2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八上·杭州月考）如图，△ABC中，D为AC的中点，CE⊥AB于点E，若DE=3，AE=5，则CE=（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．（2022八上·罗湖期中）在中，，，，则的长为（ ）
A．5 B．10 C． D．28
3．（2023八上·清苑期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，，则该三角形的三边满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·李沧期中）如图是由边长为的方砖铺设的地板示意图，如果小球在地板上从点滚动到点，则小球滚动的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·温岭期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得，若点在AB上，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
6．（2023八上·杭州月考）将长方形纸片ABCD如图折叠，B，C两点恰好重合在AD边上的同一点P处，折痕分别是MH，NG，若∠MPN=90°，PM=3，MN=5，分别记△PHM，△PNG，△PMN的面积为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的数量关系是（ ）
A．S3=S1+S2 B．3S3=2S1+2S2 C．S3=5S2-5S1 D．2S3=3S2-S1
7．（2023八上·萧县期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）；如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边分别为、，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·成都期中）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）cm．
A．10 B．50 C．10 D．70
二、填空题
9．（2019八上·瑞安期末）若直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的中线长为 .
10．（2023八上·瑞安期中）如图，一太阳能热水器支架(Rt△ACB)两直角边AC＝1.2米，CB＝1.6米，点D为受光面斜边AB的中点，则连杆CD的长为 米．
11．（2023九上·光明月考）如图，矩形纸片ABCD中，BC＝8cm，把矩形纸片沿直线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，若BF＝cm，则CD的长度为 ．
12．（2023·荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若，，则DE= ．
13．（2023九上·中江期中） 如图，点O为等边△ABC内一点AO＝8，BO＝6，CO＝10，将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合，点O旋转至点O1处，连接OO1，则四边形AO1BO的面积是 ．
三、综合题
14．（2023八下·孝义期末）如图，在边长均为1的小正方形网格中，线段的端点都在格点上．（小正方形的顶点叫格点．）
（1）实践与操作：
以为一边作矩形，使；（点，画在格点上）
（2）推理与计算：
线段的长为 ，矩形的面积为 ．
15．（2017八上·南海期末）如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．
（1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，
∵点D是斜边AC的中点，且DE=3，
∴AC=2DE=6，
由勾股定理得.
故答案为：C.
【分析】首先由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得AC=2DE=6，进而在Rt△AEC中，利用勾股定理可算出CE的长.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用勾股定理计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，的对边分别是a，b，c，，
∴，
故答案为：C
【分析】根据题意结合勾股定理即可求解。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AB，此时AB为小球滚动的最短路程，
∴AB==2；
故答案为：C.
【分析】根据题意判断AB的长度即为小球滚动的最短路程，利用勾股定理求出AB的长即可。
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，AC=3，BC=4
∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，BC'=BC=4，
在Rt△ABC中，AB＝＝5，
∴AC'＝AB-BC'=5-4＝1，
∴在Rt△AA'C'中，AA′＝＝=，
故答案为：A．
【分析】由旋转的性质得出A'C'、BC'的长度，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AB的长，从而得AC'的长，最后在Rt△AA'C'中，利用勾股定理计算，即可求得AA′的长．
6．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵将长方形纸片ABCD如图折叠，B，C两点恰好重合在AD边上的同一点P，处，
∴BM=PM，CN=PN，
∵∠MPN=90°，PM=3，MN=5，
∴由勾股定理得PN=4，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠3，
又∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴PG=PN=4，
同理HP=PM=3，
设纸片宽为h，
∴S1=×3h，S2=×4h，S3=×5h，
∴S3=5S2-5S1.
故答案为：C.
【分析】由折叠性质得BM=PM，CN=PN，在△PMN中，利用勾股定理得PN=4，由平行线的性质及折叠性质可得∠2=∠3，由等角对等边得PG=PN=4，同理PH=PM=3，设纸片宽为h，用三角形的面积公式表示出S1、S2及S3，即可判断得出答案.
