2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 1.1 直角三角形的性质与判定（Ⅰ）同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·禄劝期中）如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
2．（2023八上·丰南期中）如图，在中，，，，连接并延长交于点，若，，则的长为（ ）
A．15 B．20 C．9 D．12
3．（2023八上·禹城月考）如图，在中，于点，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·岳阳月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，DE，若∠BAD=58°，则∠BED的度数为( )
A．118° B．108° C．122° D．116°
5．（2023九上·沙坪坝期中）如图，在中，，，为线段延长线一点，为线段上一点，连接交于点，连接，若，设，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·瑞安期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于E，F．以下四个结论正确的是（ ）
①∠EAF＝45°；②FC′＝BE；③EC＝3BE；④FC＝(－1)AE．
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
7．（2023九上·滕州开学考）如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，与交于点，那么图中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·珠山期中）如图，在中，，为的角平分线，为的中点，与相交于点，过点作垂直于点，过点作交于点，有下列说法：①．②，③为的中点，④．其中，正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
9．（2021八上·温州月考）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝ .
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB= ．
11．如图，，垂足为.
（1）图中有 个直角三角形.
（2）的余角有 ；与相等的角有 .
（3）若，则 .
12．如图，在Rt中，为斜边上的中线，将沿AD翻折，使点落在所在平面的点处，若，则 .
13．（2020·柯桥模拟）如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠A＝30°，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处.当直线EF与直线AC垂直时，则AE的长为 .
三、解答题
14．（2023八上·上海市期中） 已知：如图，在中，于点，点是边的中点，垂直平分线段．
（1）求证：；
（2）当，时，求的度数．
15．（2023九上·仪陇期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
如下图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中．若固定，将绕点C旋转．
（1）当绕点C旋转到点D恰好落在边上时，如下图．
①当时，求此时旋转角的大小；
②当时，直接写出此时旋转角的大小(用含α的式子表示)．
（2）当绕点C旋转到如下图所示的位置时，小组长猜想：的面积与的面积相等，试判断小组长的猜想是否正确，若正确，请你证明小组长的猜想．若不正确，请说明理由．
四、综合题
16．（2022八下·驻马店月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.
（1）求证：AE=2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形
故答案为：B
【分析】根据直角三角形的性质即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
，，
，
，，
，
，，
，即，
，
．
故答案为：A
【分析】先根据题意求出∠DAC，进而结合含30°角的直角三角形的性质即可得到AE的长，从而结合题意即可求解。
3．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】在中，∠A=30°，∴∠B=60°，设：BC=a，∴AB=2a，则AC=a，
又∵CD⊥AB，∴∠BCD=30°，在中，BC=a，∴BD=，则CD=
C ABC=AB+AC+BC==，
C BCD=BC+BD+CD==，
，A正确。
故答案为：A。
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质（30°角所对的直角边是斜边的一半），把相关三角形的各个边长表示出来，分别算出三角形的周长，最后计算周长比。
4．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】E为AC的中点，
∠BAD=58° ，
∠DEC时△ADE的一个外角，
∠DEC=∠DAE+∠ADE，
∠BEC时△AEB的一个外角，
∠BEC=∠ABE+∠EAB，
∠DEB=∠DEC+∠BEC=∠DAE+∠ADE+∠ABE+∠EAB=116°，
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得从而可得进一步得到再利用三角形外角的性质得到∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠BEC=∠ABE+∠EAB，利用角的和差关系从而得出结论.
5．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点F作EF⊥BC交AB于点E，
∵，
∴EF∥AD，∠CAB=60°，
∴∠EFG=∠D，
∵，
∴BF=EF，
∵，
∴EF=AD，
∵∠EGF=∠AGD，
∴△EFG≌△ADG（AAS），
∴FG=DG，
∴CG=FG=DG，
∴∠ACG=∠D=x，
∴∠BGC=∠ACG+∠CAG=60°+x.
故答案为：C.
【分析】过点F作EF⊥BC交AB于点E，证明△EFG≌△ADG（AAS），可得FG=DG，利用直角三角形的性质可得CG=FG=DG，从而得出∠ACG=∠D=x，根据三角形外角的性质可得∠BGC=∠ACG+∠CAG=60°+x.
