2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 1.1 直角三角形的性质与判定（Ⅰ）同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八上·蕲春期中）中，如果，那么的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=∠C
∴∠C=180°÷2=90°
∴△ABC是直角三角形
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和定理和直角三角形的判定解题即可.
2．（2023八上·遵义月考）根据图中给定的条件，下列各图中可以判断与一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图①，∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
则∠1=∠2；
如图②，∠1=90°-∠3，∠2=90°-∠4，∠3=∠4，
则∠1=∠2；
图③和图④不能判断∠1与∠2一定相等，
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形的中的两个锐角互余，逐项分析，即可求解．
3．（2016八上·个旧期中）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C三个角的比例如下，其中能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．2：3：4 B．1：2：3 C．4：3：5 D．1：2：2
【答案】B
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】选项A，当∠A、∠B、∠C三个角之比为2：3：4，根据三角形的内角和定理可求得∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°；选项B，当∠A、∠B、∠C三个角之比为1：2：3，根据三角形的内角和定理可求得∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°；选项C，当∠A、∠B、∠C三个角之比为4：3：5，根据三角形的内角和定理可求得∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°；选项D，当∠A、∠B、∠C三个角之比为1：2：2，根据三角形的内角和定理可求得∠A=36°，∠B=72°，∠C=72°．四个选项能说明△ABC是直角三角形只有选项B，故答案为：B．
【分析】由于直角三角形中最大的角是直角，它的度数占了三角形内角和的一半，故△ABC中，∠A，∠B，∠C三个角的比例中只要最大角的份数占总份数的一半，此三角形就一定是直角三角形。
4．（2023八上·怀远期中） 如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A=56°，则∠DCB的度数是（ ）
A．30° B．45° C．56° D．60°
【答案】C
【知识点】垂线；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据垂线的定义，结合直角三角形的性质求解。由垂线可得，进而得出，从而可得．
5．（2023八上·任丘期中）已知下列命题，其中原命题与逆命题均为真命题的有（ ）
①若，则； ②两直线平行，内错角相等；
③直角三角形的两个锐角互余； ④全等三角形的周长相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；直角三角形的性质；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：
①若，只有当时，所以原命题是假命题；
②根据平行的性质得出“两直线平行，内错角相等”正确，再得出逆命题是“内错角相等，两直线平行”正确，所以其原命题与逆命题均为真命题；
③根据直角三角形的性质得出“直角三角形的两锐角互余”正确，再得出逆命题是“若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形”正确，所以其原命题与逆命题均为真命题；
④根据全等三角形的性质得出“全等三角形的周长相等”正确，是真命题，再得出逆命题“周长相等的三角形是全等三角形”错误，是假命题
∴ 原命题与逆命题均为真命题的有两个，
故答案为：B
【分析】根据原命题和逆命题结合不等式的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质对选项逐一分析即可求解。
6．（2023八上·禄劝期中）如图，在中，，，AD是斜边BC上的高，若，则BD的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，AD是斜边BC上的高
∴
∴
∵
∴AC=2DC=6
∴BC=2AC=12
∴BD=BC-DC=9
故答案为：C
【分析】根据含30°角的直角三角形性质及三角形内角和定理即可求出答案.
7．（2023·贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥CB于点D，如图所示：
∵△ABC为等腰三角形，它的顶角为，
∴∠BAD=60°，
∴∠B=30°，
∵腰长AB为，
∴AD=6m，
故答案为：B
【分析】过点A作AD⊥CB于点D，先根据等腰三角形的性质即可得到∠BAD=60°，进而得到∠B=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。
8．（2024八上·杭州期末）如图，在四边形刚好是中点，P、Q分别是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则EB=EF，
∵∠B+∠C=150°，
∴∠BEC=180°-（∠B+∠C）=30°，
∵点B与点F关于EC对称，
∴∠BEC=∠FEC=30°，
∴∠BEF=60°，
∴△BEF是等边三角形；
连接BP、PF、PQ，则BP=FP，
∴BP+QP=FP+PQ，
∴当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A点重合，
∵DA⊥AB，DA=6cm，
∴AE=cm，
在Rt△QEF中，cm，
∴BP+PQ的最小值为18cm.
故答案为：D.
