2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 1.4 角平分线的性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·浑江期末）如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．（2020八上·金山期末）已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB、BC的距离相等，那么点M（ ）
A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
4．（2023八上·浙江期中）如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①；
步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E．
下列叙述正确的是（ ）
A．BC平分∠ABD B．AB=BD C．AE=BD D．BE=DE
5．（2021八上·长春期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（ ）
A．3 B．10 C．15 D．30
6．（2023八上·怀仁期中）作的角平分线的作图过程如下，用下面的三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是（ ）
作法： ．在和上分别截取，使． ．分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点． ．作射线． 就是的平分线（如图）．
A． B． C． D．
7．（2023八上·任丘期中）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八上·泸州期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D．已知BD＝5，CD＝3，则点D到AB的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
二、填空题
9．（2023八上·大兴期中）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC＝6，则△BCE的面积为 ．
10．（2023八上·乾安期中）如图．四边形ABCD中．∠B=∠C=90°．AM、DM分别是∠DAB与∠ADC的平分线．AD=10．BC=6．则△ADM的面积为
11．（2021·长沙）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， ，垂足为 ，若 ， ，则 的长为 .
12．（2021八上·长沙期中）如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB=5，AC=3，DF=2，则△ABC的面积为 .
13．（2024八上·宽城期末）如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ．
三、解答题
14．（2023八上·杭州月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形．
（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
15．（2024八上·浑江期末）如图，在中，，，点D为边的中点，交的延长线于点E，连接.
（1）尺规作图：作的平分线交于点F；（保留作图痕迹）
（2）求证：；
（3）探究与之间的数量关系，并证明结论.
四、综合题
16．（2023八下·礼泉期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，EB平分∠DEC.
（1）求证：BC=CE；
（2）若CE=AB，EA=EB，求∠C的度数.
17．（2021八上·平定期中）如图，已知等腰 的顶角 ．
（1）根据要求用尺规作图：作 的平分线交 于点 ；（不写作法，只保留作图痕迹．）
（2）在（1）的条件下，证明： 是等腰三角形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D座DF⊥AC，交AC于点D，
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2，
，解得AC=6。
故答案为：6。
【分析】画出辅助线，利用角平分线的性质，得到DE=DF，将三角形ABC的面积看做是由两个三角形的面积构成，即可求出AC的长。
2．【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】∵由角平分线上点到角两边距离相等的性质，
∴点M应在∠ABC的平分线上．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质推出M在∠ABC的角平分线上，即可得到答案．
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图痕迹得，AP是的平分线，过点D作与点E，
∵∠C=90°，
∴DE=CD=4
.
故答案为：B.
【分析】根据作图痕迹得AP是的平分线，过点D作与点E，根据角平分线的性质得DE=CD=4，结合三角形的面积公式，计算求解即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：A：与题中所用步骤无关，错误；
B：AB=AD，错误；
C：与题中所用步骤无关，错误；
D：连接CD，可知CD=CB，且CE=EC， ∠DCE=∠BCE，故 △DCE △BCE，则BE=DE，正确；
故答案为：D.
【分析】 这个题目考察了几何学中的基本作图方法和三角形内角平分线的性质；学生需要理解作图步骤，并应用相关的几何性质进行推理.
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】作GH⊥AB于H，由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线．
∵∠C=90°，GH⊥AB，∴GH=CG=3，∴△ABG的面积AB×GH=15．
故答案为：C．
【分析】作GH⊥AB于H，根据角平分线的性质可得GH=CG=3，再利用三角形的面积公式求解即可。
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分．
故答案为：D
【分析】连接，，根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合角平分线的判定即可求解。
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：
由作图可知，OC＝OD，CP＝DP，
∵OP＝OP，
∴△OPC≌△OPD（SSS），
∴∠OCP＝∠ODP，∠OPC＝∠OPD，A，C，D不符合题意.
故答案为：B
【分析】先根据作图得到OC＝OD，CP＝DP，进而根据三角形全等的判定与性质证明△OPC≌△OPD（SSS），从而即可求解。
8．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连接OM、ON，过点D作，则DE为点D到AB的距离，如图所示，
由作图可得：
在和中，
，即AD为的角平分线
（角平分线上的点到角的两边距离相等）
故答案为：B.
【分析】连接OM、ON，根据SSS证明，则，即AD为的角平分线，根据角平分线的性质得出结果.