6．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，
∴∠BAE=∠EAD=∠BAD，∠CAF=∠DAF=∠CAD，
∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=（∠BAD+∠CAD）=∠BAC=×90°=45°，故①正确；
∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=60°=∠BDA=∠CDF，∠C'=30°，
∴△ABD是等边三角形，∠C'FD=90°，DF=m，则C'D=2m，C'F=CF=，
∴CD=DF+CF=，
∵∠BDA=60°，∠C=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴DC=AD==BD
∴BE=DE=BD=，而C'F=，
∴C'F≠BE，故②错误；
∵CD=，BE=DE=，
∴CE=CD+CD=，故③正确；
∵∠BEC=90°，∠C=30°，
∴，
∴，
∴FC= (－1)AE ，故④正确，
综上，正确的有①③④.
故答案为：C.
【分析】由翻折得∠BAE=∠EAD=∠BAD，∠CAF=∠DAF=∠CAD，进而根据∠EAF=∠EAD+∠DAF可判断①；由三角形的内角和定理及翻折得∠B=60°=∠BDA=∠CDF，∠C'=30°，则△ABD是等边三角形，∠C'FD=90°，DF=m，则C'D=2m，C'F=CF=，进而根据三角形外角性质得∠DAC=∠C=30°，由等边对等角及线段的和差得DC=AD==BD，则E=DE=BD=，可判断②；由CE=CD+CD算出CE的长，可判断③；由含30°角直角三角形的性质得，从而代入 (－1)AE 算出结果可判断④.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设M的坐标为（AM，AB）
正方形ABCD旋转30°得到A'B'C'D'
在RtBC'M和RtBAM中，
≌ （HL）
又
即
解得AM=1
M的坐标为
故答案为：B
【分析】根据旋转的性质先得到纵坐标，然后由旋转得到的全等三角形证明得到30°角，30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理求得M点的横坐标。
8．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AC=BC， 为的中点 ，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD，即∠ADC=90°，
∴∠+∠2=90°，故①错误；
∵AC=BC，∠ACP=∠BCP，CP=CP，
∴△ACP≌△BCP（SAS），
∴ ，故④正确.
如图，延长DE交AC于点F，则∠AED=∠AEF=90°，
∵为∠BAC的平分线 ，
∴∠ADE=∠AFE，
∵∠AFE=∠ACD+∠FDC，
∴∠ADE=∠ACD+∠EDC，故②正确；
∵，
∴∠NEN=∠CAM=∠1，
∴AN=EN，
∵∠1+∠ADE=∠AEN+∠DEN=90°，
∴∠NDE=∠DEN，
∴DN=EN，
∴DN=AN，即 为的中点 ，故③正确；
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形三线合一的性质可得CD⊥AB，∠ACD=∠BCD，可得∠+∠2=90°，根据SAS证明△ACP≌△BCP（SAS），可得 ，据此判断①④；延长DE交AC于点F，则∠AED=∠AEF=90°，由角平分线的定义可得∠ADE=∠AFE，根据三角形外角的性质可得∠ADE=∠AFE=∠ACD+∠FDC，据此判断②；由平行线的性质及角平分线的定义可得∠NEN=∠CAM=∠1，可得AN=EN，再利用余角的性质可得∠NDE=∠DEN，可得DN=EN，即得DN=AN，据此判断③.
9．【答案】2
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝2DC，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴CD＝CE＝1，
∴BC＝2CD＝2.
故答案为：2
【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，BD⊥AC，由角平分线的概念可得∠DBC＝∠E＝30°，推出BC＝2DC，由外角的性质可得∠CDE＝∠E＝30°，则CD＝CE＝1，据此求解.
10．【答案】125°
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可得：AD平分∠CAB，
∵∠C=90°，∠B=20°，
∴∠CAB=70°，
∴∠CAD=∠BAD=35°，
∴∠ADB=180°﹣20°﹣35°=125°．
故答案为：125°．
【分析】根据角平分线的作法可得AD平分∠CAB，再根据三角形内角和定理可得∠ADB的度数．
11．【答案】（1）3
（2）∠1和∠B；∠2
（3）8
【知识点】余角、补角及其性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ACD与△BDC都是直角三角形，
故图中共有3个直角三角形；
故答案为：3；
（2）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠1+∠2=90°，
在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，
∴∠A+∠1=90°，
∴∠A的余角有∠1和∠B，∠A=∠2；
故答案为：∠1和∠B；∠2；
（3）∵BD=2，∠2=30° ，∠A=∠2
∴BC=2BD=4，∠A=30°，
∴AB=2BC=8.
