方形的面积的差等于四个长方形的面积，确定等量关系即可；
（2）令，，代入（1）中的等量关系式中求解；
（3）根据完全平方公式变形求解。由，且，可得，即，然后代入（1）中的等量关系式中计算求解．
16．【答案】（1）解：（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn
（2）解：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn
（3）解：当a+b=7，ab=5时，
（a﹣b）2
=（a+b）2﹣4ab
=72﹣4×5
=49﹣20
=29
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）图2中阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积；（2）根据图2中阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积可得（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（3）把a+b=7，ab=5代入（2）中的等式计算即可。
17．【答案】（1）解：因为，
所以．
又，，
所以．
即的值为．
（2）解：设长方形的长和宽为分别为和，
根据题意得，
所以
，
则，
故．
所以长方形的周长为．
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ． 再根据 ，， 计算求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.2.3 运用乘法公式进行计算同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023·临沂）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解： A：，计算错误；
B：，计算错误；
C：，计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】利用合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的乘法法则计算求解即可。
2．（2020八上·渝北月考）下列各式中，不能用平方差公式的是（ ）
A．（3x﹣2y）（3x+2y） B．（a+b+c）（a﹣b+c）
C．（a﹣b）（﹣b﹣a） D．（﹣x+y）（x﹣y）
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（3x﹣2y）（3x+2y）是3x与2y的和与差的积，符合平方差公式结构，故本选项不符合题意；
B、（a+b+c）（a﹣b+c），是（a+c）与b的和与差的积，符合平方差公式结构，故本选项不符合题意；
C、（a﹣b）（﹣b﹣a），是﹣b与a的和与差的积，符合平方差公式结构，故本选项不符合题意；
D、（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，不符合平方差公式结构，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】平方差公式的左边是两个数的和与这两个数差的积，即两个项数相同的多项式中，有一项完全相同，剩下的项只有符号不同，根据这一特点对各选项逐一判断即可.
3．与(9a-b)之积等于b2-81a2的因式是（ ）
A．9a-b B．9a+b C．-9a-b D．b-9a
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：b2-81a2= (9a-b) (-9a-b) .
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行解答即可.
4．（2023八上·长春期中）若a2-b2=4，a-b=-2，则a+b的值为（ ）
A．2 B．1 C．-0.5 D．-2
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a2-b2=4
∴ （a+b）（a-b）=4
∵ a-b=-2
∴ a+b=-2
故答案为：D.
【分析】本题考查用平方差因式分解的应用。熟悉平方差公式是关键，a2-b2=（a+b）（a-b），代入求值即可。
5．（2021八上·长春月考）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x＋2）（x＋2）＝ ，不符合平方差公式的特点，A不符合题意；
B、（ x＋y）（x y）＝ ，不符合平方差公式的特点，B不符合题意；
C、（2x y）（2x＋y）＝ ，符合平方差公式的特点，C符合题意；
D、（ x y）（x＋y）＝ 不符合平方差公式的特点，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式判断各选项即可得出答案。
6．（2020八上·张掖期末）已知a＝2 002x＋2 003，b＝2 002x＋2 004，c＝2 002x＋2 005，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，
∴a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ca= （2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca），
= [（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]，
= [（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]，
= ×（1+1+4），
=3．
故答案为：D．
【分析】先求出（a-b）、（b-c）、（a-c）的值，再把所给式子整理为含（a-b）2，（b-c）2和（a-c）2的形式，代入求值即可．
7．（2023七上·奉贤期中）若，，在下列判断结果正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
，
，
．
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式求得b的值是解题的关键．b的前面三项就是2022和2023的差的平方．
8．若(-mx-3y)(mx-3y)=-49x2+9y2，则m的值为（ ）
A．-7 B．7 C．±7 D．不能确定
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： (-mx-3y)(mx-3y)=9y2-m2x2=-49x2+9y2，
∴-m2=-49，
解得：m= ±7 .
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式将等号左侧计算，再利用对应系数相等求解即可.