9．【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】 【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
则△BCE的面积为 BC·EF=×6×2=6．
故答案为：．
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，即可求解．
10．【答案】15
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作ME⊥AD于点E，如图，
∵∠B=∠C=90°．AM、DM分别是∠DAB与∠ADC的平分线．
∴CM=EM，BM=EM，
∴EM=BM=CM=3.
故答案为：15.
【分析】作ME⊥AD于点E，根据角平分线的性质求出EM=BM=CM=3，再利用三角形的面积公式计算。
11．【答案】2.4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： 平分 ， ， ， ，
，
，
，
故答案为：2.4.
【分析】由题意根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE，根据线段的构成BD=BC-CD=BC-DE可求解.
12．【答案】8
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
∴△ABC的面积= ×5×2+ ×3×2=8，
故答案侍：8.
【分析】根据角平分线的性质得出DE=DF=2，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式计算，即可解答.
13．【答案】9
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】5.【解答】解：如图，过点C作CE⊥OM于点E，
∵平分，，CE⊥OM，
∴CE=CA=3，
∵BG垂直平分OA，
∴BA=BO=6，
.
故答案为：9.
【分析】过点C作CE⊥OM于点E，根据角平分线的性质可得CE的长，根据垂直平分线的性质得OB的长，根据面积公式求得△OBC的面积.
14．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∠ABD＋∠BME=90°，
∵∠BME=∠CMD，
∴∠ABD+∠CMD=90°，
∴∠CDB=∠CMD，
∴CM=CD，
∴△CDM是等腰三角形；
（2）解︰作DF⊥AB于点F，如图所示，
∵∠DCB=90°，BD平分∠ABC，
∴DC=DF，
∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=，
∵S△ABC=S△BCD+S△ADB，
∴，
即，
解得CD=DF=3，
由（1）知：CM=CD，
∴CM=3，
即CM的长度为3.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠CBD=∠ABD，由直角三角形的量锐角互余、等角的余角相等及对顶角相等得∠CDB=∠CMD，由等角对等边得CM=CD，从而可得结论；
（2）作DF⊥AB于点F，如图所示，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DC=DF，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长，进而根据S△ABC=S△BCD+S△ADB，结合三角形面积计算公式建立方程可求出CD=DF=3，再结合（1）的结论可得答案.
15．【答案】（1）解：如图，是的平分线.
（2）证明：∵，，
∴.
∵是的平分线，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∵点D为的中点.
∴.
在和中，，
∴.
∴.
（3）解：.理由如下：
由（2）可知，
∴.
在和中，
∴.
∴，.
∵，
，
∴.
∴.
又∵，
∴.
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以C点为圆心，以任意长度为半径，画一个圆弧，使其分别交AC、AB上各一点，在分别以AC、AB上的交点为圆心，以大于两交点距离的二分之一长度为半径画弧，两弧又交于一点，连接该交点与C点，交BE与点F，CF即为∠ACB的平分线，作图完成；
（2）由条件可知，先求出∠CAB=45°，继而得到∠EAC=45°，然后利用角平分线求出∠ACF=45°，在通过ASA证明，得到DE=DF；
（3）通过（2）中证明过程可知，AE=CF，在通过SAS证明，得到EC=FB，∠ECA=∠FCB，在通过倒角，证明∠ECF=∠EFC，得到EC=EF，继而得出BF=EF=2DE，又因为DF=DE，最终找到DB与DE关系：DB=3DE。
16．【答案】（1）证明：∵EB平分∠DEC，
∴∠DEB=∠BEC.
∵DE∥BC.
∴∠DEB=∠EBC，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE
（2）解：∵BC=CE，CE=AB，
∴BC=AB，
∴∠C=∠A，
设∠C=∠A=x，
∵EA=EB，
∴∠A=∠ABE=x，
∴∠EBC=∠BEC=∠A+∠ABE=2x，
∴2x+2x+x=180°，
∴∠C=x=36°
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据角平分线以及平行线的性质：两直线平行内错角相等，即可得到∠BEC=∠EBC，再根据等腰三角形的判定，即可证明BC=CE.
(2)根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，即可得到∠C=∠A，设∠A=∠C=x，又根据题意以及等腰三角形的性质可得∠A=∠ABE=x，根据三角形的任一外角等于与它不相邻的两个内角之和，再根据三角形的内角和为180°，即可列出方程，解出答案即可.