故答案为： 8.
【分析】（1）根据垂直的定义得∠ADC=∠BDC=90°，进而根据有一个角是直角的三角形是直角三角形可得出图中直角三角形的个数；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得∠A+∠B=90°，∠A+∠1=90°，由角的和差得∠1+∠2=90°，进而根据和为90°的两个角互为余角及同角的余角相等可得答案；
（3）根据含30°角直角三角形的性质可得BC=2BD=4，AB=2BC=8.
12．【答案】30°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，AD为斜边上的中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠BAD=∠B，
∴∠ADC=∠BAD+∠B=2∠B，
∵AC'∥BC，
∴∠C'AD=∠ADC=2∠B，
∵△ADC≌△ADC'，
∴∠CAD=∠C'AD=2∠B，
又∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD=2∠B，
在△ADC中，180°=∠C+∠ADC+∠CAD，
∴180°=2∠B+2∠B+2∠B，
∴∠B=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据直角三角形的中线定理得AD=BD=CD，根据等腰三角形的性质和外角性质得∠ADC=2∠B，根据平行线的性质得∠C'AD=2∠B，再根据折叠得△ADC≌△ADC'推出∠CAD=2∠B，再利用等腰三角形的性质得∠C=2∠B，最后根据三角形内角和定理即可求得.
13．【答案】 或2
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC＝4，点D为AC的中点，
∴AD＝ AC＝2，
①当直线EF与直线AC垂直时，如图1，
∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝30°，∠AED＝∠FED，
∵∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝60°，
∴∠AED＝∠FED＝30°，
∴AD＝DE＝2，
过D作DM⊥AE与M，
∴AE＝2AM＝2× ×2＝2 ；
当直线EF与直线AC垂直时，如图2，
∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝30°，∠ADE＝∠FDE，
∵∠AGE＝∠FGE＝90°，
∴∠FGD＝90°，
∴∠ADE＝∠FDE＝30°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴AG＝ AD＝1，
∴AE＝ ，
综上所述， 或2 ，
故答案为： 或2 .
【分析】当直线EF与直线AC垂直时，如图1，如图2，根据折叠的性质得到和等腰三角形的判定和性质定理以及直角三角形的性质健康得到结论.
14．【答案】（1）证明：连接，
在中，，点是的中点，
，
又垂直平分线段，
，
（2）解：，
，
，
∵AE=AD，
，
，
，
.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质，结合垂直平分线的性质求证。连接AE，根据直角三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，等量代换可得结论；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质求出∠AED，然后再根据等腰三角形的性质求出∠D，利用三角形的外角性质求出∠CAB即可得到答案．
15．【答案】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时旋转角为．
②
（2）解：小组长猜想是正确的，理由如下：
过点B作于N，过点E作于M，如图3，
∵，
∴，
∴，
∵于N，于M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】
（1） ② 解：∵∠B=α，∠ACB=90°
∴ ∠CAD=90°-α
由旋转得CA=CD，
∴∠ADC=CAD=90°-α
∴∠ACD=180°-2∠CAD
∴ 旋转角=2α
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质（两锐角互余）等知识，熟悉其性质是关键。
（1）① 根据直角三角形性质得∠CAD，根据旋转性质得CA=CD得∠ADC=∠CAD，可得旋转角；②利用 ①的方法求解；
（2）过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M ，用AAS证明得BN=EM， 根据及CD=AC，可证
16．【答案】（1）证明：连结BE，如图.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE.
（2）解：△BCD是等边三角形.
理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB的中点.
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD.
又∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质得AE=BE，由等边对等角可求得∠ABE＝∠A＝30°，从而得∠EBC＝30°，在Rt△BCE中，由30° 角所对直角边等于斜边一半得BE＝2CE，进而得出结论；
（2）由垂直平分线的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD＝BD，又∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 1.1 直角三角形的性质与判定（Ⅰ）同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·禄劝期中）如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形
故答案为：B
【分析】根据直角三角形的性质即可求出答案.
