2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·青羊月考）的三条边是，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八上·清苑期中）如图，在中，，，，在线段BC上有一点D，，连接AD，则的面积为（ ）
A．4 B．8 C． D．10
3．（2023八上·清苑期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若，，则等于（ ）
A．15 B．16 C．17 D．20
4．（2023八上·李沧期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读k n，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点、点与门槛的距离尺（1尺寸），则的长是（ ）
A．26寸 B．50.5寸 C．52寸 D．101寸
5．（2023八上·太原期中）在学习勾股定理时，小明利用如图验证了勾股定理.若图中，，则阴影部分直角三角形的面积为（ ）
A．5 B．25 C． D．
6．（2023八上·瓯海期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，BC于点N，F，的周长为9.若，，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
7．（2023九上·福州月考）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（-6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（ ）
A．3 B．6-4 C．2-2 D．2
8．（2023八上·绍兴期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八上·青羊月考）如图，在中，，以C为圆心，为半径画弧，交于点D，再分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，作直线交于点E．若，则的面积是 ．
10．（2023八上·青羊月考）如图，长方形的边长为3，长为1，在数轴上点A对应的数为，点B对应的数为2，以A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E，则E点表示的数为 ．
11．（2021九上·温江期中）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是 .
12．（2023八上·杭州月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点D，E，F分别是线段AC，AB，DC的中点，下列结论：①△EFB为等边三角形．②S四边形DFBE＝S△ABC．③AE＝2DF．④AC＝8DG．其中正确的是 ．
13．（2023·菏泽）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
三、解答题
14．（2023八上·清苑期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风的影响）．如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C两地相距，A，B两地相距．
（1）农场A是否会受到台风的影响？请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为，则该农场受台风影响的持续时间有多长？
15．（2023八上·成都期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：△ACF≌△CBG；
（2）如图2，延长CG交AB于H，连接AG交CF于点M，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠FCH＝2∠GAC时，若BG＝4，求AM的长．
四、综合题
16．（2023八上·龙泉期中）如图，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于点O，AO=4，BO=6.
（1）求BC，AC的长；
（2）若点D是射线OB上的一个动点，作直线DE⊥AC于点E，直线DE与直线BC交于点F.
①如图1，当点D在线段OB上时，求证：△BDF是等腰三角形；
②连结OF，CD，若S△OBF：S△OBC=1：2，求CD的长.
17．（2019八下·九江期中）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
A、设则
∵，
∴，
解得，
∴，
∴此三角形不是直角三角形，A符合题意；
B、∵，
∴，
∴此三角形是直角三角形，B不符合题意；
C、此三角形是直角三角形，C不符合题意；
D、∵，
∴此三角形是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】设则进而根据三角形内角和定理即可判断A；根据三角形内角和定理即可判断B；根据勾股定理的逆定理即可判断C和D。
2．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：过点A作交于点E，如图所示：
设，，则，
在中，，
在中，，
解得，，
∴，
故答案为：B
【分析】过点A作交于点E，设，，则，根据勾股定理即可求出x和h，进而结合三角形的面积即可求解。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形是“垂美”四边形，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据题意即可得到，再根据勾股定理得到，，进而得到，从而结合题意运用勾股定理即可求解。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设AE=BF=x，则AC=（x+1）
在直角三角形中，AE2+CE2=AC2，
x2+102=（x+1）2
解得，x=，
∴AB=×2+2=101；
故答案为：101.
【分析】根据题意列出数量关系，结合勾股定理求出答案即可。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】根据勾股定理可得：c=，
∴阴影部分的面积=×c×c=，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出c的值，再利用三角形的面积公式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线为直线ME， 边AC的垂直平分线为直线NF，
∴BE=AE，CF=AF，
∴∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，
∵∠B+∠C=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠EAF=180°-∠B-∠C-∠BAE-∠CAF=90°，
∴AE2+AF2=EF2=16，
∵△AEF的周长为9，
∴AE+EF+AF=9，
∵EF=4，
∴AE+AF=5，
∴AE·AF=[(AE+AF)2-(AE2+AF2)]=，
∴S△AEF=AE·AF=.
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质得BE=AE，CF=AF， 再根据等腰三角形的性质得∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，再根据三角形内角和定理推出∠EAF=90°，利用勾股定理得AE2+AF2=16， 由周长可得AE+AF=5，从而推出S△AEF.