17．【答案】（1）解：如图所示： 即为所求；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 都是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）利用三角形的内家和及角平分线的定义可得，即可证明 都是等腰三角形．
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 1.4 角平分线的性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·浑江期末）如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D座DF⊥AC，交AC于点D，
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2，
，解得AC=6。
故答案为：6。
【分析】画出辅助线，利用角平分线的性质，得到DE=DF，将三角形ABC的面积看做是由两个三角形的面积构成，即可求出AC的长。
2．（2020八上·金山期末）已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB、BC的距离相等，那么点M（ ）
A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上
【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】∵由角平分线上点到角两边距离相等的性质，
∴点M应在∠ABC的平分线上．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质推出M在∠ABC的角平分线上，即可得到答案．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图痕迹得，AP是的平分线，过点D作与点E，
∵∠C=90°，
∴DE=CD=4
.
故答案为：B.
【分析】根据作图痕迹得AP是的平分线，过点D作与点E，根据角平分线的性质得DE=CD=4，结合三角形的面积公式，计算求解即可.
4．（2023八上·浙江期中）如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①；
步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E．
下列叙述正确的是（ ）
A．BC平分∠ABD B．AB=BD C．AE=BD D．BE=DE
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：A：与题中所用步骤无关，错误；
B：AB=AD，错误；
C：与题中所用步骤无关，错误；
D：连接CD，可知CD=CB，且CE=EC， ∠DCE=∠BCE，故 △DCE △BCE，则BE=DE，正确；
故答案为：D.
【分析】 这个题目考察了几何学中的基本作图方法和三角形内角平分线的性质；学生需要理解作图步骤，并应用相关的几何性质进行推理.
5．（2021八上·长春期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（ ）
A．3 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】作GH⊥AB于H，由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线．
∵∠C=90°，GH⊥AB，∴GH=CG=3，∴△ABG的面积AB×GH=15．
故答案为：C．
【分析】作GH⊥AB于H，根据角平分线的性质可得GH=CG=3，再利用三角形的面积公式求解即可。
6．（2023八上·怀仁期中）作的角平分线的作图过程如下，用下面的三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是（ ）
作法： ．在和上分别截取，使． ．分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点． ．作射线． 就是的平分线（如图）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分．
故答案为：D
【分析】连接，，根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合角平分线的判定即可求解。
7．（2023八上·任丘期中）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：
由作图可知，OC＝OD，CP＝DP，
∵OP＝OP，
∴△OPC≌△OPD（SSS），
∴∠OCP＝∠ODP，∠OPC＝∠OPD，A，C，D不符合题意.
故答案为：B
【分析】先根据作图得到OC＝OD，CP＝DP，进而根据三角形全等的判定与性质证明△OPC≌△OPD（SSS），从而即可求解。
8．（2023八上·泸州期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D．已知BD＝5，CD＝3，则点D到AB的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连接OM、ON，过点D作，则DE为点D到AB的距离，如图所示，
由作图可得：
在和中，
，即AD为的角平分线
（角平分线上的点到角的两边距离相等）
故答案为：B.
【分析】连接OM、ON，根据SSS证明，则，即AD为的角平分线，根据角平分线的性质得出结果.
二、填空题
9．（2023八上·大兴期中）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC＝6，则△BCE的面积为 ．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】 【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
则△BCE的面积为 BC·EF=×6×2=6．
故答案为：．
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，即可求解．
10．（2023八上·乾安期中）如图．四边形ABCD中．∠B=∠C=90°．AM、DM分别是∠DAB与∠ADC的平分线．AD=10．BC=6．则△ADM的面积为
【答案】15
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作ME⊥AD于点E，如图，
∵∠B=∠C=90°．AM、DM分别是∠DAB与∠ADC的平分线．
∴CM=EM，BM=EM，
∴EM=BM=CM=3.
故答案为：15.
【分析】作ME⊥AD于点E，根据角平分线的性质求出EM=BM=CM=3，再利用三角形的面积公式计算。
11．（2021·长沙）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， ，垂足为 ，若 ， ，则 的长为 .
【答案】2.4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： 平分 ， ， ， ，
，
，
，
故答案为：2.4.
【分析】由题意根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE，根据线段的构成BD=BC-CD=BC-DE可求解.
12．（2021八上·长沙期中）如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB=5，AC=3，DF=2，则△ABC的面积为 .
【答案】8
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
∴△ABC的面积= ×5×2+ ×3×2=8，
故答案侍：8.
【分析】根据角平分线的性质得出DE=DF=2，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式计算，即可解答.
