2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 1.3 直角三角形全等的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·遵义月考）如图，已知，则证明≌的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：，
又∵AB=AB
∴≌()
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定定理进行分析即可．
2．（2023八上·开福期中）如图，在∠ACB的两边上分别取点A，B使得CA=CB，将两个全等的直角三角板的直角顶点分别放在点A，B处，一条直角边分别落在∠ACB的两边上，另一条直角边交于点P，连接CP，则判定△ACP≌△BCP的依据是 （ ）
A．AAS B．ASA C．SSS D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：由题意知：∠CAP=∠CBP=90°，
在 △ACP和△BCP中：
∵∠CAP=∠CBP=90°，CA=CB，CP=CP，
∴△ACP≌△BCP （HL）
故答案为：D。
【分析】由题意知：∠CAP=∠CBP=90°，故可以在两个直角三角形中，根据HL证明△ACP≌△BCP 。
3．（2023八上·西和期中） 如图，AB⊥CF，垂足为B，DE⊥CF，垂足为E，CB＝FE，AC＝DF，依据上述条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的依据是（ ）
A．AAS B．ASA C．SSS D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：D.
【分析】根据“HL”证明三角形全等的判定方法分析求解即可.
4．（2023八上·孟村期中）如图，在中，点D在边上，，，，垂足分别为E，F，.
求证：.以下是排乱的证明过程：
①∵在和中， ②∴. ③∴， ④∵，，
证明过程正确的顺序是（ ）
A．④→②→③→① B．④→③→①→②
C．③→②→①→④ D．③→①→④→②
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：根据题意
④∵，，
③∴，
①∵在和中，
②∴.
故答案为：B
【分析】从要证明的结论入手，要用HL定理证明全等，要说明两组对应边相等，此前先要说明要证全等的2个三角形是哪两个直角三角形，直角三角形不是已知条件，而是由已知垂直条件判定的，整理思路即可得出正确的证明顺序。
5．如图，在中，于点.如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠BDE=90°，
在Rt△BDE与Rt△BCE中，
∵DB=CB，BE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），
∴CE=ED，
∴AE+DE=AE+CE=AC=4cm.
故答案为：B.
【分析】首先利用HL判断出Rt△BDE≌Rt△BCE，由全等三角形对应边相等得CE=ED，进而根据线段的和差及等量代换将AE+DE转化为AC，此题得解.
6．（2021八下·临海期中）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③BF//DE；④S△BEF＝.其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
故①正确；
②∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12 x，
由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，
即：（x＋6）2＝62＋（12 x）2，
解得：x＝4，
∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，
故②正确；
③∵EF＝EC＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF，
∵∠DEC＝∠DEF，∠CEF＝∠EFB＋∠EBF，
∴∠DEC＝∠EBF，
∴BF//DE，
故③正确；
④∵S△GBE＝BE BG＝×6×8＝24，
∵GF＝AG＝4，EF＝BE＝6，
∴，
∴S△BEF＝S△GBE＝×24＝，
故④正确.
综上可知正确的结论的是4个.
故答案为：D.
【分析】由折叠可知：DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，则∠DFG＝∠A＝90°，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；根据正方形的性质可得BE＝EC＝EF＝6，设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12 x，根据勾股定理可得x的值，进而得到AG、GF、BG的值，据此判断②；根据等腰三角形的性质可得∠EFB＝∠EBF，根据折叠的性质可得∠DEC＝∠DEF，根据外角的性质可得∠CEF＝∠EFB＋∠EBF，推出∠DEC＝∠EBF，然后根据平行线的判定定理可判断③；根据三角形的面积公式可判断④.
7．（2021八上·兴城期中）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN＝∠BCN；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：是等边三角形，是的垂直平分线
不是中点，N点不在∠ACB的角平分上，
∴CN不平分∠ACB，
，故①不符合题意；
是等边三角形，
，，
，F是的中点，
，
，
，
，
，
，故⑤符合题意；
设，则，
，，
在中，，，
，
，故②符合题意；
如图，过N作于H，连接，
在等边中，
，
平分，，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
在中，，
，故④不符合题意；
在和中，
，
，
，
，
，
，故③符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据△ABC是等边三角形及MN垂直平分BG，可知点M不是BG的中点，可推出CN不平分∠ACB，即得，故①错误；由△ABC是等边三角形、CE＝BC及F是AC的中点，可推出CF=CE，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求出∠E=30°，利用三角形内角和可求出∠BGE=90°，故⑤正确；设，则，根据直角三角形性质求出，，，，从而求出，即得，故②正确；过N作于H，连接，由等边三角形的性质及线段垂直平分线的性质可推出，在中，可知，即得，故④错误；证明，可得，从而求出，由于，可求出，故③正确.