7．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，取OB中点N，连接MN，AN．
在Rt△OCD中，OD＝4，∠D＝30°，
∴OC＝4，
∵M、N分别是BC、OB的中点，
∴MN=OC＝2，
在△ABN中，AB＝4，BN＝3，
∴AN＝5，
在△AMN中，AM＞AN-MN；当M运动到AN上时，AM＝AN-MN，
∴AM≥AN-MN＝5-2＝3，
∴线段AM的最小值是3，
故答案为：A.
【分析】由点M是BC中点，想到构造中位线，因此取OB中点，可求得MN的长，然后利用三角形两边之差即AM≥AN-MN的最值模型即可解答．
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：设，，则，
，，即，求得，
在中有，，求得，，，.
故答案为：D.
【分析】设，，等量关系求得，在利用勾股定理，可得，再结合得到，进而判断选项.
9．【答案】4
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴的面积是，
故答案为：4
【分析】先根据垂直平分线的性质得到，进而得到AE的长，再根据勾股定理即可求出CE，进而运用三角形的面积公式即可求解。
10．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵长方形的边长为3，长为1，在数轴上点A对应的数为，点B对应的数为2，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】先根据勾股定理求出AC，进而数轴结合题意即可求解。
11．【答案】+2
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=4，BC=2，
∴OE=AE=AB=2，
DE==，
∴OD的最大值为：+2，
故答案为+2.
【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据两点之间线段最短得到当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据直角三角形斜边中线的性质求出OE，然后根据勾股定理求出DE，即可求出结果.
12．【答案】①②④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
①∵∠ABC=90°，∠A=30°，点D为AC的中点，
∴AD=CD=BD=BC，
∴△BCD是等边三角形，△BDA是等腰三角形，
∴∠DBC=60°，∠A=∠ABD=30°，
∵点F是线段DC的中点，
∴∠CBF=∠DBF=30°，BF⊥CD，
∴∠FBE=∠DBF+∠EBD=60°，
∵点E是线段AB的中点，
∴BE=AE=AB，DE⊥AB，
设DF=a，则CF=a，CD=BC=BD=AD=2a，
∴AC=4a，AE=BE=a，，
∴BF=BE，
∵∠FBE=60°，
∴∠BFE=∠BEF=，
∴△EFB是等边三角形，故①正确；
②∵，
∴S四边形DFBE=S△BDE+S△BDF=，
∵S△ABC=，
∴S四边形DFBE=S△ABC，故②正确；
③∵
∴，故③错误；
④∵△EFB是等边三角形，∠CBF=∠DBF=30°，
∴BG是∠FBE的角平分线，
∴BG⊥EF，
∴∠BGE=∠BGF=90°，
∴，
∴，
∴DG=BD-BG=，
∵AC=4a，
∴AC=8DG，故④正确，
综上，正确的有①②④.
故答案为：①②④.
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及含30°角直角三角形的性质得AD=CD=BD=BC，则△BCD是等边三角形，△BDA是等腰三角形，由等边三角形性质得∠DBC=60°，由等边对等角得，∠A=∠ABD=30°，由等腰三角形三线合一得∠CBF=∠DBF=30°，BF⊥CD，BE=AE=AB，DE⊥AB，设DF=a，则CF=a，CD=BC=BD=AD=2a，进而根据线段中点定义、含30°角直角三角形性质及勾股定理可用含a的式子表示出AC、AE、BF、DE，进而可推出△EFB是等边三角形，故①正确；根据S四边形DFBE=S△BDE+S△BDF即三角形面积计算公式可判断②正确；根据含30°角直角三角形性质可得，再结合DF=a，可判断③错误；由等边三角形的三线合一及含30°角直角三角形的性质得，进而利用勾股定理表示出BG，由线段的和差表示出DG，从而可判断④正确.