7．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边分别为、，大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，
∴，，
由得：，
得：，
得：，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据大正方形的面积是10，可得，根据小正方形的面积是2，可得，将这两个式子变形即可解决问题．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】分析没写 知识点应加上 平面展开﹣最短路径问题
【解答】解：第一种情况：如图1所示，当蚂蚁从盒子前面和右面爬行时（其他情况与此重复，不在考虑），虚线AC'为行走路程，因为AC=40cm，C'C=30cm，则AC'=50cm
第二种情况：如图2所示，当蚂蚁从盒子前面和上面爬行时（其他情况与此重复，不在考虑），虚线AC'为行走路程，因为AB=20cm，BC'=20+30=50cm，则AC'=10cm
因为10>50，所以爬行距离最短为50cm
故答案为：B.
【分析】 根据图形可知长方体的四个侧面都相等，所以分两种情况进行解答即可．
9．【答案】2.5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由勾股定理得，斜边= =5，
所以，斜边上中线长= ×5=2.5.
故答案为：2.5.
【分析】利用勾股定理求出斜边长，然后利用斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
10．【答案】1
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°， AC＝1.2米，CB＝1.6米，
∴AB=米，
∵点D为受光面斜边AB的中点，
∴CD=AB=1米.
故答案为：1.
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD的长.
11．【答案】6cm
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB=DC，AD=BC，∠C=∠A=
∵矩形纸片沿直线BD折叠，点C落在点E处
∴BC=BE，DC=DE，∠E=∠C=∠A
∵AB=DE，∠A=∠E，AD=BE
∴△ABD≌△EDB
∴∠EBD=∠ADB，∠ABD=∠EDB
∴∠ABF=∠EDF
∵∠ABF=∠EDF，AB=DE，∠A=∠E
∴△ABF≌△DEF
∴AF=EF=BE-BF=8- =，DF=BF=
∴CD=DE==（cm）
故答案为：6cm.
【分析】根据矩形的性质，可得AB=DC，AD=BC，∠C=∠A=；
根据翻折的原则，可得BC=BE，DC=DE，∠E=∠C=∠A；
根据三角形全等判定和性质，可得AF=EF，DF=BF；
根据勾股定理，即可求出CD的长度.
12．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=AD=BD.
∵E为AC的中点，
∴AE=CE，DE⊥AC.
∵AC=8，
∴AE=CE=4.
∵CE=4，CD=5，CE2+DE2=CD2，
∴DE==3.
故答案为：3.
【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=BD，根据等腰三角形的性质可得AE=CE=4，DE⊥AC，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】
解：∵将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合
∴ △AOC≌△AO1B
∴ AO=AO1=OO1=8，OC=O1B=10，
∵ OB=6
∴ OB2=36
∵ O1B2=100，OO12=64，
∴ OB2+OO12=O1B2
∴ OO1⊥OB
∴ S四AO1BO=S△AO1O+S△BO1O=
即S四AO1BO=24+16
【分析】本题考查图形旋转的性质及直角三角形、等边三角形的判定和三角形的面积计算，熟悉旋转的性质（旋转前后的图形全等）和直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）和等边三角形的面积公式（a为边长，则S等边=）是关键。根据旋转的性质得△AOC≌△AO1B，则有AO=AO1=OO1=8，判定△O1OB为直角三角形，可得 S四AO1BO=S△AO1O+S△BO1O=24+16.
14．【答案】（1）解：如图，矩形为所求图形；
（2）；10
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】（2）由题意可得：
故答案为：第1空、
第2空、10
【分析】（1）根据网格边长特点即可求出答案。
（2）根据勾股定理及矩形面积公式即可求出答案。
15．【答案】（1）解：如图，
∵AB=25米，BE=7米，
梯子距离地面的高度AE= =24米．
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）解：∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，
∴BD+BE=DE= = =15，
∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】第1小题，在直角三角形ABE中，用勾股定理可求梯子距离地面的高度AE‘第2小题，在直角三角形CDE中，用勾股定理可求DE，那么DB=DE-BE。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八上·杭州月考）如图，△ABC中，D为AC的中点，CE⊥AB于点E，若DE=3，AE=5，则CE=（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，
∵点D是斜边AC的中点，且DE=3，
∴AC=2DE=6，
由勾股定理得.