8．（2023八下·合川期末）如图，在矩形中，，为的中点，连接，将沿所在直线翻折至四边形所在平面内，得，延长与交于点，若，则四边形的面积为（ ）
A． B．8 C．12 D．16
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理
【解析】【解答】解：连接EF，
由折叠性质知：AE=A'E，∠BA'E=∠A=90°，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE=，
∴A'E=DE，
在Rt△A'EF和Rt△DEF中，∠FA'E=∠D=90°
∵A'E=DE，EF=EF，
∴Rt△A'EF≌Rt△DEF，
∴A'F=DF，
设CF=x，则：A'F=DF=3x，A'B=AB=DC=4x，
∴BF=A'B+A'F=7x，
又∵BC=AD=，
在Rt△BCF中：
（）2+x2=（7x）2，
解得：x=1，x=-1（舍去），
∴DF=3，
∴S△DEF=
∴S 四边形=2 S△DEF=
故答案为：A.
【分析】根据HL证明Rt△A'EF≌Rt△DEF，可得A'F=DF，然后设CF=x，可得BF=7x，在Rt△BCF中，可根据勾股定理得出关于x的方程式（）2+x2=（7x）2，解方程可求得方程的解，舍去负值，即可得出CF的长度，进而求出DF的长，根据三角形面积计算公式，即可求得△DEF的面积。再求出它的2倍，就是四边形A'EDF的面积。
二、填空题
9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，若DE=3cm，则BF= cm．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
∴，
∵，
，
∵AC=AB，
∴，
∴BF=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据有两条边对应相等的两个直角三角形是全等三角形可得Rt△ADB≌Rt△ADC；根据全等三角形的面积相等和三角形的面积公式即可求解.
10．（2023八上·海淀开学考）如图，有一个，，，，一条线段，，分别在和过点且垂直于的射线上运动， 时，才能使与全等．
【答案】8或16
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵∠C=90°，AN⊥AC
∴∠C=∠MAN=90°
①当AM=8=BC时
在Rt△ACB和Rt△MAN中
∴Rt△AC≌Rt△MAN（HL）
②当AM=16=AC时
在Rt△ACB和Rt△MAN中
∴Rt△AC≌Rt△MAN（HL）
故答案为：8或16
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案.
11．如图，在Rt中，，两点分别在AC和过点且垂直于AC的射线AO上运动，当 时，和全等.
【答案】5或10
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AO⊥AC于点A，
∴∠C=∠PAO=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ=AB，
∴当AP=BC=5时，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
或当AP=AC=10时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）.
故答案为：5或10.
【分析】在Rt△ABC与Rt△QPA中，已知斜边对应相等，故只需要一条直角边对应相等，即可判断Rt△ABC≌Rt△QPA，即AP=BC或AP=AC时，Rt△ABC≌Rt△PQA，据此可得答案.
12．（2021八上·彭州开学考）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是 .
【答案】34°或53.5°或100°或134°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝73°，
∴∠EDB＝23°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝73°，
∴∠EDP1＝180°﹣73°﹣73°＝34°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中， ，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝73°，
∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠EDP2＝134°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣80°＝100°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝ （180°﹣73°）＝53.5°.
故答案为：34°或53.5°或100°或134°.
【分析】由三角形外角的性质可得∠EDB＝23°，①当点P在AB上时，由等腰三角形的性质可得∠DP1E＝∠AED＝73°，然后利用三角形内角和定理进行求解；②当点P在AC上时，易得∠BAD＝∠CAD，过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，证明Rt△DEG≌Rt△DP2H，得到∠AP2D＝∠AED＝73°，据此求解；③当点P在AC上时，同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH，得到∠EDG＝∠P3DH，据此求解；④当点P在AB上时，EP＝ED，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质进行求解.
13．（2020八上·汉阳期中）如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上一点， ，过 作 于 ，下列结论：
① ；② ；③ ；④ .
其中正确的序号是 .