13．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，如图所示：
∵，
∴CB∥DA，
∴∠BEA=∠EAD，
∵，
∴∠EBA=∠AFD=90°，
∴点F在圆O上运动，
∴BF'为BF的最小值，
∴OA=OF'=2，
由勾股定理得，
∴线段的最小值为，
故答案为：
【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，先根据题意结合平行线的判定与性质即可得到∠BEA=∠EAD，进而得到∠EBA=∠AFD=90°，从而得到点F在圆O上运动，BF'为BF的最小值，再根据题意即可得到OA=OF'=2，进而运用勾股定理即可求出BO，从而结合题意即可求解。
14．【答案】（1）解：受台风影响．
理由：如图1，过点A作，垂足为D．
图1
因为在中，，，，
所以．
因为，
所以，
所以．
因为，所以农场会受到台风的影响．
（2）解：如图2，假设农场在EF段处受台风影响，
图2
所以，．
由勾股定理，可求得
．
因为台风的速度是，
所以受台风影响的时间为．
答：该农场受台风影响的持续时间为．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）过点A作，垂足为D，先根据题意即可计算出BC，进而运用三角形的面积即可求解；
（2）先假设农场在EF段处受台风影响，进而根据勾股定理求出EF，从而结合题意进行运算即可求解。
15．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACG＝∠BCG＝45°，
∴∠A＝∠BCG，
在△BCG和△CAF中，
，
∴△BCG≌△CAF（ASA）
（2）证明：∵PC∥AG，
∴∠PCA＝∠CAG，
∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，
在△ACG和△BCG中，
，
∴△ACG≌△BCG（SAS），
∴∠CAG＝∠CBE，
∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG，
∵PB＝BG+PG，BG＝CF，
∴PB＝CF+CP；
（3）解：连接MH，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
设∠FCH＝2x°，则∠GAC＝x°，
由(1)得∠ACF＝∠GBC＝∠GAC＝x°，
∵∠ACH＝45°，
∴2x+x＝45°，
解得x＝15°，
∴∠GAH=∠FCH=45°-15°=30°，
∴∠GAH=∠FCH=90°-30°=60°，
∴∠CMG=∠AMF=∠MFN-∠MAF=60°-30°=30°，
∴AF=FM，MG=CG，
又∵AG=BG=CF，∠AHG=∠CHF=90°，
∴FH=HG==2，
又∵AF=AH-FH，CG=CH-HG，且AH=CH，
∴AF=CG=FM=MG，
又∵MH=MH，
∴△FHM≌△GHM(SSS)
∴∠AHM=∠CHM=45°，
设AF=FM=2a，
则FN=a，MN=MH=，
此时有FH=FN+HN=a+=2，
解得：，
则AM=2MH=2a=6-2.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）分析已知条件，可得∠GCB=∠ACB=45°=∠A，又因为∠ACF＝∠CBE，AC＝BC ，利用ASA证明两个三角形全等即可；
（2）由第一问可知，CF=GB，则只需要证明PC=PG即可。
通过证明 △ACG和△BCG 全等，得到对应角∠CAG＝∠CBG，然后通过倒角，最终得到
∠PCG＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠CBE+45°，即∠PCG=∠PGC，所以PC=PG，
所以PB＝PG+GB=CP+CF。
（3）由角度间的关系∠FCH＝2∠GAC，可进一步求得具体角度，出现大量15°和30°角，为便于计算，从30°一侧作辅助线，即过点M作MN⊥AH，同时先利用全等证得对称结构，即HM平分∠AHC；最后利用特殊角中边之间的关系，设边进而利用代数式表达边继而计算得出结果.
16．【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴
在中，
在中，
（2）解：①∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴△BDF是等腰三角形.
②当点D在OB上时，过点F作FH⊥AB于H，如图：
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
当点D在OB的延长线上时，
同理得：
∴
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）在Rt△BCO中，利用勾股定理求出CO的长，最后在Rt△ACO中，利用勾股定理即可求出AC的长；
（2）①由等边对等角得∠A=∠ACB，由等角的余角相等得∠ADE=∠F，结合对顶角相等得∠F=∠BDF，从而即可求解；
②由题意知需分两种情况讨论，①当点D在OB上时，②当点D在OB的延长线上时，利用"AAS"证明△ACO≌△FDH，得到CO=DH=8，根据勾股定理即可求出BD和CD的长.
17．【答案】（1）150°
（2）解：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠EAE′-∠EAF=45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）解：如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝ ，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∠ABC=30°，
∴∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝ ，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝ ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴P′P＝AP＝3，∠AP′P＝60°，
∵P′C=PB=4，PC=5，
∴PC2=P′C2+P′P2，
∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°.