2．（2023八上·丰南期中）如图，在中，，，，连接并延长交于点，若，，则的长为（ ）
A．15 B．20 C．9 D．12
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
，，
，
，，
，
，，
，即，
，
．
故答案为：A
【分析】先根据题意求出∠DAC，进而结合含30°角的直角三角形的性质即可得到AE的长，从而结合题意即可求解。
3．（2023八上·禹城月考）如图，在中，于点，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】在中，∠A=30°，∴∠B=60°，设：BC=a，∴AB=2a，则AC=a，
又∵CD⊥AB，∴∠BCD=30°，在中，BC=a，∴BD=，则CD=
C ABC=AB+AC+BC==，
C BCD=BC+BD+CD==，
，A正确。
故答案为：A。
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质（30°角所对的直角边是斜边的一半），把相关三角形的各个边长表示出来，分别算出三角形的周长，最后计算周长比。
4．（2023八上·岳阳月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，DE，若∠BAD=58°，则∠BED的度数为( )
A．118° B．108° C．122° D．116°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】E为AC的中点，
∠BAD=58° ，
∠DEC时△ADE的一个外角，
∠DEC=∠DAE+∠ADE，
∠BEC时△AEB的一个外角，
∠BEC=∠ABE+∠EAB，
∠DEB=∠DEC+∠BEC=∠DAE+∠ADE+∠ABE+∠EAB=116°，
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得从而可得进一步得到再利用三角形外角的性质得到∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠BEC=∠ABE+∠EAB，利用角的和差关系从而得出结论.
5．（2023九上·沙坪坝期中）如图，在中，，，为线段延长线一点，为线段上一点，连接交于点，连接，若，设，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点F作EF⊥BC交AB于点E，
∵，
∴EF∥AD，∠CAB=60°，
∴∠EFG=∠D，
∵，
∴BF=EF，
∵，
∴EF=AD，
∵∠EGF=∠AGD，
∴△EFG≌△ADG（AAS），
∴FG=DG，
∴CG=FG=DG，
∴∠ACG=∠D=x，
∴∠BGC=∠ACG+∠CAG=60°+x.
故答案为：C.
【分析】过点F作EF⊥BC交AB于点E，证明△EFG≌△ADG（AAS），可得FG=DG，利用直角三角形的性质可得CG=FG=DG，从而得出∠ACG=∠D=x，根据三角形外角的性质可得∠BGC=∠ACG+∠CAG=60°+x.
6．（2023八上·瑞安期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于E，F．以下四个结论正确的是（ ）
①∠EAF＝45°；②FC′＝BE；③EC＝3BE；④FC＝(－1)AE．
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，
∴∠BAE=∠EAD=∠BAD，∠CAF=∠DAF=∠CAD，
∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=（∠BAD+∠CAD）=∠BAC=×90°=45°，故①正确；
∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=60°=∠BDA=∠CDF，∠C'=30°，
∴△ABD是等边三角形，∠C'FD=90°，DF=m，则C'D=2m，C'F=CF=，
∴CD=DF+CF=，
∵∠BDA=60°，∠C=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴DC=AD==BD
∴BE=DE=BD=，而C'F=，
∴C'F≠BE，故②错误；
∵CD=，BE=DE=，
∴CE=CD+CD=，故③正确；
∵∠BEC=90°，∠C=30°，
∴，
∴，
∴FC= (－1)AE ，故④正确，
综上，正确的有①③④.
故答案为：C.
【分析】由翻折得∠BAE=∠EAD=∠BAD，∠CAF=∠DAF=∠CAD，进而根据∠EAF=∠EAD+∠DAF可判断①；由三角形的内角和定理及翻折得∠B=60°=∠BDA=∠CDF，∠C'=30°，则△ABD是等边三角形，∠C'FD=90°，DF=m，则C'D=2m，C'F=CF=，进而根据三角形外角性质得∠DAC=∠C=30°，由等边对等角及线段的和差得DC=AD==BD，则E=DE=BD=，可判断②；由CE=CD+CD算出CE的长，可判断③；由含30°角直角三角形的性质得，从而代入 (－1)AE 算出结果可判断④.