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：① 为 的角平分线，
，
又 ， ，
，
，
，即①正确；
②在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
，
， ， ，
，
为等腰三角形，
，
，
，
，即②正确；
③根据已知条件，可得 不一定成立，故③错误；
④如图，过 作 于 点，
是 上的点，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，即④正确.
故答案为：①②④.
【分析】由角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD，证明△ABD≌△EBC，得到∠BCE=∠BDA，据此判断①；根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠BEA=(180°-∠ABE)，∠BDC=(180°-∠CBD)，推出∠BDC=∠AEB，得到△ACE为等腰三角形，则AE=EC，由全等三角形的性质可得AD=EC，据此判断②；无法得到AB∥CE，过E作EG⊥BC于G点，证明△BEG≌△BEF，△CEG≌△AEF，得到AF=CG，据此判断④.
三、解答题
14．（2024八上·交城期中） 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，CE=CF.求证：AE=AF.
【答案】证明：连接AC
在Rt△BEC和Rt△DFC中
∴△BEC≌△DFC(HL)
∴BC=DC
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴△ABC≌△ADC(HL)
∴AB=AD
∵BE=DF
∴AB-BE=AD-DF
∴AE=AF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】连接AC，证明 △BEC≌△DFC 得到BC=DC，再证明 △ABC≌△ADC ，得到AB=AD，即可证明结论.
15．如图1，已知等边△ABC，以B为直角顶点向右作等腰直角△BCD，连接AD．
（1）若，求点D到AB边的距离；
（2）如图2，过点B作AD的垂线，分别交AD，CD于点E，F，探索EF，CF，BE之间的数量关系并证明；
（3）如图3，点M，N分别为线段AD，BD上一点，AM＝BN，连接CM，CN，若，当CM＋CN取得最小值时，直接写出△ACM的面积．（提示：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方）
【答案】（1）解：过点D作延长线于点E，
；
（2）解：
证明过程
法一：在EF上截取GE＝BE，连接AG、CG，
先证，再证；
法二：在EF上截取GE＝BE，连接AG、AF，
先证，BF垂直平分AD，，
再证，
法三：过点A作AH垂直于DC交DC延长线于点H，连接AF，
先证，再证；
（3）解：过点A作，且AK＝BC，连接KM，
过点M作于点G，过点C作于点H，
易证，∴KM＝CN，
∴，
∴当C、M、K三点共线时，CN＋CM最小，
易得△ACH和△AGM均为等腰直
CH＝6，，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）过点作延长线于点，根据含角的直角三角性质求出即可；
（2）在上取，连接，先证，再证；
法二：在EF上截取GE＝BE，连接AG、AF，先证，BF垂直平分AD，，再证，
法三：过点A作AH垂直于DC交DC延长线于点H，连接AF，先证，再证；
（3）过点作，且，连接，过点作于点，证明，得，得出，得出当、、三点共线时，最小，然后求出此时的面积即可．
四、综合题
16．（2023八下·连平月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF．
（1）求证：为等边三角形；
（2）连接，线段，求线段的长．
【答案】（1）证明：∵D为边上中点，
∴，
在和中
，
，
，
为等边三角形；
（2）解：如图，
为等边三角形，是边中线，
，
在中，，，
．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）先通过HL判定Rt△ADE≌Rt△CDF，得∠C=∠A，再利用等腰三角形的性质得到∠C=∠A=∠B，进而证得△ABC为等边三角形；
（2）先利用等边三角形的三线合一得到∠DBC=30°，再通过含30°的直角三角形的性质求得线段BD的长．
17．（2023八上·双流月考） 在长方形中，点是中点，将沿折叠后得到对应的，将延长交直线于点．
（1）如果点在长方形的内部，如图所示．
①求证：；
②若，，求的长度．
（2）如果点在长方形的外部，如图所示，，请用含的代数式表示的值．
【答案】（1）解：①连接，
根据翻折的性质得，，
，，
在和中，
，
≌，
；
由知，，设，，则有，，
，
，，
；
在中，，即，
，
，
，
；
（2）解：由知，，设，，则有，，
，
，，
在中，，
即
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①证△EGF≌△EDF即可；②设，，则有，，在中，勾股定理得出，进而根据，即可求解；
（2）由知，，设，，则有，，在中，根据勾股定理可得，进而求得的值．
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 1.3 直角三角形全等的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·遵义月考）如图，已知，则证明≌的理由是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·开福期中）如图，在∠ACB的两边上分别取点A，B使得CA=CB，将两个全等的直角三角板的直角顶点分别放在点A，B处，一条直角边分别落在∠ACB的两边上，另一条直角边交于点P，连接CP，则判定△ACP≌△BCP的依据是 （ ）
A．AAS B．ASA C．SSS D．HL
3．（2023八上·西和期中） 如图，AB⊥CF，垂足为B，DE⊥CF，垂足为E，CB＝FE，AC＝DF，依据上述条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的依据是（ ）
A．AAS B．ASA C．SSS D．HL
4．（2023八上·孟村期中）如图，在中，点D在边上，，，，垂足分别为E，F，.