故答案为：150°
【分析】（1）由△ACP′≌△ABP可得旋转角∠PAP′＝60°，可得△APP′为等边三角形，根据勾股定理逆定理可证明△PP′C为直角三角形，根据∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C即可得答案；（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，根据角的和差关系可得∠EAF＝∠E′AF，利用SAS可证明△EAF≌△E′AF，可得E′F＝EF，根据等腰直角三角形的性质可得∠E′CF＝90°，根据勾股定理即可得结论；（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出AB、BC的长，根据旋转的性质可得∠A′BC=90°，△BOO′是等边三角形，由∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，利用平角的定义可证明C、O、A′、O′四点共线，利用勾股定理求出A′C的长即可得答案.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·青羊月考）的三条边是，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
A、设则
∵，
∴，
解得，
∴，
∴此三角形不是直角三角形，A符合题意；
B、∵，
∴，
∴此三角形是直角三角形，B不符合题意；
C、此三角形是直角三角形，C不符合题意；
D、∵，
∴此三角形是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】设则进而根据三角形内角和定理即可判断A；根据三角形内角和定理即可判断B；根据勾股定理的逆定理即可判断C和D。
2．（2023八上·清苑期中）如图，在中，，，，在线段BC上有一点D，，连接AD，则的面积为（ ）
A．4 B．8 C． D．10
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：过点A作交于点E，如图所示：
设，，则，
在中，，
在中，，
解得，，
∴，
故答案为：B
【分析】过点A作交于点E，设，，则，根据勾股定理即可求出x和h，进而结合三角形的面积即可求解。
3．（2023八上·清苑期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若，，则等于（ ）
A．15 B．16 C．17 D．20
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形是“垂美”四边形，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据题意即可得到，再根据勾股定理得到，，进而得到，从而结合题意运用勾股定理即可求解。
4．（2023八上·李沧期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读k n，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点、点与门槛的距离尺（1尺寸），则的长是（ ）
A．26寸 B．50.5寸 C．52寸 D．101寸
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设AE=BF=x，则AC=（x+1）
在直角三角形中，AE2+CE2=AC2，
x2+102=（x+1）2
解得，x=，
∴AB=×2+2=101；
故答案为：101.
【分析】根据题意列出数量关系，结合勾股定理求出答案即可。
5．（2023八上·太原期中）在学习勾股定理时，小明利用如图验证了勾股定理.若图中，，则阴影部分直角三角形的面积为（ ）
A．5 B．25 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】根据勾股定理可得：c=，
∴阴影部分的面积=×c×c=，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出c的值，再利用三角形的面积公式求解即可.
6．（2023八上·瓯海期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，BC于点N，F，的周长为9.若，，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线为直线ME， 边AC的垂直平分线为直线NF，
∴BE=AE，CF=AF，
∴∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，
∵∠B+∠C=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠EAF=180°-∠B-∠C-∠BAE-∠CAF=90°，
∴AE2+AF2=EF2=16，
∵△AEF的周长为9，
∴AE+EF+AF=9，
∵EF=4，
∴AE+AF=5，
∴AE·AF=[(AE+AF)2-(AE2+AF2)]=，
∴S△AEF=AE·AF=.
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质得BE=AE，CF=AF， 再根据等腰三角形的性质得∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，再根据三角形内角和定理推出∠EAF=90°，利用勾股定理得AE2+AF2=16， 由周长可得AE+AF=5，从而推出S△AEF.
7．（2023九上·福州月考）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（-6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（ ）
A．3 B．6-4 C．2-2 D．2
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，取OB中点N，连接MN，AN．
在Rt△OCD中，OD＝4，∠D＝30°，
∴OC＝4，
∵M、N分别是BC、OB的中点，
∴MN=OC＝2，
在△ABN中，AB＝4，BN＝3，
∴AN＝5，
在△AMN中，AM＞AN-MN；当M运动到AN上时，AM＝AN-MN，
∴AM≥AN-MN＝5-2＝3，
∴线段AM的最小值是3，
故答案为：A.
【分析】由点M是BC中点，想到构造中位线，因此取OB中点，可求得MN的长，然后利用三角形两边之差即AM≥AN-MN的最值模型即可解答．
8．（2023八上·绍兴期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：设，，则，
，，即，求得，
在中有，，求得，，，.
故答案为：D.
【分析】设，，等量关系求得，在利用勾股定理，可得，再结合得到，进而判断选项.
二、填空题
9．（2023八上·青羊月考）如图，在中，，以C为圆心，为半径画弧，交于点D，再分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，作直线交于点E．若，则的面积是 ．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴的面积是，
故答案为：4
【分析】先根据垂直平分线的性质得到，进而得到AE的长，再根据勾股定理即可求出CE，进而运用三角形的面积公式即可求解。
10．（2023八上·青羊月考）如图，长方形的边长为3，长为1，在数轴上点A对应的数为，点B对应的数为2，以A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E，则E点表示的数为 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵长方形的边长为3，长为1，在数轴上点A对应的数为，点B对应的数为2，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】先根据勾股定理求出AC，进而数轴结合题意即可求解。
11．（2021九上·温江期中）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是 .