【分析】作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则EB=EF，由三角形的内角和定理得∠BEC=30°，由轴对称性质及角的和差得∠BEF=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BEF是等边三角形；连接BP、PF、PQ，则BP=FP，当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A点重合，根据含30°角直角三角形的性质得AE=cm，，可求出答案.
二、填空题
9．（2024八上·浑江期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为D.若，则的长为 .
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：，∠B=30°，ED=5，∴BE=10，∵DE为BC的垂直平分线，∴EB=EC=10。
故答案为：10。
【分析】先利用30°角的直角三角形的性质，求出BE的长，然后利用垂直平分线的性质得到EB=EC，最终求出结果。
10．（2023八上·蕲春期中）如图，在等边中，，于点H，P为上的一个动点，以为一边作等边，连接．在P点的运动过程中线段的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接BQ，如下图：
∵△ABC是等边三角形，AHBC，AB=8
∴AC=BC，∠ACB=∠BAC=60°，BH=CH=4
∴∠CAP=30°
∵△CPQ是等边三角形
∴CP=CQ，∠PCQ=60°
∴∠PCA+∠PCB=∠PCB+∠QCB
∴∠PCA=∠QCB
∵AC=BC，∠PCA=∠QCB，CP=CQ
∴△PCA△QCB
∴∠QBC=∠CAP=30°
当HQBQ时，HQ的值最小；
此时∠BQH=90°；
∴HQ=BH=2
故答案为：2.
【分析】根据等边三角形的性质，可得AC=BC，∠ACB=∠BAC=60°，BH=CH，CP=CQ，∠PCQ=60°；根据等量代换原则，可得∠PCA=∠QCB；根据三角形全等的判定和性质，可得∠QBC=∠CAP；根据垂线段最短和含30°角的直角三角形的性质，可以求出HQ的最小值.
11．（2023八上·长沙期中）如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】 ，
AB=AC，
，
,
BD=2BE=4,
点D为边的中点，
AB=2BD=8,
AC=8,
【分析】利用等腰三角形的性质求得AB=AC，再利用直角三角形的性质以及线段中点的性质求得AB的长，从而求解.
12．（2023九上·无为期中）如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在AB上，与BC交于点D，则的面积为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
由旋转可得：，，
是等边三角形，
，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由勾股定理，得，，
．
故答案为： .
【分析】根据旋转的性质、等边三角形的判定和性质、含30度直角三角形的性质求解。先证明是等边三角形，再证明是直角三角形，求出、的长即可解决问题．
13．（2023八上·九龙坡期中）如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝12cm，则阴影部分的面积是 cm2．
【答案】18
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
∴．
阴影部分为等腰直角三角形．
∴面积为
故答案为：18．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质求得，根据等腰直角三角形的性质，即可求解．
三、解答题
14．（2023八上·章贡期中）如图，在中，，
（1）求证：；
（2）以AC为边，作等边三角形，且点D在AC的左侧，连接CD，AD，BD.求的面积.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点D作，交BA的延长线于点E，
由题意得：，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴的面积，
∴的面积为16.
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等边对等角性质可得，再根据三角形内角和定理可得，即可求出答案.
（2）过点D作，交BA的延长线于点E，由题意得：，则是等边三角形，再根据等边三角形性质及三角形内角和定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据三角形面积公式即可求出答案.
15．（2023八上·北京市期中） 如图，在中，D为边上一点，于F，延长交于E．若．
（1）求证：为等边三角形；
（2）若D是的中点，求的值．
【答案】（1）证明：∵于F，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）解：连接，如下图，
由（1）得，，，
∵D为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，即．
【知识点】等边三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再结合，可证出为等边三角形；
（2）连接CD，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再求出即可.
四、综合题
16．（2019八上·台安月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数.
【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°.
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE= ∠CBD=65°
（2）解：∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°.
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两内角互余得出∠ABC的度数，根据邻补角的定义得出 ∠CBD=130°，根据角平分线的定义得出 ∠CBE= ∠CBD=65° ；
（2）根据直角三角形的两锐角互余求出 ∠CEB 的度数，进而根据二直线平行，同位角相等得出 ∠F=∠CEB=25° .