求证：.以下是排乱的证明过程：
①∵在和中， ②∴. ③∴， ④∵，，
证明过程正确的顺序是（ ）
A．④→②→③→① B．④→③→①→②
C．③→②→①→④ D．③→①→④→②
5．如图，在中，于点.如果，那么（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八下·临海期中）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③BF//DE；④S△BEF＝.其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021八上·兴城期中）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN＝∠BCN；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2023八下·合川期末）如图，在矩形中，，为的中点，连接，将沿所在直线翻折至四边形所在平面内，得，延长与交于点，若，则四边形的面积为（ ）
A． B．8 C．12 D．16
二、填空题
9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，若DE=3cm，则BF= cm．
10．（2023八上·海淀开学考）如图，有一个，，，，一条线段，，分别在和过点且垂直于的射线上运动， 时，才能使与全等．
11．如图，在Rt中，，两点分别在AC和过点且垂直于AC的射线AO上运动，当 时，和全等.
12．（2021八上·彭州开学考）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是 .
13．（2020八上·汉阳期中）如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上一点， ，过 作 于 ，下列结论：
① ；② ；③ ；④ .
其中正确的序号是 .
三、解答题
14．（2024八上·交城期中） 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，CE=CF.求证：AE=AF.
15．如图1，已知等边△ABC，以B为直角顶点向右作等腰直角△BCD，连接AD．
（1）若，求点D到AB边的距离；
（2）如图2，过点B作AD的垂线，分别交AD，CD于点E，F，探索EF，CF，BE之间的数量关系并证明；
（3）如图3，点M，N分别为线段AD，BD上一点，AM＝BN，连接CM，CN，若，当CM＋CN取得最小值时，直接写出△ACM的面积．（提示：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方）
四、综合题
16．（2023八下·连平月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF．
（1）求证：为等边三角形；
（2）连接，线段，求线段的长．
17．（2023八上·双流月考） 在长方形中，点是中点，将沿折叠后得到对应的，将延长交直线于点．
（1）如果点在长方形的内部，如图所示．
①求证：；
②若，，求的长度．
（2）如果点在长方形的外部，如图所示，，请用含的代数式表示的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：，
又∵AB=AB
∴≌()
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定定理进行分析即可．
2．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：由题意知：∠CAP=∠CBP=90°，
在 △ACP和△BCP中：
∵∠CAP=∠CBP=90°，CA=CB，CP=CP，
∴△ACP≌△BCP （HL）
故答案为：D。
【分析】由题意知：∠CAP=∠CBP=90°，故可以在两个直角三角形中，根据HL证明△ACP≌△BCP 。
3．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：D.
【分析】根据“HL”证明三角形全等的判定方法分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：根据题意
④∵，，
③∴，
①∵在和中，
②∴.
故答案为：B
【分析】从要证明的结论入手，要用HL定理证明全等，要说明两组对应边相等，此前先要说明要证全等的2个三角形是哪两个直角三角形，直角三角形不是已知条件，而是由已知垂直条件判定的，整理思路即可得出正确的证明顺序。
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠BDE=90°，
在Rt△BDE与Rt△BCE中，
∵DB=CB，BE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），
∴CE=ED，
∴AE+DE=AE+CE=AC=4cm.
故答案为：B.
【分析】首先利用HL判断出Rt△BDE≌Rt△BCE，由全等三角形对应边相等得CE=ED，进而根据线段的和差及等量代换将AE+DE转化为AC，此题得解.