【答案】+2
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=4，BC=2，
∴OE=AE=AB=2，
DE==，
∴OD的最大值为：+2，
故答案为+2.
【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据两点之间线段最短得到当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据直角三角形斜边中线的性质求出OE，然后根据勾股定理求出DE，即可求出结果.
12．（2023八上·杭州月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点D，E，F分别是线段AC，AB，DC的中点，下列结论：①△EFB为等边三角形．②S四边形DFBE＝S△ABC．③AE＝2DF．④AC＝8DG．其中正确的是 ．
【答案】①②④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
①∵∠ABC=90°，∠A=30°，点D为AC的中点，
∴AD=CD=BD=BC，
∴△BCD是等边三角形，△BDA是等腰三角形，
∴∠DBC=60°，∠A=∠ABD=30°，
∵点F是线段DC的中点，
∴∠CBF=∠DBF=30°，BF⊥CD，
∴∠FBE=∠DBF+∠EBD=60°，
∵点E是线段AB的中点，
∴BE=AE=AB，DE⊥AB，
设DF=a，则CF=a，CD=BC=BD=AD=2a，
∴AC=4a，AE=BE=a，，
∴BF=BE，
∵∠FBE=60°，
∴∠BFE=∠BEF=，
∴△EFB是等边三角形，故①正确；
②∵，
∴S四边形DFBE=S△BDE+S△BDF=，
∵S△ABC=，
∴S四边形DFBE=S△ABC，故②正确；
③∵
∴，故③错误；
④∵△EFB是等边三角形，∠CBF=∠DBF=30°，
∴BG是∠FBE的角平分线，
∴BG⊥EF，
∴∠BGE=∠BGF=90°，
∴，
∴，
∴DG=BD-BG=，
∵AC=4a，
∴AC=8DG，故④正确，
综上，正确的有①②④.
故答案为：①②④.
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及含30°角直角三角形的性质得AD=CD=BD=BC，则△BCD是等边三角形，△BDA是等腰三角形，由等边三角形性质得∠DBC=60°，由等边对等角得，∠A=∠ABD=30°，由等腰三角形三线合一得∠CBF=∠DBF=30°，BF⊥CD，BE=AE=AB，DE⊥AB，设DF=a，则CF=a，CD=BC=BD=AD=2a，进而根据线段中点定义、含30°角直角三角形性质及勾股定理可用含a的式子表示出AC、AE、BF、DE，进而可推出△EFB是等边三角形，故①正确；根据S四边形DFBE=S△BDE+S△BDF即三角形面积计算公式可判断②正确；根据含30°角直角三角形性质可得，再结合DF=a，可判断③错误；由等边三角形的三线合一及含30°角直角三角形的性质得，进而利用勾股定理表示出BG，由线段的和差表示出DG，从而可判断④正确.
13．（2023·菏泽）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，如图所示：
∵，
∴CB∥DA，
∴∠BEA=∠EAD，
∵，
∴∠EBA=∠AFD=90°，
∴点F在圆O上运动，
∴BF'为BF的最小值，
∴OA=OF'=2，
由勾股定理得，
∴线段的最小值为，
故答案为：
【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，先根据题意结合平行线的判定与性质即可得到∠BEA=∠EAD，进而得到∠EBA=∠AFD=90°，从而得到点F在圆O上运动，BF'为BF的最小值，再根据题意即可得到OA=OF'=2，进而运用勾股定理即可求出BO，从而结合题意即可求解。
三、解答题
14．（2023八上·清苑期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风的影响）．如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C两地相距，A，B两地相距．
（1）农场A是否会受到台风的影响？请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为，则该农场受台风影响的持续时间有多长？
【答案】（1）解：受台风影响．
理由：如图1，过点A作，垂足为D．
图1
因为在中，，，，
所以．
因为，
所以，
所以．
因为，所以农场会受到台风的影响．
（2）解：如图2，假设农场在EF段处受台风影响，
图2
所以，．
由勾股定理，可求得
．
因为台风的速度是，
所以受台风影响的时间为．
答：该农场受台风影响的持续时间为．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）过点A作，垂足为D，先根据题意即可计算出BC，进而运用三角形的面积即可求解；
（2）先假设农场在EF段处受台风影响，进而根据勾股定理求出EF，从而结合题意进行运算即可求解。
15．（2023八上·成都期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：△ACF≌△CBG；
（2）如图2，延长CG交AB于H，连接AG交CF于点M，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠FCH＝2∠GAC时，若BG＝4，求AM的长．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACG＝∠BCG＝45°，
∴∠A＝∠BCG，
在△BCG和△CAF中，
，
∴△BCG≌△CAF（ASA）
（2）证明：∵PC∥AG，
∴∠PCA＝∠CAG，
∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，
在△ACG和△BCG中，
，
∴△ACG≌△BCG（SAS），
∴∠CAG＝∠CBE，
∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG，