二、填空题
9．（2017九下·佛冈期中）分解因式：
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.
10．（2023八上·长沙期中）已知，，则的值是 ．
【答案】20
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵x2-y2=(x+y)(x-y)
又∵x+y=-5，x-y=-4，
∴原式=20.
故答案为：20.
【分析】利用平方差公式 a -b =(a+b)(a-b ），即可求解。
11．（2022八上·抚远期末）已知，，则 ．
【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，即，
∴，
故答案为：4．
【分析】利用平方差公式可得，再将代入计算求出即可。
12．若非零实数a，b满足4a2+b2=4ab，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：4a2+b2=4ab，
即4a2-4ab+b2=0，
∴（2a-b）2=0，
∴2a-b=0，
∴2a=b，
则；
故答案为：2.
【分析】根据完全平方公式求出2a=b，代入即可求解.
13．填空：
（1）4x2- +9y2=(2x-3y)2．
（2）p2-3p+ =(p- )2．
【答案】（1）12xy
（2）；
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）∵（2x-3y）2
=（2x）2-2·2x·3y+（3y）2
=4x2-12xy+9y2
即4x2-12xy+9y2=（2x-3y）2；
故答案为：12xy.
（2）∵，
即；
故答案为：；.
【分析】（1）根据完全平方公式将（2x-3y）2展开即可得出答案；
（2）根据完全平方公式： a2±2ab+b2=（a±b）2 即可求解得出答案.
三、解答题
14．（2023八上·无为月考）要拼成如图2所示的边长为的正方形图形，需要用图1所示的纸片1张，纸片1张，纸片2张．
（1）若要拼成长、宽分别为、的长方形，需要纸片 张，纸片 张，纸片 张；
（2）请用画图形和计算的方法分别验证（1）中的结论．
【答案】（1）1；2；3
（2）解：图形法：如图，由图形可知需要纸片1张，纸片2张，纸片3张．
计算法：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由题意得需要纸片1张，纸片2张，纸片3张；
故答案为：1；2；3
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）根据题意运用完全平方公式即可求解。
15．（2023八上·鸠江月考）如图1，这是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四块小长方形，然后拼成如图2所示的正方形．
（1）图2中阴影部分的边长为 ；观察图2，请你写出之间的等量关系： ．
（2）根据（1）中的等量关系，直接写出与之间的关系．
（3）根据（2）中的等量关系解决如下问题：若，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：由（1）知，，
∴；
（3）解：∵，且，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由题意知，图2中阴影部分的边长为；
∵图2中，大正方形的面积与小正方形的面积的差等于四个长方形的面积，
∴．
故答案为：；；
【分析】（1）阴影部分为正方形，其边长为，根据大正方形的面积与小正方形的面积的差等于四个长方形的面积，确定等量关系即可；
（2）令，，代入（1）中的等量关系式中求解；
（3）根据完全平方公式变形求解。由，且，可得，即，然后代入（1）中的等量关系式中计算求解．
四、综合题
16．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请写出图2中阴影部分的面积；
（2）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）2 ， （m﹣n）2 ， mn；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．
【答案】（1）解：（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn
（2）解：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn
（3）解：当a+b=7，ab=5时，
（a﹣b）2
=（a+b）2﹣4ab
=72﹣4×5
=49﹣20
=29
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）图2中阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积；（2）根据图2中阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积可得（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（3）把a+b=7，ab=5代入（2）中的等式计算即可。
17．（2023八上·成都开学考）
（1）若，，求的值；
（2）如图，点、分别是正方形的边与上的点，以、为边在正方形内部作面积为的长方形，再分别以、为边作正方形和正方形若图中阴影部分的面积为，求长方形的周长．
【答案】（1）解：因为，
所以．
又，，
所以．
即的值为．
（2）解：设长方形的长和宽为分别为和，
根据题意得，
所以
，
则，
故．
所以长方形的周长为．
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ． 再根据 ，， 计算求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
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