6．【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
故①正确；
②∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12 x，
由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，
即：（x＋6）2＝62＋（12 x）2，
解得：x＝4，
∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，
故②正确；
③∵EF＝EC＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF，
∵∠DEC＝∠DEF，∠CEF＝∠EFB＋∠EBF，
∴∠DEC＝∠EBF，
∴BF//DE，
故③正确；
④∵S△GBE＝BE BG＝×6×8＝24，
∵GF＝AG＝4，EF＝BE＝6，
∴，
∴S△BEF＝S△GBE＝×24＝，
故④正确.
综上可知正确的结论的是4个.
故答案为：D.
【分析】由折叠可知：DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，则∠DFG＝∠A＝90°，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；根据正方形的性质可得BE＝EC＝EF＝6，设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12 x，根据勾股定理可得x的值，进而得到AG、GF、BG的值，据此判断②；根据等腰三角形的性质可得∠EFB＝∠EBF，根据折叠的性质可得∠DEC＝∠DEF，根据外角的性质可得∠CEF＝∠EFB＋∠EBF，推出∠DEC＝∠EBF，然后根据平行线的判定定理可判断③；根据三角形的面积公式可判断④.
7．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：是等边三角形，是的垂直平分线
不是中点，N点不在∠ACB的角平分上，
∴CN不平分∠ACB，
，故①不符合题意；
是等边三角形，
，，
，F是的中点，
，
，
，
，
，
，故⑤符合题意；
设，则，
，，
在中，，，
，
，故②符合题意；
如图，过N作于H，连接，
在等边中，
，
平分，，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
在中，，
，故④不符合题意；
在和中，
，
，
，
，
，
，故③符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据△ABC是等边三角形及MN垂直平分BG，可知点M不是BG的中点，可推出CN不平分∠ACB，即得，故①错误；由△ABC是等边三角形、CE＝BC及F是AC的中点，可推出CF=CE，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求出∠E=30°，利用三角形内角和可求出∠BGE=90°，故⑤正确；设，则，根据直角三角形性质求出，，，，从而求出，即得，故②正确；过N作于H，连接，由等边三角形的性质及线段垂直平分线的性质可推出，在中，可知，即得，故④错误；证明，可得，从而求出，由于，可求出，故③正确.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理
【解析】【解答】解：连接EF，
由折叠性质知：AE=A'E，∠BA'E=∠A=90°，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE=，
∴A'E=DE，
在Rt△A'EF和Rt△DEF中，∠FA'E=∠D=90°
∵A'E=DE，EF=EF，
∴Rt△A'EF≌Rt△DEF，
∴A'F=DF，
设CF=x，则：A'F=DF=3x，A'B=AB=DC=4x，
∴BF=A'B+A'F=7x，
又∵BC=AD=，
在Rt△BCF中：
（）2+x2=（7x）2，
解得：x=1，x=-1（舍去），
∴DF=3，
∴S△DEF=
∴S 四边形=2 S△DEF=
故答案为：A.
【分析】根据HL证明Rt△A'EF≌Rt△DEF，可得A'F=DF，然后设CF=x，可得BF=7x，在Rt△BCF中，可根据勾股定理得出关于x的方程式（）2+x2=（7x）2，解方程可求得方程的解，舍去负值，即可得出CF的长度，进而求出DF的长，根据三角形面积计算公式，即可求得△DEF的面积。再求出它的2倍，就是四边形A'EDF的面积。
9．【答案】6
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
∴，
∵，
，
∵AC=AB，
∴，
∴BF=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据有两条边对应相等的两个直角三角形是全等三角形可得Rt△ADB≌Rt△ADC；根据全等三角形的面积相等和三角形的面积公式即可求解.
10．【答案】8或16
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵∠C=90°，AN⊥AC
∴∠C=∠MAN=90°
①当AM=8=BC时
在Rt△ACB和Rt△MAN中
∴Rt△AC≌Rt△MAN（HL）
②当AM=16=AC时
在Rt△ACB和Rt△MAN中
∴Rt△AC≌Rt△MAN（HL）
故答案为：8或16
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案.
11．【答案】5或10
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AO⊥AC于点A，
∴∠C=∠PAO=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ=AB，
∴当AP=BC=5时，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
或当AP=AC=10时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）.
故答案为：5或10.
【分析】在Rt△ABC与Rt△QPA中，已知斜边对应相等，故只需要一条直角边对应相等，即可判断Rt△ABC≌Rt△QPA，即AP=BC或AP=AC时，Rt△ABC≌Rt△PQA，据此可得答案.