∵PB＝BG+PG，BG＝CF，
∴PB＝CF+CP；
（3）解：连接MH，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
设∠FCH＝2x°，则∠GAC＝x°，
由(1)得∠ACF＝∠GBC＝∠GAC＝x°，
∵∠ACH＝45°，
∴2x+x＝45°，
解得x＝15°，
∴∠GAH=∠FCH=45°-15°=30°，
∴∠GAH=∠FCH=90°-30°=60°，
∴∠CMG=∠AMF=∠MFN-∠MAF=60°-30°=30°，
∴AF=FM，MG=CG，
又∵AG=BG=CF，∠AHG=∠CHF=90°，
∴FH=HG==2，
又∵AF=AH-FH，CG=CH-HG，且AH=CH，
∴AF=CG=FM=MG，
又∵MH=MH，
∴△FHM≌△GHM(SSS)
∴∠AHM=∠CHM=45°，
设AF=FM=2a，
则FN=a，MN=MH=，
此时有FH=FN+HN=a+=2，
解得：，
则AM=2MH=2a=6-2.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）分析已知条件，可得∠GCB=∠ACB=45°=∠A，又因为∠ACF＝∠CBE，AC＝BC ，利用ASA证明两个三角形全等即可；
（2）由第一问可知，CF=GB，则只需要证明PC=PG即可。
通过证明 △ACG和△BCG 全等，得到对应角∠CAG＝∠CBG，然后通过倒角，最终得到
∠PCG＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠CBE+45°，即∠PCG=∠PGC，所以PC=PG，
所以PB＝PG+GB=CP+CF。
（3）由角度间的关系∠FCH＝2∠GAC，可进一步求得具体角度，出现大量15°和30°角，为便于计算，从30°一侧作辅助线，即过点M作MN⊥AH，同时先利用全等证得对称结构，即HM平分∠AHC；最后利用特殊角中边之间的关系，设边进而利用代数式表达边继而计算得出结果.
四、综合题
16．（2023八上·龙泉期中）如图，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于点O，AO=4，BO=6.
（1）求BC，AC的长；
（2）若点D是射线OB上的一个动点，作直线DE⊥AC于点E，直线DE与直线BC交于点F.
①如图1，当点D在线段OB上时，求证：△BDF是等腰三角形；
②连结OF，CD，若S△OBF：S△OBC=1：2，求CD的长.
【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴
在中，
在中，
（2）解：①∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴△BDF是等腰三角形.
②当点D在OB上时，过点F作FH⊥AB于H，如图：
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
当点D在OB的延长线上时，
同理得：
∴
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）在Rt△BCO中，利用勾股定理求出CO的长，最后在Rt△ACO中，利用勾股定理即可求出AC的长；
（2）①由等边对等角得∠A=∠ACB，由等角的余角相等得∠ADE=∠F，结合对顶角相等得∠F=∠BDF，从而即可求解；
②由题意知需分两种情况讨论，①当点D在OB上时，②当点D在OB的延长线上时，利用"AAS"证明△ACO≌△FDH，得到CO=DH=8，根据勾股定理即可求出BD和CD的长.
17．（2019八下·九江期中）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
【答案】（1）150°
（2）解：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠EAE′-∠EAF=45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）解：如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝ ，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∠ABC=30°，
∴∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝ ，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝ ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴P′P＝AP＝3，∠AP′P＝60°，
∵P′C=PB=4，PC=5，
∴PC2=P′C2+P′P2，
∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°.
故答案为：150°
【分析】（1）由△ACP′≌△ABP可得旋转角∠PAP′＝60°，可得△APP′为等边三角形，根据勾股定理逆定理可证明△PP′C为直角三角形，根据∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C即可得答案；（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，根据角的和差关系可得∠EAF＝∠E′AF，利用SAS可证明△EAF≌△E′AF，可得E′F＝EF，根据等腰直角三角形的性质可得∠E′CF＝90°，根据勾股定理即可得结论；（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出AB、BC的长，根据旋转的性质可得∠A′BC=90°，△BOO′是等边三角形，由∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，利用平角的定义可证明C、O、A′、O′四点共线，利用勾股定理求出A′C的长即可得答案.
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