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 1.1 直角三角形的性质与判定（Ⅰ）同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八上·蕲春期中）中，如果，那么的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
2．（2023八上·遵义月考）根据图中给定的条件，下列各图中可以判断与一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2016八上·个旧期中）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C三个角的比例如下，其中能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．2：3：4 B．1：2：3 C．4：3：5 D．1：2：2
4．（2023八上·怀远期中） 如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A=56°，则∠DCB的度数是（ ）
A．30° B．45° C．56° D．60°
5．（2023八上·任丘期中）已知下列命题，其中原命题与逆命题均为真命题的有（ ）
①若，则； ②两直线平行，内错角相等；
③直角三角形的两个锐角互余； ④全等三角形的周长相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023八上·禄劝期中）如图，在中，，，AD是斜边BC上的高，若，则BD的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7．（2023·贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·杭州期末）如图，在四边形刚好是中点，P、Q分别是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
二、填空题
9．（2024八上·浑江期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为D.若，则的长为 .
10．（2023八上·蕲春期中）如图，在等边中，，于点H，P为上的一个动点，以为一边作等边，连接．在P点的运动过程中线段的最小值为 ．
11．（2023八上·长沙期中）如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ．
12．（2023九上·无为期中）如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在AB上，与BC交于点D，则的面积为 .
13．（2023八上·九龙坡期中）如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝12cm，则阴影部分的面积是 cm2．
三、解答题
14．（2023八上·章贡期中）如图，在中，，
（1）求证：；
（2）以AC为边，作等边三角形，且点D在AC的左侧，连接CD，AD，BD.求的面积.
15．（2023八上·北京市期中） 如图，在中，D为边上一点，于F，延长交于E．若．
（1）求证：为等边三角形；
（2）若D是的中点，求的值．
四、综合题
16．（2019八上·台安月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=∠C
∴∠C=180°÷2=90°
∴△ABC是直角三角形
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和定理和直角三角形的判定解题即可.
2．【答案】A
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图①，∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
则∠1=∠2；
如图②，∠1=90°-∠3，∠2=90°-∠4，∠3=∠4，
则∠1=∠2；
图③和图④不能判断∠1与∠2一定相等，
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形的中的两个锐角互余，逐项分析，即可求解．
3．【答案】B
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】选项A，当∠A、∠B、∠C三个角之比为2：3：4，根据三角形的内角和定理可求得∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°；选项B，当∠A、∠B、∠C三个角之比为1：2：3，根据三角形的内角和定理可求得∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°；选项C，当∠A、∠B、∠C三个角之比为4：3：5，根据三角形的内角和定理可求得∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°；选项D，当∠A、∠B、∠C三个角之比为1：2：2，根据三角形的内角和定理可求得∠A=36°，∠B=72°，∠C=72°．四个选项能说明△ABC是直角三角形只有选项B，故答案为：B．
【分析】由于直角三角形中最大的角是直角，它的度数占了三角形内角和的一半，故△ABC中，∠A，∠B，∠C三个角的比例中只要最大角的份数占总份数的一半，此三角形就一定是直角三角形。
4．【答案】C
【知识点】垂线；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据垂线的定义，结合直角三角形的性质求解。由垂线可得，进而得出，从而可得．
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；直角三角形的性质；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：
①若，只有当时，所以原命题是假命题；
②根据平行的性质得出“两直线平行，内错角相等”正确，再得出逆命题是“内错角相等，两直线平行”正确，所以其原命题与逆命题均为真命题；
③根据直角三角形的性质得出“直角三角形的两锐角互余”正确，再得出逆命题是“若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形”正确，所以其原命题与逆命题均为真命题；
④根据全等三角形的性质得出“全等三角形的周长相等”正确，是真命题，再得出逆命题“周长相等的三角形是全等三角形”错误，是假命题
∴ 原命题与逆命题均为真命题的有两个，
故答案为：B
【分析】根据原命题和逆命题结合不等式的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质对选项逐一分析即可求解。
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，AD是斜边BC上的高
∴
∴
∵
∴AC=2DC=6
∴BC=2AC=12
∴BD=BC-DC=9
故答案为：C
【分析】根据含30°角的直角三角形性质及三角形内角和定理即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥CB于点D，如图所示：
∵△ABC为等腰三角形，它的顶角为，
∴∠BAD=60°，
∴∠B=30°，
∵腰长AB为，
∴AD=6m，
故答案为：B
【分析】过点A作AD⊥CB于点D，先根据等腰三角形的性质即可得到∠BAD=60°，进而得到∠B=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则EB=EF，
∵∠B+∠C=150°，
∴∠BEC=180°-（∠B+∠C）=30°，
∵点B与点F关于EC对称，
∴∠BEC=∠FEC=30°，
∴∠BEF=60°，
∴△BEF是等边三角形；
连接BP、PF、PQ，则BP=FP，
∴BP+QP=FP+PQ，
∴当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A点重合，
∵DA⊥AB，DA=6cm，
∴AE=cm，
在Rt△QEF中，cm，
∴BP+PQ的最小值为18cm.