7．（2023九上·滕州开学考）如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，与交于点，那么图中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设M的坐标为（AM，AB）
正方形ABCD旋转30°得到A'B'C'D'
在RtBC'M和RtBAM中，
≌ （HL）
又
即
解得AM=1
M的坐标为
故答案为：B
【分析】根据旋转的性质先得到纵坐标，然后由旋转得到的全等三角形证明得到30°角，30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理求得M点的横坐标。
8．（2023八下·珠山期中）如图，在中，，为的角平分线，为的中点，与相交于点，过点作垂直于点，过点作交于点，有下列说法：①．②，③为的中点，④．其中，正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AC=BC， 为的中点 ，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD，即∠ADC=90°，
∴∠+∠2=90°，故①错误；
∵AC=BC，∠ACP=∠BCP，CP=CP，
∴△ACP≌△BCP（SAS），
∴ ，故④正确.
如图，延长DE交AC于点F，则∠AED=∠AEF=90°，
∵为∠BAC的平分线 ，
∴∠ADE=∠AFE，
∵∠AFE=∠ACD+∠FDC，
∴∠ADE=∠ACD+∠EDC，故②正确；
∵，
∴∠NEN=∠CAM=∠1，
∴AN=EN，
∵∠1+∠ADE=∠AEN+∠DEN=90°，
∴∠NDE=∠DEN，
∴DN=EN，
∴DN=AN，即 为的中点 ，故③正确；
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形三线合一的性质可得CD⊥AB，∠ACD=∠BCD，可得∠+∠2=90°，根据SAS证明△ACP≌△BCP（SAS），可得 ，据此判断①④；延长DE交AC于点F，则∠AED=∠AEF=90°，由角平分线的定义可得∠ADE=∠AFE，根据三角形外角的性质可得∠ADE=∠AFE=∠ACD+∠FDC，据此判断②；由平行线的性质及角平分线的定义可得∠NEN=∠CAM=∠1，可得AN=EN，再利用余角的性质可得∠NDE=∠DEN，可得DN=EN，即得DN=AN，据此判断③.
二、填空题
9．（2021八上·温州月考）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝ .
【答案】2
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝2DC，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴CD＝CE＝1，
∴BC＝2CD＝2.
故答案为：2
【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，BD⊥AC，由角平分线的概念可得∠DBC＝∠E＝30°，推出BC＝2DC，由外角的性质可得∠CDE＝∠E＝30°，则CD＝CE＝1，据此求解.
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB= ．
【答案】125°
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可得：AD平分∠CAB，
∵∠C=90°，∠B=20°，
∴∠CAB=70°，
∴∠CAD=∠BAD=35°，
∴∠ADB=180°﹣20°﹣35°=125°．
故答案为：125°．
【分析】根据角平分线的作法可得AD平分∠CAB，再根据三角形内角和定理可得∠ADB的度数．
11．如图，，垂足为.
（1）图中有 个直角三角形.
（2）的余角有 ；与相等的角有 .
（3）若，则 .
【答案】（1）3
（2）∠1和∠B；∠2
（3）8
【知识点】余角、补角及其性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ACD与△BDC都是直角三角形，
故图中共有3个直角三角形；
故答案为：3；
（2）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠1+∠2=90°，
在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，
∴∠A+∠1=90°，
∴∠A的余角有∠1和∠B，∠A=∠2；
故答案为：∠1和∠B；∠2；
（3）∵BD=2，∠2=30° ，∠A=∠2
∴BC=2BD=4，∠A=30°，
∴AB=2BC=8.
故答案为： 8.
【分析】（1）根据垂直的定义得∠ADC=∠BDC=90°，进而根据有一个角是直角的三角形是直角三角形可得出图中直角三角形的个数；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得∠A+∠B=90°，∠A+∠1=90°，由角的和差得∠1+∠2=90°，进而根据和为90°的两个角互为余角及同角的余角相等可得答案；
（3）根据含30°角直角三角形的性质可得BC=2BD=4，AB=2BC=8.
12．如图，在Rt中，为斜边上的中线，将沿AD翻折，使点落在所在平面的点处，若，则 .