13．（2024八上·宽城期末）如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ．
【答案】9
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】5.【解答】解：如图，过点C作CE⊥OM于点E，
∵平分，，CE⊥OM，
∴CE=CA=3，
∵BG垂直平分OA，
∴BA=BO=6，
.
故答案为：9.
【分析】过点C作CE⊥OM于点E，根据角平分线的性质可得CE的长，根据垂直平分线的性质得OB的长，根据面积公式求得△OBC的面积.
三、解答题
14．（2023八上·杭州月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形．
（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∠ABD＋∠BME=90°，
∵∠BME=∠CMD，
∴∠ABD+∠CMD=90°，
∴∠CDB=∠CMD，
∴CM=CD，
∴△CDM是等腰三角形；
（2）解︰作DF⊥AB于点F，如图所示，
∵∠DCB=90°，BD平分∠ABC，
∴DC=DF，
∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=，
∵S△ABC=S△BCD+S△ADB，
∴，
即，
解得CD=DF=3，
由（1）知：CM=CD，
∴CM=3，
即CM的长度为3.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠CBD=∠ABD，由直角三角形的量锐角互余、等角的余角相等及对顶角相等得∠CDB=∠CMD，由等角对等边得CM=CD，从而可得结论；
（2）作DF⊥AB于点F，如图所示，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DC=DF，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长，进而根据S△ABC=S△BCD+S△ADB，结合三角形面积计算公式建立方程可求出CD=DF=3，再结合（1）的结论可得答案.
15．（2024八上·浑江期末）如图，在中，，，点D为边的中点，交的延长线于点E，连接.
（1）尺规作图：作的平分线交于点F；（保留作图痕迹）
（2）求证：；
（3）探究与之间的数量关系，并证明结论.
【答案】（1）解：如图，是的平分线.
（2）证明：∵，，
∴.
∵是的平分线，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∵点D为的中点.
∴.
在和中，，
∴.
∴.
（3）解：.理由如下：
由（2）可知，
∴.
在和中，
∴.
∴，.
∵，
，
∴.
∴.
又∵，
∴.
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以C点为圆心，以任意长度为半径，画一个圆弧，使其分别交AC、AB上各一点，在分别以AC、AB上的交点为圆心，以大于两交点距离的二分之一长度为半径画弧，两弧又交于一点，连接该交点与C点，交BE与点F，CF即为∠ACB的平分线，作图完成；
（2）由条件可知，先求出∠CAB=45°，继而得到∠EAC=45°，然后利用角平分线求出∠ACF=45°，在通过ASA证明，得到DE=DF；
（3）通过（2）中证明过程可知，AE=CF，在通过SAS证明，得到EC=FB，∠ECA=∠FCB，在通过倒角，证明∠ECF=∠EFC，得到EC=EF，继而得出BF=EF=2DE，又因为DF=DE，最终找到DB与DE关系：DB=3DE。
四、综合题
16．（2023八下·礼泉期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，EB平分∠DEC.
（1）求证：BC=CE；
（2）若CE=AB，EA=EB，求∠C的度数.
【答案】（1）证明：∵EB平分∠DEC，
∴∠DEB=∠BEC.
∵DE∥BC.
∴∠DEB=∠EBC，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE
（2）解：∵BC=CE，CE=AB，
∴BC=AB，
∴∠C=∠A，
设∠C=∠A=x，
∵EA=EB，
∴∠A=∠ABE=x，
∴∠EBC=∠BEC=∠A+∠ABE=2x，
∴2x+2x+x=180°，
∴∠C=x=36°
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据角平分线以及平行线的性质：两直线平行内错角相等，即可得到∠BEC=∠EBC，再根据等腰三角形的判定，即可证明BC=CE.
(2)根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，即可得到∠C=∠A，设∠A=∠C=x，又根据题意以及等腰三角形的性质可得∠A=∠ABE=x，根据三角形的任一外角等于与它不相邻的两个内角之和，再根据三角形的内角和为180°，即可列出方程，解出答案即可.
17．（2021八上·平定期中）如图，已知等腰 的顶角 ．
（1）根据要求用尺规作图：作 的平分线交 于点 ；（不写作法，只保留作图痕迹．）
（2）在（1）的条件下，证明： 是等腰三角形．
【答案】（1）解：如图所示： 即为所求；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 都是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）利用三角形的内家和及角平分线的定义可得，即可证明 都是等腰三角形．
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