故答案为：D.
【分析】作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则EB=EF，由三角形的内角和定理得∠BEC=30°，由轴对称性质及角的和差得∠BEF=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BEF是等边三角形；连接BP、PF、PQ，则BP=FP，当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A点重合，根据含30°角直角三角形的性质得AE=cm，，可求出答案.
9．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：，∠B=30°，ED=5，∴BE=10，∵DE为BC的垂直平分线，∴EB=EC=10。
故答案为：10。
【分析】先利用30°角的直角三角形的性质，求出BE的长，然后利用垂直平分线的性质得到EB=EC，最终求出结果。
10．【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接BQ，如下图：
∵△ABC是等边三角形，AHBC，AB=8
∴AC=BC，∠ACB=∠BAC=60°，BH=CH=4
∴∠CAP=30°
∵△CPQ是等边三角形
∴CP=CQ，∠PCQ=60°
∴∠PCA+∠PCB=∠PCB+∠QCB
∴∠PCA=∠QCB
∵AC=BC，∠PCA=∠QCB，CP=CQ
∴△PCA△QCB
∴∠QBC=∠CAP=30°
当HQBQ时，HQ的值最小；
此时∠BQH=90°；
∴HQ=BH=2
故答案为：2.
【分析】根据等边三角形的性质，可得AC=BC，∠ACB=∠BAC=60°，BH=CH，CP=CQ，∠PCQ=60°；根据等量代换原则，可得∠PCA=∠QCB；根据三角形全等的判定和性质，可得∠QBC=∠CAP；根据垂线段最短和含30°角的直角三角形的性质，可以求出HQ的最小值.
11．【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】 ，
AB=AC，
，
,
BD=2BE=4,
点D为边的中点，
AB=2BD=8,
AC=8,
【分析】利用等腰三角形的性质求得AB=AC，再利用直角三角形的性质以及线段中点的性质求得AB的长，从而求解.
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
由旋转可得：，，
是等边三角形，
，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由勾股定理，得，，
．
故答案为： .
【分析】根据旋转的性质、等边三角形的判定和性质、含30度直角三角形的性质求解。先证明是等边三角形，再证明是直角三角形，求出、的长即可解决问题．
13．【答案】18
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
∴．
阴影部分为等腰直角三角形．
∴面积为
故答案为：18．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质求得，根据等腰直角三角形的性质，即可求解．
14．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点D作，交BA的延长线于点E，
由题意得：，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴的面积，
∴的面积为16.
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等边对等角性质可得，再根据三角形内角和定理可得，即可求出答案.
（2）过点D作，交BA的延长线于点E，由题意得：，则是等边三角形，再根据等边三角形性质及三角形内角和定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据三角形面积公式即可求出答案.
15．【答案】（1）证明：∵于F，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）解：连接，如下图，
由（1）得，，，
∵D为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，即．
【知识点】等边三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再结合，可证出为等边三角形；
（2）连接CD，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再求出即可.
16．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°.
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE= ∠CBD=65°
（2）解：∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°.
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两内角互余得出∠ABC的度数，根据邻补角的定义得出 ∠CBD=130°，根据角平分线的定义得出 ∠CBE= ∠CBD=65° ；
（2）根据直角三角形的两锐角互余求出 ∠CEB 的度数，进而根据二直线平行，同位角相等得出 ∠F=∠CEB=25° .
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