12．【答案】34°或53.5°或100°或134°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝73°，
∴∠EDB＝23°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝73°，
∴∠EDP1＝180°﹣73°﹣73°＝34°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中， ，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝73°，
∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠EDP2＝134°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣80°＝100°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝ （180°﹣73°）＝53.5°.
故答案为：34°或53.5°或100°或134°.
【分析】由三角形外角的性质可得∠EDB＝23°，①当点P在AB上时，由等腰三角形的性质可得∠DP1E＝∠AED＝73°，然后利用三角形内角和定理进行求解；②当点P在AC上时，易得∠BAD＝∠CAD，过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，证明Rt△DEG≌Rt△DP2H，得到∠AP2D＝∠AED＝73°，据此求解；③当点P在AC上时，同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH，得到∠EDG＝∠P3DH，据此求解；④当点P在AB上时，EP＝ED，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质进行求解.
13．【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：① 为 的角平分线，
，
又 ， ，
，
，
，即①正确；
②在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
，
， ， ，
，
为等腰三角形，
，
，
，
，即②正确；
③根据已知条件，可得 不一定成立，故③错误；
④如图，过 作 于 点，
是 上的点，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，即④正确.
故答案为：①②④.
【分析】由角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD，证明△ABD≌△EBC，得到∠BCE=∠BDA，据此判断①；根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠BEA=(180°-∠ABE)，∠BDC=(180°-∠CBD)，推出∠BDC=∠AEB，得到△ACE为等腰三角形，则AE=EC，由全等三角形的性质可得AD=EC，据此判断②；无法得到AB∥CE，过E作EG⊥BC于G点，证明△BEG≌△BEF，△CEG≌△AEF，得到AF=CG，据此判断④.
14．【答案】证明：连接AC
在Rt△BEC和Rt△DFC中
∴△BEC≌△DFC(HL)
∴BC=DC
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴△ABC≌△ADC(HL)
∴AB=AD
∵BE=DF
∴AB-BE=AD-DF
∴AE=AF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】连接AC，证明 △BEC≌△DFC 得到BC=DC，再证明 △ABC≌△ADC ，得到AB=AD，即可证明结论.
15．【答案】（1）解：过点D作延长线于点E，
；
（2）解：
证明过程
法一：在EF上截取GE＝BE，连接AG、CG，
先证，再证；
法二：在EF上截取GE＝BE，连接AG、AF，
先证，BF垂直平分AD，，
再证，
法三：过点A作AH垂直于DC交DC延长线于点H，连接AF，
先证，再证；
（3）解：过点A作，且AK＝BC，连接KM，
过点M作于点G，过点C作于点H，
易证，∴KM＝CN，
∴，
∴当C、M、K三点共线时，CN＋CM最小，
易得△ACH和△AGM均为等腰直
CH＝6，，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）过点作延长线于点，根据含角的直角三角性质求出即可；
（2）在上取，连接，先证，再证；
法二：在EF上截取GE＝BE，连接AG、AF，先证，BF垂直平分AD，，再证，
法三：过点A作AH垂直于DC交DC延长线于点H，连接AF，先证，再证；
（3）过点作，且，连接，过点作于点，证明，得，得出，得出当、、三点共线时，最小，然后求出此时的面积即可．
16．【答案】（1）证明：∵D为边上中点，
∴，
在和中
，
，
，
为等边三角形；
（2）解：如图，
为等边三角形，是边中线，
，
在中，，，
．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）先通过HL判定Rt△ADE≌Rt△CDF，得∠C=∠A，再利用等腰三角形的性质得到∠C=∠A=∠B，进而证得△ABC为等边三角形；
（2）先利用等边三角形的三线合一得到∠DBC=30°，再通过含30°的直角三角形的性质求得线段BD的长．
17．【答案】（1）解：①连接，
根据翻折的性质得，，
，，
在和中，
，
≌，
；
由知，，设，，则有，，
，
，，
；
在中，，即，
，
，
，
；
（2）解：由知，，设，，则有，，
，
，，
在中，，
即
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①证△EGF≌△EDF即可；②设，，则有，，在中，勾股定理得出，进而根据，即可求解；
（2）由知，，设，，则有，，在中，根据勾股定理可得，进而求得的值．
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