故答案为：C.
【分析】首先由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得AC=2DE=6，进而在Rt△AEC中，利用勾股定理可算出CE的长.
2．（2022八上·罗湖期中）在中，，，，则的长为（ ）
A．5 B．10 C． D．28
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用勾股定理计算求解即可。
3．（2023八上·清苑期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，，则该三角形的三边满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，的对边分别是a，b，c，，
∴，
故答案为：C
【分析】根据题意结合勾股定理即可求解。
4．（2023八上·李沧期中）如图是由边长为的方砖铺设的地板示意图，如果小球在地板上从点滚动到点，则小球滚动的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AB，此时AB为小球滚动的最短路程，
∴AB==2；
故答案为：C.
【分析】根据题意判断AB的长度即为小球滚动的最短路程，利用勾股定理求出AB的长即可。
5．（2023九上·温岭期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得，若点在AB上，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，AC=3，BC=4
∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，BC'=BC=4，
在Rt△ABC中，AB＝＝5，
∴AC'＝AB-BC'=5-4＝1，
∴在Rt△AA'C'中，AA′＝＝=，
故答案为：A．
【分析】由旋转的性质得出A'C'、BC'的长度，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AB的长，从而得AC'的长，最后在Rt△AA'C'中，利用勾股定理计算，即可求得AA′的长．
6．（2023八上·杭州月考）将长方形纸片ABCD如图折叠，B，C两点恰好重合在AD边上的同一点P处，折痕分别是MH，NG，若∠MPN=90°，PM=3，MN=5，分别记△PHM，△PNG，△PMN的面积为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的数量关系是（ ）
A．S3=S1+S2 B．3S3=2S1+2S2 C．S3=5S2-5S1 D．2S3=3S2-S1
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵将长方形纸片ABCD如图折叠，B，C两点恰好重合在AD边上的同一点P，处，
∴BM=PM，CN=PN，
∵∠MPN=90°，PM=3，MN=5，
∴由勾股定理得PN=4，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠3，
又∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴PG=PN=4，
同理HP=PM=3，
设纸片宽为h，
∴S1=×3h，S2=×4h，S3=×5h，
∴S3=5S2-5S1.
故答案为：C.
【分析】由折叠性质得BM=PM，CN=PN，在△PMN中，利用勾股定理得PN=4，由平行线的性质及折叠性质可得∠2=∠3，由等角对等边得PG=PN=4，同理PH=PM=3，设纸片宽为h，用三角形的面积公式表示出S1、S2及S3，即可判断得出答案.
7．（2023八上·萧县期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）；如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边分别为、，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边分别为、，大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，
∴，，
由得：，
得：，
得：，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据大正方形的面积是10，可得，根据小正方形的面积是2，可得，将这两个式子变形即可解决问题．
8．（2023八上·成都期中）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）cm．
A．10 B．50 C．10 D．70
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】分析没写 知识点应加上 平面展开﹣最短路径问题
【解答】解：第一种情况：如图1所示，当蚂蚁从盒子前面和右面爬行时（其他情况与此重复，不在考虑），虚线AC'为行走路程，因为AC=40cm，C'C=30cm，则AC'=50cm
第二种情况：如图2所示，当蚂蚁从盒子前面和上面爬行时（其他情况与此重复，不在考虑），虚线AC'为行走路程，因为AB=20cm，BC'=20+30=50cm，则AC'=10cm
因为10>50，所以爬行距离最短为50cm
故答案为：B.
【分析】 根据图形可知长方体的四个侧面都相等，所以分两种情况进行解答即可．
二、填空题
9．（2019八上·瑞安期末）若直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的中线长为 .
【答案】2.5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由勾股定理得，斜边= =5，
所以，斜边上中线长= ×5=2.5.
故答案为：2.5.