【答案】30°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，AD为斜边上的中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠BAD=∠B，
∴∠ADC=∠BAD+∠B=2∠B，
∵AC'∥BC，
∴∠C'AD=∠ADC=2∠B，
∵△ADC≌△ADC'，
∴∠CAD=∠C'AD=2∠B，
又∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD=2∠B，
在△ADC中，180°=∠C+∠ADC+∠CAD，
∴180°=2∠B+2∠B+2∠B，
∴∠B=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据直角三角形的中线定理得AD=BD=CD，根据等腰三角形的性质和外角性质得∠ADC=2∠B，根据平行线的性质得∠C'AD=2∠B，再根据折叠得△ADC≌△ADC'推出∠CAD=2∠B，再利用等腰三角形的性质得∠C=2∠B，最后根据三角形内角和定理即可求得.
13．（2020·柯桥模拟）如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠A＝30°，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处.当直线EF与直线AC垂直时，则AE的长为 .
【答案】 或2
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC＝4，点D为AC的中点，
∴AD＝ AC＝2，
①当直线EF与直线AC垂直时，如图1，
∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝30°，∠AED＝∠FED，
∵∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝60°，
∴∠AED＝∠FED＝30°，
∴AD＝DE＝2，
过D作DM⊥AE与M，
∴AE＝2AM＝2× ×2＝2 ；
当直线EF与直线AC垂直时，如图2，
∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝30°，∠ADE＝∠FDE，
∵∠AGE＝∠FGE＝90°，
∴∠FGD＝90°，
∴∠ADE＝∠FDE＝30°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴AG＝ AD＝1，
∴AE＝ ，
综上所述， 或2 ，
故答案为： 或2 .
【分析】当直线EF与直线AC垂直时，如图1，如图2，根据折叠的性质得到和等腰三角形的判定和性质定理以及直角三角形的性质健康得到结论.
三、解答题
14．（2023八上·上海市期中） 已知：如图，在中，于点，点是边的中点，垂直平分线段．
（1）求证：；
（2）当，时，求的度数．
【答案】（1）证明：连接，
在中，，点是的中点，
，
又垂直平分线段，
，
（2）解：，
，
，
∵AE=AD，
，
，
，
.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质，结合垂直平分线的性质求证。连接AE，根据直角三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，等量代换可得结论；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质求出∠AED，然后再根据等腰三角形的性质求出∠D，利用三角形的外角性质求出∠CAB即可得到答案．
15．（2023九上·仪陇期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
如下图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中．若固定，将绕点C旋转．
（1）当绕点C旋转到点D恰好落在边上时，如下图．
①当时，求此时旋转角的大小；
②当时，直接写出此时旋转角的大小(用含α的式子表示)．
（2）当绕点C旋转到如下图所示的位置时，小组长猜想：的面积与的面积相等，试判断小组长的猜想是否正确，若正确，请你证明小组长的猜想．若不正确，请说明理由．
【答案】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时旋转角为．
②
（2）解：小组长猜想是正确的，理由如下：
过点B作于N，过点E作于M，如图3，
∵，
∴，
∴，
∵于N，于M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】
（1） ② 解：∵∠B=α，∠ACB=90°
∴ ∠CAD=90°-α
由旋转得CA=CD，
∴∠ADC=CAD=90°-α
∴∠ACD=180°-2∠CAD
∴ 旋转角=2α
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质（两锐角互余）等知识，熟悉其性质是关键。
（1）① 根据直角三角形性质得∠CAD，根据旋转性质得CA=CD得∠ADC=∠CAD，可得旋转角；②利用 ①的方法求解；
（2）过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M ，用AAS证明得BN=EM， 根据及CD=AC，可证
四、综合题
16．（2022八下·驻马店月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.
（1）求证：AE=2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：连结BE，如图.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE.
（2）解：△BCD是等边三角形.
理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB的中点.
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD.
又∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质得AE=BE，由等边对等角可求得∠ABE＝∠A＝30°，从而得∠EBC＝30°，在Rt△BCE中，由30° 角所对直角边等于斜边一半得BE＝2CE，进而得出结论；
（2）由垂直平分线的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD＝BD，又∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形.
1 / 1