【分析】利用勾股定理求出斜边长，然后利用斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
10．（2023八上·瑞安期中）如图，一太阳能热水器支架(Rt△ACB)两直角边AC＝1.2米，CB＝1.6米，点D为受光面斜边AB的中点，则连杆CD的长为 米．
【答案】1
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°， AC＝1.2米，CB＝1.6米，
∴AB=米，
∵点D为受光面斜边AB的中点，
∴CD=AB=1米.
故答案为：1.
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD的长.
11．（2023九上·光明月考）如图，矩形纸片ABCD中，BC＝8cm，把矩形纸片沿直线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，若BF＝cm，则CD的长度为 ．
【答案】6cm
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB=DC，AD=BC，∠C=∠A=
∵矩形纸片沿直线BD折叠，点C落在点E处
∴BC=BE，DC=DE，∠E=∠C=∠A
∵AB=DE，∠A=∠E，AD=BE
∴△ABD≌△EDB
∴∠EBD=∠ADB，∠ABD=∠EDB
∴∠ABF=∠EDF
∵∠ABF=∠EDF，AB=DE，∠A=∠E
∴△ABF≌△DEF
∴AF=EF=BE-BF=8- =，DF=BF=
∴CD=DE==（cm）
故答案为：6cm.
【分析】根据矩形的性质，可得AB=DC，AD=BC，∠C=∠A=；
根据翻折的原则，可得BC=BE，DC=DE，∠E=∠C=∠A；
根据三角形全等判定和性质，可得AF=EF，DF=BF；
根据勾股定理，即可求出CD的长度.
12．（2023·荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若，，则DE= ．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=AD=BD.
∵E为AC的中点，
∴AE=CE，DE⊥AC.
∵AC=8，
∴AE=CE=4.
∵CE=4，CD=5，CE2+DE2=CD2，
∴DE==3.
故答案为：3.
【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=BD，根据等腰三角形的性质可得AE=CE=4，DE⊥AC，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算.
13．（2023九上·中江期中） 如图，点O为等边△ABC内一点AO＝8，BO＝6，CO＝10，将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合，点O旋转至点O1处，连接OO1，则四边形AO1BO的面积是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】
解：∵将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合
∴ △AOC≌△AO1B
∴ AO=AO1=OO1=8，OC=O1B=10，
∵ OB=6
∴ OB2=36
∵ O1B2=100，OO12=64，
∴ OB2+OO12=O1B2
∴ OO1⊥OB
∴ S四AO1BO=S△AO1O+S△BO1O=
即S四AO1BO=24+16
【分析】本题考查图形旋转的性质及直角三角形、等边三角形的判定和三角形的面积计算，熟悉旋转的性质（旋转前后的图形全等）和直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）和等边三角形的面积公式（a为边长，则S等边=）是关键。根据旋转的性质得△AOC≌△AO1B，则有AO=AO1=OO1=8，判定△O1OB为直角三角形，可得 S四AO1BO=S△AO1O+S△BO1O=24+16.
三、综合题
14．（2023八下·孝义期末）如图，在边长均为1的小正方形网格中，线段的端点都在格点上．（小正方形的顶点叫格点．）
（1）实践与操作：
以为一边作矩形，使；（点，画在格点上）
（2）推理与计算：
线段的长为 ，矩形的面积为 ．
【答案】（1）解：如图，矩形为所求图形；
（2）；10
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】（2）由题意可得：
故答案为：第1空、
第2空、10
【分析】（1）根据网格边长特点即可求出答案。
（2）根据勾股定理及矩形面积公式即可求出答案。
15．（2017八上·南海期末）如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．
（1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
【答案】（1）解：如图，
∵AB=25米，BE=7米，
梯子距离地面的高度AE= =24米．
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）解：∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，
∴BD+BE=DE= = =15，
∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】第1小题，在直角三角形ABE中，用勾股定理可求梯子距离地面的高度AE‘第2小题，在直角三角形CDE中，用勾股定理可求DE，那么DB=DE-BE。
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